فيديو الدرس: نهايات الدوال المثلثية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب نهايات لدوال مثلثية.

١٦:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب نهايات لدوال مثلثية. وسوف نستخدم بعض القواعد لمساعدتنا. هيا نبدأ بتذكير أنفسنا بمعنى النهاية. إذا كانت نهاية ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من ﺃ موجودة، فيمكننا القول إنها تساوي ثابتًا ما ﻝ. وما يعنيه هذا أن ﺱ يقترب من ﺃ. كما أن الدالة ﺩ(ﺱ) تقترب من ﻝ.

عند حساب النهايات لدوال مثلثية، فثمة بعض الدوال التي يمكن حساب نهايتها باستخدام التعويض المباشر، على سبيل المثال نهايتي جا ﺱ وجتا ﺱ. في حين تتطلب بعض الدوال استخدام متطابقات مثلثية، مثل تلك الموضحة هنا، لتحويلها إلى صورة يمكننا فيها استخدام التعويض المباشر.

لكن، ثمة بعض الحالات التي لا يمكننا فيها استخدام التعويض المباشر. إحدى هذه الحالات هي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ. فعندما نحاول استخدام التعويض المباشر هنا، نحصل على جا صفر على صفر، وهو ما يساوي أيضًا صفرًا على صفر. وهي صيغة غير معينة. وبذلك نكون قد وصلنا إلى القاعدة الأولى التي سنستعين بها لإيجاد النهايات لدوال مثلثية. وتنص على أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ تساوي واحدًا.

لا يقع إثبات هذه القاعدة في نطاق هذا الفيديو. لكن، إذا فكرنا في هذه القاعدة بطريقة معينة، فيمكننا أن نعرف بديهيًّا سبب صحتها. إذا فكرنا في تقريبات الزوايا الصغيرة، فإننا نعلم أنه عندما تكون قيمة ﺱ صغيرة جدًّا، فإن جا ﺱ يساوي تقريبًا ﺱ. في النهاية لدينا، فإننا نحسب قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر. إذن، هذا يعني أن قيمة ﺱ ستصبح أصغر فأصغر. ومن ثم، من المنطقي أن نستخدم تقريبات الزوايا الصغيرة هنا. وبذلك، نجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ تساوي تقريبًا ﺱ على ﺱ. وبحذف ﺱ من بسط الكسر مع ﺱ من مقامه، يتبقى لدينا واحد.

هناك طريقة أخرى لمعرفة هذه النهاية بديهيًّا، وهي تمثيل جا ﺱ على ﺱ بيانيًّا. نلاحظ من التمثيل البياني أن الخط يقترب من واحد عند صفر. وسنحصل على نتيجة مماثلة إذا استخدمنا جدول القيم لـ جا ﺱ على ﺱ. والآن، لنتناول مثالًا نستخدم فيه هذه القاعدة.

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على جا ﺱ على اثنين.

أولًا، نحاول حساب قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. نعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا في هذه الدالة. لكن، يتبقى لنا صفر على صفر، وهي صيغة غير معينة. ولذا، علينا حساب هذه النهاية بطريقة أخرى. دعونا نجرب استخدام القاعدة التي تنص على أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ تساوي واحدًا.

للحصول على نهاية بهذه الصورة، علينا ضرب كل من بسط النهاية ومقامها في ﺱ. وبذلك، يمكننا كتابة النهاية على الصورة: النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ مضروبًا في ﺱ على جا ﺱ على اثنين.

بعد ذلك، سنستخدم قاعدة النهاية التي تنص على أن نهاية حاصل ضرب دالتين تساوي حاصل ضرب نهايتي الدالتين. ومن ثم، سنحصل على هذا. نلاحظ أن نهاية حاصل الضرب التي على اليسار مطابقة للنهاية الموجودة في القاعدة. وبذلك، يمكننا القول إن هذه النهاية تساوي واحدًا فقط.

لإيجاد قيمة النهاية الأخرى، دعونا نعد كتابة هذه القاعدة، فبدلًا من كتابة ﺱ سنكتب ﺱ على اثنين. ‏ﺱ على اثنين يقترب من الصفر هو نفسه ﺱ يقترب من الصفر. ولذا، يمكننا كتابة هذا هنا. بعد ذلك، يمكننا ضرب كل من البسط والمقام في اثنين. وذلك يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لاثنين جا ﺱ على اثنين على ﺱ تساوي واحدًا.

