شارح الدرس: ضرب الدوال الكسرية وقسمتها الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: تبسيط دالة كسرية تتضمَّن حاصل ضرب مقدارين كسريين وإيجاد مجال الدالة الناتجة

بسِّط الدالة ، وعيِّن مجالها.

الحل

أفضل طريقة لحل سؤال كهذا هي البدء بتبسيط المقدار بتحليله حيثما أمكن. بالنظر إلى مكوِّنات هذا المقدار واحدًا تلو الآخَر نلاحظ أن بسط الدالة الكسرية الأولى مقدار تربيعي على صورة مربع كامل، ومن ثَمَّ يمكننا تحليله إلى:

في المقام يمكننا التحليل بإخراج عاملًا مشترَكًا لنجد أن:

في الدالة الكسرية الثانية يمكننا إخراج ٧ عاملًا مشترَكًا للحصول على:

وأخيرًا، في المقام الثاني لدينا مقدار تربيعي على صورة فرق بين مربعين، ويمكن تحليله إلى:

بعد تحليل كل الحدود يمكننا إعادة كتابة الدالة على النحو الآتي:

قبل ضرب هذين المقدارين معًا من المهم ملاحظة أنه في المقدار الأول النقطتان ، لا تمثِّلان حلًّا صحيحًا، وفي المقدار الثاني النقطتان ، لا تمثِّلان حلًّا صحيحًا. بالاستفادة من حقيقة أن مجال حاصل ضرب دالتين كسريتين هو المجال المشترَك لهاتين الدالتين؛ إذن نجد أن مجال الدالة يجب أن يكون .

نلاحظ أنه من المهم القيام بذلك قبل التبسيط أكثر من ذلك؛ لأنه حتى إذا ألغينا الحدود فسيظل من غير المسموح أن نجعل يأخذ قيمًا غير صحيحة في المقدار الأصلي.

والآن، قبل ضرب المقدارين معًا نلاحظ أنه يمكننا بالفعل إلغاء الحدود في البسطين والمقامين. بملاحظة أن في المقام، وأنه يمكننا أخذ الحد خارج الكسر؛ نحصل على:

والآن، نضرب الكسرين معًا على النحو الآتي:

وختامًا، نجد أن الدالة ، ومجالها هو .

مثال ٢: تبسيط دالة كسرية تتضمَّن حاصل ضرب مقدارين كسريين وإيجاد مجال الدالة الناتجة

بسِّط الدالة ، وأوجد مجالها.

الحل

دعونا نبدأ بتحليل المقدارين قدر الإمكان. باستعراض البسطين والمقامين واحدًا تلو الآخَر، نبدأ بالمقدار:

هذا مقدار تكعيبي. تذكَّر أنه لتحليل مجموع مكعبين نحصل على الصيغة التالية التي يمكننا استخدامها:

دعونا نحدِّد إذا ما كانت الدالة مكتوبة على الصورة الصحيحة (على سبيل المثال، هل هناك بحيث أن ؟). باستعراض نلاحظ أن . هذا يعني أن ، ويمكننا تطبيق الصيغة للحصول على:

نلاحظ أنه نظرًا لكون مجموع مكعبين فإن له حلًّا واحدًا حقيقيًّا فقط: . ومن ثَمَّ، العامل الآخَر للمقدار ليست له حلول حقيقية، ولا يمكن تحليله أكثر من ذلك.

دعونا ننظر إلى الحدود الأخرى في الدالة . يمكن تحليل مقام الحد الأول بإخراج :

في بسط الحد الثاني لدينا ؛ وهو بالفعل في أبسط صورة، وفي المقام لدينا مرة أخرى ؛ وهو الذي نعرف أنه ليست له حلول حقيقية. عمومًا، هذا يعطينا:

قبل التبسيط أكثر من ذلك دعونا نوجد قيم التي تكون صحيحة في المجال. في الكسر الأول لدينا ؛ وهو ما يعني أن ، . في الكسر الثاني نعرف أن ليست له حلول حقيقية؛ ومن ثَمَّ أيُّ قيمة لـ جيدة. إذن، مجال الدالة هو .

دعونا الآن نضرب الدالة ، ونبسِّط حيثما أمكن ذلك:

حسنًا، سنجد في النهاية أن ، ومجالها هو .

مثال ٣: تبسيط دالة كسرية تتضمَّن حاصل ضرب مقدارين كسريين وإيجاد قيمة الدالة الناتجة عند قيمة معينة

إذا كانت الدالة ، أوجد قيمة إن أمكن.

الحل

عادة في الأسئلة التي يتعيَّن فيها ضرب دالتين كسريتين معًا يكون البدء بتحليل المعادلات أسهل حتى نتمكَّن من إيجاد مجاليهما ونحذف أيَّ عوامل مشترَكة. ومع ذلك، في هذه الحالة علينا فقط إيجاد قيمة عند نقطة واحدة؛ وبذلك يمكننا أن نعوِّض بقيمة في ونرى ما سنحصل عليه. لكن تكملة لذلك سنوضِّح ما يحدث عند تحليل المعادلة. بعد القيام ببعض العمليات الحسابية سنحصل على:

نلاحظ هنا أنه بسبب العوامل الموجودة في المقامين يكون مجال الدالة هو . وبما أن ليس ضمن المجال فهذا يوضِّح أن إيجاد قيمة ستَنتُج عنه كمية غير معرَّفة. إذا واصلنا إجراء ذلك وحذفنا العوامل فسنحصل على:

والآن، لو لم نتحقَّق من المجال السابق، وحاولنا إيجاد قيمة عند ؛ فإننا سنجد أن:

على الرغم من أننا حصلنا هنا على ناتج معرَّف جيدًا فإننا لا نُوجِد فعليًّا قيمة عند ٧، ولكن بدلًا من ذلك نُوجِد نسخة معدَّلة من مع انقطاع التفرُّد عند . إذن، الإجابة غير صحيحة. وكما ذكرنا من قبل فإن أسهل طريقة لحلِّ هذا النوع من الأسئلة هي التعويض بقيمة في المعادلة الأصلية؛ وهو ما يعطينا:

كما عرفنا بالفعل، يكون الناتج غير معرَّف لأنه يساوي ؛ وهو ما يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة الدالة. إذن، الدالة غير معرَّفة.

مثال ٤: تحديد مجال خارج قسمة مقدارين كسريين

أوجد مجال الدالة .

الحل

تذكَّر أنه بالنسبة إلى مجال خارج قسمة مقدارين كسريين يكون علينا حساب مجموعة من النقاط؛ حيث:

لسنا بحاجة إلى التفكير في المعادلة: ؛ لأنها لن تسبِّب مشاكل عند القسمة. بالنظر إلى الدالة المعطاة يمكننا التأكُّد من أنه إذا كان أو فإن الدالة ستكون غير معرَّفة. وهذا يعني أنه لا يمكن جعل لأن هذا يؤدي إلى أن يساوي المقداران ٠.

نحن نعلم أنه عند القسمة على مقدار كسري فإن هذا يماثل الضرب في المقلوب. إذن، هناك طريقة أخرى لكتابة الدالة هي:

نلاحظ أنه لإيجاد المجال يكون من المهم عدم تبسيط المقدار أكثر من ذلك لأننا ربما نحذف حدودًا مهمة. في هذا المثال لدينا في المقام، و في البسط؛ وهو ما يؤدي إلى حذف . إذا فعلنا ذلك قبل التحقُّق من المجال فربما نغفل حقيقة أن (على الرغم من أنه لحسن الحظ عرفنا هذا أعلاه بالفعل).

على أيِّ حال، بالنظر إلى هذه الصورة للدالة يمكننا التأكُّد من أن هو الشرط الآخَر لهذا المجال؛ وهو ما يؤدي إلى . نعلم الآن أن مجموعة النقاط غير الصحيحة لهذه الدالة هي ، يمكننا القول إن المجال لا بد أن يكون .

مثال ٥: إيجاد قيمة مجال خارج قسمة مقدارين كسريين يتضمَّنان مكوِّنات تربيعية

أوجد مجال الدالة .

الحل

تذكَّر أنه بالنسبة إلى مجال خارج قسمة مقدارين كسريين يكون علينا التفكير في مجموعة من النقاط؛ حيث:

لسنا بحاجة إلى التفكير في المعادلة: ؛ لأنها لا تمثِّل مشكلة إذا كانت تساوي ٠. حسنًا، لنبدأ بتحليل هذه المقادير الثلاثة. يمكننا تحليل المقدار الأول لنحصل على:

إذن، نجد هنا ؛ وهما نقطتان غير صحيحتين في المجال. في المقدار الثاني:

إذن، نقطة أخرى غير صحيحة. وأخيرًا، يصبح لدينا:

هذا يوضِّح أن قيمة غير صحيحة؛ وهو ما نعرفه بالفعل من المقدار الأول.

بتجميع كل هذا معًا نجد أن مجال الدالة هو .

مثال ٦: تبسيط دالة كسرية باستخدام التحليل ثم إيجاد قيمة متغيِّرها عند قيم معينة

إذا كانت ، ؛ فأوجد قيمة .

الحل

لحلِّ هذه المسألة يمكننا محاولة التعويض بقيمة في مباشرة، وجعل ذلك يساوي ٤، لكن لأن هذا ستَنتُج عنه معادلة بدلالة ، وهي التي لا يمكن تبسيطها بسهولة، فمن المحتمل أن يكون هذا صعبًا. بدلًا من ذلك الطريقة الأفضل هي البدء في تبسيط الدالة ثم التعويض بقيمة في الصورة المبسَّطة. دعونا نبدأ في التبسيط بالبدء بالبسط العلوي الأيمن:

لتحليل ذلك، وبما أن هذا مقدار تربيعي؛ فإننا نريد إيجاد عددين عند ضربهما معًا نحصل على ١٤، وعند جمعهما معًا نحصل على ٩. هذان العددان هما ٢ و٧. ومن ثَمَّ، يمكننا تحليل المعادلة للحصول على:

بالنسبة إلى المقام نلاحظ أن المعادلة: على صورة مربع كامل. وبذلك، يمكننا تحليلها لنجد أن:

بالنسبة إلى الكسر الثاني نلاحظ أن لدينا مرة أخرى في البسط مربعًا كاملًا؛ وهو ما يمكن تحليله لنحصل على:

وأخيرًا، بالنسبة إلى المقام نلاحظ وجود عامل مشترَك هو ؛ وهو ما يمكننا إخراجه لنحصل على:

بوضع كل هذا معًا نحصل على التحليل التالي للدالة :

والآن، يصبح لدينا معادلة صحيحة، لكن لكي نتأكَّد من ذلك يمكننا إيجاد مجال الدالة قبل تبسيطها أكثر من ذلك؛ بحساب أصفار المعادلات التالية:

المعادلة الأولى تعطينا: ، ، والثانية تعطينا: ، ، والثالثة تعطينا: ، مرة أخرى. إذن، مجال الدالة هو .

والآن، نبسِّط المعادلة لـ بإيجاد مقلوب المقسوم عليه لنحصل على:

بعد ذلك، نحذف العوامل على النحو الآتي:

وبفضل عمليات التبسيط اختُزِلت هذه المعادلة بشكل كبير إلى النقطة التي يمكننا عندها حلُّ الدالة بسهولة تامة. فنحصل على: