نسخة الفيديو النصية
إذا كانت الدالة ﻥﺱ تساوي ﺱ ناقص ستة على ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ زائد ٥٤ في ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٢٨ على اثنين ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ زائد سبعة، أوجد قيمة ﻥ لسبعة، إن أمكن.
لنبدأ بالنظر إلى الدالة ﻥﺱ. هي دمج بين دالتين. في الحقيقة، هي حاصل ضرب. على وجه التحديد، هي حاصل ضرب دالتين كسريتين. تذكر أن الدالة الكسرية هنا هي خارج قسمة دالتين كثيرتي حدود. وعندما تكون لدينا دوال كسرية، فإننا نعرف أنها قد لا تكون في الواقع معرفة لجميع قيم ﺱ. سنبدأ بسؤال أنفسنا إذن ما هو مجال ﻥﺱ؛ حيث المجال هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة للدالة.
بشكل أساسي، علينا التحقق من إذا ما كانت الدالة ﻥﺱ معرفة بالفعل عند ﺱ يساوي سبعة. إذا كانت كذلك، فيمكننا التعويض بها. إذن، كيف نوجد مجال دالتين مدمجتين؟ حسنًا، مجال الدالة ﻥﺱ هو تقاطع مجالي كلتا الدالتين الكسريتين. إذن، علينا تحديد مجال الدالة الكسرية الأولى، ﺱ ناقص ستة على ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ زائد ٥٤، ومجال الدالة الثانية، ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٢٨ على اثنين ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ زائد سبعة.
في هذه الحالة، عندما نتعامل مع دوال كسرية، يكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية. لكننا نستبعد أي قيم ﺱ تجعل قيمة المقام تساوي صفرًا. وفي الواقع فإن ذلك منطقي جدًّا. فنحن لا نريد أن نضع أنفسنا في حالة حيث نقسم على صفر؛ لأن ذلك يعطينا قيمة غير معرفة. لإيجاد قيم ﺱ التي نستبعدها من مجال الدالة الكسرية الأولى، دعونا نساو المقام بصفر، ونحل لإيجاد قيمة ﺱ. سنحل لإيجاد قيمة ﺱ بالتحليل. نحن نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي ٥٤ ومجموعهما يساوي سالب ١٥. العددان هما سالب تسعة وسالب ستة. إذن، عند تحليل المقدار، نحصل على ﺱ ناقص تسعة في ﺱ ناقص ستة، وهو ما يساوي صفرًا.
والآن، بالطبع، إذا ضربنا مقدارين وحصلنا على ناتج يساوي صفرًا، فنحن نعلم أنه من المنطقي أن أحد هذين المقدارين يساوي صفرًا. إذن، ﺱ ناقص تسعة يساوي صفرًا أو ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. بحل كل من هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة ﺱ، نحصل على ﺱ يساوي تسعة وﺱ يساوي ستة. إذن، مجال الدالة الكسرية الأولى لدينا هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على ستة وتسعة.
إذن، نكرر هذه العملية مع الدالة الكسرية الثانية. نسأل أنفسنا، كيف نوجد قيم ﺱ التي تجعل قيمة المقام تساوي صفرًا؟ حسنًا، نساويه بالصفر، ثم نحل بالتحليل. بما أن اثنين وسبعة عددان أوليان، فيمكن فعل ذلك بمجرد النظر. اثنان ﺱ مضروبًا في سالب سبعة زائد سالب واحد في ﺱ يساوي سالب ١٥ﺱ. وبالطبع، سالب واحد في سالب سبعة يعطينا موجب سبعة. إذن، يعطينا التحليل اثنين ﺱ ناقص واحد في ﺱ ناقص سبعة يساوي صفرًا.
بعد ذلك، كما فعلنا سابقًا، نساوي كل عامل على حدة بصفر. إذن، اثنان ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا، أو ﺱ ناقص سبعة يساوي صفرًا. بإضافة واحد والقسمة على اثنين في المعادلة الأولى، نحصل على ﺱ يساوي نصفًا. وفي الثانية، نحصل على ﺱ يساوي سبعة. إذن، يجب أن يكون مجال الدالة الكسرية الثانية هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي لا تشمل قيم ﺱ هذه.
هذا يعني أن مجال ﻥﺱ، وهو تقاطع هذين المجالين، هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا قيم ﺱ هذه، إذن هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على نصف وستة وسبعة وتسعة. وهذا أمر مثير للاهتمام حقًّا؛ لأننا نحاول إيجاد ﻥ لسبعة. لكننا استبعدنا سبعة من مجال الدالة. فهو ليس ضمن القيم المدخلة. إنه ليس أحد قيم ﺱ التي يمكننا التعويض بها. يعني ذلك أن الدالة ﻥﺱ غير معرفة عندما يكون ﺱ يساوي سبعة، إذن ﻥ لسبعة قيمة غير معرفة.
