شارح الدرس: قوة المصفوفة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم ضرب المصفوفات لإيجاد تربيع وتكعيب مصفوفة مربعة.

يوجد في الجبر الخطي العديد من العمليات التي تشبه كثيرًا العمليات المعروفة في الجبر التقليدي؛ مثل الجمع، والطرح، والضرب في كمية قياسية. كما توجد أيضًا عمليات أخرى؛ مثل ضرب المصفوفات وإيجاد معكوسها، والتي تماثل إلى حدٍّ ما الخواص الجبرية لنظائرها من عمليات الجبر التقليدي، ولكن تكون طريقة حسابها أكثر تعقيدًا في الأساس.

إحدى العمليات الرئيسية في كلٍّ من الجبر التقليدي والجبر الخطي، هي الرفع لقوة، التي عادةً ما يُشار إليها باسم رفع العدد أو المصفوفة إلى «قوة». في الجبر التقليدي، يمكن رفع أي عدد 𞸎 إلى قوة ما 𞸑، ما يعطينا 𞸎𞸑. ولا يهم إذا كان 𞸎، 𞸑 يساويان صفرًا أو لا يساويان صفرًا، أو يساويان عددًا صحيحًا، أو عددًا غير صحيح، أو عددًا نسبيًّا، أو عددًا غير نسبي، أو عددًا مركبًا؛ لأنه يمكن دائمًا حساب الناتج. لا ينطبق الأمر ذاته على الجبر الخطي؛ إذ لا يمكن دائمًا رفع المصفوفة 󰏡 لقوة. على سبيل المثال، وكما نرى بعد قليل، لا يمكن رفع مصفوفة غير مربعة لقوة؛ لأن العملية لن تكون مُعرَّفة جيدًا. وكمثال آخر، لا يمكننا رفع 󰏡 إلى القوة ١ أو إلى أيِّ قوة سالبة أخرى، إلا إذا كان معكوس المصفوفة 󰏡١ معلومًا أنه موجود، وهو ما يُعَدُّ ممكنًا فقط في حالة المصفوفات المربعة التي فيها قيمة المحدِّد لا تساوي صفرًا. هذان مجرد استثناءين عند التعامل مع الرفع لقوة في الجبر الخطي، الذي سنعرفه الآن بمزيد من الدقة.

تعريف: قوة مصفوفة مربعة

بالنسبة إلى أيِّ مصفوفة مربعة 󰏡 وعدد صحيح موجب 𞸊، تُحدَّد القوة 𞸊 لـ 󰏡 من خلال ضرب هذه المصفوفة في نفسها مرارًا وتكرارًا؛ أي إن: 󰏡=󰏡×󰏡××󰏡،𞸊 حيث يوجد 𞸊 من النسخ من المصفوفة 󰏡.

من الأسهل توضيح هذا التعريف بمثال بسيط غير بديهي. نُعرِّف المصفوفة: 󰏡=󰂔١٣٢٥󰂓.

لحساب المصفوفة 󰏡٢، نضرب المصفوفة 󰏡 في نفسها. بعبارة أخرى، نكتب: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔١٣٢٥󰂓󰂔١٣٢٥󰂓.٢

