شارح الدرس: قوة المصفوفة | نجوى شارح الدرس: قوة المصفوفة | نجوى

شارح الدرس: قوة المصفوفة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم ضرب المصفوفات لإيجاد تربيع وتكعيب مصفوفة مربعة.

يوجد العديد من العمليات على المصفوفات، وتُشبه كثيرًا العمليات المعروفة في الجبر التقليدي، مثل: الجمع والطرح والضرب في عدد ثابت. وعلى الرغم من أن عملية ضرب المصفوفات تكون في الأساس أكثر تعقيدًا من نظيرتها في الجبر التقليدي، فإنها لا تزال تعكس بعض الخواص الجبرية لعملية الضرب التقليدية.

إحدى العمليات الرئيسية في كلٍّ من الجبر التقليدي وجبر المصفوفات هي عملية الرفع لقوة، وتُعرَف عادةً برفع عدد أو مصفوفة إلى «قوة». في الجبر التقليدي، يمكننا رفع أي عدد 𞸎 إلى قوة 𞸑، لنحصل على 𞸎𞸑. وباستثناء رفع الصفر لقوة سالبة، لا يهم إذا ما كان 𞸎 أو 𞸑 يساوي صفرًا، أو لا يساوي صفرًا، أو يساويان عددًا صحيحًا، أو عددًا غير صحيح، أو عددًا نسبيًّا أو غير نسبي، أو عددًا مركبًا؛ لأنه يمكن دائمًا حساب الناتج. الأمر ذاته لا ينطبق عند التعامل مع المصفوفات؛ إذ لا يمكن رفع المصفوفة 󰏡 دائمًا لقوة. لتوضيح هذه التعقيدات المحتملة على نحو أفضل، هيا أولًا نعرِّف أبسط صورة من صور رفع المصفوفة لقوة، وهي تربيع المصفوفة.

تعريف: تربيع مصفوفة

إذا كانت 󰏡 مصفوفة مربعة، فإن 󰏡٢ تُعرَّف باستخدام التعبير: 󰏡=󰏡×󰏡.٢

بعبارةٍ أخرى، كما هو الحال عند رفع الأعداد لقوة (أي 𞸅=𞸅×𞸅٢)، نحصل على مربع المصفوفة بضرب المصفوفة في نفسها.

وكما نلاحظ، الشرط الأساسي لكي يكون رفع المصفوفة لقوة مُعرَّفًا هو أن تكون المصفوفة 󰏡 مربعة. ويرجع ذلك إلى أنه بالنسبة إلى المصفوفتين 󰏡، 𞸁 لا يكون حاصل الضرب 󰏡𞸁 مُعرَّفًا جيدًا إلا إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة 󰏡 يساوي عدد الصفوف في المصفوفة 𞸁. إذا كانت المصفوفة 󰏡 من الرتبة 𞸌×𞸍 والمصفوفة 𞸁 من الرتبة 𞸍×𞸋، فإن حاصل الضرب 󰏡𞸁 يكون مُعرَّفًا جيدًا؛ إذ تنتج مصفوفة رتبتها 𞸌×𞸍. بفرض أن لدينا المصفوفة 󰏡 فقط ونحاول إكمال عملية ضرب المصفوفة في نفسها 󰏡=󰏡×󰏡٢، فإننا بذلك نحاول ضرب مصفوفة رتبتها 𞸌×𞸍 في مصفوفة أخرى رتبتها 𞸌×𞸍. في هذه الحالة، لا يمكن أن يكون ذلك مُعرَّفًا جيدًا إلا إذا كان 𞸌=𞸍، وهو ما يعني أن المصفوفة 󰏡 لا بد أن تكون رتبتها 𞸍×𞸍 (أي تكون مصفوفة مربعة). ومن ثَمَّ، تكون رتبة المصفوفة 󰏡٢ هي نفس رتبة المصفوفة الأصلية 󰏡.

