نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نكتب الدوال المثلثية، مثل دالة الجيب ودالة جيب التمام ودالة الظل، ومقلوباتها بدلالة الزوايا المتتامة، وكيف نستخدم خواصها لتحديد الزوايا المتكافئة لدالتين مثلثيتين. إننا نعلم أنه إذا كانت الزاوية 𝜃 في الوضع القياسي على مجموعة من المحاور وكان مركز دائرة الوحدة عند نقطة الأصل، فيمكننا استخدام إحداثيات التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة لتحديد جا 𝜃 وجتا 𝜃. وبتناول ذلك بمزيد من التفصيل، سنتمكن من تحديد جيب وجيب تمام أي زاوية.
بما أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد ظل أي زاوية أو مقلوب أي دالة مثلثية. وهذا التفسير الهندسي يتيح لنا اكتشاف متطابقات الدوال المثلثية.
دعونا نبدأ بالتفكير في دورية هاتين الدالتين. الدورة الكاملة التي قياسها ٣٦٠ درجة أو اثنين 𝜋 راديان في عكس اتجاه عقارب الساعة للزاوية 𝜃 لن تغير من موضع ضلع الزاوية الابتدائي أو النهائي. وهذا ينطبق على أي عدد من الدورات الكاملة. إذن، جا 𝜃 يساوي جا 𝜃 زائد ٣٦٠ في ﻥ. وجتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ٣٦٠ في ﻥ. وبما أن هذا ينطبق أيضًا على أي دوران في اتجاه عقارب الساعة، فستكون هذه المتطابقات صحيحة لأي عدد صحيح ﻥ.
عند التعامل بالراديان، فإننا نستبدل ٣٦٠ باثنين 𝜋. وبما أن دالة الظل تكون دورية كل ١٨٠ درجة أو 𝜋 راديان، فإن ظا 𝜃 يساوي ظا 𝜃 زائد ١٨٠ في ﻥ. وهذا ينطبق أيضًا على أي عدد صحيح ﻥ، ويمكننا استبدال ١٨٠ بـ 𝜋 عند التعامل بالراديان.
يمكننا أيضًا أن نأخذ مقلوب كلا طرفي أي من هذه المتطابقات لإيجاد متطابقات مشابهة لمقلوب الدوال المثلثية. ومقلوبات الدوال المثلثية هي قاطع التمام والقاطع وظل تمام الزاوية، على الترتيب. يمكننا تحديد المتطابقات المثلثية الأخرى باستخدام التحويلات الهندسية على دائرة الوحدة. على سبيل المثال، يمكننا عكس الزاوية 𝜃 حول المحور ﺹ. وبما أن هذا الانعكاس حول المحور الرأسي، فإن هذين المثلثين متطابقان. يمكننا استخدام ذلك لتحديد إحداثيات التقاطع بين الوتر ودائرة الوحدة. والإحداثيات هي سالب جتا 𝜃، جا 𝜃.
كما نلاحظ أن الوتر هو الضلع النهائي للزاوية التي قياسها ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 في الوضع القياسي. هذا يعني أن جا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃، وجتا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃. باستخدام حقيقة أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، فإن ظا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃.
هذا يقودنا إلى مثال محدد للزوايا المنتسبة؛ حيث يكون مجموع قياسي زاويتين يساوي ١٨٠ درجة أو 𝜋 راديان. بما أن هذه الزوايا تعرف باسم «الزوايا المتكاملة»، فإن المتطابقات الثلاثة تعرف باسم «المتطابقات المثلثية للزوايا المتكاملة». مرة أخرى، عن طريق إيجاد مقلوب كلا الطرفين، يمكننا إيجاد متطابقات متشابهة لمقلوب الدوال المثلثية.
يمكننا اتباع الخطوات نفسها لإيجاد المتطابقات المثلثية للزوايا المنتسبة الأخرى. لدينا أولًا نقطة في الربع الثالث إحداثياتها هي سالب جتا 𝜃، سالب جا 𝜃 كما هو موضح. هذا يناظر الزاوية ١٨٠ درجة زائد 𝜃 في الوضع القياسي. وعليه، فإن جا ١٨٠ درجة زائد 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. وجتا ١٨٠ درجة زائد 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃. وبما أن قسمة قيمة سالبة على قيمة سالبة يعطينا قيمة موجبة، فإن ظا ١٨٠ درجة زائد 𝜃 يساوي ظا 𝜃.
