تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المتطابقات المثلثية للزوايا المنتسبة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نكتب الدوال المثلثية، مثل دالة الجيب ودالة جيب التمام ودالة الظل، ومقلوباتها بدلالة الزوايا المتتامة، وكيف نستخدم خواصها للمقارنة بين دالتين مثلثيتين.

نتذكر أنه إذا كانت الزاوية 𝜃 في الوضع القياسي على مجموعة من المحاور وكان مركز دائرة الوحدة عند نقطة الأصل، فيمكننا استخدام إحداثيات التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة لتعريف 𝜃، 𝜃.

يسمح لنا هذا بتحديد قيمتَي الجيب وجيب التمام لأيِّ زاوية، ثم يُمكننا استخدام هاتين القيمتين لإيجاد قيمة ظل أي زاوية أو أي مقلوب دالة مثلثية. وهذا التفسير الهندسي يُتيح لنا اكتشاف متطابقات الدوال المثلثية.

على سبيل المثال، الدورة الكاملة التي قياسها ٠٦٣ أو (٢𝜋 راديان) في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة للزاوية 𝜃 لن تُغير من موضع ضلعها الابتدائي أو النهائي. وهذا ينطبق على أي عدد من الدورات الكاملة، أو أي دوران في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ إذن، (𝜃)=(𝜃+𞸍٠٦٣)، (𝜃)=(𝜃+𞸍٠٦٣) لأي عدد صحيح 𞸍. تُعرف هذه الخاصية باسم دورية دالتَي الجيب وجيب التمام، ويمكن توسيع نطاقها ليشمل الدوال المثلثية الأخرى على النحو الآتي.

تعريف: دورية الدوال المثلثية

لأيِّ عدد صحيح 𞸍، ولأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجة، فإن:

  • (𝜃)=(𝜃+𞸍٠٦٣)،
  • (𝜃)=(𝜃+𞸍٠٦٣)،
  • (𝜃)=(𝜃+𞸍٠٨١).

لأيِّ عدد صحيح 𞸍، ولأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالراديان، فإن:

  • (𝜃)=(𝜃+٢𝜋𞸍)،
  • (𝜃)=(𝜃+٢𝜋𞸍)،
  • (𝜃)=(𝜃+𞸍𝜋).

بأخذ مقلوب طرفَي أيٍّ من هذه المتطابقات، يُمكننا إيجاد متطابقات مُشابهة لمقلوب الدوال المثلثية.

يمكننا إيجاد متطابقات مثلَّثية أخرى باستخدام التحويلات الهندسيَّة على دائرة الوحدة. على سبيل المثال، إذا قمنا بعكس الزاوية 𝜃 حول المحور 𞸑، نحصل على الآتي:

وبما أن الانعكاس حول المحور الرأسي، فإن هذين المثلثين متطابقان؛ ومن ثم، يكون ارتفاع المثلَّث (𝜃) وعرضه (𝜃). يمكننا استخدام ذلك لتحديد إحداثيات التقاطع بين الوتر ودائرة الوحدة على الصورة ((𝜃)،(𝜃)). نلاحظ أنَّ الوتر يمثل الضلع النهائي للزاوية ٠٨١𝜃 في الوضع القياسي.

بعد ذلك، إذا استخدمنا تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية في الوضع القياسي، يمكننا توضيح أن إحداثيات التقاطع بين الضلع النهائي لهذه الزاوية ودائرة الوحدة هي ((٠٨١𝜃)،(٠٨١𝜃)). هذا يُعطينا: ((٠٨١𝜃)،(٠٨١𝜃))=((𝜃)،(𝜃)). وبمساواة الإحداثيات، نحصل على: ،(٠٨١𝜃)=(𝜃)(٠٨١𝜃)=(𝜃). ينطبق هذا على أي زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجة، ويمكننا إيجاد متطابقات مُشابهة للزوايا المقيسة بالراديان باستخدام الطريقة نفسها.

عندما يساوي مجموعُ قياسَي زاويتين أو الفرقُ بينهما أحدَ المضاعفات الصحيحة للزاوية المستقيمة، نقول إنهما زاويتان منتسبتان. هناك مثال محدَّد للزاويتين المنتسبتين؛ حيث يكون مجموع قياسَي زاويتين يساوي ٠٨١ أو 𝜋 راديان؛ ونُسمِّيهما زاويتين متكاملتين. يمكننا تلخيص متطابقات الزاويتين المتكاملتين على النحو الآتي.

تعريف: المتطابقات المثلثية للزاويتين المتكاملتين

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجة، فإن:

  • (٠٨١𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٨١𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٨١𝜃)=(𝜃).

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالـراديان، فإن:

  • (𝜋𝜃)=(𝜃)،
  • (𝜋𝜃)=(𝜃)،
  • (𝜋𝜃)=(𝜃).

بأخذ مقلوب طرفَي أيٍّ من هذه المتطابقات، يُمكننا إيجاد متطابقات مُشابهة لمقلوب الدوال المثلثية.

على سبيل المثال: (٥٣١)=(٠٨١٥٤)=(٥٤)=󰋴٢٢.

يمكننا اتباع الطريقة نفسها لإيجاد المتطابقات المثلثية لزاويتين منتسبتين أُخريين. على سبيل المثال، انظر إلى الزاويتين المنتسبتين 𝜃، 𝜃+٠٨١، كما هو موضَّح على دائرة الوحدة في الوضع القياسي.

يمكننا التفكير في هذا باعتباره دورانًا بزاويةٍ قياسُها ٠٨١ في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل أو باعتباره انعكاسًا حول المحورين الرأسي والأفقي. باستخدام التحويلات الهندسيَّة وتطابق المُثلَّثين، نجد أن: ،(٠٨١+𝜃)=(𝜃)(٠٨١+𝜃)=(𝜃).

يمكننا توسيع نطاق هذا ليشمل دالة الظل وتلخيص هذه المتطابقات على النحو الآتي.

تعريف: المتطابقات المُثلثيَّة للزاويتين المنتسبتين

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجة، فإن:

  • (٠٨١+𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٨١+𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٨١+𝜃)=(𝜃).

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالراديان، فإن:

  • (𝜋+𝜃)=(𝜃)،
  • (𝜋+𝜃)=(𝜃)،
  • (𝜋+𝜃)=(𝜃).

بأخذ مقلوب طرفَي أيٍّ من هذه المتطابقات، يُمكننا إيجاد متطابقات مُشابهة لمقلوب الدوال المثلثية.

لنتناول مثالًا آخر على الزاويتين المنتسبتين 𝜃، ٠٦٣𝜃؛ حيث يُمكننا رسم هاتين الزاويتين في الوضع القياسي على النحو الآتي.

هاتان الزاويتان منتسبتان بالانعكاس حول المحور 𞸎؛ وهذا يُعطينا المتطابقتين: ،(٠٦٣𝜃)=(𝜃)(٠٦٣𝜃)=(𝜃). يمكننا توسيع نطاق هاتين المتطابقتين لتشمل دالة الظل وتلخيص هذه المتطابقات على النحو الآتي.

تعريف: المزيد من المُتطابقات المُثلَّثية للزاويتين المنتسبتين

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجة، فإن:

  • (٠٦٣𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٦٣𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٦٣𝜃)=(𝜃).

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالراديان، فإن:

  • (٢𝜋𝜃)=(𝜃)،
  • (٢𝜋𝜃)=(𝜃)،
  • (٢𝜋𝜃)=(𝜃).

بأخذ مقلوب طرفَي أيٍّ من هذه المتطابقات، يُمكننا إيجاد متطابقات مُشابهة لمقلوب الدوال المثلثية.

