شارح الدرس: المتطابقات المثلثية للزوايا المنتسبة الرياضيات

مثال ١: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات الدورية

بسِّط .

الحل

هناك بعض الطرق المختلفة لتبسيط قيمة هذا المقدار؛ على سبيل المثال، يمكننا تذكُّر متطابقة الزاويتين المتكاملتين الآتية، التي تنص على أنه لأيِّ زاوية مَقيسة بالدرجات، فإن: وبالتعويض بذلك في المقدار، نحصل على:

لكن، كما رأينا، يوجد العديد من المتطابقات المثلَّثية في صور مُتشابهة، ويُعد حفظ كل هذه المتطابقات أمرًا صعبًا. بدلًا من ذلك، علينا التركيز على فهم أصل هذه المتطابقات، أي التماثل على دائرة الوحدة. إذا رسمنا زاوية حادة في الوضع القياسي، فإن الزاوية هي الزاوية المكملة للزاوية ؛ وهما تكوِّنان معًا خطًّا مستقيمًا على المحور كما هو موضح.

تُعطينا إحداثيات التقاطع بين دائرة الوحدة والضلع النهائي للزاوية ، قيمتَي الجيب وجيب التمام للزاوية . وإذا عكسنا هذا حول المحور الرأسي، فإننا نحصل على الزاوية في الوضع القياسي.

وبما أن هذا يمثل انعكاسًا، فإن المُثلَّثين القائمَي الزاوية في الشكلين متطابقان. وعلى وجه التحديد، قاعدة المثلث يكون طولها ، وبمساواة ذلك بالإحداثي لنقطة التقاطع (مع الانتباه إلى الإشارات)، نحصل على: وهذا ينطبق على أي زاوية مَقيسة بالدرجات؛ ثم نعوض بذلك في المقدار الأصلي لنحصل على ما يلي:

إذن، لأيِّ زاوية مقيسة بالدرجات، فإن .

مثال ٢: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للجيب وجيب التمام.

أيٌّ من التالي يساوي ؟

الحل

هناك عدة طرق مختلفة لحل هذه المسألة؛ إحدى هذه الطرق هي تذكُّر متطابقات الزاويتين المتتامتين. ونحن نعرف أن: إذن:

بعد ذلك، نسترجع المتطابقة التالية للزاويتين المتكاملتين: إذا عوضنا بقيمة ، نُجد أن:

لكنَّ حِفظ جميع متطابقات الدوال المثلثية أمر صعب، ويكون فَهْم أصل هذه المُتطابقات أسهل بكثير. بدلًا من ذلك، نُجيب عن هذا السؤال برسم زوايا الخيارات أربعة في الوضع القياسي ونفكر في علاقتها بالدالة . للتبسيط، نفترض أن زاوية حادة. برسم كلٍّ من الزاويتين في الوضع القياسي، نحصل على الآتي:

يمكننا تحديد إحداثيات نقطة التقاطع على دائرة الوحدة برسم في الوضع القياسي واستخدام التطابق.

نُلاحظ أن إضافة إلى الزاوية يتسبب في دوران المثلث بزاوية راديان عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل، وإضافة إلى الزاوية يتسبب في دوران المثلث بزاوية راديان عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل. وبالاستفادة من حقيقة أن هذه المثلثات متطابقة، يمكننا استخدام أطوال أضلاع المثلث بواسطة في الوضع القياسي لإيجاد مقدار يعبر عن الإحداثيين ، لكل نقطة تقاطع؛ كي نحصل على المتطابقات الأربع الآتية: نُلاحظ أن الإحداثي لنقطة التقاطع بين دائرة الوحدة والضلع النهائي للزاوية في الوضع القياسي طوله .

إذن، لأيِّ زاوية مقيسة بالراديان، فإن: وهو الخيار (ب).

مثال ٣: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للجيب وجيب التمام

باستخدام حقيقة أن ، أيٌّ من التالي يكافئ ؟

الحل

بالتعويض بقيمة في المتطابقة نحصل على: وهو الخيار (ج).

يمكننا معرفة السبب في صحة هذا الخيار، برسم الزاوية في الوضع القياسي والنظر إلى التقاطع بين الضلع النهائي لهذه الزاوية ودائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل.

