شارح الدرس: ضرب الدوال الكسرية وقسمتها الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نضرب الدوال الكسرية ونقسمها.

دعونا نتذكَّر تعريف الدالة الكسرية.

تعريف: الدوال الكسرية

الدالة 󰎨𞹎𞹑 تُسمَّى دالة كسرية إذا أمكن كتابتها على الصورة: 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)، حيث 𞸋، 𞸌 دالتان كثيرتَا حدود، 𞸌(𞸎)٠ لكلِّ 𞸎𞹎.

نتذكَّر أن المجال 𞹎 للدالة الكسرية 󰎨(𞸎) يعتمد على المقام. إذا كانت الدالة 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸌(𞸎) فإن 𞸎 لا يمكن أن يأخذ قيمًا بحيث 𞸌(𞸎)=٠؛ لأننا عندئذٍ سنقسم على صفر، وستكون الدالة 󰎨(𞸎) غير معرَّفة.

دعونا نتناول ما يحدث عند ضرب دالتين كسريتين معًا. نتذكَّر أنه إذا كان لدينا عددان نسبيان عاديان (أو كسران) يساويان 𞸋𞸌، 𞸊𞸒 فإن حاصل ضربهما يساوي ببساطة: 𞸋𞸌×𞸊𞸒=𞸋𞸊𞸌𞸒.

هذا يعني أننا نضرب البسطين (أي العددين الموجودين بالأعلى) معًا، والمقامين (أي العددين الموجودين بالأسفل) معًا. تُطبِّق الدوال الكسرية الطريقة نفسها. نفترض أن لدينا دالتين كسريتين 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)، 𞸓(𞸎)=𞸊(𞸎)𞸒(𞸎). إذن، حاصل ضربهما يساوي: 𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)×𞸊(𞸎)𞸒(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸊(𞸎)𞸌(𞸎)𞸒(𞸎).

الفرق الوحيد هو أننا نتعامل الآن مع دوال تعتمد على 𞸎 بدلًا من مجرد أعداد. بطبيعة الحال، ما زال علينا التفكير في المجال المناسب لهذه الدالة. بالاستفادة من معلوماتنا عن الدوال الكسرية يمكننا القول إن 𞸋(𞸎)𞸊(𞸎)𞸌(𞸎)𞸒(𞸎) لا يكون صحيحًا إلا إذا كان المقام 𞸌(𞸎)𞸒(𞸎)٠؛ وهو ما يعني أننا نحتاج إلى أن يكون 𞸌(𞸎)٠، 𞸒(𞸎)٠ (لأنه إذا كان أيٌّ منهما يساوي صفرًا فإن حاصل ضربهما سيساوي صفرًا أيضًا). هذا يقودنا إلى القاعدة التالية.

قاعدة: حاصل ضرب الدوال الكسرية

افترض أن 𞸓(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)، 𞸤(𞸎)=𞸊(𞸎)𞸒(𞸎) دالتان كسريتان، وافترض أن حاصل ضربهما يساوي 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)𞸤(𞸎). إذن: 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸊(𞸎)𞸌(𞸎)𞸒(𞸎)، ويكون مجال الدالة 󰎨(𞸎) هو المجال المشترَك للدالتين 𞸓(𞸎)، 𞸤(𞸎).

تذكَّر أن المجال المشترَك لدالتين كسريتين هو ببساطة تقاطُع مجاليهما، ويمكننا حساب ذلك بإيجاد جميع نقاط 𞸎 التي تجعل أيًّا من المقامين 𞸌(𞸎) أو 𞸒(𞸎) يساوي صفرًا، وطرحها من 𞹇.

دعونا نوضِّح كيفية تطبيق ذلك من خلال مثال بسيط. افترض أن لدينا: 𞸓(𞸎)=٢𞸎٣،𞸤(𞸎)=٤𞸎+١𞸎.

لإيجاد حاصل ضربهما؛ أي الدالة 󰎨(𞸎)، فإننا ببساطة نضرب البسطين والمقامين معًا: 󰎨(𞸎)=٢𞸎٣×٤𞸎+١𞸎=٢(٤𞸎+١)𞸎(𞸎٣).

لإيجاد مجال هذه الدالة نُوجِد المجال المشترَك للدالتين 𞸓(𞸎)، 𞸤(𞸎). مجال الدالة 𞸓(𞸎) يساوي 𞹇{٣}، ومجال الدالة 𞸤(𞸎) يساوي 𞹇{٠}. إذن، مجال الدالة 󰎨(𞸎) هو تقاطُع هذين المجالين 𞹇{٠،٣}.