لدينا الآن ثابت داخل النهاية، وهو اثنان. إذن، يمكننا إخراج هذا الثابت خارج النهاية. ونقسم ببساطة طرفي المعادلة على اثنين. تبدو النهاية الموجودة على يسار المعادلة هنا قريبة جدًّا من النهاية التي نحاول إيجاد قيمتها. الفرق الوحيد بينهما هو أن كلًّا من الكسرين الموجودين في النهايتين هو مقلوب للآخر.

لجعل هاتين النهايتين متطابقتين، سنستخدم حقيقة أن نهاية أي مقلوب تساوي مقلوب النهاية. ما يعنيه هذا هو أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ على جا ﺱ على اثنين تساوي واحدًا على النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على اثنين على ﺱ. ولقد وجدنا توًّا أن هذه النهاية تساوي نصفًا. ولذا، يمكننا التعويض بذلك هنا. وهذا يعطينا واحدًا على نصف، وهو ما يساوي ببساطة اثنين.

وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة النهاية التي نحاول إيجاد قيمتها. ويمكننا التعويض بهذا مرة أخرى في المعادلة لدينا. هذا يخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على جا ﺱ على اثنين تساوي واحدًا مضروبًا في اثنين، وهو ما يعطينا الحل وهو اثنان.

هناك طريقة بديلة لحل هذا السؤال وهي استخدام إحدى المتطابقات المثلثية. سنستخدم الحقيقة التي تخبرنا أن جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. إذا جعلنا 𝜃 تساوي ﺱ على اثنين، فسنحصل على جا ﺱ يساوي اثنين جا ﺱ على اثنين في جتا ﺱ على اثنين. ويمكننا التعويض بقيمة جا ﺱ هذه في بسط النهاية لدينا. وعند إجراء ذلك، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لاثنين جا ﺱ على اثنين مضروبًا في جتا ﺱ على اثنين الكل على جا ﺱ على اثنين.

وهكذا يمكننا حذف جا ﺱ على اثنين من بسط الكسر ومقامه. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لاثنين جتا ﺱ على اثنين. وهنا يمكننا ببساطة استخدام التعويض المباشر. وبما أن جتا صفر يساوي واحدًا، نحصل على الحل نفسه الذي وصلنا إليه سابقًا، وهو اثنان.

في هذا المثال السابق، رأينا كيف يمكننا استخدام النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ يساوي واحدًا، لتوضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ على جا ﺱ على اثنين تساوي اثنين. أما الآن، فدعونا نتناول الحالة العامة للنهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺃﺱ على ﺱ.

باستخدام القاعدة الأصلية والتعويض عن ﺱ بـ ﺃﺱ، نحصل على ذلك. لكن بما أن ﺃ ثابت، فإذا كان ﺃﺱ يقترب من صفر، فهذا يعني حتمًا أن ﺱ يقترب من الصفر. ولذا، بدلًا من كتابة ﺃﺱ يقترب من صفر، يمكننا ببساطة كتابة أن ﺱ يقترب من صفر، بما أن كليهما يكافئ الآخر.

بعد ذلك، يمكننا إخراج ﺃ في المقام خارج الكسر. يصبح الكسر إذن واحدًا على ﺃ مضروبًا في جا ﺃﺱ على ﺱ. وبما أن واحدًا على ﺃ يعطينا عددًا ثابتًا، يمكننا إخراجه خارج النهاية.

في الخطوة الأخيرة هنا، نضرب كلا الطرفين في ﺃ. وهذا يعطينا قاعدة جديدة. وهي أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺃﺱ على ﺱ تساوي ﺃ. يمكننا استخدام هذه القاعدة أيضًا لإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا ﺃﺱ على ﺱ. نبدأ بكتابة ظا ﺃﺱ على صورة جا ﺃﺱ على جتا ﺃﺱ.

بعد ذلك، سنستخدم حقيقة أن نهاية حاصل ضرب دالتين تساوي حاصل ضرب نهايتي هاتين الدالتين. وبذلك، نحصل على هذا. ونلاحظ أن النهاية على اليسار تكافئ القاعدة التي استنتجناها للتو. ومن ثم، فهي تساوي ﺃ. ويمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد النهاية على اليمين. بما أن جتا صفر يساوي واحدًا فقط، نجد أن ذلك يساوي ﺃ. وبذلك نكون قد توصلنا إلى قاعدة جديدة. وهي أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا ﺃﺱ على ﺱ تساوي ﺃ. والآن، أصبحنا جاهزين للانتقال إلى المثال التالي.

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا تربيع سبعة ﺱ زائد ثلاثة ظا تربيع ثلاثة ﺱ على ثمانية ﺱ تربيع.

إذا جربنا استخدام التعويض المباشر، فسنحصل على صفر على صفر، وهي صيغة غير معينة. دعونا نجرب إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام هاتين القاعدتين. وسنستخدم أيضًا حقيقة أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتي الدالتين. ومن ثم، يمكننا كتابة النهاية على صورة مجموع هاتين النهايتين. ونلاحظ أنه يمكننا إخراج العامل ثمن خارج النهاية الأولى، والعامل ثلاثة أثمان خارج النهاية الثانية.

بعد ذلك، نلاحظ أن كلًّا من البسطين والمقامين عبارة عن مربعين، ومن ثم يمكننا كتابة النهايتين على هذا النحو. يمكننا الآن استخدام حقيقة أن نهاية مربع دالة ما تساوي مربع نهاية هذه الدالة. وبذلك، يصبح لدينا هذا. نلاحظ أن هاتين النهايتين تشبهان كثيرًا النهايتين اللتين كتبناهما في البداية.

بالتعويض بـ ﺃ يساوي سبعة في قاعدة النهاية الأولى، نجد أن النهاية التي على اليسار لا بد أن تساوي سبعة. وبالتعويض بـ ﺃ يساوي ثلاثة في قاعدة النهاية الثانية، نجد أن النهاية التي على اليمين لا بد أن تساوي ثلاثة. ومن ثم، نحصل على ثمن مضروب في سبعة تربيع زائد ثلاثة أثمان مضروبة في ثلاثة تربيع. وبتبسيط هذا بالأسفل، نحصل على الحل؛ وهو ١٩ على اثنين.

بعد ذلك، سنلقي نظرة على قاعدة أخرى تفيدنا في حساب النهايات لدوال مثلثية على صورة أخرى. القاعدة التي سنستخدمها هي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد ناقص جتا ﺱ على ﺱ تساوي صفرًا. حسنًا، لا يقع إثبات هذه القاعدة أيضًا في نطاق هذا الفيديو. لكن، يمكننا التفكير في هذه القاعدة بديهيًّا عن طريق التفكير في تقريبات الزوايا الصغيرة لدالة جيب التمام.

بالنسبة إلى القيم الصغيرة لـ ﺱ، لدينا جتا ﺱ يساوي تقريبًا واحدًا ناقص ﺱ تربيع على اثنين. إذن، كلما اقترب ﺱ من صفر، يقترب جتا ﺱ من واحد ناقص ﺱ تربيع على اثنين. ومن ثم، نجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد ناقص جتا ﺱ على ﺱ تساوي تقريبًا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد ناقص واحد ناقص ﺱ تربيع على اثنين الكل مقسوم على ﺱ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ على اثنين. وباستخدام التعويض المباشر، نجد أن هذا يساوي صفرًا، وهو ما يتفق مع القاعدة التي كتبناها في البداية.

هناك طريقة أخرى لمعرفة ذلك بديهيًّا، وهي النظر في التمثيل البياني لواحد ناقص جتا ﺱ على ﺱ. يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أنه مع اقتراب قيمة ﺱ من الصفر، يقترب التمثيل البياني من الصفر أيضًا. وسنرى نتيجة مماثلة باستخدام جدول القيم. لنتناول الآن مثالًا آخر.

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لتسعة ناقص تسعة جتا سبعة ﺱ على ثلاثة ﺱ.

أولًا، نلاحظ أنه يمكننا حذف العامل ثلاثة من بسط هذا الكسر ومقامه، لتتبقى لدينا هذه النهاية. بعد ذلك، نلاحظ أنه يمكننا إخراج ثلاثة خارج النهاية. إذا حاولنا استخدام التعويض المباشر في هذه المرحلة، فسنجد أننا نحصل على صفر على صفر، وهي صيغة غير معينة.

لنستخدم بدلًا من ذلك الحقيقة التي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد ناقص جتا ﺱ على ﺱ تساوي صفرًا. يمكننا في الواقع تعديل هذه الصيغة لكي نجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد ناقص جتا ﺃﺱ على ﺱ تساوي صفرًا، حيث ﺃ مجرد ثابت. يمكننا إجراء ذلك بالتعويض عن ﺱ بـ ﺃﺱ في القاعدة الأولى. ومن ثم، نجد أن النهاية عندما يقترب ﺃﺱ من صفر لواحد ناقص جتا ﺃﺱ على ﺃﺱ تساوي صفرًا.

بما أن ﺃ ثابت وﺃﺱ يقترب من صفر، فهذا يعني أن ﺱ أيضًا يقترب من الصفر. فبدلًا من كتابة ﺃﺱ يقترب من صفر، يمكننا ببساطة كتابة ﺱ يقترب من صفر. بعد ذلك، نلاحظ أن لدينا العامل ﺃ في مقام هذا الكسر. وبهذا يمكننا إخراج العامل ﺃ هذا خارج النهاية.

