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شارح الدرس: Limites des fonctions trigonométriques الرياضيات

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à évaluer les limites des fonctions trigonométriques.

Les limites sont utiles pour nous aider à comprendre le comportement d’une fonction autour d’une valeur;c’est l’un des éléments fondamentaux du calcul différentiel et intégral. Nous pouvons déterminer la limite d‘une fonction trigonométrique par substitution directe.

Définition : Déterminer la limite des fonctions trigonométriques

Si 𝑎 appartient à l’ensemble de de définition d’une fonction trigonométrique, alors nous pouvons calculer sa limite en 𝑎 par substitution directe. En particulier, pour tout 𝑎,

  • limsinsin𝑥=𝑎;
  • limcoscos𝑥=𝑎.

Pour tout 𝑎 appartenant à l’ensemble de définition de tan𝑥,

  • limtantan𝑥=𝑎.

Ces résultats nous permettent de calculer la limite de nombreuses fonctions trigonométriques. Cependant, il y a des exemples que nous ne pouvons pas traiter. Par exemple, considérons limsin𝑥𝑥, 𝑥 est mesuré en radians. Si nous essayons de calculer cette limite par substitution directe, sin00=00, cela donne une forme indéterminée, ce qui signifie que nous devons calculer cette limite de manière différente. Une manière de faire ça, c’est de représenter la fonction 𝑦=𝑥𝑥sin dans un graphique.

Sur ce graphique, nous pouvons voir que plus les valeurs de 𝑥 se rapprochent de 0, plus les images se rapprochent de 1. Par conséquent, la représentation graphique permet de mettre en évidence que limsin𝑥𝑥=1. On peut aussi le voir à l’aide d’un tableau.

𝑥0,10,010,00100,0010,010,1
sin𝑥𝑥0,998330,999980,999990,999990,999980,99833

Une fois encore, le tableau indique que plus les valeurs de 𝑥 se rapprochent de 0, plus les image se rapprochent de 1. Il est à noter que nous pouvons mettre en évidence un résultat similaire lorsque 𝑥 est mesuré en degrés;cependant, pour le calcul des limites, on utilise presque toujours les radians. Ainsi, sauf indication contraire, nous supposerons que la limite de toute fonction trigonométrique est donnée pour des angles mesurés en radians. Cela nous donne le résultat suivant.

Théorème : Limite d’une expression trigonométrique

Si 𝑥 est mesuré en radians, alors limsin𝑥𝑥=1.

Nous pouvons généraliser ce résultat. Soit 𝑎{0}. Nous remplaçons 𝜃=𝑎𝑥 dans limsin𝜃𝜃=1. Notons que comme 𝜃0, alors 𝑎𝑥0 et 𝑥0. Cela nous donne 1=𝜃𝜃=𝑎𝑥𝑎𝑥.limsinlimsin

En factorisant par 1𝑎 et en réarrangeant on obtient que limsin𝑎𝑥𝑥=𝑎.

On peut remarquer que ce résultat est également valable lorsque 𝑎=0. Nous pouvons résumer cela comme suit.

Théorème : Limite d’une expression trigonométrique

Si 𝑥 est mesuré en radians et 𝑎, alors limsin𝑎𝑥𝑥=𝑎.

Voyons un exemple d’utilisation de ce résultat pour calculer la limite d’une expression trigonométrique.

Exemple 1: Déterminer les limites des fonctions trigonométriques

Déterminez limsinsin𝑥.

Réponse

Comme cette limite implique le quotient des fonctions trigonométriques, nous pouvons essayer de calculer cette limite par substitution directe sinsin0=00.

Cela nous donne une forme indéterminée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas calculer cette limite directement. Nous utiliserons plutôt le fait que si 𝑥 est mesuré en radians et 𝑎 est une constante réelle, alors limsin𝑎𝑥𝑥=𝑎. Bien que la question ne précise pas que 𝑥 est mesuré en radians, en passant à la limite, on travaille presque toujours en radians, ainsi on le supposera pour la question. On peut réécrire la limite comme suit limsinsinlimsinsin𝑥=𝑥𝑥×𝑥.

En supposant que les deux limites existent, nous pouvons écrire ceci comme le produit de deux limites limsinsinlimsinlimsin𝑥𝑥×𝑥=𝑥𝑥×𝑥.

On prend l’inverse de la deuxième limite a l’aide de la règle de puissance pour les limites limsinlimsinlimsinlimsin𝑥𝑥×𝑥=𝑥𝑥×𝑥, à condition que la limite existe et soit non nulle. Nous pouvons ensuite calculer ces deux limites en utilisant le résultat, limsin𝑎𝑥𝑥=𝑎.

La première limite se calcule en prenant 𝑎=1 et la seconde en prenant 𝑎=12. Par conséquent, limsinlimsin𝑥𝑥×𝑥=1×12=2.

Il y a deux autres résultats plus utiles sur les limites impliquant des fonctions trigonométriques, nous pouvons les trouver par étude graphique ou en utilisant un tableau. Considérons les graphiques représentants les fonctions d’expressions tan𝑥𝑥 et 1𝑥𝑥cos, 𝑥 est mesuré en radians.

Dans la première représentation, nous voyons que plus les valeurs de 𝑥 se rapprochent de 0, plus les images tendent vers 1. Ainsi, cette représentation graphique indique que limtan𝑥𝑥=1. De même, dans la deuxième représentation, les valeurs de 𝑥 au voisinage de 0, ont des images qui tendent vers 0. Ainsi, la représentation suggère que limcos1𝑥𝑥=0. Cela nous donne les résultats suivants.

Théorème : Limite d’une expression trigonométrique

Si 𝑥 est mesuré en radians, alors

  • limtan𝑥𝑥=1;
  • limcos1𝑥𝑥=0.

Comme avec le résultat précédent du sinus, nous pouvons utiliser la substitution pour trouver la limite lorsque l’angle est un multiple d’une constante. Si 𝑎, en posant 𝜃=𝑎𝑥 nous avons 1=𝜃𝜃=𝑎𝑥𝑎𝑥.limtanlimtan

En factorisant par 1𝑎 et en réarrangeant on obtient limtan𝑎𝑥𝑥=𝑎.

De même, si 𝑎, en posant 𝜃=𝑎𝑥 on a 0=1𝜃𝜃=1𝑎𝑥𝑎𝑥.limcoslimcos

En factorisant par 1𝑎 et en réarrangeant on obtient limcos1𝑎𝑥𝑥=0.

Nous pouvons résumer cela comme suit.

Théorème : Limite d’une expression trigonométrique

Si 𝑥 est mesuré en radians et 𝑎, alors

  • limtan𝑎𝑥𝑥=𝑎;
  • limcos1𝑎𝑥𝑥=0.

Voyons un exemple dans lequel nous pouvons appliquer ces résultats pour étudier la limite d’une expression trigonométrique.

Exemple 2: Déterminer les limites des fonctions trigonométriques

Déterminez limcos997𝑥3𝑥.

Réponse

Comme cette limite implique une fonction trigonométrique, nous pouvons essayer de calculer cette limite par substitution directe 99(7×0)3(0)=00.cos

Cela nous donne une forme indéterminée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas calculer cette limite par substitution directe. Nous utiliserons plutôt le fait que si 𝑥 est mesuré en radians et 𝑎, alors limcos1𝑎𝑥𝑥=0.

Pour appliquer ce résultat, nous simplifions notre limite comme suit limcoslimcoslimcoslimcos997𝑥3𝑥=9(17𝑥)3𝑥=3(17𝑥)𝑥=3×(17𝑥)𝑥=3×0=0.

Par conséquent, limcos997𝑥3𝑥=0.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons un résultat impliquant les fonctions tangente et sinus pour évaluer la limite d’une fonction trigonométrique.

Exemple 3: Déterminer les limites des fonctions trigonométriques

Déterminez limsintan7𝑥+33𝑥8𝑥.

Réponse

Puisqu’il s’agit de la limite d’une expression à la fois algébrique et trigonométrique, nous pouvons essayer de trouver cette limite par substitution directe sintan(7(0))+3(3(0))8(0)=00.

Comme il s’agit d’une forme indéterminée, nous ne pouvons pas déterminer la valeur de cette limite à partir d’une substitution directe. Au lieu de cela, nous réécrirons donc cette limite sous forme des limites que nous pouvons calculer. À savoir, pour toute constante réelle 𝑎 et 𝑥 mesuré en radians, limtanetlimsin𝑎𝑥𝑥=𝑎𝑎𝑥𝑥=𝑎.

On peut réécrire la limite comme suit limsintanlimsintanlimsinlimtanlimsinlimtanlimsinlimtan7𝑥+33𝑥8𝑥=7𝑥8𝑥+33𝑥8𝑥=7𝑥8𝑥+33𝑥8𝑥=187𝑥𝑥+383𝑥𝑥=187𝑥𝑥+383𝑥𝑥.

Nous pouvons déterminer chacune de ces limites séparément. Premièrement, nous rappelons que si 𝑥 est mesuré en radians et 𝑎 une constante, alors, limsin𝑎𝑥𝑥=𝑎. En utilisant ce résultat, nous avons limsin7𝑥𝑥=7.

