شارح الدرس: قوة المصفوفة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد مربع مصفوفة

إذا كانت: فاكتب في صورة عدد مضروب في المصفوفة .

الحل

قبل أن نحاول كتابة في صورة عدد مضروب في المصفوفة ، علينا حساب نفسها. إكمال عملية الضرب اللازمة يُعطينا:

المصفوفة الناتجة هي نفس المصفوفة الأصلية ، باستثناء أن كل عنصر في المصفوفة الناتجة مضروب في . وبذلك نكون قد أوجدنا أن المصفوفة يمكن كتابتها بدلالة المصفوفة الأصلية باستخدام التعبير .

مثال ٢: إيجاد قيمة تعبيرات مصفوفية تتضمَّن قوى

لدينا: ما ناتج ؟

الحل

يجب أن نبدأ بحساب كلٍّ من ، بالطريقة المعتادة. نحسب:

ونعلم أيضًا أن:

والآن، بعد أن أصبح لدينا كلٌّ من ، ، من السهل الآن حساب:

مثال ٣: حساب القوى الكبيرة للمصفوفات

بمعلومية أن المصفوفة: احسب .

الحل

يجب أن نبدأ بحساب ، ثم استخدام الناتج لحساب . نجد أن:

الآن، أصبحت لدينا المصفوفتان: وهو ما يعني أنه يمكننا حساب باعتبارها حاصل ضرب المصفوفة في المصفوفة :

أصبح لدينا الآن كلُّ ما يلزم لحساب التعبير المطلوب:

مثال ٤: تربيع مصفوفة رتبتها ٣ × ٣

انظر المصفوفة الموضَّحة:

أوجد .

الحل

المصفوفة رتبتها ، وهو ما يعني أن المصفوفة ستكون لها هذه الرتبة أيضًا. ولذا، نتوقَّع إيجاد مصفوفة على الصورة: حيث سنوجد العناصر . سنُكمل عملية ضرب المصفوفتين بالكامل، مع توضيح كل خطوة بالكامل.

أولًا، نحسب العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة الموجودة أقصى اليسار:

العملية الحسابية هي . والآن، نحسب العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة الموجودة أقصى اليسار:

العملية الحسابية هي . بعد ذلك، نركِّز على العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة الموجودة أقصى اليسار:

العملية الحسابية هي . والآن، هيا ننتقل لإيجاد العناصر الموجودة في الصف الثاني من المصفوفة الموجودة أقصى اليسار، ونعود إلى العمود الأول:

العملية الحسابية هي . بعد ذلك، نحسب العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني:

العملية الحسابية هي . بعد ذلك، نحسب العنصر الأخير في الصف الثاني:

العملية الحسابية هي . بعد ذلك، نحسب العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الأول:

العملية الحسابية هي . نوجد العنصر قبل الأخير:

العملية الحسابية هي . بعد ذلك نوجد العنصر الأخير:

العملية الحسابية هي . والآن، بعد أن أوجدنا جميع عناصر المصفوفة الموجودة أقصى اليسار، يمكننا كتابة الإجابة على الصورة:

مثال ٥: التحقُّق من خواص رفع المصفوفات إلى قوة

أيُّ العبارات الآتية صحيح للمصفوفتين اللتين من الرتبة ، ويُرمز لهما بالرمزين ، ؟

الحل

1. إن ضرب المصفوفات له خاصية الدمج، وهو ما يعني أن . يمكننا الاستمرار بهذا النمط للحصول على نتائج مثل ، وما إلى ذلك. في المعادلة المُعطاة، الطرف الأيمن هو ، ويمكن كتابته وفقًا للتعريف على الصورة . بمعلومية خاصية الدمج في عملية ضرب المصفوفات، يمكننا كتابة ، وبذلك نتأكد من أن العبارة المُعطاة صحيحة.
2. إن علم الجبر التقليدي إبدالي في الضرب. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى عددين حقيقيين ، ، فإن . تتيح لنا هذه النتيجة تناوُل تعبير مثل: واستخدام خاصية الإبدال لجمع الحدين الأوسطين في الطرف الأيسر: لكن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا بوجهٍ عام، وهو ما يعني أن إلا في حالات خاصة (مثل المصفوفات القطرية أو المصفوفات القطرية الآنية). ومن ثَمَّ، لا يمكن تبسيط المفكوك: بافتراض أن . إذن العبارة المُعطاة خطأ.
3. لإجراء عملية ضرب المصفوفتين لإيجاد ، يمكننا أن نبدأ بكتابة: حيث استخدمنا خاصية الدمج لترتيب المقدار النهائي. ولأن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا، لا يمكن إعادة ترتيب الحد الموجود داخل القوسين على الصورة ، بمعنى أنه لا يمكننا إعادة كتابة المقدار النهائي على الصورة ، وهو ما كان يسمح بتبسيط ذلك إلى . وبما أن هذا لا ينطبق على الحالة التي لدينا، فإن العبارة غير صحيحة.
4. لدينا: وبوجهٍ عام، بما أن ، إذن لا يمكننا أن نحصل على التبسيط المُعطى في السؤال.
5. نبدأ بإكمال المفكوك: ونحن نعلم بوجهٍ عام أن ، وهو ما يعني أنه لا يمكننا كتابة الطرف الأيسر على الصورة ؛ ومن ثَمَّ، فإن العبارة الواردة في السؤال غير صحيحة.

إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ).

مثال ٦: إيجاد قوة عُليا لمصفوفة عن طريق معرفة نمط قوى المصفوفة

إذا كانت ، فإن .

الحل

بما أن (٦٠ مرة)، إذن يتضح أن علينا تجنُّب محاولة حساب ذلك مباشرةً. بدلًا من ذلك، هيا نكتشف ما سيحدث للمصفوفة عند رفعها لقوى باستخدام القوى الصغرى لـ ، ومعرفة إذا ما كان يمكننا تحديد نمط معيَّن.

عند ضرب المصفوفة في نفسها؛ بعبارةٍ أخرى، عند إيجاد ، يصبح لدينا:

ونلاحظ أنه بما أن هذه مصفوفة قطرية، فقد تكون هذه الصورة مفيدة بالنسبة إلينا. بمتابعة ذلك، إذا حسبنا ، يصبح لدينا:

من المثير للاهتمام أن المصفوفة لم تَعُد قطرية. لمتابعة اكتشاف النمط، هيا نحسب . هذا يساوي:

عند هذه النقطة، يمكننا تحديد النمط. بالنسبة إلى القوى الزوجية للمصفوفة ، نفترض أن المصفوفة قطرية، وأن العناصر التي لا تساوي صفرًا هي ؛ حيث هي قوة المصفوفة. هذا الأمر لا ينطبق على القوى الفردية؛ حيث يوجد عنصر لا يساوي صفرًا في الجزء السفلي الأيمن من المصفوفة، وعنصر سالب في الجزء السفلي الأيسر. ولكن، نظرًا لأن كلَّ ما علينا فعله هو إيجاد ؛ حيث ٦٠ هي قوة زوجية، يتعيَّن علينا التفكير في الحالة الأولى فقط.

هيا نوضِّح كيف يمكننا إيجاد باستخدام قوة زوجية للمصفوفة؛ أي . تذكَّر أن:

نلاحظ أنه يمكننا أخذ العدد الثابت خارج المصفوفة، وإعادة كتابتها على الصورة:

وهي عبارة عن مصفوفة الوحدة من الرتبة ، ورمزها ، مضروبة في ثابت. الآن، نحن نعلم أن مصفوفة الوحدة لها الخاصية: حيث عبارة عن أي مصفوفة رتبتها . على وجه التحديد، إذا كان ، يكون لدينا:

يمكننا توسيع نطاق ذلك ليشمل أي قوة لـ ؛ أي:

يمكننا استخدام هذه الخاصية لحساب . هيا نتذكَّر أيضًا الخاصية التي تتيح لنا إعادة كتابة كالآتي:

بما أن لدينا ، فهذا يعنى أن:

بما أن:

إذن: