شارح الدرس: نهايات الدوال المثلثية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد النهايات التي تتضمَّن دوالَّ مثلثيةً

أوجد .

الحل

بما أن هذه النهاية تتضمَّن خارج قسمة دالتين مثلثيتين، فيمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر:

ويُعطينا هذا صيغة غير معيَّنة، وهو ما يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نستخدم حقيقة أنه إذا كانت مقيسة بالراديان، وكان ثابتًا حقيقيًّا، فإن . وعلى الرغم من أن السؤال لم يذكر أن مقيسة بالراديان، فإننا عندما نحسب النهايات، دائمًا ما نستخدم الراديان؛ لذا، نفترض أن ذلك مذكور في هذا السؤال. وبناءً على ذلك، يمكننا إعادة كتابة النهاية كالآتي:

بافتراض وجود كلتا النهايتين، يمكننا كتابة ذلك على صورة حاصل ضرب نهايتين كالآتي:

نأخذ مقلوب النهاية الثانية باستخدام قاعدة القوة للنهايات للحصول على: بشرط أن تكون النهاية موجودة، وأنها لا تساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك إيجاد هاتين النهايتين باستخدام نتيجة النهاية:

في النهاية الأولى، نجد أن ، وفي النهاية الثانية، نجد أن . ومن ثَمَّ، فإن:

مثال ٢: إيجاد النهايات التي تتضمَّن دوالَّ مثلثيةً

أوجد .

الحل

بما أن هذه النهاية تتضمَّن دالة مثلثية، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر:

ويُعطينا هذا صيغة غير معيَّنة، وهو ما يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نستخدم حقيقة أنه إذا كانت مقيسة بالراديان، وكان ، فإن:

لتطبيق هذه النتيجة، نبسِّط النهاية على النحو الآتي:

ومن ثَمَّ، فإن .

مثال ٣: إيجاد النهايات التي تتضمَّن دوالَّ مثلثيةً

أوجد .

الحل

بما أن هذه نهاية تعبير تتضمَّن دوالَّ مثلثيةً ومقدارًا جبريًّا في الوقت نفسه، فيمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر:

وبما أن هذه صيغة غير معيَّنة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نُعيد كتابة هذه النهاية بدلالة نهايات يمكننا إيجاد قيمة كلٍّ منها. إذا كان لدينا الثابت الحقيقي ، وكانت مقيسة بالراديان، فإن:

يمكننا إعادة كتابة النهاية في السؤال كالآتي:

بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة كل نهاية على حِدَةٍ. أولًا، نتذكَّر أنه إذا كانت مقيسة بالراديان، وكان الثابت ، فإن . وباستخدام هذه النتيجة، يصبح لدينا:

بعد ذلك، نتذكَّر أنه إذا كانت مقيسة بالراديان، وكان ، فإن:

ومن ثَمَّ، فإن:

بالتعويض بقيمتَي هاتين النهايتين في المعادلة، نحصل على:

إذن .

مثال ٤: إيجاد النهايات التي تتضمَّن دوالَّ مثلثيةً

أوجد .

الحل

بما أن هذه نهاية تعبير تتضمَّن دوالَّ مثلثيةً ومقدارًا جبريًّا في الوقت نفسه، فيمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر:

وبما أن هذه صيغة غير معيَّنة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نُعيد كتابة هذه النهاية بدلالة نهايات يمكننا إيجاد قيمة كلٍّ منها. ونُعيد كتابة النهاية على النحو الآتي:

لإيجاد قيمة هذه النهاية، نستخدم التعويض . كلما اقتربت من ، اقتربت من الصفر. وهذا يُعطينا:

تذكَّر أن . وبناءً على ذلك، يمكننا استخدام ذلك لإعادة كتابة النهاية على الصورة:

وأخيرًا، نتذكَّر أن .

ومن ثَمَّ، فإن:

إذن .

مثال ٥: إيجاد النهايات التي تتضمَّن دوالَّ مثلثيةً

أوجد .

الحل

بما أن هذه نهاية تعبير تتضمَّن دوالَّ مثلثيةً ومقدارًا جبريًّا في الوقت نفسه، فيمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. ولكن الصفر لا يقع في مجال هذه الدالة. لذا، بدلًا من ذلك، نُعيد كتابة النهاية باستخدام متطابقات مقلوب الدوال المثلثية أولًا:

وبعد ذلك، يمكننا إعادة كتابة هذه النهاية بدلالة نتائج النهايات. إذا كانت مقيسة بالراديان، وكان ، فإن:

وبذلك، يصبح لدينا:

وبتطبيق نتيجتَي النهايتين، نستنتج أن:

إذن .