نسخة الفيديو النصية
إذا كانت ﺃ مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين تساوي اثنين، صفرًا، اثنين، صفرًا، فأي من الآتي يساوي ﺃ أس ٦٠؟ (أ) اثنان أس ٦٠ مضروبًا في المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي اثنين، صفرًا، اثنين، صفرًا؟ أم (ب) اثنان أس ٦٠ مضروبًا في المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي واحدًا، صفرًا، واحدًا، صفرًا؟ أم (ج) المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي واحدًا، صفرًا، واحدًا، صفرًا؟ أم (د) اثنان في المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي واحدًا، صفرًا، واحدًا، صفرًا؟ أم (هـ) اثنان أس ٦٠ مضروبًا في المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي واحدًا، واحدًا، واحدًا، واحدًا؟
في هذا السؤال، لدينا المصفوفة ﺃ من الرتبة اثنان في اثنين. وعلينا تحديد أي من الخيارات الخمسة المعطاة يمثل ﺃ أس ٦٠. للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ باسترجاع المقصود برفع مصفوفة إلى قوة. لعلنا نتذكر أنه إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة، وكانت القوة عددًا صحيحًا موجبًا، فهذا يعني أننا نضرب المصفوفة في نفسها بحيث تظهر في حاصل الضرب عددًا من المرات يساوي قيمة القوة. هذا يعني، على وجه التحديد، أن ﺃ أس ٦٠ يساوي ﺃ مضروبة في نفسها، حيث تظهر ﺃ٦٠ مرة في حاصل الضرب.
بالطبع لن نتمكن من حساب حاصل الضرب هذا مباشرة. فبما أن ﺃ مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، فهذا يعني أننا نضرب ٦٠ مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين معًا. بدلًا من ذلك، يمكننا تبسيط هذا التعبير قليلًا باستخدام خواص الدمج لعملية ضرب المصفوفات التي تنص على أنه يمكننا حساب حاصل الضرب هذا بأي ترتيب. على وجه التحديد، يمكننا تبسيط ﺃ في ﺃ ليصبح ﺃ تربيع. دعونا إذن نوجد مصفوفة تمثل ﺃ تربيع. نتذكر أنها تساوي ﺃ في ﺃ، أي المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي اثنين، صفرًا، اثنين، صفرًا مضروبة في نفسها.
لإيجاد حاصل ضرب مصفوفتين، علينا إيجاد مجموع حواصل ضرب العناصر المتناظرة في صفوف المصفوفة الأولى وأعمدة المصفوفة الثانية. على سبيل المثال، العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة ﺃ تربيع يساوي اثنين في اثنين زائد صفر في اثنين، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على أربعة. ويمكننا اتباع الطريقة نفسها لإيجاد العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني. وهو يساوي اثنين في صفر زائد صفر في صفر. وكل من هذين الحدين يحتوي على العامل صفر. إذن، نحصل على صفر. ويمكننا مواصلة هذه العملية لإيجاد العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول. هذا يساوي اثنين في اثنين زائد صفر في اثنين، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على أربعة. وأخيرًا، يمكننا إيجاد العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني. هذا يساوي اثنين في صفر زائد صفر في صفر، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على صفر.
ومن ثم، نكون قد أوضحنا أن ﺃ تربيع مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين تساوي أربعة، صفرًا، أربعة، صفرًا. وهذا ناتج مفيد حقًّا. فيمكننا ملاحظة أنه حاصل ضرب عدد ثابت في المصفوفة ﺃ. نأخذ العدد الثابت اثنين عاملًا مشتركًا من عناصر هذه المصفوفة. وهذا يعطينا اثنين مضروبًا في المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي اثنين، صفرًا، اثنين، صفرًا، وهي المصفوفة ﺃ. إذن ﺃ تربيع يساوي اثنين في ﺃ.
والآن يمكننا استخدام هذه المعادلة لحساب ﺃ مرفوعة لأي قوة تكون عددًا صحيحًا موجبًا. لنرى كيف يمكننا فعل ذلك، دعونا نستخدم هذه المعادلة لحساب ﺃ تكعيب. أولًا، نعلم أن ﺃ تكعيب يساوي ﺃ في ﺃ في ﺃ، وهو ما يمكننا إعادة كتابته على صورة ﺃ تربيع في ﺃ. يمكننا بعد ذلك التعويض عن ﺃ تربيع باثنين في ﺃ. وهذا يعطينا اثنين ﺃ مضروبًا في ﺃ، وهو ما يمكننا تبسيطه لنحصل على اثنين ﺃ تربيع. لكن تذكر أن ﺃ تربيع يساوي اثنين ﺃ. ومن ثم، فإن هذا يساوي اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ. واثنان في اثنين يساوي أربعة. إذن ﺃ تكعيب يساوي أربعة في ﺃ.
وبذلك نكون قد أثبتنا أن ﺃ تربيع يساوي اثنين ﺃ، وﺃ تكعيب يساوي أربعة ﺃ. يمكننا ملاحظة نمط هنا. عندما نضرب في العامل الإضافي ﺃ، فمن الواضح أننا نضرب ﺃ في العامل الإضافي اثنين. ويمكننا إثبات صحة ذلك. دعونا نضرب طرفي المعادلة من اليسار في المصفوفة ﺃ. هذا يعطينا ﺃ تكعيب مضروبًا في ﺃ يساوي أربعة في ﺃ في ﺃ.
أولًا، بتبسيط ﺃ تكعيب في ﺃ، نحصل على ﺃ أس أربعة. بعد ذلك، ﺃ في ﺃ يساوي ﺃ تربيع. وقد أوضحنا أن ﺃ تربيع يساوي اثنين ﺃ. إذن، ﺃ أس أربعة يساوي أربعة مضروبًا في اثنين ﺃ، وهو ما يساوي ثمانية ﺃ. في كل مرة نضرب في ﺃ من اليسار، فإننا نضرب في العامل اثنين مرة أخرى.
دعونا نستخدم هذه الخاصية إذن لإيجاد مقدار يعبر عن ﺃ أس ٦٠. لفعل ذلك، نضرب ﺃ أس أربعة في ﺃ٥٦ مرة. وفي كل مرة نضرب في ﺃ، نضرب في العامل اثنين مرة أخرى. ونفعل ذلك ٥٦ مرة، فنحصل على ٥٦ عاملًا من العدد اثنين. وهذا يساوي اثنين أس ٥٦. إذن، ﺃ أس ٦٠ يساوي ثمانية في اثنين أس ٥٦ في ﺃ.
ولكن هذا ليس أحد الخيارات التي لدينا، لذا علينا إجراء مزيد من التبسيط. سنفعل ذلك أولًا بملاحظة أن ثمانية هو اثنان تكعيب. واثنان تكعيب في اثنين أس ٥٦ يساوي اثنين أس ٥٩. وهذا ليس من الخيارات الموجودة لدينا أيضًا. علينا، بدلًا من ذلك، ملاحظة أن المصفوفة ﺃ تتضمن العامل اثنين أيضًا. فالمصفوفة ﺃ تساوي اثنين في المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي واحدًا، صفرًا، واحدًا، صفرًا. وبإعادة كتابة ﺃ بهذه الصورة والتبسيط، نحصل على اثنين أس ٦٠ في المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي واحدًا، صفرًا، واحدًا، صفرًا، وهو ما يمكننا أن نراه في الخيار (ب).
وبذلك استطعنا توضيح أنه إذا كانت ﺃ مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين تساوي اثنين، صفرًا، اثنين، صفرًا، فإن ﺃ أس ٦٠ تساوي اثنين أس ٦٠ مضروبًا في المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي تساوي واحدًا، صفرًا، واحدًا، صفرًا، وهو الخيار (ب).
