فيديو السؤال: إيجاد مقادير متكافئة لظل الزاوية وظل تمام الزاوية باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامتين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

بسط ٩٠ ظا درجة زائد 𝜃.

نتذكر أنه إذا كانت الزاوية 𝜃 في وضعها القياسي مع محورين مقامين على دائرة وحدة مركزها نقطة الأصل، فبإمكاننا استخدام إحداثيات نقطة تقاطع الضلع النهائي للزاوية مع دائرة الوحدة لحساب جا 𝜃 وجتا 𝜃. بتناول هذه المعطيات بمزيد من التفصيل، يمكننا إيجاد الجيب وجيب التمام لأي زاوية. بما أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد ظل أي زاوية أو مقلوب أي دالة مثلثية. يتيح لنا هذا النهج الهندسي التعرف على متطابقات الدوال المثلثية.

في الواقع، من الممكن حفظ بعض المتطابقات المثلثية المنتسبة، مثل ٩٠ جا زائد 𝜃، و٩٠ جتا زائد 𝜃، و٩٠ ظا زائد 𝜃. دعونا نفترض أننا لم نحفظ هذه المتطابقات المثلثية بعد. في هذه الحالة يمكننا استنتاج هذه المتطابقات باستخدام الخواص الدورية للدوال المثلثية وتطابق المثلثات المكونة من زوايا في وضعها القياسي في دائرة الوحدة.

سنبدأ بتحديد الضلع النهائي للزاوية ٩٠ درجة زائد 𝜃 في دائرة الوحدة. لفعل ذلك نتذكر أن الضلع النهائي للزاوية ٩٠ درجة يقع في الجزء الموجب من المحور ﺹ، وأن الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل يمثل جمع قياس زاوية، في حين يمثل الدوران في اتجاه عقارب الساعة طرح قياس زاوية. لقد رسمنا الضلع النهائي للزاوية ٩٠ درجة زائد 𝜃 في الربع الثاني. وبما أن أطوال أضلاع الشكل الهندسي وقياسات زواياه تظل كما هي عند دورانه حول نقطة الأصل، فيصبح لدينا الآن مثلثان قائمان متطابقان. يشترك هذان المثلثان المتطابقان في وتر أخضر طوله واحد وضلع أقصر برتقالي طوله جا 𝜃 وضلع أطول وردي طوله جتا 𝜃.

في الربع الثاني، جميع إحداثيات ﺱ سالبة، وجميع إحداثيات ﺹ موجبة. ومن ثم تكون قيمة طول الضلع البرتقالي سالبة وقيمة طول الضلع الوردي موجبة. هذا يعني أن إحداثيات النقطة هي سالب جا 𝜃، جتا 𝜃.

يجب أن نلاحظ أن إحداثيات النقطة هذه مكتوبة بدلالة الزاوية الأصلية 𝜃. أما بدلالة الزاوية ٩٠ درجة زائد 𝜃، فإن الإحداثي ﺱ يساوي ٩٠ جتا درجة زائد 𝜃، والإحداثي ﺹ يساوي جا ٩٠ درجة زائد 𝜃. باستخدام هذا النهج الهندسي، نكون قد توصلنا إلى أول متطابقتين مثلثيتين منتسبتين.

نعلم الآن أن جا ٩٠ درجة زائد 𝜃 يساوي جتا 𝜃 و٩٠ جتا درجة زائد 𝜃 يساوي سالب 𝜃 جا. يمكننا الآن استخدام تعريف ظا 𝜃 مع أول متطابقتين مثلثيتين منتسبتين لتبسيط ٩٠ ظا درجة زائد 𝜃. باستخدام تعريف الظل بدلالة الجيب وجيب التمام، نجد أن ظا ٩٠ درجة زائد 𝜃 على ٩٠ جا درجة زائد 𝜃. بعد ذلك بالتعويض بالمقادير المبسطة الموجودة في أول متطابقتين مثلثيتين منتسبتين، نحصل على جتا 𝜃 على سالب جا 𝜃.

وأخيرًا نتذكر أن دالة ظل التمام تساوي مقلوب دالة الظل. وباستخدام حقيقة أن قسمة قيمة موجبة على قيمة سالبة تعطينا قيمة سالبة، تكون الإجابة النهائية سالب ظتا 𝜃. إذن، جتا ٩٠ درجة زائد 𝜃 يبسط إلى سالب ظتا 𝜃.