توجد قيود أخرى يجب وضعها في الاعتبار عند رفع مصفوفة لقوة، هذه القيود لا تنطبق في حالة الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، على عكس الأعداد الحقيقية، ليست لدينا طريقة لتعريف 󰏡٥٫٠، كما أن حساب مصفوفة مرفوعة لقوة سالبة أصعب بكثير. علاوةً على ذلك، لا تُطبَّق قوانين الأسس على المصفوفات دائمًا بالطريقة نفسها التي تُطبَّق بها على الأعداد، وهو ما سنتناوله لاحقًّا في هذا الشارح.

نوضِّح الآن كيفية تربيع المصفوفة باستخدام مثال بسيط. نعرِّف المصفوفة كالآتي: 󰏡=󰂔١٣٢٥󰂓.

لحساب المصفوفة 󰏡٢، نضرب المصفوفة 󰏡 في نفسها. بعبارةٍ أخرى، لدينا: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔١٣٢٥󰂓󰂔١٣٢٥󰂓.٢

كما هو متوقَّع، عملية الضرب هذه معرَّفة جيدًا؛ وذلك لأن لدينا مصفوفة رتبتها ٢×٢ مضروبة في مصفوفة رتبتها ٢×٢. يتبقَّى الآن إكمال عملية ضرب المصفوفتين، وهو ما يمكننا فعله للحصول على كل عنصر (𞸑،𞸏) عن طريق ضرب العناصر في الصف 𞸑 من المصفوفة الموجودة على اليمين في العناصر الموجودة في العمود 𞸏 من المصفوفة الموجودة على اليسار، ثم جمع القيم الناتجة. نوضِّح هذه العملية في الآتي:

والآن، بعد أن حسبنا جميع العناصر، يمكننا كتابة: 󰏡=󰂔٥٨١٢١٩١󰂓.٢

نتناول الآن مثالًا يمكننا فيه استخدام طريقة تربيع المصفوفات هذه في حل مسألة.

مثال ١: إيجاد مربع مصفوفة

إذا كانت: 󰏡=󰂔٤٥٤٥󰂓، فاكتب 󰏡٢ في صورة عدد مضروب في المصفوفة 󰏡.

الحل

قبل أن نحاول كتابة 󰏡٢ في صورة عدد مضروب في المصفوفة 󰏡، علينا حساب 󰏡٢ نفسها. إكمال عملية الضرب اللازمة يُعطينا: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔٤٥٤٥󰂓󰂔٤٥٤٥󰂓=󰂔٤٥٤٥󰂓.٢

المصفوفة الناتجة 󰏡٢ هي نفس المصفوفة الأصلية 󰏡، باستثناء أن كل عنصر في المصفوفة الناتجة مضروب في ١. وبذلك نكون قد أوجدنا أن المصفوفة 󰏡٢ يمكن كتابتها بدلالة المصفوفة الأصلية باستخدام التعبير 󰏡=󰏡٢.

بعد أن تناولنا مثالًا بسيطًا على رفع مصفوفة لقوة، نلاحظ أنه يتعيَّن علينا في معظم الوقت التعامل مع تعبيرات تتضمَّن مصفوفات عديدة، كما تتضمَّن عمليات أخرى على المصفوفات. لحسن الحظ أننا لن نواجه أي مشكلة عند التعامل مع مثل هذه الأسئلة، ما دمنا نطبِّق المبادئ نفسها التي تعلَّمناها للتو.

مثال ٢: إيجاد قيمة تعبيرات مصفوفية تتضمَّن قوى

لدينا: 𞸎=󰂔٣٣٥٦󰂓،𞸑=󰂔١٣٦٦󰂓. ما ناتج 𞸎𞸑٢٢؟

الحل

يجب أن نبدأ بحساب كلٍّ من 𞸎٢، 𞸑٢ بالطريقة المعتادة. نحسب: 𞸎=𞸎×𞸎=󰂔٣٣٥٦󰂓󰂔٣٣٥٦󰂓=󰂔٦٧٢٥٤١٢󰂓.٢

ونعلم أيضًا أن: 𞸑=𞸑×𞸑=󰂔١٣٦٦󰂓󰂔١٣٦٦󰂓=󰂔٩١٥١٠٣٤٥󰂓.٢

والآن، بعد أن أصبح لدينا كلٌّ من 𞸎٢، 𞸑٢، من السهل الآن حساب: 𞸎𞸑=󰂔٦٧٢٥٤١٢󰂓󰂔٩١٥١٠٣٤٥󰂓=󰂔٥٢٢٤٥١٣٣󰂓.٢٢

ربما ليس من الغريب أنه يمكننا إيجاد مكعب مصفوفة بسهولة من خلال الاستعانة بفهمنا للطريقة التي نوجد بها مربع المصفوفة، كما فعلنا في السابق.

هيا نستكشف كيف يمكننا إيجاد مكعب مصفوفة. وفقًا للتعريف، يمكن إيجاد مكعب المصفوفة المربعة 󰏡 باستخدام التعبير: 󰏡=󰏡×󰏡×󰏡.٣

لاحظ أنه باستخدام خاصية الدمج لعملية ضرب المصفوفات، جنبًا إلى جنب مع تعريف 󰏡٢، يمكننا أن نكتب الطرف الأيسر على الصورة: 󰏡×󰏡×󰏡=(󰏡×󰏡)×󰏡=󰏡×󰏡.٢

بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام الدمج في الحدين الأخيرين لكتابة ذلك على الصورة: 󰏡×󰏡×󰏡=󰏡×(󰏡×󰏡)=󰏡×󰏡.٢

وبذلك نكون قد أوضحنا أن 󰏡=󰏡󰏡=󰏡󰏡٣٢٢. بعبارةٍ أخرى، فَوْر حساب 󰏡٢، يمكننا إيجاد 󰏡٣ عن طريق ضرب 󰏡٢ من الجهة اليسرى (أو اليمنى) في 󰏡.

بعد أن عرفنا كيفية رفع المصفوفة لقوة في حالتَي التربيع والتكعيب، يمكننا أن نتخيَّل أنه يمكننا تطبيق المبادئ نفسها لإيجاد أي قوة للمصفوفة 󰏡. باستخدام التعريف الآتي، يكون ذلك ممكنًا.

تعريف: قوة المصفوفة

إذا كانت 󰏡 مصفوفة مربعة، وكان 𞸊 عدد صحيح موجب، فإن القوة 𞸊 للمصفوفة 󰏡 يمكن إيجادها باستخدام التعبير: 󰏡=󰏡×󰏡××󰏡،𞸊 حيث يوجد عدد 𞸊 من مثيلات المصفوفة 󰏡.

بالإضافة إلى هذا التعريف، نلاحظ أنه باستخدام المنطق السابق نفسه، يمكننا حساب 󰏡𞸊 (لأي عدد صحيح موجب 𞸊) عن طريق حساب 󰏡𞸊١ أولًا، ثم الضرب في 󰏡 أخرى من اليمين أو اليسار. على سبيل المثال، 󰏡=󰏡×󰏡=󰏡×󰏡٤٣٣، وما إلى ذلك.

هيا نرَ الآن مثالًا يتعيَّن علينا فيه إيجاد مكعب المصفوفة.

مثال ٣: حساب القوى الكبيرة للمصفوفات

بمعلومية أن المصفوفة: 󰏡=󰂔٤٠٣٧󰂓، احسب 󰏡٣󰏡٣٢.

الحل

يجب أن نبدأ بحساب 󰏡٢، ثم استخدام الناتج لحساب 󰏡٣. نجد أن: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔٤٠٣٧󰂓󰂔٤٠٣٧󰂓=󰂔٦١٠٣٣٩٤󰂓.٢

الآن، أصبحت لدينا المصفوفتان: 󰏡=󰂔٤٠٣٧󰂓،󰏡=󰂔٦١٠٣٣٩٤󰂓،٢ وهو ما يعني أنه يمكننا حساب 󰏡٣ باعتبارها حاصل ضرب المصفوفة 󰏡 في المصفوفة 󰏡٢: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔٤٠٣٧󰂓󰂔٦١٠٣٣٩٤󰂓=󰂔٤٦٠٩٧٢٣٤٣󰂓.٣٢