يمكننا تكرار هذا مع الزاويتين المنتسبتين 𝜃 و٣٦٠ درجة ناقص 𝜃. في هذه الحالة، يكون لدينا جا ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. وجتا ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. وظا ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃.
يمكن تحديد ما إذا كانت إشارات الجيب وجيب التمام والظل لأي زاوية موجبة أم سالبة في كل ربع باستخدام مخطط الإشارات للدوال المثلثية. في الربع الأول، عندما تقع 𝜃 بين صفر و٩٠ درجة، تكون جميع الدوال الثلاثة؛ أي الجيب وجيب التمام والظل، موجبة. في الربع الثاني، تكون إشارة جا 𝜃 موجبة، بينما تكون إشارة كل من جتا 𝜃 وظا 𝜃 سالبة. وفي الربع الثالث، بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة، تكون إشارتا الجيب وجيب التمام سالبتين، بينما تكون إشارة ظل الزاوية موجبة. وأخيرًا، في الربع الرابع، تكون إشارة جا 𝜃 سالبة، وإشارة جتا 𝜃 موجبة، وإشارة ظا 𝜃 سالبة.
سنتناول الآن مثالًا سنستخدم فيه متطابقات الزوايا المنتسبة لتبسيط تعبير يتضمن دوالًّا مثلثية.
بسط جتا 𝜃 زائد جتا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃.
توجد عدة طرق لتبسيط هذا التعبير. على سبيل المثال، يمكننا تذكر متطابقة الزاوية المكملة. وهي أن جتا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃. بالتعويض بهذا في التعبير لدينا، يصبح لدينا جتا 𝜃 زائد سالب جتا 𝜃. وبما أن هذا هو نفسه طرح جتا 𝜃 من جتا 𝜃، فسيكون الناتج صفرًا.
على الرغم من أن هذه الطريقة تبدو مباشرة، لكنها تعتمد على تذكر متطابقة الزاوية المكملة الموضحة. هناك العديد من المتطابقات، وتصعب محاولة تذكرها كلها. لذا، من المفيد أن نفهم من أين أتت هذه المتطابقات باستخدام دائرة الوحدة. إذا رسمنا زاوية حادة في الوضع القياسي، فإن الزاوية ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 هي الزاوية المكملة لها. وهما تكونان معًا خطًّا مستقيمًا على المحور ﺱ كما هو موضح.
عندما نعكس المثلث الموضح حول المحور الرأسي، تصبح لدينا الزاوية ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 في الوضع القياسي. وبما أن المثلثين متطابقان، فستكون قاعدتاهما متساويتين في الطول. وهذا يقودنا إلى المتطابقة جتا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃. وبما أن هذا صحيح لأي زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجات، فإننا نعرف أن إجابتنا صحيحة. جتا 𝜃 زائد جتا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي صفرًا.
قبل أن نتناول مثالًا آخر، سنتناول الزاويتين المتتامتين. إننا نعلم أن الزاويتين المتتامتين هما زاويتان مجموع قياسيهما ٩٠ درجة. وهما مفيدتان في حساب المثلثات لأنه إذا كانت 𝜃 هي إحدى زوايا مثلث قائم الزاوية، فإن الزاوية الأخرى تساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃. يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد مجموعة من المتطابقات التي تعرف باسم «متطابقات الزاويتين المتتامتين». عن طريق رسم الزاوية 𝜃 أولًا في الوضع القياسي، يمكننا تكوين المثلث المطابق التالي. هذه هي الزاوية ٩٠ درجة ناقص 𝜃 في الوضع القياسي. وبما أن المثلثين متطابقان، يمكننا مساواة الزوايا المتناظرة في المثلثين بحيث يكون جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃 وجتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃.
باستخدام حقيقة أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃 وظتا 𝜃 هو مقلوب ذلك، نجد أن ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظتا 𝜃. مرة أخرى، يمكننا إيجاد مقلوب كلا طرفي أي من هذه المتطابقات لإيجاد متطابقات مقلوب الدوال المثلثية.
متطابقات الزاويتين المتتامتين هي مثال على ما يعرف باسم «متطابقات الزوايا المنتسبة». المتطابقات المنتسبة الأخرى التي سنتناولها في هذا الفيديو هي 𝜃 و٩٠ درجة زائد 𝜃.
بالعودة إلى دائرة الوحدة الموضحة، سنبدأ بتدوير المثلث ٩٠ درجة في عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. وهذا يعطينا مثلثًا مطابقًا تكون فيه الزاوية ٩٠ درجة زائد 𝜃 في الوضع القياسي. إذن، جا ٩٠ درجة زائد 𝜃 يساوي جتا 𝜃. وجتا ٩٠ درجة زائد 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. وظا ٩٠ درجة زائد 𝜃 يساوي سالب ظتا 𝜃. يمكننا أيضًا الاستمرار في توسيع هذا ليشمل الدوران ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة في عكس اتجاه عقارب الساعة.
سنتناول الآن مثالًا أخيرًا نحتاج فيه إلى تطبيق متطابقة زاويتين متتامتين.
باستخدام حقيقة أن جتا 𝜃 يساوي جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃، أي من التالي يساوي جتا ٣٥ درجة؟ هل هو (أ) واحد على جا ٣٥ درجة؟ أم (ب) جا ٣٥ درجة. أم (ج) جا ٥٥ درجة. أم (د) جا ١٤٥ درجة. أم (هـ) سالب جا ٣٥ درجة.
يمكننا بدء الحل بالتعويض عن 𝜃 بـ ٣٥ درجة في طرفي المعادلة. هذا يعطينا جتا ٣٥ درجة يساوي جا ٩٠ درجة ناقص ٣٥ درجة. يبسط الطرف الأيسر إلى جا ٥٥ درجة، وهو الخيار (ج) من بين الخيارات الخمسة المعطاة. وهذا يعني أن هذه هي الإجابة الصحيحة. لكن يمكننا التحقق من ذلك برسم الزاوية ٣٥ درجة في الوضع القياسي على دائرة الوحدة.
إحداثيات النقطة المحددة على دائرة الوحدة هي جتا ٣٥ درجة، جا ٣٥ درجة. وبما أن هذا المثلث قائم الزاوية، فإن قياس الزاوية الثالثة يساوي ٥٥ درجة. إذا رسمنا هذه الزاوية التي قياسها ٥٥ درجة في الوضع القياسي، فسيكون المثلث المرسومة به الزاوية متطابقًا مع المثلث المرسومة به الزاوية التي قياسها ٣٥ درجة في الوضع القياسي. وإحداثيات النقطة على دائرة الوحدة هي جتا ٥٥ درجة، جا ٥٥ درجة. وبما أن ارتفاع هذا المثلث الثاني يساوي طول قاعدة المثلث الأول، فإن جا ٥٥ درجة لا بد أن يساوي جتا ٣٥ درجة. لذا، يمكننا استنتاج أن الخيار (ج) صحيح. إذا كان جتا 𝜃 يساوي جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃، فإن جتا ٣٥ درجة يساوي جا ٥٥ درجة.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أنه يمكننا توضيح خصائص الدوال المثلثية بالنظر إلى تطابق المثلثات التي تكونها الزوايا في الوضع القياسي على دائرة الوحدة. وتحديدًا، عرفنا أن جا وجتا وظا ١٨٠ درجة زائد 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃 وسالب جتا 𝜃 وظا 𝜃، على الترتيب. وتناولنا أيضًا متطابقات الزوايا المنتسبة المتتامة. وهي جا وجتا وظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃، و٩٠ درجة زائد 𝜃. كل هذه المتطابقات وأكثر، يمكن تمثيلها مباشرة باستخدام التماثل على دائرة الوحدة.