Ensuite, nous rappelons que si 𝑥 est mesuré en radians et 𝑎, alors limtan𝑎𝑥𝑥=𝑎.

Par conséquent, limtan3𝑥𝑥=3.

Le remplacement des valeurs de ces limites dans l’équation nous donne limsintanlimsinlimtan7𝑥+33𝑥8𝑥=187𝑥𝑥+383𝑥𝑥=18(7)+38(3)=498+278=768=192.

Par conséquent, limsintan7𝑥+33𝑥8𝑥=192.

Dans notre prochain exemple, nous combinerons une identité trigonométrique avec les résultats de limites sur les fonctions trigonométriques dans le but de calculer une limite.

Exemple 4: Déterminer les limites impliquant des fonctions trigonométriques

Déterminez limsin22𝑥4𝑥2𝜋.

Réponse

Puisqu’il s’agit de la limite d’une expression à la fois algébrique et trigonométrique, nous pouvons essayer d’évaluer cette limite par substitution directe 2242𝜋=00.sin

Comme il s’agit d’une forme indéterminée, nous ne pouvons pas déterminer la valeur de cette limite par substitution directe. Nous réécrirons cette limite sous forme des limites que nous pouvons calculer. On réécrit la limite comme suit limsinlimsinlimsin22𝑥4𝑥2𝜋=2(1𝑥)4𝑥=1𝑥2𝑥.

Pour calculer cette limite, nous remplacerons 𝜃=𝑥𝜋2. Comme 𝑥tend vers 𝜋2 , 𝜃 tend vers 0. Cela nous donne limsinlimsin1𝑥2𝑥=1𝜃+2𝜃.

Rappelons que sincos𝜃+𝜋2𝜃. On peut l’utiliser pour écrire la limite comme suit limsinlimcoslimcos1𝜃+2𝜃=1𝜃2𝜃=121𝜃𝜃.

Enfin, nous rappelons que limcos1𝑎𝑥𝑥=0.

Par conséquent, 121𝜃𝜃=12×0=0.limcos

Ainsi, limsin22𝑥4𝑥2𝜋=0.

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons ces résultats pour calculer la limite d’une expression trigonométrique.

Exemple 5: Déterminer les limites impliquant des fonctions trigonométriques

Déterminez limcotcsc6𝑥4𝑥8𝑥.

Réponse

Puisqu’il s’agit de la limite d’une expression à la fois algébrique et trigonométrique, nous pouvons essayer de trouver cette limite par substitution directe. Cependant, 0 n’appartient pas à l’ensemble de définition de cette fonction. Au lieu de cela, nous réécrirons donc la limite en utilisant d’abord les identités trigonométriques limcotcsclimlimsintan6𝑥4𝑥8𝑥=6𝑥=6𝑥8𝑥4𝑥.tansin

Ensuite, on peut réécrire cela en fonction des résultats obtenus sur les limites. Si 𝑥 est mesuré en radians et 𝑎, limsinlimtan𝑎𝑥𝑥=𝑎,𝑎𝑥𝑥=𝑎.

Donc, nous avons limsintanlimsintanlimtanlimsinlimtanlimsinlimtanlimsinlimtanlimsin6𝑥8𝑥4𝑥=6𝑥8𝑥𝑥4𝑥=6𝑥4𝑥8𝑥𝑥=6𝑥4𝑥8𝑥𝑥=6𝑥4𝑥8𝑥𝑥=64𝑥𝑥8𝑥𝑥.

En appliquant les résultats sur les limites, nous concluons que 64𝑥𝑥8𝑥𝑥=6(4)(8)=3.limtanlimsin

Par conséquent, limcotcsc6𝑥4𝑥8𝑥=3.

Récapitulons certains points importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • On peut trouver la limite de toute fonction trigonométrique en 𝑥=𝑎 par substitution directe si a appartient à l’ensemble de définition de la fonction.
  • Si 𝑥 est mesuré en radians, nous avons les résultats suivants
    • limsin𝑥𝑥=1;
    • limtan𝑥𝑥=1;
    • limcos1𝑥𝑥=0.
  • Si 𝑥 est mesuré en radians et 𝑎, nous avons les résultats suivants
    • limsin𝑎𝑥𝑥=𝑎;
    • limtan𝑎𝑥𝑥=𝑎;
    • limcos1𝑎𝑥𝑥=0.
  • Nous pouvons utiliser ces résultats pour calculer la limite d’une fonction trigonométrique.

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