إحداثيات نقطة التقاطع هي . نُلاحظ أن هو الإحداثي لهذه النقطة، إذن، هو يمثل عرض هذا المثلث. يمكننا إيجاد قياس الزاوية غير القائمة في هذا المثلث هكذا . إذن، إذا رسمنا الزاوية التي قياسها في الوضع القياسي، فينتج مثلث مطابق للمثلث المرسوم الناتج عن رسم الزاوية التي قياسها في الوضع القياسي، كما هو موضح في الشكل الآتي.

وعلى وجه التحديد، يُوضح ارتفاع هذا المثلث أن ، وهو الخيار (ج).

مثال ٤: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للظل وظل تمام الزاوية

بسِّط .

الحل

يمكننا تبسيط ذلك باستخدام متطابقتين منفصلتين. أولًا، نتذكر أن دالة الظل هي خارج قسمة دالتَي الجيب وجيب التمام، وهو ما يُعطينا:

بعد ذلك، نسترجع المتطابقتين المُثلَّثيتين للزاويتين المنتسبتين: بالتعويض بذلك في المقدار الذي يعبِّر عن دالة الظل، نحصل على الآتي: وأخيرًا، نتذكر أن دالة ظل التمام هي مقلوب دالة الظل، لنحصل على:

لكن الطريقة السابقة تعتمد على حفظنا لمتطابقات الزوايا المنتسبة. يمكننا أيضًا توضيح هذه النتيجة بالتفكير في الدوران والمُثلثين المتطابقين على دائرة الوحدة. تذكر أننا إذا رسمنا الزاوية في الوضع القياسي، تكون إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي ودائرة الوحدة .

بدوران هذا المثلث عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل، نحصل على المثلث المطابق التالي:

إذن، هذه هي الزاوية في الوضع القياسي، ومن ثم، نقطة التقاطع هي . باستخدام تطابُق هذين المُثلَّثين، مع مُراعاة تغيُّر إشارة الإحداثي ، فإننا نُوجد مقدارين متكافئين من خلال مساواة إحداثيات نقطة التقاطع مع أطوال المثلث: مرة أخرى، نحصل على:

من المهم أن نؤكد مرة أخرى على أن هذه الزوايا تصلح لأي زاوية مقيسة بالدرجات في الوضع القياسي. إذن، .

مثال ٥: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للظل وظل تمام الزاوية

أيٌّ من التالي يكافئ ؟

الحل

نتذكر أن متطابقة الزاويتين المتتامَّتين لدالة الظل تنص على أنه لأيِّ زاوية مقيسة بالدرجات، فإن: وبالتعويض بقيمة في هذه المتطابقة، نجد أن: بضرب الطرفين في ٣، نحصل على: وهو الخيار (هـ).

مثال ٦: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للقاطع وقاطع التمام

افترض المُعادلة . أيٌّ ممَّا يلي صواب؟

الحل

نلاحظ أن إجابات هذا السؤال كلها تستخدم «قتا»، التي تعبِّر عن الصورة المختصرة لدالة قاطع التمام.

نبدأ الإجابة عن هذا السؤال بإعادة كتابة المُعادلة وجعْل هو المتغير التابع: والآن، نُريد تبسيط ذلك باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الآتية: لفعل بذلك، نأخذ مقلوب طرفَي المُتطابقة، ونعيد كتابته بدلالة مقلوب الدالتين المثلثيتين: بالتعويض بقيمة في هذه المتطابقة ثم بالتبسيط، نحصل على: بضرب الطرفين في ٢، نحصل على: وهو الخيار (أ).

مثال ٧: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقات المقلوب المُثلَّثية ومتطابقات الزاويتين المتتامَّتين

أيٌّ من التالي مقدار يكافئ ؟

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتبسيط المقدار باستخدام متطابقة المقلوب المُثلَّثية على النحو الآتي: يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة هذا المقدار بدلالة دالة جيب التمام باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الآتية: ولكي يتضمن الطرفُ الأيسرُ من هذه المتطابقة المقدارَ الذي لدينا، أولًا، نعوض بقيمة في متطابقة الزاويتين المتتامَّتين هذه ثم نُبسط المُعادلة لنحصل على: بعد ذلك، نضرب الطرفين في ٧: وهو الخيار (د).