نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم ضرب المصفوفات لإيجاد تربيع وتكعيب مصفوفة مربعة. على الرغم من أنه يمكن تطبيق الطرق التي نستخدمها على قوى أكبر، فإننا في هذا الفيديو لن نتعامل سوى مع تربيع المصفوفة وتكعيبها. تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا رفع أي مصفوفة مربعة رتبتها ﻥ في ﻥ لأي قوة. لكننا في هذا الفيديو سنتناول فقط المصفوفات التي رتبتها اثنان في اثنين، وثلاثة في ثلاثة.
دعونا نبدأ ببعض التعريفات الأساسية. بالنسبة إلى المصفوفة المربعة ﺃ والعدد الصحيح الموجب ﻙ، يعرف رفع المصفوفة ﺃ للقوة ﻙ بضرب هذه المصفوفة في نفسها عددًا من المرات. هذا يعني أن ﺃ أس ﻙ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺃ مضروبًا في ﺃ، وهكذا؛ بحيث يصبح لدينا عدد ﻙ من مثيلات المصفوفة ﺃ. في هذا الفيديو، سنوجد المصفوفة ﺃ تربيع بضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ. كذلك، سنوجد ﺃ تكعيب بضرب المصفوفة ﺃ في نفسها مرة، وفي نفسها مرة أخرى. وهذا يكافئ المصفوفة ﺃ مضروبة في المصفوفة ﺃ تربيع.
يمكننا بدلًا من ذلك ضرب المصفوفة ﺃ تربيع في المصفوفة ﺃ. من المهم هنا ملاحظة أن رفع المصفوفة لقوة ما لا يكون معرفًا تمامًا إلا إذا كانت المصفوفة مربعة. أي إذا كانت المصفوفة ﺃ رتبتها ﻥ في ﻥ، فستظل هذه الرتبة كما هي في ﺃ تربيع وﺃ تكعيب وهكذا. وذلك لأن تربيع المصفوفة وتكعيبها لا يغير من رتبتها. وكما ذكرنا من قبل، سنركز في هذا الفيديو على المصفوفات المربعة التي رتبتها اثنان في اثنين، وثلاثة في ثلاثة. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه تربيع مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين.
إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب ستة، واحدًا، سالب خمسة، خمسة، فأوجد ﺃ تربيع.
نحن نعلم أنه عند التعامل مع قوى المصفوفات، لن تكون المصفوفة ﺃ تربيع معرفة إلا إذا كانت المصفوفة ﺃ مربعة. في هذا المثال، ﺃ هو مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. ولإيجاد ﺃ تربيع، علينا ضرب المصفوفة ﺃ في نفسها. هذا يساوي سالب ستة، واحدًا، سالب خمسة، خمسة مضروبًا في سالب ستة، واحد، سالب خمسة، خمسة. عند ضرب مصفوفتين، نبدأ بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الأول من المصفوفة الثانية. العنصر العلوي الأيمن في المصفوفة يساوي سالب ستة مضروبًا في سالب ستة زائد واحد مضروبًا في سالب خمسة.
بعد ذلك، نضرب الصف الأول من المصفوفة الأولى في العمود الثاني من المصفوفة الثانية. هذا يعطينا سالب ستة مضروبًا في واحد زائد واحد مضروبًا في خمسة. يمكننا بعد ذلك تكرار هذه العملية مع الصف الثاني من المصفوفة الأولى. هذا يعطينا سالب خمسة مضروبًا في سالب ستة زائد خمسة مضروبًا في سالب خمسة، وسالب خمسة مضروبًا في واحد زائد خمسة مضروبًا في خمسة. بتبسيط كل عنصر من العناصر الموجودة لدينا، نحصل على المصفوفة: ٣١، سالب واحد، خمسة، ٢٠. إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب ستة، واحدًا، سالب خمسة، خمسة؛ فإن ﺃ تربيع يساوي ٣١، سالب واحد، خمسة، ٢٠. نلاحظ هنا أن رتبة المصفوفة كما هي. وهذا يتحقق عند رفع أي مصفوفة مربعة لأي قوة.
سنتناول الآن ما يحدث عندما نحتاج إلى تربيع مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة وتكعيبها.
انظر إلى المصفوفة الموضحة: ﺃ يساوي واحدًا، واحدًا، اثنين، واحدًا، صفرًا، واحدًا، اثنين، واحدًا، صفرًا. يتضمن هذا السؤال جزأين. أولًا، إيجاد ﺃ تربيع، وثانيًا، إيجاد ﺃ تكعيب.
إننا نتذكر أنه لتربيع أي مصفوفة، فإننا نضربها في نفسها. وكذلك، لكي تكون المصفوفة ﺃ تربيع معرفة تمامًا، يجب أن تكون مصفوفة مربعة. في هذا المثال، لدينا مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. هذا يعني أن ﺃ تربيع يساوي واحدًا، واحدًا، اثنين، واحدًا، صفرًا، واحدًا، اثنين، واحدًا، صفرًا مضروبًا في واحد، واحد، اثنين، واحد، صفر، واحد، اثنين، واحد، صفر. عند ضرب مصفوفتين، نبدأ بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الأول من المصفوفة الثانية. العنصر العلوي الأيمن يساوي واحدًا في واحد زائد واحد في واحد زائد اثنين في اثنين. وهذا يساوي ستة.
بعد ذلك، نضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الثاني من المصفوفة الثانية. وهذا يعطينا واحدًا مضروبًا في واحد زائد واحد مضروبًا في صفر زائد اثنين مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. بالانتقال إلى العمود الثالث من المصفوفة الثانية وتكرار ما فعلناه، نحصل أيضًا على الناتج ثلاثة؛ حيث إن واحدًا مضروبًا في اثنين زائد واحد مضروبًا في واحد زائد اثنين مضروبًا في صفر يساوي ثلاثة. نكرر هذه العملية بعد ذلك مع الصف الثاني من المصفوفة الأولى. وهذا يعطينا النواتج: ثلاثة، واثنين، واثنين. وأخيرًا، بضرب الصف الثالث من المصفوفة الأولى في كل عمود من أعمدة المصفوفة الثانية، نحصل على القيم: ثلاثة، واثنين، وخمسة. إذن، ﺃ تربيع هي مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة تساوي ستة، ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة، اثنين، اثنين، ثلاثة، اثنين، خمسة.
في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا إيجاد المصفوفة ﺃ تكعيب. ويمكننا إجراء ذلك بضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ تربيع، أو بضرب المصفوفة ﺃ تربيع في المصفوفة ﺃ. في هذا السؤال، سنستخدم الطريقة الأولى. ﺃ تكعيب يساوي واحدًا، واحدًا، اثنين، واحدًا، صفرًا، واحدًا، اثنين، واحدًا، صفرًا مضروبًا في ستة، ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة، اثنين، اثنين، ثلاثة، اثنين، خمسة. بعد ذلك، سنستخدم الطريقة نفسها التي استخدمناها في الجزء الأول من السؤال. نبدأ بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الأول من المصفوفة الثانية. واحد مضروبًا في ستة زائد واحد مضروبًا في ثلاثة زائد اثنين مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٥.
وبضرب الصف الأول من المصفوفة الأولى في العمود الثاني من المصفوفة الثانية، نحصل على تسعة. وبضربه في العمود الثالث من المصفوفة الثانية، نحصل على ١٥. أما الصف الثاني من المصفوفة ﺃ تكعيب، فبه العناصر: تسعة، وخمسة، وثمانية. وأخيرًا، الصف الثالث به العناصر: ١٥، وثمانية، وثمانية. إذن، المصفوفة ﺃ تكعيب تساوي ١٥، تسعة، ١٥، تسعة، خمسة، ثمانية، ١٥، ثمانية، ثمانية. ويتضح من ذلك أنه إذا كان لدينا أي مصفوفة مربعة ﺃ، يمكننا إيجاد ﺃ تربيع عن طريق ضرب المصفوفة في نفسها، وإيجاد ﺃ تكعيب عن طريق ضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ تربيع.
في السؤال التالي، سنبسط تعبيرًا من خلال تربيع مصفوفات وتكعيبها.
بمعلومية أن المصفوفة ﺃ تساوي أربعة، صفرًا، سالب ثلاثة، سبعة، احسب ﺃ تكعيب ناقص ثلاثة ﺃ تربيع.
نحن نعلم أنه إذا كان لدينا أي مصفوفة مربعة ﺃ، فيمكننا حساب المصفوفة ﺃ تربيع بضرب المصفوفة ﺃ في نفسها. في هذا السؤال، ﺃ تربيع يساوي أربعة، صفرًا، سالب ثلاثة، سبعة مضروبًا في أربعة، صفر، سالب ثلاثة، سبعة. عند ضرب مصفوفتين، نبدأ بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الأول من المصفوفة الثانية. أربعة مضروبًا في أربعة زائد صفر مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي ١٦. سنكرر هذه العملية بعد ذلك بالنسبة للعمود الثاني من المصفوفة الثانية. أربعة مضروبًا في صفر زائد صفر مضروبًا في سبعة يساوي صفرًا.
بعد ذلك، نضرب الصف الثاني من المصفوفة الأولى في كل عمود من أعمدة المصفوفة الثانية. وهذا يعطينا سالب ٣٣ و٤٩. إذن، ﺃ تربيع هو مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها هي: ١٦، صفر، سالب ٣٣، ٤٩. في التعبير الموجود لدينا، نريد إيجاد ثلاثة ﺃ تربيع. هذا يعني أن علينا ضرب المصفوفة ﺃ تربيع في الكمية القياسية أو العدد الثابت ثلاثة. لذا، سنضرب كل عنصر من العناصر في ثلاثة، وهو ما يعطينا ٤٨، صفرًا، سالب ٩٩، ١٤٧. علينا بعد ذلك حساب ﺃ تكعيب، ونحن نعرف أن هذا يساوي ﺃ مضروبًا في ﺃ تربيع. وعليه، فإن ﺃ تكعيب يساوي أربعة، صفرًا، سالب ثلاثة، سبعة مضروبًا في ١٦، صفر، سالب ٣٣، ٤٩. سنضرب هاتين المصفوفتين بالطريقة نفسها التي أوجدنا بها قيمة ﺃ تربيع، ومن ثم نحصل على ﺃ تكعيب يساوي ٦٤، صفرًا، سالب ٢٧٩، ٣٤٣.
لدينا الآن المصفوفة ﺃ تكعيب، وكذلك ثلاثة ﺃ تربيع. ومطلوب منا في السؤال طرحهما. إذن، يصبح لدينا ٦٤، صفر، سالب ٢٧٩، ٣٤٣ ناقص ٤٨، صفر، سالب ٩٩، ١٤٧. عند طرح مصفوفتين، فإننا نطرح كل عنصر على حدة. هذا يعني أننا سنبدأ بطرح ٤٨ من ٦٤. وهذا يساوي ١٦. بطرح العنصرين العلويين جهة اليسار، نحصل على صفر. سالب ٢٧٩ ناقص سالب ٩٩ هو نفسه إضافة ٩٩ إلى سالب ٢٧٩. وهذا يساوي سالب ١٨٠. وأخيرًا، ٣٤٣ ناقص ١٤٧ يساوي ١٩٦. إذن، إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي أربعة، صفرًا، سالب ثلاثة، سبعة، فإن ﺃ تكعيب ناقص ثلاثة ﺃ تربيع يساوي ١٦، صفرًا، سالب ١٨٠، ١٩٦.
في السؤال الأخير، سنحل نظامًا من المعادلات الخطية بإجراء عمليات على المصفوفات.
إذا كانت المصفوفة ﻡ تساوي خمسة، ستة، سالب خمسة، سالب أربعة، فأوجد قيمتي ﺱ وﺹ اللتين تحققان المعادلة: ﻡ تربيع زائد ﺱﻡ زائد ﺹ𝐼 يساوي ﻭ؛ حيث ﻭ مصفوفة صفرية رتبتها اثنان في اثنين، و𝐼 مصفوفة وحدة رتبتها اثنان في اثنين.
إننا نعلم أن أي مصفوفة صفرية جميع عناصرها يساوي صفرًا. لذلك، فإن المصفوفة ﻭ تساوي صفرًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا. أما مصفوفة الوحدة فتحتوي على العدد واحد في قطرها الرئيسي وأصفار في المواضع الأخرى. وعليه، فإن 𝐼 يساوي واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. وعند ضرب أي مصفوفة في عدد ثابت، وهو ما يمثله ﺱ وﺹ في هذا السؤال، فإننا نضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الثابت. هذا يعني أن المصفوفة ﺹ𝐼 تساوي ﺹ، صفرًا، صفرًا، ﺹ. وبما أن ﻡ يساوي خمسة، ستة، سالب خمسة، سالب أربعة، فإن ﺱﻡ يساوي خمسة ﺱ، ستة ﺱ، سالب خمسة ﺱ، سالب أربعة ﺱ. وأخيرًا، علينا حساب المصفوفة ﻡ تربيع. وهي تساوي المصفوفة ﻡ مضروبة في نفسها. إذن، علينا ضرب خمسة، ستة، سالب خمسة، سالب أربعة في خمسة، ستة، سالب خمسة، سالب أربعة.
عند ضرب مصفوفتين، فإننا نضرب كل صف من صفوف المصفوفة الأولى في كل عمود من أعمدة المصفوفة الثانية. خمسة مضروبًا في خمسة زائد ستة مضروبًا في سالب خمسة يساوي سالب خمسة. وبضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في عناصر العمود الثاني من المصفوفة الثانية، نحصل على ستة. وبتكرار هذه العملية مع الصف الثاني من المصفوفة الأولى، نحصل على العنصرين: سالب خمسة، وسالب ١٤. بالتعويض بالمصفوفات الأربع في المعادلة لدينا، نحصل على: سالب خمسة، ستة، سالب خمسة، سالب ١٤ زائد خمسة ﺱ، ستة ﺱ، سالب خمسة ﺱ، سالب أربعة ﺱ زائد ﺹ، صفر، صفر، ﺹ يساوي صفرًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا. يمكننا الآن تكوين أربع معادلات للمقارنة بين العناصر المتناظرة.
سنتناول العناصر العلوية اليمنى، وسيصبح لدينا سالب خمسة زائد خمسة ﺱ زائد ﺹ يساوي صفرًا. سنسمي هذه بالمعادلة الأولى. وبالنسبة للعناصر العلوية اليسرى، فيصبح لدينا ستة زائد ستة ﺱ زائد صفر يساوي صفرًا. وبما أن هناك قيمة مجهولة واحدة فقط في هذه المعادلة، فبإمكاننا حلها. بطرح ستة من الطرفين، نحصل على: ستة ﺱ يساوي سالب ستة. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ستة، نحصل على: ﺱ يساوي سالب واحد. يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة في المعادلة الأولى لحساب قيمة ﺹ. بتبسيط الطرف الأيمن، يصبح لدينا: سالب ١٠ زائد ﺹ يساوي صفرًا. هذا يعني أن ﺹ يساوي ١٠. إذن، قيمتا ﺱ وﺹ هما: سالب واحد، و١٠، على الترتيب.
ومع ذلك، علينا التأكد من أن هاتين القيمتين تنطبقان أيضًا على الصف السفلي من المصفوفتين. لدينا هنا المعادلتان: سالب خمسة زائد سالب خمسة ﺱ زائد صفر يساوي صفرًا، وسالب ١٤ زائد سالب أربعة ﺱ زائد ﺹ يساوي صفرًا. إذا أضفنا خمسة ﺱ إلى طرفي المعادلة الأولى، فسنحصل على: خمسة ﺱ يساوي سالب خمسة. وبقسمة الطرفين على خمسة، نجد أن ﺱ مرة أخرى يساوي سالب واحد. وبالتعويض في المعادلة الثانية عن ﺱ بسالب واحد، نحصل على: سالب ١٤ زائد أربعة زائد ﺹ يساوي صفرًا. وهذا يؤكد مرة أخرى أن ﺹ يساوي ١٠. إذن، إذا كانت المصفوفة ﻡ تساوي خمسة، ستة، سالب خمسة، سالب أربعة، فإن قيمتي ﺱ وﺹ اللتين تحققان المعادلة ﻡ تربيع زائد ﺱﻡ زائد ﺹ𝐼 يساوي ﻭ هما: ﺱ يساوي سالب واحد، وﺹ يساوي ١٠.
سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. بالنسبة إلى المصفوفة المربعة ﺃ والعدد الصحيح الموجب ﻙ، فإن ﺃ أس ﻙ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺃ مضروبًا في ﺃ، وهكذا؛ بحيث يصبح لدينا عدد ﻙ من مثيلات المصفوفة ﺃ. لا تكون قوة المصفوفة معرفة تمامًا إلا إذا كانت المصفوفة مربعة. لقد تناولنا في هذا الفيديو مصفوفات مربعة رتبتها اثنان في اثنين، وثلاثة في ثلاثة. لكن هذا ينطبق أيضًا على أي مصفوفة مربعة رتبتها ﻥ في ﻥ. وفي هذا الفيديو، استخدمنا القاعدة العامة لتربيع المصفوفات وتكعيبها؛ حيث ﺃ تربيع يساوي ﺃ مضروبًا في ﺃ، وﺃ تكعيب يساوي ﺃ تربيع مضروبًا في ﺃ أو ﺃ مضروبًا في ﺃ تربيع. ومن الممكن أيضًا تطبيق هذه الطريقة عند التعامل مع قوى أكبر.