هناك نوع خاص من الزاويتين المنتسبتين يُسمى الزاويتين المتتامتين، وهما زاويتان مجموع قياسَيهما يساوي زاوية قائمة. وهما مفيدتان في حساب المثلثات لأنه إذا كانت 𝜃 إحدى زوايا المثلث القائم الزاوية، فإن الزاوية الأخرى هي الزاوية المتممة ٠٩𝜃. يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد مجموعة من المتطابقات التي يُطلق عليها متطابقات الزاويتين المتتامتين. أولًا، نرسم 𝜃 في الوضع القياسي، على النحو الآتي:

يُمكننا تضمين الزاوية المتممة في الشكل كما هو موضَّح. بما أن 𝜃+(٠٩𝜃)=٠٩، يمكننا تكوين المثلث المتطابق الآتي:

هذه هي الزاوية ٠٩𝜃 في الوضع القياسي، إذن إحداثيات نقطة التقاطع تعطينا قيمتَي الجيب وجيب التمام لهذه الزاوية. وبما أنَّ هذين المثلثين متطابقان، يمكننا مساواة الزوايا المتناظرة في المثلثين (حيث علينا الانتباه إلى الإشارات)، لنحصل على الآتي: ،𝜃=(٠٩𝜃)𝜃=(٠٩𝜃).

هاتان متطابقتان لزاويتين متتامَّتين، واللتان تنطبقان على أي زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجة. يمكننا توسيع نطاق هذا ليشمل الزوايا المقيسة بالراديان ودالة الظل على النحو الآتي.

تعريف: المُتطابقات المُثلَّثية للزاويتين المتتامتين

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجة، فإن:

  • (٠٩𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٩𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٩𝜃)=(𝜃).

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالراديان، فإن:

  • 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=(𝜃)،
  • 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=(𝜃)،
  • 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=(𝜃).

بأخذ مقلوب طرفَي أيٍّ من هذه المتطابقات، يُمكننا إيجاد متطابقات مُشابهة لمقلوب الدوال المثلثية.

هذه المتطابقات ليست الوحيدة التي يمكننا إيجادها من متطابقات هذا المثلث؛ فيمكننا أيضًا رسم المثلثات المتطابقة الآتية على المحاور نفسها.

جميعها يتيح المجال لإيجاد المزيد من المتطابقات. متطابقات الزاويتين المتتامتين هي مثال على نوع آخر مما يُعرف باسم متطابقات الزاويتين المنتسبتين. وينتج هذا النوع من متطابقات الزاويتين المنتسبتين عندما يكون مجموع الزاويتين أو الفرق بينهما أحد المضاعفات الصحيحة للزاوية القائمة؛ الزاويتين المنتسبتين الأخريين، فيكونان على صورة 𝜃، 𝜃+٠٩. انظر إلى الزاوية الحادة 𝜃 في الوضع القياسي، حيث يمكننا تكوين المثلث القائم الزاوية الآتي لإيجاد قيمتَي 𝜃، 𝜃.

بدوران المثلث ٠٩ في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل، وبالنظر إلى المُثلثين المتطابقين، نحصل على الآتي:

هذه الزاوية ٠٩+𝜃 في الوضع القياسي، إذن إحداثيات نقطة التقاطع تعطينا قيمتَي الجيب وجيب التمام لهذه الزاوية. وبما أنَّ هذين المثلثين متطابقان، يمكننا مساواة الزوايا المتناظرة في المثلثين (حيث علينا الانتباه إلى الإشارات)، لنحصل على الآتي: 𝜃=(٠٩+𝜃)𝜃=(٠٩+𝜃).، ولم يتضح ذلك إلا باستخدام شروط الدوران والتطابق؛ لكنها تنطبق أيضًا على أي زاوية 𝜃 في الوضع القياسي. يمكننا أيضًا فعل الشيء نفسه عند الدوران ٠٨١ أو ٠٧٢ في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة لنحصل على الآتي:

باستخدام الزاوية نفسها الموضحة أعلاه، يمكننا تكوين المزيد من متطابقات الزوايا المنتسبة. في الحقيقة، يمكننا أيضًا استخدام الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة بدلًا من ذلك. نُلخص متطابقات الزوايا المنتسبة الآتية.

تعريف: المتطابقات المثلثية للزاويتين المنتسبتين

لأيِّ زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجة، فإن:

  • (٠٩+𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٩+𝜃)=(𝜃)،
  • (٠٩+𝜃)=(𝜃).

لأيِّ زاوية 𝜃 مقيسة بالراديان، فإن:

  • 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=(𝜃)،
  • 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=(𝜃)،
  • 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=(𝜃).

بأخذ مقلوب طرفَي أيٍّ من هذه المتطابقات، يُمكننا إيجاد متطابقات مُشابهة لمقلوب الدوال المثلثية.

ويمكننا إيجاد المزيد من المتطابقات بالنظر إلى متطابقات المثلث الأخرى الناتجة عن التحويلات الهندسية.

في المثال الأول، سنستخدم هذه المتطابقات لتبسيط مقدار يتضمن دوالَّ مثلثية.

مثال ١: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات الدورية

بسِّط 𝜃+(٠٨١𝜃).

الحل

هناك بعض الطرق المختلفة لتبسيط قيمة هذا المقدار؛ على سبيل المثال، يمكننا تذكُّر متطابقة الزاويتين المتكاملتين الآتية، التي تنص على أنه لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجة، فإن: (٠٨١𝜃)=(𝜃). وبالتعويض بذلك في المقدار، نحصل على: 𝜃+(٠٨١𝜃)=𝜃(𝜃)=٠.

لكن، كما رأينا، يوجد العديد من المتطابقات المثلَّثية في صور مُتشابهة، ويُعد حفظ كل هذه المتطابقات أمرًا صعبًا. بدلًا من ذلك، علينا التركيز على فهم أصل هذه المتطابقات، أي التماثل على دائرة الوحدة. إذا رسمنا زاوية حادة 𝜃 في الوضع القياسي، فإن الزاوية ٠٨١𝜃 هي الزاوية المكملة للزاوية 𝜃؛ وهما تكوِّنان معًا خطًّا مستقيمًا على المحور 𞸎 كما هو موضح.

تُعطينا إحداثيات التقاطع بين دائرة الوحدة والضلع النهائي للزاوية 𝜃، قيمتَي الجيب وجيب التمام للزاوية 𝜃. وإذا عكسنا هذا حول المحور الرأسي، فإننا نحصل على الزاوية ٠٨١𝜃 في الوضع القياسي.

وبما أن هذا يمثل انعكاسًا، فإن المُثلَّثين القائمَي الزاوية في الشكلين متطابقان. وعلى وجه التحديد، قاعدة المثلث يكون طولها |𝜃|، وبمساواة ذلك بالإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع (مع الانتباه إلى الإشارات)، نحصل على: (٠٨١𝜃)=(𝜃). وهذا ينطبق على أي زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجة؛ ثم نعوض بذلك في المقدار الأصلي لنحصل على ما يلي: 𝜃+(٠٨١𝜃)=𝜃(𝜃)=٠.

إذن، لأيِّ زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجة، فإن 𝜃+(٠٨١𝜃)=٠.

في المثال الثاني، سنوجد مقدارًا مكافئًا لمقدار دالة مُثلَّثية مُعطًى، باستخدام دائرة الوحدة.

مثال ٢: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للجيب وجيب التمام.

أيٌّ من التالي يساوي 𝜃؟

  1. 󰂔٣𝜋٢+𝜃󰂓
  2. 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓
  3. 󰂔٣𝜋٢+𝜃󰂓
  4. 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓

الحل

هناك عدة طرق مختلفة لحل هذه المسألة؛ إحدى هذه الطرق هي تذكُّر متطابقات الزاويتين المتتامتين. ونحن نعرف أن: 𝜃=󰂔𝜋٢𝜃󰂓، إذن: 𝜃=󰂔𝜋٢𝜃󰂓.

بعد ذلك، نسترجع المتطابقة التالية للزاويتين المتكاملتين: (𞸎)=(𝜋𞸎). إذا عوضنا بقيمة 𞸎=𝜋٢𝜃، نُجد أن: 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=󰂔𝜋󰂔𝜋٢𝜃󰂓󰂓=󰂔𝜋٢+𝜃󰂓.

لكنَّ حِفظ جميع متطابقات الدوال المثلثية أمر صعب، ويكون فَهْم أصل هذه المُتطابقات أسهل بكثير. بدلًا من ذلك، نُجيب عن هذا السؤال برسم زوايا الخيارات أربعة في الوضع القياسي ونفكر في علاقتها بالدالة 𝜃. للتبسيط، نفترض أن 𝜃 زاوية حادة. برسم كلٍّ من الزاويتين في الوضع القياسي، نحصل على الآتي:

يمكننا تحديد إحداثيات نقطة التقاطع على دائرة الوحدة برسم 𝜃 في الوضع القياسي واستخدام التطابق.

نُلاحظ أن إضافة 𝜋٢ إلى الزاوية يتسبب في دوران المثلث بزاوية 𝜋٢ راديان في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل، وإضافة ٣𝜋٢ إلى الزاوية يتسبب في دوران المثلث بزاوية ٣𝜋٢ راديان في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل. وبالاستفادة من حقيقة أن هذه المثلثات متطابقة، يمكننا استخدام أطوال أضلاع المثلث بواسطة 𝜃 في الوضع القياسي لإيجاد مقدار يعبر عن الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لكل نقطة تقاطع؛ كي نحصل على المتطابقات الأربع الآتية: 󰂔٣𝜋٢+𝜃󰂓=𝜃،󰂔٣𝜋٢+𝜃󰂓=𝜃،󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=𝜃،󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=𝜃. نُلاحظ أن الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع بين دائرة الوحدة والضلع النهائي للزاوية 𝜋٢+𝜃 في الوضع القياسي طوله 𝜃.

إذن، لأيِّ زاوية 𝜃 مقيسة بالراديان، فإن: 𝜃=󰂔𝜋٢+𝜃󰂓، وهو الخيار (ب).

في المثال التالي، سنستخدم متطابقة الزاويتين المتتامَّتين لإيجاد مقدار مكافئ لجيب تمام زاوية بدلالة دالة الجيب.

مثال ٣: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للجيب وجيب التمام

باستخدام حقيقة أن 𝜃=(٠٩𝜃)، أيٌّ من التالي يكافئ ٥٣؟

  1. ١٥٣
  2. ٥٣
  3. ٥٥
  4. ٥٤١
  5. ٥٣

الحل

بالتعويض بقيمة 𝜃=٥٣ في المتطابقة نحصل على: ٥٣=(٠٩٥٣)=(٥٥)، وهو الخيار (ج).

يمكننا معرفة السبب في صحة هذا الخيار، برسم الزاوية ٥٣ في الوضع القياسي والنظر إلى التقاطع بين الضلع النهائي لهذه الزاوية ودائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل.

إحداثيات نقطتَي التقاطع هي (٥٣،٥٣). نُلاحظ أن ٥٣ هو الإحداثي 𞸎 لهذه النقطة، إذن، هو يمثل عرض هذا المثلث. يمكننا إيجاد قياس الزاوية غير القائمة في هذا المثلث هكذا ٠٩٥٣=٥٥. إذن، إذا رسمنا الزاوية التي قياسها ٥٥ في الوضع القياسي، فينتج مثلث مطابق للمثلث المرسوم الناتج عن رسم الزاوية التي قياسها ٥٣ في الوضع القياسي، كما هو موضح في الشكل الآتي.

وعلى وجه التحديد، يُوضح ارتفاع هذا المثلث أن ٥٥=٥٣، وهو الخيار (ج).

في المثال التالي، سنستخدم متطابقات الزاويتين المتتامتين لتبسيط مقدار يتضمن ظل الزاوية بدوران بزاوية قياسها ٠٩ في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

مثال ٤: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للظل وظل تمام الزاوية

بسِّط (٠٩+𝜃).

الحل

يمكننا تبسيط ذلك باستخدام متطابقتين منفصلتين. أولًا، نتذكر أن دالة الظل هي خارج قسمة دالتَي الجيب وجيب التمام، وهو ما يُعطينا: (٠٩+𝜃)=(٠٩+𝜃)(٠٩+𝜃).

بعد ذلك، نسترجع المتطابقتين المُثلَّثيتين للزاويتين المنتسبتين: (٠٩+𝜃)=(𝜃)،(٠٩+𝜃)=(𝜃). بالتعويض بذلك في المقدار الذي يعبِّر عن دالة الظل، نحصل على الآتي: (٠٩+𝜃)=(٠٩+𝜃)(٠٩+𝜃)=(𝜃)(𝜃)=(𝜃)(𝜃). وأخيرًا، نتذكر أن دالة ظل التمام هي مقلوب دالة الظل، لنحصل على: (٠٩+𝜃)=(𝜃)(𝜃)=(𝜃).

لكن الطريقة السابقة تعتمد على حفظنا لمتطابقات الزوايا المنتسبة. يمكننا أيضًا توضيح هذه النتيجة بالتفكير في الدوران والمُثلثين المتطابقين على دائرة الوحدة. تذكر أننا إذا رسمنا الزاوية 𝜃 في الوضع القياسي، تكون إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي ودائرة الوحدة (𝜃،𝜃).

بدوران هذا المثلث ٠٩ في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل، نحصل على المثلث المطابق التالي:

إذن، هذه هي الزاوية ٠٩+𝜃 في الوضع القياسي، ومن ثم، نقطة التقاطع هي ((٠٩+𝜃)،(٠٩+𝜃)). باستخدام تطابُق هذين المُثلَّثين، مع مُراعاة تغيُّر إشارة الإحداثي 𞸎، فإننا نُوجد مقدارين متكافئين من خلال مساواة إحداثيات نقطة التقاطع مع أطوال المثلث: (٠٩+𝜃)=𝜃،(٠٩+𝜃)=𝜃. مرة أخرى، نحصل على: (٠٩+𝜃)=(٠٩+𝜃)(٠٩+𝜃)=𝜃𝜃=𝜃.

من المهم أن نؤكد مرة أخرى على أن هذه الزوايا تصلح لأي زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجة في الوضع القياسي. إذن، (٠٩+𝜃)=(𝜃).

في المثال التالي، سنستخدم المتطابقة المثلثية لإيجاد مقدار مكافئ لظل تمام زاوية، بدلالة دالة الظل.

مثال ٥: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للظل وظل تمام الزاوية

أيٌّ من التالي يكافئ ٣(٣٤)؟

  1. ٣(٣٣١)
  2. ٣(٧٤)
  3. ٦(٣٤)
  4. ٦(٣٣١)
  5. ٣(٧٤)

الحل

نتذكر أن متطابقة الزاويتين المتتامَّتين لدالة الظل تنص على أنه لأيِّ زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجة، فإن: (٠٩𝜃)=𝜃. وبالتعويض بقيمة 𝜃=٣٤ في هذه المتطابقة، نجد أن: ٣٤=(٠٩٣٤)٣٤=(٧٤). بضرب الطرفين في ٣، نحصل على: ٣٣٤=٣(٧٤)، وهو الخيار (هـ).

في المثال التالي، سنستخدم متطابقات الزاويتين المتتامَّتين لتبسيط معادلة.

مثال ٦: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين للقاطع وقاطع التمام

افترض المُعادلة ٥(٢٢𞸎)=٣(٢٢𞸎)أ. أيٌّ ممَّا يلي صواب؟

  1. أcosec=٢(٨٦+𞸎)
  2. أcosec=٢(٢𞸎)
  3. أcosec=٢(٢١١+𞸎)
  4. أcosec=٢(٨٦𞸎)
  5. أcosec=٢(٢٢+𞸎)

الحل

نبدأ الإجابة عن هذا السؤال بإعادة كتابة المُعادلة وجعْل أ هو المتغير التابع: ٥(٢٢𞸎)=٣(٢٢𞸎)=٢(٢٢𞸎).أأ والآن، نُريد تبسيط ذلك باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الآتية: (٠٩𝜃)=𝜃. لفعل بذلك، نأخذ مقلوب طرفَي المُتطابقة، ونعيد كتابته بدلالة مقلوب الدالتين المثلثيتين: ١(٠٩𝜃)=١𝜃(٠٩𝜃)=𝜃. بالتعويض بقيمة 𝜃=٨٦+𞸎 في هذه المتطابقة ثم بالتبسيط، نحصل على: (٠٩(٨٦+𞸎))=(٨٦+𞸎)(٢٢𞸎)=(٨٦+𞸎). بضرب الطرفين في ٢، نحصل على: ٢(٢٢𞸎)=٢(٨٦+𞸎)=٢(٨٦+𞸎)،أ وهو الخيار (أ).

في المثال الأخير، سنستخدم متطابقات المقلوب المُثلَّثية، ومتطابقة الزاويتين المتتامَّتين لتبسيط مقدار يتضمن دالة مثلثية.

مثال ٧: إيجاد المقادير المُتكافئة باستخدام متطابقات المقلوب المُثلَّثية ومتطابقات الزاويتين المتتامَّتين

أيٌّ من التالي مقدار يكافئ ٧(𞸎+٢١)؟

  1. ٧(٨٧𞸎)
  2. ٧(𞸎+٢١)
  3. ٧(𞸎٢١)
  4. ٧(٨٧𞸎)
  5. (٨٧𞸎)٧

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتبسيط المقدار باستخدام متطابقة المقلوب المُثلَّثية على النحو الآتي: ٧(𞸎+٢١)=٧󰂔󰂓=٧(𞸎+٢١).١(𞸎+٢١) يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة هذا المقدار بدلالة دالة جيب التمام باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الآتية: (٠٩𝜃)=𝜃. ولكي يتضمن الطرفُ الأيسرُ من هذه المتطابقة المقدارَ الذي لدينا، أولًا، نعوض بقيمة 𝜃=𞸎+٢١ في متطابقة الزاويتين المتتامَّتين هذه ثم نُبسط المُعادلة لنحصل على: (٠٩(𞸎+٢١))=(𞸎+٢١)(٨٧𞸎)=(𞸎+٢١). بعد ذلك، نضرب الطرفين في ٧: ٧(٨٧𞸎)=٧(𞸎+٢١)=٧(𞸎+٢١)، وهو الخيار (د).

دعونا نختتم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا توضيح خواص الدوال المثلثية بالنظر إلى تطابُق المثلثات الذي تُكوِّنه الزوايا في الوضع القياسي على دائرة الوحدة. وعلى وجه التحديد، لدينا المتطابقات المُثلثيَّة للزاويتين المنتسبتين.
    لأي زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجة، فإن:
    • (٠٨١+𝜃)=(𝜃)،
    • (٠٨١+𝜃)=(𝜃)،
    • (٠٨١+𝜃)=(𝜃).
    لأي زاوية 𝜃 مقيسة بالراديان، فإن:
    • (𝜋+𝜃)=(𝜃)،
    • (𝜋+𝜃)=(𝜃)،
    • (𝜋+𝜃)=(𝜃).
    لدينا أيضًا متطابقات الزاويتين المنتسبتين الآتية:
    • (٠٩𝜃)=(𝜃)، (٠٩+𝜃)=(𝜃)،
    • (٠٩𝜃)=(𝜃)، (٠٩+𝜃)=(𝜃)،
    • (٠٩𝜃)=(𝜃)، (٠٩+𝜃)=(𝜃).
    لأي زاوية 𝜃 مقيسة بالراديان، فإن:
    • 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=(𝜃)، 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=(𝜃)،
    • 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=(𝜃)، 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=(𝜃)،
    • 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=(𝜃)، 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=(𝜃).
  • كل هذه المتطابقات وأكثر يمكن فَهْمُها مباشرةً من خلال التماثل على دائرة الوحدة. بالنسبة إلى المتطابقات الموضحة أعلاه، يمكننا مُلاحظتها عندما ننظر إلى المثلثات المتطابقة في الشكليين الآتيين. في الشكل الذي بالأعلى، لدينا متطابقات الزاويتين المنتسبتين، وفي الشكل الذي بالأسفل، لدينا متطابقات الزاويتين المنتسبتين الأخرى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.