بعد ذلك، يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في ﺃ. وبما أن الطرف الأيمن يساوي صفرًا، فإن صفرًا في ﺃ يعطينا صفرًا. إذن يظل الطرف الأيمن صفرًا. وبذلك نكون قد توصلنا إلى أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد ناقص جتا ﺃﺱ على ﺱ تساوي صفرًا، وهو ما كنا نحاول إثباته. بالتعويض بـ ﺃ يساوي سبعة في هذه الصيغة، نجد أن هذه النهاية تساوي صفرًا. وبما أن ثلاثة مضروبًا في صفر يساوي صفرًا، نجد أن الحل هنا ببساطة هو صفر.

لنلق نظرة الآن على مثال أصعب قليلًا.

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على اثنين لاثنين ناقص اثنين جا ﺱ على أربعة ﺱ ناقص اثنين 𝜋.

أولًا، نجرب حلها بالتعويض المباشر. لكننا سنصل إلى الناتج صفر على صفر، وهي صيغة غير معينة. إذن، علينا إيجاد هذه النهاية بطريقة أخرى. لنبدأ بحذف العامل اثنين في كل من بسط الكسر ومقامه. والآن لنفكر في بعض القواعد التي نعرفها. عند التفكير في القاعدة الأولى هنا، نلاحظ أن القيمة داخل دالة الجيب لا بد أن تكون هي نفسها القيمة في مقام الدالة. في هذه النهاية، لدينا جا ﺱ في البسط. لكن في المقام، لدينا اثنان ﺱ ناقص 𝜋. وكلاهما غير متساويين. ولذا، لا يمكننا استخدام القاعدة الأولى هذه.

لاستخدام القاعدة الثانية، لا بد من وجود جتا ﺱ في البسط. لكن في هذه النهاية لدينا حاليًّا دالة جيب. هنا سنستخدم متطابقة لتحويل دالة الجيب إلى دالة جيب التمام. نعرف أن جا ﺱ يساوي جتا ﺱ ناقص 𝜋 على اثنين. ويمكننا التعويض بهذا في هذه النهاية. بتحليل مقام الكسر هنا، يمكننا أن نرى أن هذه الصورة مشابهة جدًّا للقاعدة التي نعرفها.

في هذه المرحلة، علينا إجراء خطوة تعويض. سنعوض بـ ﻉ يساوي ﺱ ناقص 𝜋 على اثنين. ولكن، علينا أولًا التفكير فيما سيحدث لهذه النهاية. فهنا ﺱ يقترب من 𝜋 على اثنين. حسنًا، سنفكر ببساطة فيما سيحدث لقيمة ﻉ عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على اثنين. حينئذ، ستقترب قيمة ﻉ من 𝜋 على اثنين ناقص 𝜋 على اثنين، وهو ما يساوي ببساطة صفرًا. وبذلك، يمكننا الآن التعويض بـ ﻉ يساوي ﺱ ناقص 𝜋 على اثنين في النهاية لدينا. نحصل على النهاية عندما يقترب ﻉ من صفر لواحد ناقص ﻉ جتا على اثنين ﻉ. ويمكننا إخراج النصف. ونلاحظ الآن أن النهاية مطابقة للقاعدة. ومن ثم، يجب أن تساوي صفرًا. وهذا يعطينا الحل، وهو صفر.

في هذا المثال الأخير، رأينا كيف علينا أن ننتبه عند حل نهايات الدوال المثلثية، حيث قد يكون من الصعب أحيانًا تحديد طريقة حلها. ومن المهم للغاية أن نتذكر المتطابقات المثلثية.

والآن دعونا نلخص بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. النقاط الرئيسية. النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ تساوي واحدًا. وهذا يعطينا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺃﺱ على ﺱ تساوي ﺃ. وهذا يجعلنا نتوصل بعد ذلك إلى أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا ﺃﺱ على ﺱ تساوي ﺃ. نعلم أيضًا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد ناقص جتا ﺱ على ﺱ تساوي صفرًا، وهو ما يؤدي بنا إلى أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لواحد ناقص جتا ﺃﺱ على ﺱ تساوي صفرًا أيضًا. وإذا لم نتمكن من إيجاد قيمة نهاية دالة مثلثية باستخدام التعويض المباشر أو باستخدام إحدى القواعد السابقة، فعلينا إذن أن نجرب استخدام بعض المتطابقات المثلثية، كالموضحة هنا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.