أصبح لدينا الآن كلُّ ما يلزم لحساب التعبير المطلوب: 󰏡٣󰏡=󰂔٤٦٠٩٧٢٣٤٣󰂓٣󰂔٦١٠٣٣٩٤󰂓=󰂔٤٦٠٩٧٢٣٤٣󰂓󰂔٨٤٠٩٩٧٤١󰂓=󰂔٦١٠٠٨١٦٩١󰂓.٣٢

حتى الآن، لم نتناول سوى عمليات حسابية تتضمَّن مصفوفات رتبتها ٢×٢، لكن الانتقال إلى الرتب العليا للمصفوفات المربعة أمر طبيعي جدًّا. هيا نرَ مثالًا على كيفية رفع مصفوفة رتبتها ٣×٣ لقوة.

مثال ٤: تربيع مصفوفة رتبتها ٣ × ٣

انظر المصفوفة الموضَّحة: 󰏡=󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬.

أوجد 󰏡٢.

الحل

المصفوفة 󰏡 رتبتها ٣×٣، وهو ما يعني أن المصفوفة 󰏡٢ ستكون لها هذه الرتبة أيضًا. ولذا، نتوقَّع إيجاد مصفوفة على الصورة: 󰏡=󰏡×󰏡=󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃁󰃀،٢ حيث سنوجد العناصر . سنُكمل عملية ضرب المصفوفتين بالكامل، مع توضيح كل خطوة بالكامل.

أولًا، نحسب العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة الموجودة أقصى اليسار: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃁٦󰃀.

العملية الحسابية هي ١×١+١×١+٢×٢=٦. والآن، نحسب العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة الموجودة أقصى اليسار: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃁٦٣󰃀.

العملية الحسابية هي ١×١+١×٠+٢×١=٣. بعد ذلك، نركِّز على العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة الموجودة أقصى اليسار: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃁٦٣٣󰃀.

العملية الحسابية هي ١×٢+١×١+٢×٠=٣. والآن، هيا ننتقل لإيجاد العناصر الموجودة في الصف الثاني من المصفوفة الموجودة أقصى اليسار، ونعود إلى العمود الأول: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣󰃬.

العملية الحسابية هي ١×١+٠×١+١×٢=٣. بعد ذلك، نحسب العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢󰃬،

العملية الحسابية هي ١×١+٠×٠+١×١=٢. بعد ذلك، نحسب العنصر الأخير في الصف الثاني: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢٢󰃬.

العملية الحسابية هي ١×٢+٠×١+١×٠=٢. بعد ذلك، نحسب العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الأول: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢٢٣󰃬.

العملية الحسابية هي ٢×١+١×١+٠×٢=٣. نوجد العنصر قبل الأخير: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢٢٣٢󰃬.

العملية الحسابية هي ٢×١+١×٠+٠×١=٢. بعد ذلك نوجد العنصر الأخير: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢٢٣٢٥󰃬.

العملية الحسابية هي ٢×٢+١×١+٠×٠=٥. والآن، بعد أن أوجدنا جميع عناصر المصفوفة الموجودة أقصى اليسار، يمكننا كتابة الإجابة على الصورة: 󰏡=󰃭٦٣٣٣٢٢٣٢٥󰃬.٢

إذا كان رفع المصفوفة لقوة يتضمَّن تكرار ضرب المصفوفة، فمن المنطقي أن نتوقَّع أن القواعد الجبرية لعملية ضرب المصفوفات قد تؤثِّر إلى حدٍّ ما على رفع المصفوفة لقوة بطريقة مماثلة. وعلى الرغم من وضوح هذا الأمر إلى حدٍّ ما، فمن المجازفة أن نستخدم قواعد الجبر التقليدي عند حل المسائل التي تتضمَّن مصفوفات، بافتراض أنها ما زالت صحيحة. في المثال الآتي، سنتعامل مع كل عبارة على حِدة، ونعرض خواص ضرب المصفوفات المرتبطة بكل عبارة، مع ذكر هل العبارة المُعطاة صحيحة أم لا، وسبب ذلك.