يتبقَّى الآن إجراء عملية ضرب المصفوفتين. إذا كانت مصفوفة 𞸤 من الرتبة 𞸌×𞸍، ومصفوفة أخرى 𞸉 من الرتبة 𞸍×𞸋، فإن ضرب المصفوفتين 𞸤𞸉 سيكون معرَّفًا جيدًا؛ إذ تنتج عنه مصفوفة من الرتبة 𞸌×𞸋. في المعادلة أعلاه، نضرب مصفوفة من الرتبة ٢×٢ في مصفوفة من الرتبة ٢×٢؛ أي إن المصفوفة الناتجة ستكون أيضًا من الرتبة ٢×٢. لذا، علينا إيجاد المصفوفة على الطرف الأيسر من المعادلة: 󰂔١٣٢٥󰂓󰂔١٣٢٥󰂓=󰂔󰂓، حيث نريد إيجاد العناصر . نُكمِل العمليات الحسابية بالرجوع إلى تعريف ضرب المصفوفات. بدايةً، نتناول الصف الأول من المصفوفة أقصى اليمين والعمود الأول من المصفوفة الوسطى، وهو ما يعطينا العنصر في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة أقصى اليسار، على النحو الآتي: 󰂔١٣٢٥󰂓󰂔١٣٢٥󰂓=󰂔٥󰂓، حيث أجرينا العملية الحسابية ١×١+(٣)×٢=٥. بعد ذلك، نأخذ العناصر الموجودة في الصف الأول من المصفوفة أقصى اليمين وتلك الموجودة في العمود الثاني من المصفوفة الوسطى، والتي نحسب منها العنصر في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة أقصى اليسار: 󰂔١٣٢٥󰂓󰂔١٣٢٥󰂓=󰂔٥٨١󰂓، حيث أجرينا العملية الحسابية ١×(٣)+(٣)×٥=٨١. بعد ذلك، نستخدم الصف الثاني من المصفوفة أقصى اليمين والعمود الأول من المصفوفة الوسطى: 󰂔١٣٢٥󰂓󰂔١٣٢٥󰂓=󰂔٥٨١٢١󰂓، حيث كانت العملية الحسابية ٢×١+٥×٢=٢١. بعد ذلك، نحسب العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني من المصفوفة أقصى اليسار: 󰂔١٣٢٥󰂓󰂔١٣٢٥󰂓=󰂔٥٨١٢١٩١󰂓، حيث حسبنا ٢×(٣)+٥×٥=٩١. الآن بعد حساب جميع العناصر، يمكننا كتابة: 󰏡=󰂔٥٨١٢١٩١󰂓.٢

في هذا المثال بالأخص، أوضحنا كيفية حساب مربع مصفوفة. بطبيعة الحال، يمكن توسيع نطاق التعريف ليشمل قوى أعلى. بما أن لدينا كلًّا من 󰏡، 󰏡٢، إذن يمكننا أيضًا حساب 󰏡٣. بدايةً، نكتب المصفوفتين: 󰏡=󰂔١٣٢٥󰂓،󰏡=󰂔٥٨١٢١٩١󰂓.٢

ثم نضرب المصفوفتين مباشرةً، لنحصل على: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔١٣٢٥󰂓󰂔٥٨١٢١٩١󰂓=󰂔١٤٥٧٠٥٩٥󰂓.٣٢

بالمثل، يمكننا حساب 󰏡٤، 󰏡٥، وهكذا. قبل التدريب على بعض الأمثلة الأخرى عن رفع المصفوفة لقوة، سنقدِّم نتيجة أخرى تفسِّر سبب أنه بإمكاننا فقط رفع المصفوفة المربعة إلى قوة.

نظرية: قوى المصفوفات والمصفوفات المربعة

لا يكون رفع المصفوفة 󰏡 لقوة معرَّفًا جيدًا إلا إذا كانت هذه المصفوفة مصفوفة مربعة. إذا كانت 󰏡 من الرتبة 𞸍×𞸍، فإن هذه الرتبة تكون هي رتبة 󰏡٢، 󰏡٣، 󰏡٤، وهكذا.

بالنسبة إلى أيِّ مصفوفتين 󰏡، 𞸁، فإن ضرب المصفوفتين 󰏡𞸁 لا يكون معرَّفًا جيدًا إلا إذا كان عدد الأعمدة في 󰏡 يماثل عدد الصفوف في 𞸁. إذا كانت 󰏡 من الرتبة 𞸌×𞸍، وكانت 𞸁 من الرتبة 𞸍×𞸋، فإن 󰏡𞸁 تكون معرَّفة جيدًا، وتكون رتبتها 𞸌×𞸋. إذا تناولنا فقط المصفوفة 󰏡 وحاولنا إجراء عملية الضرب 󰏡=󰏡󰏡٢، فإننا نحاول بذلك ضرب مصفوفة من الرتبة 𞸌×𞸍 في مصفوفة من الرتبة 𞸌×𞸍. وذلك لا يمكن أن يكون معرَّفًا جيدًا إلا إذا كان 𞸌=𞸍، ما يعني أن 󰏡٢ يجب أن تكون مصفوفة من الرتبة 𞸍×𞸍، وهو ما يشير إلى أن هذه المصفوفة مصفوفة مربعة. ومن ثَمَّ، فإن رتبة 󰏡٢ تطابق رتبة المصفوفة الأصلية 󰏡، كما هو الحال أيضًا بالنسبة إلى كلٍّ من 󰏡٣، 󰏡٤، وهكذا.

مثال ١: إيجاد مربع المصفوفة

إذا كانت: 󰏡=󰂔٤٥٤٥󰂓، فاكتب 󰏡٢ في صورة مضاعف 󰏡.

الحل

قبل أن نحاول كتابة 󰏡٢ في صورة مضاعف 󰏡، علينا حساب 󰏡٢ نفسها. بإجراء عملية الضرب اللازمة، نحصل على: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔٤٥٤٥󰂓󰂔٤٥٤٥󰂓=󰂔٤٥٤٥󰂓.٢

المصفوفة الناتجة 󰏡٢ هي نفس المصفوفة الأصلية 󰏡، باستثناء أن كل عنصر مضروب في ١. بهذا، وجدنا أنه يمكن كتابة 󰏡٢ بدلالة المصفوفة الأصلية نفسها باستخدام التعبير 󰏡=󰏡٢.

نادرًا ما نرغب في تناول قوة مصفوفة بمفردها، بل عادةً ما نجمع بين أي قوى مصفوفية مع تعبيرات أخرى يُحتمل أن تتضمَّن مصفوفات أخرى. لا تتغيَّر أبدًا مبادئ رفع المصفوفة لقوة؛ لذا، حتى إذا كانت لدينا مصفوفات متعدِّدة، فإن الحل يجب ألَّا يكون أبدًا أكثر صعوبةً.

مثال ٢: إيجاد قيمة مقادير مصفوفية تتضمَّن قوى

انظر المصفوفتين: 𞸎=󰂔٣٣٥٦󰂓،𞸑=󰂔١٣٦٦󰂓. ما قيمة 𞸎𞸑٢٢؟

الحل

يجب أن نبدأ بحساب كلٍّ من 𞸎٢، 𞸑٢ بالطريقة المعتادة. نحسب: 𞸎=𞸎×𞸎=󰂔٣٣٥٦󰂓󰂔٣٣٥٦󰂓=󰂔٦٧٢٥٤١٢󰂓.٢

ولدينا أيضًا: 𞸑=𞸑×𞸑=󰂔١٣٦٦󰂓󰂔١٣٦٦󰂓=󰂔٩١٥١٠٣٤٥󰂓.٢

الآن، بعد أن أصبح لدينا كلٌّ من 𞸎٢، 𞸑٢، فمن السهل الآن حساب: 𞸎𞸑=󰂔٦٧٢٥٤١٢󰂓󰂔٩١٥١٠٣٤٥󰂓=󰂔٥٢٢٤٥١٣٣󰂓.٢٢

قد لا يكون مفاجئًا لنا أن بإمكاننا، على سبيل المثال، رفع مصفوفة إلى القوتين الثالثة والرابعة بسهولة من خلال معرفتنا بكيفية إيجاد القوة الثانية للمصفوفة، مثلما فعلنا سابقًا. وباتباع قوانين القوى والأسس المعتادة، فبالنسبة إلى أي عدد صحيح 𞸊، يمكننا كتابة المصفوفة 󰏡=󰏡×󰏡𞸊𞸌𞸍، بشرط أن يكون 𞸌+𞸍=𞸊. من ثَمَّ، نتوقَّع أنه يمكننا كتابة 󰏡=󰏡×󰏡٣٢ أو 󰏡=󰏡×󰏡٣٢، وذلك مع اعتبار أن الناتجين متساويان. هذه فرضية منطقية تمامًا، كما أنها صحيحة، ويمكن توضيحها بعد أن أوضحنا أن لعملية ضرب المصفوفات خاصية الدمج.

مثال ٣: حساب القوى العليا للمصفوفات

بمعلومية أن المصفوفة: 󰏡=󰂔٤٠٣٧󰂓، احسب 󰏡٣󰏡٣٢.

الحل

يجب أن نبدأ بحساب 󰏡٢، ثم نستخدم هذا الناتج لحساب 󰏡٣. نجد أن: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔٤٠٣٧󰂓󰂔٤٠٣٧󰂓=󰂔٦١٠٣٣٩٤󰂓.٢.

لدينا الآن كلتا المصفوفتين: 󰏡=󰂔٤٠٣٧󰂓،󰏡=󰂔٦١٠٣٣٩٤󰂓،٢ ما يعني أنه يمكننا حساب 󰏡٣ في صورة ضرب المصفوفتين 󰏡، 󰏡٢: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔٤٠٣٧󰂓󰂔٦١٠٣٣٩٤󰂓=󰂔٤٦٠٩٧٢٣٤٣󰂓.٣٢

لدينا الآن كلَّ ما هو ضروري لحساب المقدار المطلوب: 󰏡٣󰏡=󰂔٤٦٠٩٧٢٣٤٣󰂓٣󰂔٦١٠٣٣٩٤󰂓=󰂔٤٦٠٩٧٢٣٤٣󰂓󰂔٨٤٠٩٩٧٤١󰂓=󰂔٦١٠٠٨١٦٩١󰂓.٣٢

توجد بدائل لحساب قوى مصفوفة مربعة، ما يتيح تبسيط العملية. على سبيل المثال، من الممكن استخدام كثيرة الحدود الخاصة بمصفوفة مربعة لكي نطبِّق بعد ذلك نظرية كيلي-هاملتون. فبالنسبة إلى مصفوفة من الرتبة 𞸍×𞸍 ورمزها 󰏡، تتيح هذه النظرية كتابة 󰏡𞸍 بدلالة التعبيرات ذات الرتب الأقل 󰏡،󰏡،،󰏡𞸍١𞸍٢ ومصفوفة الوحدة 𝐼𞸍. بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام المصفوفة المربعة 󰏡، ثم استخدام معادلة التماثل لتبسيط حساب 󰏡 لأي قوة صحيحة موجبة. هذان الخياران مثيران للاهتمام بما يميِّز كلًّا منهما، ويتطلَّبان دراسة متعمِّقة للفهم على الرغم من كونهما ناتجين يتَّسمان بتعدُّد الاستعمالات وبلاغة الصيغة. في بقية هذا الشارح، سنواصل العمل باستخدام الطريقة الأولى لحساب قوة المصفوفة.

مثال ٤: قوى المصفوفات

انظر المصفوفة الموضَّحة: 󰏡=󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬. أوجد 󰏡٢.

الحل

المصفوفة 󰏡 من الرتبة ٣×٣، ما يعني أن 󰏡٢ ستكون من هذه الرتبة أيضًا. لذا، نتوقَّع إيجاد مصفوفة على الصورة: 󰏡=󰏡×󰏡=󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃁󰃀،٢ حيث علينا حساب العناصر . نضرب المصفوفتين بالكامل، مع توضيح كل خطوة بشكل تام.

بدايةً، نحسب العنصر في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة أقصى اليسار: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃁٦󰃀، حيث أجرينا العملية الحسابية ١×١+١×١+٢×٢=٦. الآن، نحسب العنصر في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة أقصى اليسار: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃁٦٣󰃀، حيث أجرينا العملية الحسابية ١×١+١×٠+٢×١=٣. بعد ذلك، نركِّز على العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة أقصى اليسار: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃁٦٣٣󰃀، حيث حسبنا ١×٢+١×١+٢×٠=٣. ننتقل الآن إلى الصف الثاني من المصفوفة أقصى اليسار، ونعود إلى العمود الأول: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣󰃬 حيث أجرينا العملية الحسابية ١×١+٠×١+١×٢=٣. ثم ننتقل إلى العنصر في الصف الثاني والعمود الثاني: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢󰃬، حيث ١×١+٠×٠+١×١=٢. بعد ذلك، يُحسَب العنصر الأخير في الصف الثاني: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢٢󰃬، حيث ١×٢+٠×١+١×٠=٢. يُحسَب العنصر في الصف الثالث والعمود الأول: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢٢٣󰃬، علمًا بأن ٢×١+١×١+٠×٢=٣. نُكمل حينئذ العنصر قبل الأخير: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢٢٣٢󰃬، حيث حسبنا ٢×١+١×٠+٠×١=٢. بعد ذلك، نحسب العنصر الأخير: 󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬󰃭١١٢١٠١٢١٠󰃬=󰃭٦٣٣٣٢٢٣٢٥󰃬، علمًا بأن ٢×٢+١×١+٠×٠=٥. الآن، وبعد إيجاد جميع عناصر المصفوفة أقصى اليسار، يمكننا كتابة الإجابة على الصورة: 󰏡=󰃭٦٣٣٣٢٢٣٢٥󰃬.٢

إذا كان رفع المصفوفة لقوة يتضمَّن تكرار ضرب المصفوفة، فمن المنطقي أن نتوقَّع أن القواعد الجبرية لعملية ضرب المصفوفة قد تؤثِّر إلى حدٍّ ما على رفع المصفوفة لقوة بطريقة مماثلة. على الرغم من وضوح هذا الأمر إلى حدٍّ ما، فإننا نتساهل كثيرًا عند استخدام قواعد الجبر التقليدي عند حل المسائل التي تتضمَّن مصفوفات، بافتراض أنها ما زالت صحيحة. في المثال التالي، سنتعامل مع كل عبارة على حدة، ونعرض خواص ضرب المصفوفات لكل طريقة، مع ذكر هل العبارات المُعطاة صحيحة أو لا، وسبب ذلك.

مثال ٥: خواص رفع المصفوفات إلى قوة

أيُّ العبارات الآتية صواب للمصفوفتين اللتين من الرتبة 𞸍×𞸍، ويُرمَز لهما بالرمزين 󰏡، 𞸁؟

  1. 󰏡𞸁=󰏡(󰏡𞸁)𞸁٢٢
  2. (󰏡𞸁)=󰏡٢󰏡𞸁+𞸁٢٢٢
  3. (󰏡𞸁)=󰏡𞸁٢٢٢
  4. (󰏡+𞸁)=󰏡+٢󰏡𞸁+𞸁٢٢٢
  5. (󰏡+𞸁)(󰏡𞸁)=󰏡𞸁٢٢

الحل

  1. إن ضرب المصفوفات له خاصية الدمج، ما يعني أن 󰏡(𞸁𞸢)=(󰏡𞸁)𞸢. يمكننا الاستمرار بهذا النمط للحصول على نتائج مثل (󰏡𞸁)(𞸢𞸃)=󰏡(𞸁𞸢)𞸃=󰏡𞸁𞸢𞸃، وهكذا. في المعادلة المُعطاة، الطرف الأيمن هو 󰏡𞸁٢٢، ويمكن كتابته حسب التعريف على الصورة 󰏡𞸁=󰏡󰏡𞸁𞸁٢٢. بمعلومية خاصية الدمج لعملية ضرب المصفوفات، يمكننا كتابة 󰏡𞸁=󰏡(󰏡𞸁)𞸁٢٢، وهذا يثبت أن العبارة المُعطاة صواب.
  2. إن الجبر التقليدي إبدالي في الضرب. بالنسبة إلى أيِّ عددين حقيقيين 󰏡، 𞸁، فإن هذا يعني أن 󰏡𞸁=𞸁󰏡. هذه النتيجة تتيح لنا أن نتناول مقدارًا مثل: (󰏡𞸁)=󰏡󰏡𞸁𞸁󰏡+𞸁٢٢٢ ونستخدم خاصية الإبدال لجمع الحدين الأوسطين في الطرف الأيسر: (󰏡𞸁)=󰏡٢󰏡𞸁+𞸁.٢٢٢ لكن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا بوجه عام، بمعنى أن 󰏡𞸁𞸁󰏡 إلا في ظروف خاصة (كالمصفوفات القطرية أو المصفوفات القطرية الآنية). من ثَمَّ، لا يمكن تبسيط المفكوك: (󰏡𞸁)=󰏡󰏡𞸁𞸁󰏡+𞸁٢٢٢ بافتراض أن 󰏡𞸁=𞸁󰏡. إذن العبارة المُعطاة خطأ.
  3. لإجراء عملية ضرب المصفوفات لـ (󰏡𞸁)٢، يمكننا البدء بكتابة: (󰏡𞸁)=(󰏡𞸁)(󰏡𞸁)=󰏡(𞸁󰏡)𞸁،٢ حيث استخدمنا خاصية الدمج لترتيب المقدار النهائي. ولأن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا، لا يمكن إعادة ترتيب الحد داخل القوسين (𞸁󰏡) على الصورة (󰏡𞸁)، بمعنى أنه لا يمكننا إعادة كتابة المقدار النهائي على الصورة 󰏡󰏡𞸁𞸁، وهو ما كان يسمح بتبسيط 󰏡𞸁٢٢. بمعلومية أن هذه ليست الحالة التي لدينا، فإن العبارة خطأ.
  4. لدينا: (󰏡+𞸁)=󰏡+󰏡𞸁+𞸁󰏡+𞸁.٢٢٢ وبوجه عام، بما أن 󰏡𞸁𞸁󰏡، إذن لا يمكننا الحصول على التبسيط المُعطى في السؤال.
  5. نبدأ بإكمال المفكوك: (󰏡+𞸁)(󰏡𞸁)=󰏡+𞸁󰏡󰏡𞸁𞸁.٢٢ نعلم، بوجه عام، أن 𞸁󰏡󰏡𞸁، ما يعني أنه لا يمكننا كتابة الطرف الأيسر على الصورة 󰏡𞸁٢٢؛ لذا، فإن العبارة الواردة في السؤال خطأ.

يوجد العديد من الموضوعات ذات الصلة التي تُبرِز أهمية دراسة رفع المصفوفات إلى القوى. عند التعامل مع مصفوفة مربعة، يتضح أن ضرب هذه المصفوفة مرارًا وتكرارًا في نفسها يؤدِّي إلى الحصول، على نحو متوالٍ، على نتائج يصعب حسابها بوجه عام؛ وذلك نظرًا للأعداد الكبيرة المتضمَّنة، كما رأينا في العديد من الأمثلة السابقة. من ثَمَّ، من المفيد أن نتمكَّن من تبسيط هذه العمليات الحسابية قدر الإمكان. لهذا الغرض، توفِّر نظرية كيلي-هاملتون طريقة بسيطة وبليغة رياضيًّا لحساب قوة المصفوفة باستخدام كثيرة الحدود المميَّزة وقوى المصفوفات من الرتب الأقل. وفي ظروف معيَّنة، يصبح من الممكن جعل المصفوفة قطرية، ما يقلِّل بدرجة كبيرة من تعقيد حساب قواها الصحيحة.

النقاط الرئيسية

  • لأيِّ مصفوفة مربعة 󰏡 وعدد صحيح موجب 𞸊، نُحدِّد قوة المصفوفة بتكرار ضرب المصفوفة؛ أي 󰏡=󰏡×󰏡××󰏡𞸊؛ حيث يوجد 𞸊 من النسخ للمصفوفة 󰏡 على الطرف الأيسر.
  • لا تُعَدُّ قوة المصفوفة مُعرَّفة جيدًا إلا إذا كانت المصفوفة مصفوفة مربعة. فضلًا عن ذلك، إذا كانت 󰏡 من الرتبة 𞸍×𞸍، فسينطبق ذلك على كلٍّ من 󰏡٢، 󰏡٣، وهكذا.
  • يمكن حساب القوى العليا لمصفوفة بدلالة القوى الأقل للمصفوفة. بعبارة أخرى، 󰏡=󰏡×󰏡٣٢، 󰏡=󰏡×󰏡=󰏡×󰏡=󰏡×󰏡٤٢٢٣٣، وهكذا.
  • لا بد من فهم الطبيعة الدامجة وغير الإبدالية لضرب المصفوفات فهمًا كاملًا قبل محاولة تبسيط المقادير التي تتضمَّن قوى مصفوفة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.