يمكننا التحقُّق من ذلك بالنظر إلى مقام الدالة 󰎨(𞸎). نجد أنه إذا اعتبرنا أن 𞸎=٠ أو 𞸎=٣ فإن المقام سيساوي ٠، وهو ما يعني أن المقدار غير معرَّف. من ناحية أخرى ستكون أيُّ قيمة أخرى لـ 𞸎𞹇 صحيحة.

من المهم ملاحظة أن علينا دائمًا التحقُّق من أن المجال صحيح قبل التبسيط بحذف أيِّ حدود. لنفترض، على سبيل المثال، أن لدينا: 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎١×𞸎١𞸎.٢

إذا بسَّطنا هذه الدالة قبل التحقُّق من المجال فسنحصل على: 𞸎𞸎+١×𞸎١𞸎=𞸎(𞸎١)𞸎(𞸎١)=𞸎𞸎(𞸎١)𞸎(𞸎١)=𞸎.٢٢

في البداية، تبدو هذه الدالة صحيحة لأيِّ 𞸎𞹇. لكنَّ هذا يستبعد حقيقة أن الدالة 󰎨(𞸎) غير معرَّفة إذا اعتبرنا أن 𞸎=٠ أو 𞸎=١ في المقدار الأصلي. لذا، من المهم التحقُّق من أيِّ نقطة من النقاط التي يساوي المقام عندها ٠ قبل حذف أيِّ حدود.

حتى هذه المرحلة، لم نتناول سوى الدوال الكسرية التي تحتوي على دوال خطية كثيرات الحدود، لكن ضع في اعتبارك أن علينا أيضًا تناول دوال كسرية تتضمَّن دوال كثيرات الحدود ذات رتب عليا مثل الدوال التربيعية. في هذه الحالة، عادة ما تكون أفضل طريقة للحل هي تبسيط المقادير عن طريق تحليلها قدر الإمكان قبل ضربها معًا.

تذكَّر أنه لتحليل أيِّ مقدار تربيعي يمكننا تطبيق الطريقة العامة التالية.

كيفية تحليل المقادير التربيعية

افترض أن الدالة 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢ دالة تربيعية. إذن، يمكننا تطبيق طريقة الحل خطوة بخطوة لتحليل الدالة 󰎨(𞸎) كما يلي:

  1. إيجاد قيمة 󰏡𞸢 وعواملها. ومن ثَمَّ، البحث عن العددين 𞸋، 𞸌؛ بحيث 𞸋𞸌=󰏡𞸢.
  2. إيجاد عاملين لـ 󰏡𞸢 نجمعهما معًا للحصول على 𞸁.نفترض أننا وجدنا أن 𞸋+𞸌=𞸁.
  3. إعادة كتابة المقدار على الصورة: 󰏡𞸎+𞸋𞸎+𞸌𞸎+𞸢٢.
  4. تحليل الحدين الأولين، والحدين الأخيرين.
  5. وأخيرًا، التحليل بإخراج العامل المشترَك.

دعونا نطبِّق هذا على مثال، ونفترض أن لدينا: ٢𞸎+٧𞸎+٦٢. هنا، 󰏡=٢، 𞸁=٧، 𞸢=٦. بتطبيق طريقة الحل المذكورة أعلاه نحصل على:

  1. 󰏡𞸢=٢١.عوامل قيمتها هي: (١،٢١)، (٢،٦)، (٣،٤).
  2. بجمع هذه العوامل معًا: 󰃳١+٢١=٣١،٢+٦=٨،٣+٤=٧. وبما أن 𞸁=٧ فإن هذا يعني أن ٣ و٤ قيمتان صحيحتان.
  3. نعيد كتابة المقدار على الصورة: ٢𞸎+٣𞸎+٤𞸎+٦٢.
  4. نحلِّل بإخراج 𞸎 من الحدين الأولين، و٢ من الحدين التاليين لنحصل على: 𞸎(٢𞸎+٣)+٢(٢𞸎+٣).
  5. نحلِّل بإخراج (٢𞸎+٣) باعتباره عاملًا مشترَكًا لنحصل على: (𞸎+٢)(٢𞸎+٣).

وأخيرًا، يمكننا التحقُّق من أن هذا التحليل صحيح بفكِّ الأقواس؛ وهو ما يوضِّح أن هذا يساوي بالفعل: ٢𞸎+٧𞸎+٦٢. بالإضافة إلى هذه الطريقة نلاحظ أيضًا أنه يمكننا أحيانًا تطبيق اختصارات مثل الإشارة إلى أن 𞸎𞸁=(𞸎+𞸁)(𞸎𞸁)٢٢؛ وهو ما يوفِّر علينا بعض الخطوات.

لذا؛ دعونا نتناول حاصل ضرب المقادير الكسرية التي تتضمَّن حدودًا تربيعية، ونرى الطريقة العامة التي نستخدمها.

مثال ١: تبسيط دالة كسرية تتضمَّن حاصل ضرب مقدارين كسريين وإيجاد مجال الدالة الناتجة

بسِّط الدالة 𞸍(𞸎)=𞸎+٦١𞸎+٤٦𞸎+٨𞸎×٧𞸎٦٥٤٦𞸎٢٢٢، وعيِّن مجالها.

الحل

أفضل طريقة لحل سؤال كهذا هي البدء بتبسيط المقدار بتحليله حيثما أمكن. بالنظر إلى مكوِّنات هذا المقدار واحدًا تلو الآخَر نلاحظ أن بسط الدالة الكسرية الأولى مقدار تربيعي على صورة مربع كامل، ومن ثَمَّ يمكننا تحليله إلى: 𞸎+٦١𞸎+٤٦=(𞸎+٨).٢٢

في المقام يمكننا التحليل بإخراج 𞸎 عاملًا مشترَكًا لنجد أن: 𞸎+٨𞸎=𞸎(𞸎+٨).٢

في الدالة الكسرية الثانية يمكننا إخراج ٧ عاملًا مشترَكًا للحصول على: ٧𞸎٦٥=٧(𞸎٨).

وأخيرًا، في المقام الثاني لدينا مقدار تربيعي على صورة فرق بين مربعين، ويمكن تحليله إلى: ٤٦𞸎=(٨+𞸎)(٨𞸎).٢

بعد تحليل كل الحدود يمكننا إعادة كتابة الدالة 𞸍(𞸎) على النحو الآتي: 𞸍(𞸎)=(𞸎+٨)𞸎(𞸎+٨)×٧(𞸎٨)(٨+𞸎)(٨𞸎).٢

قبل ضرب هذين المقدارين معًا من المهم ملاحظة أنه في المقدار الأول النقطتان 𞸎=٠، 𞸎=٨ لا تمثِّلان حلًّا صحيحًا، وفي المقدار الثاني النقطتان 𞸎=٨، 𞸎=٨ لا تمثِّلان حلًّا صحيحًا. بالاستفادة من حقيقة أن مجال حاصل ضرب دالتين كسريتين هو المجال المشترَك لهاتين الدالتين؛ إذن نجد أن مجال الدالة 𞸍(𞸎) يجب أن يكون 𞹇{٨،٠،٨}.

نلاحظ أنه من المهم القيام بذلك قبل التبسيط أكثر من ذلك؛ لأنه حتى إذا ألغينا الحدود فسيظل من غير المسموح أن نجعل 𞸎 يأخذ قيمًا غير صحيحة في المقدار الأصلي.

والآن، قبل ضرب المقدارين معًا نلاحظ أنه يمكننا بالفعل إلغاء الحدود في البسطين والمقامين. بملاحظة أن (٨𞸎)=(𞸎٨) في المقام، وأنه يمكننا أخذ الحد خارج الكسر؛ نحصل على: 𞸍(𞸎)=(𞸎+٨)𞸎(𞸎+٨)×󰃁٧(𞸎٨)(٨+𞸎)(𞸎٨)󰃀=(𞸎+٨)𞸎(𞸎+٨)×󰃭٧(𞸎٨)(٨+𞸎)(𞸎٨)󰃬=𞸎+٨𞸎×󰃁٧٨+𞸎󰃀.٢٢

والآن، نضرب الكسرين معًا على النحو الآتي: 𞸍(𞸎)=𞸎+٨𞸎×󰃁٧٨+𞸎󰃀=٧(𞸎+٨)𞸎(٨+𞸎)=٧(𞸎+٨)𞸎(٨+𞸎)=٧𞸎.

وختامًا، نجد أن الدالة 𞸍(𞸎)=٧𞸎، ومجالها هو 𞹇{٨،٠،٨}.

دعونا نتناول مثالًا مشابهًا يتضمَّن هذه المرة مقدارًا تكعيبيًّا في البسط، ونطبِّق المفاهيم نفسها التي استخدمناها للتوِّ.

مثال ٢: تبسيط دالة كسرية تتضمَّن حاصل ضرب مقدارين كسريين وإيجاد مجال الدالة الناتجة

بسِّط الدالة 𞸍(𞸎)=𞸎+٣٤٣٢𞸎+٤١𞸎×𞸎+٣𞸎٧𞸎+٩٤٣٢٢، وأوجد مجالها.

الحل

دعونا نبدأ بتحليل المقدارين قدر الإمكان. باستعراض البسطين والمقامين واحدًا تلو الآخَر، نبدأ بالمقدار: 𞸎+٣٤٣.٣

هذا مقدار تكعيبي. تذكَّر أنه لتحليل مجموع مكعبين نحصل على الصيغة التالية التي يمكننا استخدامها: 𞸎+𞸢=(𞸎+𞸢)󰁓𞸎𞸢𞸎+𞸢󰁒.٣٣٢٢

دعونا نحدِّد إذا ما كانت الدالة مكتوبة على الصورة الصحيحة (على سبيل المثال، هل هناك 𞸢 بحيث أن 𞸢=٣٤٣٣؟) باستعراض ٢،٣،٤٣٣٣ نلاحظ أن ٧=٣٤٣٣. هذا يعني أن 𞸢=٧، ويمكننا تطبيق الصيغة للحصول على: 𞸎+٣٤٣=(𞸎+٧)󰁓𞸎٧𞸎+٩٤󰁒.٣٢

نلاحظ أنه نظرًا لكون 𞸎+٣٤٣=٠٣ مجموع مكعبين فإن له حلًّا واحدًا حقيقيًّا فقط: 𞸎=٧. ومن ثَمَّ، العامل الآخَر للمقدار 𞸎٧𞸎+٩٤=٠٢ ليست له حلول حقيقية، ولا يمكن تحليله أكثر من ذلك.

دعونا ننظر إلى الحدود الأخرى في الدالة 𞸍(𞸎). يمكن تحليل مقام الحد الأول بإخراج ٢𞸎:٢𞸎+٤١𞸎=٢𞸎(𞸎+٧).٢

في بسط الحد الثاني لدينا 𞸎+٣؛ وهو بالفعل في أبسط صورة، وفي المقام لدينا مرة أخرى 𞸎٧𞸎+٩٤٢؛ وهو الذي نعرف أنه ليست له حلول حقيقية. عمومًا، هذا يعطينا: 𞸍(𞸎)=(𞸎+٧)󰁓𞸎٧𞸎+٩٤󰁒٢𞸎(𞸎+٧)×𞸎+٣𞸎٧𞸎+٩٤.٢٢

قبل التبسيط أكثر من ذلك دعونا نوجد قيم 𞸎 التي تكون صحيحة في المجال. في الكسر الأول لدينا ٢𞸎(𞸎+٧)٠؛ وهو ما يعني أن 𞸎٠، 𞸎٧. في الكسر الثاني نعرف أن 𞸎٧𞸎+٩٤=٠٢ ليست له حلول حقيقية؛ ومن ثَمَّ أيُّ قيمة لـ 𞸎 جيدة. إذن، مجال الدالة 𞸍(𞸎) هو 𞹇{٧،٠}.

دعونا الآن نضرب الدالة 𞸍(𞸎)، ونبسِّط حيثما أمكن ذلك: 𞸍(𞸎)=(𞸎+٧)󰁓𞸎٧𞸎+٩٤󰁒٢𞸎(𞸎+٧)×𞸎+٣𞸎٧𞸎+٩٤=(𞸎+٧)󰁓𞸎٧𞸎+٩٤󰁒(𞸎+٣)٢𞸎(𞸎+٧)(𞸎٧𞸎+٩٤)=(𞸎+٧)󰁓𞸎٧𞸎+٩٤󰁒(𞸎+٣)٢𞸎(𞸎+٧)󰁓𞸎٧𞸎+٩٤󰁒=𞸎+٣٢𞸎.٢٢٢٢٢٢

حسنًا، سنجد في النهاية أن 𞸍(𞸎)=(𞸎+٣)٢𞸎، ومجالها هو 𞹇{٧،٠}.

على الرغم من أنه يتعيَّن علينا عادة تبسيط حاصل ضرب المقادير الكسرية وإيجاد مجال ذلك فإن المطلوب منَّا يكون أحيانًا إيجاد قيمة حاصل الضرب عند نقطة معينة. في هذه الحالة، علينا ببساطة التعويض بالقيمة المعطاة في الدالة. من المهم الانتباه إلى ما يطلبه السؤال حتى نتمكَّن من تجنُّب خطوات ليست ضرورية في الواقع.

مثال ٣: تبسيط دالة كسرية تتضمَّن حاصل ضرب مقدارين كسريين وإيجاد قيمة الدالة الناتجة عند قيمة معينة

إذا كانت الدالة 𞸍(𞸎)=𞸎٦𞸎٥١𞸎+٤٥×𞸎٣𞸎٨٢٢𞸎٥١𞸎+٧٢٢٢، أوجد قيمة 𞸍(٧) إن أمكن.

الحل

عادة في الأسئلة التي يتعيَّن فيها ضرب دالتين كسريتين معًا يكون البدء بتحليل المعادلات أسهل حتى نتمكَّن من إيجاد مجاليهما ونحذف أيَّ عوامل مشترَكة. ومع ذلك، في هذه الحالة علينا فقط إيجاد قيمة 𞸍 عند نقطة واحدة؛ وبذلك يمكننا أن نعوِّض بقيمة 𞸎=٧ في 𞸍 ونرى ما سنحصل عليه. لكن تكملة لذلك سنوضِّح ما يحدث عند تحليل المعادلة. بعد القيام ببعض العمليات الحسابية سنحصل على: 𞸍(𞸎)=𞸎٦(𞸎٦)(𞸎٩)×(𞸎٧)(𞸎+٤)(٢𞸎١)(𞸎٧).

نلاحظ هنا أنه بسبب العوامل الموجودة في المقامين يكون مجال الدالة 𞸍(𞸎) هو 𞹇{٥٫٠،٦،٧،٩}. وبما أن 𞸎=٧ ليس ضمن المجال فهذا يوضِّح أن إيجاد قيمة 𞸍(٧) ستَنتُج عنه كمية غير معرَّفة. إذا واصلنا إجراء ذلك وحذفنا العوامل فسنحصل على: =𞸎٦(𞸎٦)(𞸎٩)×(𞸎٧)(𞸎+٤)(٢𞸎١)(𞸎٧)=١𞸎٩×𞸎+٤٢𞸎١=𞸎+٤(𞸎٩)(٢𞸎١).

والآن، لو لم نتحقَّق من المجال السابق، وحاولنا إيجاد قيمة 𞸍(𞸎) عند 𞸎=٧؛ فإننا سنجد أن: ٧+٤(٧٩)(٧×٢١)=١١(٢)(٣١)=١١٦٢.

على الرغم من أننا حصلنا هنا على ناتج معرَّف جيدًا فإننا لا نُوجِد فعليًّا قيمة 𞸍 عند ٧، ولكن بدلًا من ذلك نُوجِد نسخة معدَّلة من 𞸍 مع انقطاع التفرُّد عند 𞸎=٧. إذن، الإجابة غير صحيحة. وكما ذكرنا من قبل فإن أسهل طريقة لحلِّ هذا النوع من الأسئلة هي التعويض بقيمة 𞸎=٧ في المعادلة الأصلية؛ وهو ما يعطينا: 𞸍(٧)=٧٦٧٥١×٧+٤٥×٧٣×٧٨٢٢×٧٥١×٧+٧=١٩٤٥٠١+٤٥×٩٤١٢٨٢٢×٩٤٥٠١+٧=١٢×٠٠=٠٠.٢٢٢

كما عرفنا بالفعل، يكون الناتج غير معرَّف لأنه يساوي ٠٠؛ وهو ما يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة الدالة. إذن، الدالة 𞸍(٧) غير معرَّفة.

لقد رأينا ما يحدث إذا ضربنا دالتين كسريتين معًا، لكن ماذا يحدث إذا قسمنا دالة كسرية على أخرى؟ للتفكير في ذلك دعونا نَعُد إلى ما يحدث إذا كنا نتعامل مع الأعداد النسبية: 𞸋𞸌÷𞸊𞸒=𞸋𞸌×𞸒𞸊=𞸋𞸒𞸌𞸊.

الناتج كما نرى هو إيجاد مقلوب المقسوم عليه. تذكَّر أن مقلوب أيِّ عدد 𞸎 يساوي ببساطة ١𞸎. في حالة الكسر يماثل إيجادُ المقلوب تبديلَ البسط والمقام. إذن، مقلوب 𞸊𞸒 يساوي ببساطة 𞸒𞸊. يمكننا فعل الأمر نفسه مع الدوال الكسرية.

بافتراض أن لدينا دالتين كسريتين 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)، 𞸓(𞸎)=𞸊(𞸎)𞸒(𞸎) فإن خارج قسمتهما يساوي: 𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)÷𞸊(𞸎)𞸒(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)×𞸒(𞸎)𞸊(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸒(𞸎)𞸌(𞸎)𞸊(𞸎).

بمجرد إيجاد مقلوب الدالة نجد أن باقي خطوات العملية الحسابية يماثل طريقة ضرب الدوال معًا.

الأمر الآخَر الوحيد الذي علينا التفكير فيه هو مجال خارج القسمة؛ حيث علينا الانتباه لذلك. لاحظ أنه في المقدار السابق نحتاج أولًا إلى أن يكون 𞸌(𞸎)، 𞸒(𞸎)٠ لأيِّ 𞸎. وبمجرد إيجاد المقلوب نلاحظ أننا نحتاج أيضًا إلى أن يكون 𞸊(𞸎)٠. إذن، بالمقارنة بحالة الضرب فإن علينا التحقُّق من حدٍّ إضافي لتحديد المجال الصحيح. وهذا يقودنا إلى القاعدة الآتية.

قاعدة: قسمة الدوال الكسرية

تذكَّر أن أصفار الدالة 󰎨(𞸎) هي النقاط 𞸏؛ حيث 󰎨(𞸏)=٠. إذا كان 𞸓(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)، 𞸤(𞸎)=𞸊(𞸎)𞸒(𞸎) دالتين كسريتين، وخارج قسمتهما يساوي 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)𞸤(𞸎)؛ فإن: 󰎨(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸒(𞸎)𞸌(𞸎)𞸊(𞸎)، ومجال الدالة 󰎨(𞸎) هو 𞹇𞸏(𞸌(𞸎))𞸏(𞸊(𞸎))𞸏(𞸒(𞸎))؛ حيث يشير 𞸏 إلى مجموعة أصفار الدالة.

تعني هذه القاعدة أنه علينا التفكير في جميع النقاط التي قد يكون المقام عندها يساوي ٠، واستبعادها من المجال.

سنشرح بالضبط كيفية تطبيق ذلك في المثال التالي.

مثال ٤: تحديد مجال خارج قسمة مقدارين كسريين

أوجد مجال الدالة 𞸍(𞸎)=٣𞸎٥١𞸎٦÷٦𞸎٠٣٤𞸎٤٢.

الحل

تذكَّر أنه بالنسبة إلى مجال خارج قسمة مقدارين كسريين يكون علينا حساب مجموعة من النقاط؛ حيث: 𞸎٦=٠،٦𞸎٠٣=٠،٤𞸎٤٢=٠.

لسنا بحاجة إلى التفكير في المعادلة: ٣𞸎٥١=٠؛ لأنها لن تسبِّب مشاكل عند القسمة. بالنظر إلى الدالة المعطاة يمكننا التأكُّد من أنه إذا كان 𞸎٦=٠ أو ٤𞸎٤٢=٠ فإن الدالة 𞸍(𞸎) ستكون غير معرَّفة. وهذا يعني أنه لا يمكن جعل 𞸎=٦ لأن هذا يؤدي إلى أن يساوي المقداران ٠.

نحن نعلم أنه عند القسمة على مقدار كسري فإن هذا يماثل الضرب في المقلوب. إذن، هناك طريقة أخرى لكتابة الدالة 𞸍(𞸎) هي: 𞸍(𞸎)=٣𞸎٥١𞸎٦÷٦𞸎٠٣٤𞸎٤٢=٣𞸎٥١𞸎٦×٤𞸎٤٢٦𞸎٠٣.

نلاحظ أنه لإيجاد المجال يكون من المهم عدم تبسيط المقدار أكثر من ذلك لأننا ربما نحذف حدودًا مهمة. في هذا المثال لدينا 𞸎٦ في المقام، و٤𞸎٤٢=٤(𞸎٦) في البسط؛ وهو ما يؤدي إلى حذف 𞸎٦. إذا فعلنا ذلك قبل التحقُّق من المجال فربما نغفل حقيقة أن 𞸎٦ (على الرغم من أنه لحسن الحظ عرفنا هذا أعلاه بالفعل).

على أيِّ حال، بالنظر إلى هذه الصورة للدالة 𞸍(𞸎) يمكننا التأكُّد من أن ٦𞸎٠٣٠ هو الشرط الآخَر لهذا المجال؛ وهو ما يؤدي إلى 𞸎٥. نعلم الآن أن مجموعة النقاط غير الصحيحة لهذه الدالة هي {٥،٦}، يمكننا القول إن المجال لا بد أن يكون 𞹇{٥،٦}.

بعد أن تناولنا قسمة دوال كسرية تتضمَّن مكوِّنات خطية دعونا نَعُد مرة أخرى إلى مسألة تتضمَّن معادلات تربيعية؛ لأن هذا سيتطلَّب منَّا إجراء عمليات حسابية أكثر تعقيدًا.

مثال ٥: إيجاد قيمة مجال خارج قسمة مقدارين كسريين يتضمَّنان مكوِّنات تربيعية

أوجد مجال الدالة 𞸍(𞸎)=𞸎𞸎٦𞸎٤÷٢𞸎٦𞸎٤𞸎+٤٢٢٢.

الحل

تذكَّر أنه بالنسبة إلى مجال خارج قسمة مقدارين كسريين يكون علينا التفكير في مجموعة من النقاط؛ حيث: 𞸎٤=٠،٢𞸎٦=٠،𞸎٤𞸎+٤=٠.٢٢

لسنا بحاجة إلى التفكير في المعادلة: 𞸎𞸎٦٢؛ لأنها لا تمثِّل مشكلة إذا كانت تساوي ٠. حسنًا، لنبدأ بتحليل هذه المقادير الثلاثة. يمكننا تحليل المقدار الأول لنحصل على: 𞸎٤=٠(𞸎٢)(𞸎+٢)=٠.٢

إذن، نجد هنا 𞸎=٢،٢؛ وهما نقطتان غير صحيحتين في المجال. في المقدار الثاني: ٢𞸎٦=٠٢(𞸎٣)=٠.

إذن، 𞸎=٣ نقطة أخرى غير صحيحة. وأخيرًا، يصبح لدينا: 𞸎٤𞸎+٤=٠(𞸎٢)=٠.٢٢

هذا يوضِّح أن 𞸎=٢ قيمة غير صحيحة؛ وهو ما نعرفه بالفعل من المقدار الأول.

بتجميع كل هذا معًا نجد أن مجال الدالة 𞸍(𞸎) هو 𞹇{٢،٢،٣}.

حتى الآن، لم نضطر إلى حساب أيِّ مقدار صريح لخارج قسمة دالتين كسريتين. في المثال الأخير دعونا نتناول مسألة علينا فيها فعل ذلك ثم إيجاد النقطة التي تساوي عندها الدالة الناتجة قيمة معينة.

مثال ٦: تبسيط دالة كسرية باستخدام التحليل ثم إيجاد قيمة متغيِّرها عند قيم معينة

إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞸎+٩𞸎+٤١𞸎٤÷𞸎٩٤𞸎٢𞸎٢٢٢٢، 󰎨(󰏡)=٤؛ فأوجد قيمة 󰏡.

الحل

لحلِّ هذه المسألة يمكننا محاولة التعويض بقيمة 󰏡 في 󰎨 مباشرة، وجعل ذلك يساوي ٤، لكن لأن هذا ستَنتُج عنه معادلة بدلالة 󰏡، وهي التي لا يمكن تبسيطها بسهولة، فمن المحتمل أن يكون هذا صعبًا. بدلًا من ذلك الطريقة الأفضل هي البدء في تبسيط الدالة ثم التعويض بقيمة 󰏡 في الصورة المبسَّطة. دعونا نبدأ في التبسيط بالبدء بالبسط العلوي الأيمن: 𞸎+٩𞸎+٤١.٢

لتحليل ذلك، وبما أن هذا مقدار تربيعي؛ فإننا نريد إيجاد عددين عند ضربهما معًا نحصل على ١٤، وعند جمعهما معًا نحصل على ٩. هذان العددان هما ٢ و٧. ومن ثَمَّ، يمكننا تحليل المعادلة للحصول على: 𞸎+٩𞸎+٤١=𞸎+٢𞸎+٧𞸎+٤١=(𞸎+٢)(𞸎+٧).٢٢

بالنسبة إلى المقام نلاحظ أن المعادلة: 𞸎٤٢ على صورة مربع كامل. وبذلك، يمكننا تحليلها لنجد أن: 𞸎٤=(𞸎+٢)(𞸎٢).٢

بالنسبة إلى الكسر الثاني نلاحظ أن لدينا مرة أخرى في البسط مربعًا كاملًا؛ وهو ما يمكن تحليله لنحصل على: 𞸎٩٤=(𞸎+٧)(𞸎٧).٢

وأخيرًا، بالنسبة إلى المقام نلاحظ وجود عامل مشترَك هو 𞸎؛ وهو ما يمكننا إخراجه لنحصل على: 𞸎٢𞸎=𞸎(𞸎٢).٢

بوضع كل هذا معًا نحصل على التحليل التالي للدالة 󰎨(𞸎): 󰎨(𞸎)=(𞸎+٢)(𞸎+٧)(𞸎+٢)(𞸎٢)÷(𞸎+٧)(𞸎٧)𞸎(𞸎٢).

والآن، يصبح لدينا 󰎨(󰏡)=٤ معادلة صحيحة، لكن لكي نتأكَّد من ذلك يمكننا إيجاد مجال الدالة 󰎨 قبل تبسيطها أكثر من ذلك؛ بحساب أصفار المعادلات التالية: (𞸎+٢)(𞸎٢)=٠،(𞸎+٧)(𞸎٧)=٠،𞸎(𞸎٢)=٠.

المعادلة الأولى تعطينا: 𞸎=٢، 𞸎=٢، والثانية تعطينا: 𞸎=٧، 𞸎=٧، والثالثة تعطينا: 𞸎=٠، 𞸎=٢ مرة أخرى. إذن، مجال الدالة 󰎨(𞸎) هو 𞹇{٧،٢،٠،٢،٧}.

والآن، نبسِّط المعادلة لـ 󰎨 بإيجاد مقلوب المقسوم عليه لنحصل على: 󰎨(𞸎)=(𞸎+٢)(𞸎+٧)(𞸎+٢)(𞸎٢)×𞸎(𞸎٢)(𞸎+٧)(𞸎٧).

بعد ذلك، نحذف العوامل على النحو الآتي: 󰎨(𞸎)=(𞸎+٢)(𞸎+٧)(𞸎+٢)(𞸎٢)×𞸎(𞸎٢)(𞸎+٧)(𞸎٧)=𞸎𞸎٧.

وبفضل عمليات التبسيط اختُزِلت هذه المعادلة بشكل كبير إلى النقطة التي يمكننا عندها حلُّ الدالة 󰎨(󰏡)=٤ بسهولة تامة. فنحصل على: 󰏡󰏡٧=٤󰏡=٤(󰏡٧)󰏡=٤󰏡٨٢٣󰏡=٨٢󰏡=٨٢٣.

دعونا نختتم باستعراض النقاط الأساسية التي تعلَّمناها خلال هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • ضرب الدوال الكسرية معًا يُطبَّق كما يلي: 𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)×𞸊(𞸎)𞸒(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸊(𞸎)𞸌(𞸎)𞸒(𞸎)، حيث يكون مجال حاصل الضرب هو 𞹇𞸏(𞸌)𞸏(𞸒)، ويشير 𞸏 إلى أصفار الدالة.
  • قسمة الدوال الكسرية تُطبَّق بالطريقة نفسها تقريبًا: 𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)÷𞸊(𞸎)𞸒(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸌(𞸎)×𞸒(𞸎)𞸊(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸒(𞸎)𞸌(𞸎)𞸊(𞸎)، حيث يكون مجال خارج القسمة هو 𞹇𞸏(𞸌)𞸏(𞸒)𞸏(𞸊).
  • يساعدنا التحليل على تبسيط الناتج وإيجاد أيِّ نقاط غير صحيحة في المجال.
  • عند حساب خارج القسمة لا بد من أن نحرص على التحقُّق من بسط المقسوم عليه عند تحديد المجال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.