مثال ٥: التحقُّق من خواص رفع المصفوفات إلى قوة

أيُّ العبارات الآتية صحيح للمصفوفتين اللتين من الرتبة 𞸍×𞸍، ويُرمز لهما بالرمزين 󰏡، 𞸁؟

  1. 󰏡𞸁=󰏡(󰏡𞸁)𞸁٢٢
  2. (󰏡𞸁)=󰏡٢󰏡𞸁+𞸁٢٢٢
  3. (󰏡𞸁)=󰏡𞸁٢٢٢
  4. (󰏡+𞸁)=󰏡+٢󰏡𞸁+𞸁٢٢٢
  5. (󰏡+𞸁)(󰏡𞸁)=󰏡𞸁٢٢

الحل

  1. إن ضرب المصفوفات له خاصية الدمج، وهو ما يعني أن 󰏡(𞸁𞸢)=(󰏡𞸁)𞸢. يمكننا الاستمرار بهذا النمط للحصول على نتائج مثل (󰏡𞸁)(𞸢𞸃)=󰏡(𞸁𞸢)𞸃=󰏡𞸁𞸢𞸃، وما إلى ذلك. في المعادلة المُعطاة، الطرف الأيمن هو 󰏡𞸁٢٢، ويمكن كتابته وفقًا للتعريف على الصورة 󰏡𞸁=󰏡󰏡𞸁𞸁٢٢. بمعلومية خاصية الدمج في عملية ضرب المصفوفات، يمكننا كتابة 󰏡𞸁=󰏡(󰏡𞸁)𞸁٢٢، وبذلك نتأكد من أن العبارة المُعطاة صحيحة.
  2. إن علم الجبر التقليدي إبدالي في الضرب. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى عددين حقيقيين 𞸅، 𞸆، فإن 𞸅𞸆=𞸆𞸅. تتيح لنا هذه النتيجة تناوُل تعبير مثل: (𞸅𞸆)=𞸅𞸅𞸆𞸆𞸅+𞸆٢٢٢ واستخدام خاصية الإبدال لجمع الحدين الأوسطين في الطرف الأيسر: (𞸅𞸆)=𞸅٢𞸅𞸆+𞸆.٢٢٢ لكن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا بوجهٍ عام، وهو ما يعني أن 󰏡𞸁𞸁󰏡 إلا في حالات خاصة (مثل المصفوفات القطرية أو المصفوفات القطرية الآنية). ومن ثَمَّ، لا يمكن تبسيط المفكوك: (󰏡𞸁)=󰏡󰏡𞸁𞸁󰏡+𞸁٢٢٢ بافتراض أن 󰏡𞸁=𞸁󰏡. إذن العبارة المُعطاة خطأ.
  3. لإجراء عملية ضرب المصفوفتين لإيجاد (󰏡𞸁)٢، يمكننا أن نبدأ بكتابة: (󰏡𞸁)=(󰏡𞸁)(󰏡𞸁)=󰏡(𞸁󰏡)𞸁،٢ حيث استخدمنا خاصية الدمج لترتيب المقدار النهائي. ولأن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا، لا يمكن إعادة ترتيب الحد الموجود داخل القوسين (𞸁󰏡) على الصورة (󰏡𞸁)، بمعنى أنه لا يمكننا إعادة كتابة المقدار النهائي على الصورة 󰏡󰏡𞸁𞸁، وهو ما كان يسمح بتبسيط ذلك إلى 󰏡𞸁٢٢. وبما أن هذا لا ينطبق على الحالة التي لدينا، فإن العبارة غير صحيحة.
  4. لدينا: (󰏡+𞸁)=󰏡+󰏡𞸁+𞸁󰏡+𞸁.٢٢٢ وبوجهٍ عام، بما أن 󰏡𞸁𞸁󰏡، إذن لا يمكننا أن نحصل على التبسيط المُعطى في السؤال.
  5. نبدأ بإكمال المفكوك: (󰏡+𞸁)(󰏡𞸁)=󰏡+𞸁󰏡󰏡𞸁𞸁.٢٢ ونحن نعلم بوجهٍ عام أن 𞸁󰏡󰏡𞸁، وهو ما يعني أنه لا يمكننا كتابة الطرف الأيسر على الصورة 󰏡𞸁٢٢؛ ومن ثَمَّ، فإن العبارة الواردة في السؤال غير صحيحة.

إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ).

على الرغم من أن بعض قواعد الجبر التقليدي لا تنطبق على المصفوفات، فإن هناك بعض القواعد التي لا يزال يمكننا الاعتماد عليها عند رفع المصفوفات إلى قوى. على وجه التحديد، يمكن توسيع نطاق القوانين الخاصة برفع الأعداد إلى قوى لتشمل المصفوفات.

خاصية: جمع وضرب قوى المصفوفة

إذا كانت 󰏡 مصفوفة مربعة، وكان 𞸓، 𞹟 عددين صحيحين موجبين، فإن: 󰏡󰏡=󰏡،󰁓󰏡󰁒=󰏡.𞸓𞹟𞸓+𞹟𞸓𞹟𞸓𞹟

في المثال الأخير، سنجرِّب رفع المصفوفة لقوة عُليا كبيرة، ونرى كيف يمكن استخدام الخواص السابقة بالإضافة إلى تحديد النمط الذي تتبعه المصفوفة عند رفعها لقوى مختلفة.

مثال ٦: إيجاد قوة عُليا لمصفوفة عن طريق معرفة نمط قوى المصفوفة

إذا كانت 󰏡=󰂔٩٠٥٩󰂓، فإن 󰏡=٠٦.

الحل

بما أن 󰏡=󰏡×󰏡××󰏡٠٦ (٦٠ مرة)، إذن يتضح أن علينا تجنُّب محاولة حساب ذلك مباشرةً. بدلًا من ذلك، هيا نكتشف ما سيحدث للمصفوفة 󰏡 عند رفعها لقوى باستخدام القوى الصغرى لـ 󰏡، ومعرفة إذا ما كان يمكننا تحديد نمط معيَّن.

عند ضرب المصفوفة 󰏡 في نفسها؛ بعبارةٍ أخرى، عند إيجاد 󰏡=󰏡×󰏡٢، يصبح لدينا: 󰏡=󰂔٩٠٥٩󰂓󰂔٩٠٥٩󰂓=󰃁٩٠٠٩󰃀.٢٢٢

ونلاحظ أنه بما أن هذه مصفوفة قطرية، فقد تكون هذه الصورة مفيدة بالنسبة إلينا. بمتابعة ذلك، إذا حسبنا 󰏡=󰏡×󰏡٣٢، يصبح لدينا: 󰏡=󰃁٩٠٠٩󰃀󰂔٩٠٥٩󰂓=󰃁٩٠٩×٥٩󰃀.٣٢٢٣٢٣

من المثير للاهتمام أن المصفوفة لم تَعُد قطرية. لمتابعة اكتشاف النمط، هيا نحسب 󰏡=󰏡×󰏡٤٣. هذا يساوي: 󰏡=󰃁٩٠٩×٥٩󰃀󰂔٩٠٥٩󰂓=󰃁٩٠٠٩󰃀.٤٣٢٣٤٤

عند هذه النقطة، يمكننا تحديد النمط. بالنسبة إلى القوى الزوجية للمصفوفة 󰏡، نفترض أن المصفوفة قطرية، وأن العناصر التي لا تساوي صفرًا هي ٩𞸍؛ حيث 𞸍 هي قوة المصفوفة. هذا الأمر لا ينطبق على القوى الفردية؛ حيث يوجد عنصر لا يساوي صفرًا في الجزء السفلي الأيمن من المصفوفة، وعنصر سالب في الجزء السفلي الأيسر. ولكن، نظرًا لأن كلَّ ما علينا فعله هو إيجاد 󰏡٠٦؛ حيث ٦٠ هي قوة زوجية، يتعيَّن علينا التفكير في الحالة الأولى فقط.

هيا نوضِّح كيف يمكننا إيجاد 󰏡٠٦ باستخدام قوة زوجية للمصفوفة؛ أي 󰏡٢. تذكَّر أن: 󰏡=󰃁٩٠٠٩󰃀.٢٢٢

نلاحظ أنه يمكننا أخذ العدد الثابت ٩٢ خارج المصفوفة، وإعادة كتابتها على الصورة: 󰏡=٩󰂔١٠٠١󰂓.٢٢

وهي عبارة عن مصفوفة الوحدة من الرتبة ٢×٢، ورمزها 𝐼، مضروبة في ثابت. الآن، نحن نعلم أن مصفوفة الوحدة لها الخاصية: 𝐼𞸎=𞸎𝐼=𞸎، حيث 𞸎 عبارة عن أي مصفوفة رتبتها ٢×٢. على وجه التحديد، إذا كان 𞸎=𝐼، يكون لدينا: 𝐼=𝐼×𝐼=𝐼.٢

يمكننا توسيع نطاق ذلك ليشمل أي قوة لـ 𝐼؛ أي: 𝐼=𝐼.𞸍

يمكننا استخدام هذه الخاصية لحساب 󰏡٠٦. هيا نتذكَّر أيضًا الخاصية 󰁓󰏡󰁒=󰏡𞸓𞹟𞸓𞹟 التي تتيح لنا إعادة كتابة 󰏡٠٦ كالآتي: 󰏡=󰁓󰏡󰁒.٠٦٢٠٣

بما أن لدينا 󰏡=٩𝐼٢٢، فهذا يعنى أن: 󰏡=󰁓٩𝐼󰁒=󰁓٩󰁒𝐼=٩𝐼=٣󰂔١٠٠١󰂓.٠٦٢٠٣٢٠٣٠٣٠٦٠٢١

بما أن: ٩=٣.٢

إذن: ٩=󰁓٣󰁒=٣.٠٦٢٠٦٠٢١

يوجد العديد من الموضوعات ذات الصلة التي تُبرِز أهمية دراسة رفع المصفوفات إلى قوى. عند التعامل مع مصفوفة مربعة، يتضح أن ضرب هذه المصفوفة مرارًا وتكرارًا في نفسها يؤدِّي إلى الحصول، على نحو متوالٍ، على نتائج يصعب حسابها بوجهٍ عام؛ وذلك نظرًا للأعداد الكبيرة المتضمَّنة، كما رأينا في العديد من الأمثلة السابقة. ومن ثَمَّ، من المفيد أن نتمكَّن من تبسيط هذه العمليات الحسابية قدر الإمكان. في ظل ظروف معيَّنة، يكون من الممكن كتابة المصفوفة على صورة مصفوفة قطرية، وهو ما يقلِّل بدرجة كبيرة من تعقيد حساب القوى الصحيحة للمصفوفة.

هيا نختتم بتناول النقاط الرئيسية التي تعلَّمناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • لأي مصفوفة مربعة 󰏡 وعدد صحيح موجب 𞸊، نعرِّف قوة المصفوفة بتكرار ضرب المصفوفة في نفسها، على سبيل المثال: 󰏡=󰏡×󰏡××󰏡،𞸊 حيث يوجد 𞸊 من النسخ من المصفوفة 󰏡 في الطرف الأيسر.
  • من المهم أن ندرك أن قوة المصفوفة لا تكون معرَّفة جيدًا إلا إذا كانت مصفوفة مربعة. علاوةً على ذلك، إذا كانت المصفوفة 󰏡 رتبتها 𞸍×𞸍، فستكون للمصفوفتين 󰏡٢، 󰏡٣، وما إلى ذلك، الرتبة نفسها.
  • يمكن حساب القوى العليا للمصفوفة باستخدام القوى الصغرى للمصفوفة. بعبارةٍ أخرى، 󰏡=󰏡×󰏡٣٢، 󰏡=󰏡×󰏡٤٣، وما إلى ذلك.
  • إذا كانت 󰏡 مصفوفة مربعة، وكان 𞸓، 𞹟 عددين صحيحين موجبين، فإن: 󰏡󰏡=󰏡،󰁓󰏡󰁒=󰏡.𞸓𞹟𞸓+𞹟𞸓𞹟𞸓𞹟

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من معلم خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية