فيديو الدرس: ضرب الدوال الكسرية وقسمتها الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نضرب الدوال الكسرية ونقسمها.

٢٧:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نضرب الدوال الكسرية ونقسمها. تعرف الدالة ﻥ التي تربط مجموعة المجال ﺱ مع مجموعة المدى ﺹ بأنها دالة كسرية إذا أمكن كتابتها على الصورة: ﻥﺱ يساوي ﺩ واحد ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ؛ حيث ﺩ واحد وﺩ اثنين دالتان كثيرتا الحدود، وﺩ اثنين ﺱ لا يساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ في مجموعة المجال ﺱ. وتعتمد مجموعة المجال ﺱ على الدالة ﺩ اثنين الموجودة في المقام. ولا بد من استبعاد أي قيمة من قيم ﺱ تجعل الدالة ﺩ اثنين ﺱ مساوية لصفر من مجموعة المجال ﺱ؛ لأننا عندئذ سنقسم على صفر، وستكون الدالة ﻥﺱ غير معرفة.

دعونا نتناول ما يحدث عند ضرب دالتين كسريتين معًا. إننا نعلم أنه إذا ضربنا العددين النسبيين ﺩ واحد على ﺩ اثنين وﺩ ثلاثة على ﺩ أربعة معًا، فإن حاصل ضربهما يساوي ﺩ واحدﺩ ثلاثة على ﺩ اثنين ﺩ أربعة. إننا نضرب البسطين ﺩ واحد وﺩ ثلاثة معًا لنحصل على البسط الجديد ﺩ واحد ﺩ ثلاثة. ونضرب المقامين ﺩ اثنين وﺩ أربعة معًا لنحصل على المقام الجديد ﺩ اثنين ﺩ أربعة. تطبق الطريقة نفسها على الدوال الكسرية. سنفترض أن لدينا دالتين كسريتين؛ ﻥ واحد ﺱ يساوي ﺩ واحد ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ، وﻥ اثنين ﺱ يساوي ﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ أربعة ﺱ. لإيجاد حاصل ضرب هاتين الدالتين، فإننا نتعامل معهما بالطريقة نفسها التي نتعامل بها مع الأعداد النسبية. أي إننا نضرب البسطين معًا لنحصل على البسط الجديد. ثم نضرب المقامين معًا لنحصل على المقام الجديد.

وهذا يقودنا إلى النتيجة الآتية. افترض أن ﻥ واحد ﺱ يساوي ﺩ واحد ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ، وﻥ اثنين ﺱ يساوي ﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ أربعة ﺱ دالتان كسريتان. وافترض أن حاصل ضربهما؛ أي ﻥ واحد ﺱ في ﻥ اثنين ﺱ، يساوي ﻥﺱ. إذن، الدالة ﻥﺱ تساوي ﺩ واحد ﺱ في ﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ في ﺩ أربعة ﺱ، ومجال الدالة ﻥﺱ هو المجال المشترك للدالتين ﻥ واحد ﺱ وﻥ اثنين ﺱ. المجال المشترك للدالتين ﻥ واحد ﺱ وﻥ اثنين ﺱ هو تقاطع مجال ﻥ واحد ومجال ﻥ اثنين؛ أي جميع العناصر المشتركة بين المجالين. يمكننا إيجاد هذا المجال المشترك بإيجاد جميع قيم ﺱ التي تجعل أيًّا من الدالتين ﺩ اثنين ﺱ أو ﺩ أربعة ﺱ مساويًا لصفر؛ ومن ثم تجعل الدالة ﻥﺱ غير معرفة، ثم باستبعاد هذه القيم من مجموعة الأعداد الحقيقية.

دعونا نتناول مثالًا بسيطًا. ‏ﻥ واحد ﺱ يساوي اثنين على ﺱ ناقص ثلاثة، وﻥ اثنين ﺱ يساوي أربعة ﺱ زائد واحد على ﺱ. لإيجاد حاصل ضرب ﻥ واحد ﺱ وﻥ اثنين ﺱ، نضرب البسطين معًا، ونضرب المقامين معًا. وهذا يعطينا: اثنان في أربعة ﺱ زائد واحد على ﺱ ناقص ثلاثة في ﺱ. مجال ﻥ هو الأعداد الحقيقية ناقص جميع قيم ﺱ التي تجعل الدالة ﻥﺱ غير معرفة. قيم ﺱ التي تجعل الدالة ﻥﺱ غير معرفة هي نفس قيم ﺱ التي تجعل الدالتين ﻥ واحد ﺱ وﻥ اثنين ﺱ غير معرفتين.

قيمة ﺱ التي تجعل الدالة ﻥ واحد ﺱ غير معرفة، تحقق المعادلة: ﺱ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. ومن ثم، تكون الدالة ﻥ واحد ﺱ غير معرفة عند ﺱ يساوي ثلاثة. وقيمة ﺱ التي تجعل الدالة ﻥ اثنين ﺱ غير معرفة تحقق المعادلة: ﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، تكون الدالة ﻥ اثنين ﺱ غير معرفة عند ﺱ يساوي صفرًا. وبما أن الدالة ﻥﺱ هي حاصل ضرب الدالتين ﻥ واحد ﺱ وﻥ اثنين ﺱ، فإنها غير معرفة عند كل من ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي ثلاثة. وعليه، فإن مجال ﻥ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص مجموعة القيم صفر وثلاثة. عند حساب حاصل ضرب دالتين كسريتين، علينا دائمًا إيجاد مجال الدالة الناتجة قبل تبسيط حاصل الضرب.

افترض، على سبيل المثال، أن لدينا ﻥﺱ يساوي ﺱ تربيع على ﺱ ناقص واحد في ﺱ ناقص واحد على ﺱ. وبحساب حاصل الضرب هذا، نحصل على: ﺱ تربيع في ﺱ ناقص واحد على ﺱ ناقص واحد في ﺱ. إذا حاولنا تبسيط هذا المقدار، بحذف ﺱ ناقص واحد من البسط والمقام أولًا، ثم حذف ﺱ واحدة من البسط مع ﺱ من المقام، فإننا نحصل على: ﻥﺱ يساوي ﺱ، وهي دالة معرفة لأي قيمة حقيقية لـ ﺱ. لكن هذا يتجاهل حقيقة أن حاصل الضرب الأصلي غير معرف عند قيمتين لـ ﺱ؛ وهما: ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي صفرًا. لذا، من المهم أن نتحقق من مجال ﻥ قبل حذف أي حدود من المقدار لدينا.

والآن، دعونا نتناول مثالًا.

بسط الدالة ﻥﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ١٦ﺱ زائد ٦٤ على ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ في سبعة ﺱ ناقص ٥٦ على ٦٤ ناقص ﺱ تربيع، وعين مجالها.

أفضل طريقة لحل مسألة كهذه هي تبسيط المقادير بالتحليل قبل حساب حاصل الضرب. في خارج القسمة الأول، يكون البسط والمقام مقدارين تربيعيين ويمكن تحليلهما. سنتناول البسط أولًا. يمكن تحليل هذا المقدار إلى: ﺱ زائد ثمانية في ﺱ زائد ثمانية، وهو ما يمكن إعادة كتابته على الصورة: ﺱ زائد ثمانية الكل تربيع. والآن، سنتناول المقام. يمكننا تحليله إلى: ﺱ في ﺱ زائد ثمانية. والآن، دعونا نتناول بسط الحد الثاني. يمكننا هنا أخذ العامل المشترك سبعة ليصبح لدينا: سبعة في ﺱ ناقص ثمانية. وأخيرًا، في مقام الحد الثاني، لدينا فرق بين مربعين؛ لأن ٦٤ يساوي ثمانية تربيع. ومن ثم، يمكننا التحليل إلى: ثمانية ناقص ﺱ في ثمانية زائد ﺱ.

يمكننا إذن تبسيط الدالة ﻥﺱ بأكملها إلى: ﺱ زائد ثمانية الكل تربيع على ﺱ في ﺱ زائد ثمانية في سبعة في ﺱ ناقص ثمانية على ثمانية ناقص ﺱ في ثمانية زائد ﺱ. وعلينا الآن إيجاد مجال الدالة ﻥﺱ قبل حساب حاصل الضرب وتبسيطه عن طريق عمليات الحذف. تكون الدالة ﻥﺱ غير معرفة إذا كان أي من الحدود في حاصلي الضرب في المقام مساويًا لصفر. أي إذا كان ﺱ يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا، أو ثمانية ناقص ﺱ يساوي صفرًا، أو ثمانية زائد ﺱ يساوي صفرًا.

قيم ﺱ التي تجعل الدالة ﻥﺱ غير معرفة هي القيم التي تحقق هذه المعادلات. لدينا إذن ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي سالب ثمانية، وﺱ يساوي ثمانية، وﺱ يساوي سالب ثمانية مرة أخرى. وبذلك، يكون مجال ﻥ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص مجموعة القيم سالب ثمانية وصفر وثمانية. ولاحظ أننا لا نحتاج إلى كتابة سالب ثمانية مرتين.

والآن، يمكننا الاستمرار في حذف الحدود لتبسيط المقادير. بالنسبة إلى الحد الأول في حاصل الضرب، يمكننا حذف ﺱ زائد ثمانية من البسط مع ﺱ زائد ثمانية من المقام. وبالنسبة إلى الحد الثاني، نلاحظ أن أحد حدي البسط، وهو ﺱ ناقص ثمانية، يساوي سالب واحد في أحد حدي المقام، وهو ثمانية ناقص ﺱ. إذا أخذنا سالب واحد عاملًا مشتركًا من ﺱ ناقص ثمانية في البسط، فسيصبح لدينا ثمانية ناقص ﺱ. وهذا سيحذف مع الحد الموجود في المقام. وحتى الآن، بسطنا الدالة ﻥﺱ إلى: ﺱ زائد ثمانية على ﺱ في سالب سبعة على ثمانية زائد ﺱ.

والآن، بحساب حاصل الضرب هذا بضرب البسطين معًا والمقامين معًا، نحصل على: ﺱ زائد ثمانية في سالب سبعة على ﺱ في ثمانية زائد ﺱ. يحذف ﺱ زائد ثمانية من البسط مع ثمانية زائد ﺱ من المقام. وهذا يعطينا الجزء الثاني من الإجابة؛ وهو: ﻥﺱ يساوي سالب سبعة على ﺱ.

في هذا المثال، تعاملنا مع مقادير تربيعية في حدود البسطين والمقامين. دعونا الآن نتناول مثالًا يتضمن مقادير تكعيبية.

بسط الدالة ﻥﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ٣٤٣ على اثنين ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ في ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩، وعين مجالها.

قبل حساب حاصل الضرب، يفضل تبسيط المقادير قدر الإمكان عن طريق التحليل؛ لأن هذا يسمح لنا بتحديد مجال الدالة ﻥﺱ بسهولة. سنبدأ ببسط الحد الأول؛ ﺱ تكعيب زائد ٣٤٣. تذكر أنه إذا كان لدينا مجموع مكعبين؛ أي ﺱ تكعيب وﺟ تكعيب، فيمكننا تحليل هذا المقدار إلى: ﺱ زائد ﺟ في ﺱ تربيع ناقص ﺟﺱ زائد ﺟ تربيع. المقدار هنا عبارة عن مجموع مكعبين؛ لأن لدينا ﺱ تكعيب و ٣٤٣، وهذا هو مكعب عدد ما. في الواقع، العدد ٣٤٣ يساوي سبعة تكعيب بالضبط. ومن ثم، يمكننا تحليل هذا المقدار ليصبح لدينا: ﺱ زائد سبعة في ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد سبعة تربيع، وهو ما يساوي ٤٩.

يمكننا أن نحاول تحليل ذلك أكثر عن طريق تحليل هذا الحد التربيعي. ولكن، إذا أخذنا في الاعتبار مميز هذا الحد التربيعي؛ أي ﺏ تربيع ناقص أربعة 𝑎ﺟ، فإننا نحصل على سالب ١٤٧، وهو أقل من صفر. وعليه، فإن هذا المقدار ليست له جذور حقيقية، ولذا لا يمكن تحليله. بعد ذلك، بالنظر إلى مقام الحد الأول، أي اثنين ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ، نجد أنه يمكننا تحليله بإخراج العامل المشترك اثنين ﺱ ليصبح لدينا: اثنان ﺱ في ﺱ زائد سبعة. حسنًا، بسط الحد الأيسر، ﺱ زائد ثلاثة، في أبسط صورة ممكنة بالفعل. وبالنسبة إلى مقام الحد الأيسر، فلدينا نفس المقدار الموجود هنا بالضبط؛ أي ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩. ومن ثم، لا يمكن تحليله أكثر من ذلك.

لقد بسطنا حتى الآن الدالة ﻥﺱ إلى: ﺱ زائد سبعة في ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ على اثنين ﺱ في ﺱ زائد سبعة في ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩. قبل حساب حاصل الضرب، علينا تحديد مجال ﻥ بإيجاد جميع قيم ﺱ التي تجعل الدالة ﻥﺱ غير معرفة، واستبعاد هذه القيم من مجموعة الأعداد الحقيقية. الدالة ﻥﺱ ستكون غير معرفة لأي قيمة من قيم ﺱ تجعل أيًّا من المقامين في حاصل الضرب هذا مساويًا لصفر. وعليه، فإن قيم ﺱ هذه تحقق المعادلات: اثنان ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا، وﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ يساوي صفرًا. يمكننا حل أول معادلتين لدينا بسهولة لإيجاد قيمة ﺱ، وبذلك نحصل على: ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي سالب سبعة.

بالنسبة إلى المعادلة الأخيرة، لقد أوضحنا بالفعل أن مميز هذا المقدار التربيعي أقل من صفر، ولذا ليست له حلول حقيقية. ومن ثم، لا توجد قيم لـ ﺱ تجعل هذا المقام مساويًا لصفر. وعليه، فإن مجال ﻥ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص القيمتين صفر وسبعة. والآن، يمكننا المتابعة وحساب حاصل ضرب هذين المقدارين بضرب البسطين معًا والمقامين معًا لنحصل على: ﺱ زائد سبعة في ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ في ﺱ زائد ثلاثة الكل على اثنين ﺱ في ﺱ زائد سبعة في ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩.

وبما أننا حددنا مجال ﻥ، يمكننا الآن حذف الحدود بأمان. يحذف ﺱ زائد سبعة من البسط مع ﺱ زائد سبعة من المقام. ويحذف ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ زائد ٤٩ من البسط مع نظيره الموجود في المقام. وهذا يعطينا الجزء الثاني من الإجابة؛ وهو: ﻥﺱ يساوي ﺱ زائد ثلاثة على اثنين ﺱ.

في بعض الأحيان، بدلًا من إيجاد مجال حاصل ضرب دالتين كسريتين، علينا فقط إيجاد قيمة الدالة عند نقطة معينة. في هذه الحالة، لسنا بحاجة إلى تبسيط أي حدود أو حذفها، ويمكننا فقط التعويض بقيمة ﺱ في المقدار. هيا نتناول مثالًا على ذلك.

إذا كانت الدالة ﻥﺱ تساوي ﺱ ناقص ستة على ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ زائد ٥٤ في ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٢٨ على اثنين ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ زائد سبعة، فأوجد قيمة ﻥ لسبعة، إن أمكن.

لإيجاد قيمة ﻥ لسبعة، كل ما علينا فعله هو التعويض بقيمة ﺱ؛ أي سبعة، في المقدار لدينا. وبفعل ذلك، نحصل على: ﻥ لسبعة يساوي سبعة ناقص ستة على سبعة تربيع ناقص ١٥ في سبعة زائد ٥٤ الكل مضروب في سبعة تربيع ناقص ثلاثة في سبعة ناقص ٢٨ على اثنين في سبعة تربيع ناقص ١٥ في سبعة زائد سبعة. بتبسيط كلا الحدين في المقدار، نحصل على: واحد مقسومًا على سالب اثنين في صفر على صفر، وهي قيمة غير معرفة. ومن ثم، لا يمكننا إيجاد قيمة ﻥ لسبعة؛ لأن ﻥ غير معرفة عند هذه النقطة.

حسنًا، لقد تناولنا حتى الآن كيفية ضرب دالتين كسريتين معًا. لكن ماذا لو أردنا قسمة دالة كسرية على أخرى؟ تذكر كيف نفعل ذلك مع الأعداد النسبية؛ مثل: ﺩ واحد على ﺩ اثنين، وﺩ ثلاثة على ﺩ أربعة. لحساب ﺩ واحد على ﺩ اثنين مقسومًا على ﺩ ثلاثة على ﺩ أربعة، فإننا نستخدم مقلوب العدد النسبي الثاني، أي ﺩ ثلاثة على ﺩ أربعة، ثم نحسب حاصل الضرب. وهذا يعطينا: ﺩ واحد على ﺩ اثنين مضروبًا في ﺩ أربعة على ﺩ ثلاثة. بعد ذلك، نواصل عملية الضرب كالمعتاد، لنحصل على: ﺩ واحدﺩ أربعة على ﺩ اثنينﺩ ثلاثة. تذكر أيضًا أنه عند قسمة الأعداد النسبية، علينا الانتباه جيدًا للأصفار.

في البداية، تجدر الإشارة إلى أن كلًّا من ﺩ اثنين وﺩ أربعة يجب ألا يساوي صفرًا لكي يكون العددان النسبيان معرفين. ولكن عند حساب حاصل الضرب، فإن ﺩ ثلاثة يجب ألا يساوي صفرًا أيضًا، لأننا نقسم عليه هنا. وينطبق الأمر نفسه على الدوال الكسرية. إذا كان ﻥ واحد ﺱ يساوي ﺩ واحد ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ، وﻥ اثنين ﺱ يساوي ﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ أربعة ﺱ دالتين كسريتين، وخارج قسمتهما هو ﻥﺱ يساوي ﻥ واحد ﺱ على ﻥ اثنين ﺱ، فإن ﻥﺱ يساوي ﺩ واحد ﺱ في ﺩ أربعة ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ في ﺩ ثلاثة ﺱ. ومجال ﻥ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص ﻉﺩ اثنين ﺱ ناقص ﻉﺩ ثلاثة ﺱ ناقص ﻉﺩ أربعة ﺱ. ويشير ﻉ إلى مجموعة أصفار الدالة.

إذن، على سبيل المثال، ﻉﺩ اثنين ﺱ هي مجموعة قيم ﺱ التي تحقق ﺩ اثنين ﺱ يساوي صفرًا. علينا طرح أصفار ﺩ اثنين ﺱ، وﺩ ثلاثة ﺱ، وﺩ أربعة ﺱ من مجال ﻥ بالمنطق نفسه الذي يوضح أن كلًّا من ﺩ اثنين وﺩ ثلاثة وﺩ أربعة لا يمكن أن يساوي صفرًا عند قسمة عددين نسبيين.

دعونا نتعرف على كيفية تطبيق ذلك من خلال مثال.

أوجد مجال الدالة ﻥﺱ تساوي ثلاثة ﺱ ناقص ١٥ على ﺱ ناقص ستة مقسومًا على ستة ﺱ ناقص ٣٠ على أربعة ﺱ ناقص ٢٤.

تذكر أنه عندما تكون لدينا الدالة ﻥﺱ؛ وهي خارج قسمة الدالتين الكسريتين ﺩ واحد ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ وﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ أربعة ﺱ، فعلينا التأكد من استبعاد أي قيم لـ ﺱ من مجال ﻥ تحقق: ﺩ اثنين ﺱ يساوي صفرًا، وﺩ ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا، وﺩ أربعة ﺱ يساوي صفرًا. ‏ﺩ اثنين ﺱ وﺩ أربعة ﺱ يجب ألا يساويا صفرًا، لأننا عندئذ سنقسم على صفر، وستكون ﻥ غير معرفة. علاوة على ذلك، ﺩ ثلاثة ﺱ يجب ألا يساوي صفرًا أيضًا؛ لأننا عند حساب خارج القسمة هنا سنوجد مقلوب ﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ أربعة ﺱ، ثم نضرب الكسرين معًا. وعليه، فإن مجال ﻥ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص ﻉﺩ اثنين ﺱ ناقص ﻉﺩ ثلاثة ﺱ ناقص ﻉﺩ أربعة ﺱ؛ حيث يشير ﻉ إلى مجموعة أصفار الدالة، أي قيم ﺱ التي تجعل الدالة مساوية لصفر.

في السؤال لدينا، ﺩ اثنين ﺱ يساوي ﺱ ناقص ستة، وﺩ ثلاثة ﺱ يساوي ستة ﺱ ناقص ٣٠، وﺩ أربعة ﺱ يساوي أربعة ﺱ ناقص ٢٤. ومن ثم، علينا حل هذه المعادلات الثلاث لإيجاد قيم ﺱ وطرح قيم ﺱ هذه من مجموعة الأعداد الحقيقية لنحصل على مجال ﻥ. حل المعادلة الأولى هو ﺱ يساوي ستة، وحل المعادلة الثانية هو ﺱ يساوي خمسة، وحل المعادلة الثالثة هو ﺱ يساوي ستة مرة أخرى. وعليه، فإن مجال ﻥ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص مجموعة القيم خمسة وستة. ولاحظ أنه لا تلزم كتابة العدد ستة مرتين.

في المثال الأخير، سنتناول خارج قسمة دوال كسرية تتضمن مقادير تكعيبية.

بسط الدالة ﻥﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد ٣٦ على ﺱ تكعيب ناقص ٢١٦ مقسومًا على سبعة ﺱ ناقص ٤٢ على ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦، وعين مجالها.

لتبسيط ﻥﺱ، سنبدأ بتحليل كل حد من الحدين في كل من المقدارين الكسريين لدينا بدءًا ببسط الحد الأيمن؛ أي ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد ٣٦. يمكن تحليل هذا المقدار بسهولة إلى: ﺱ ناقص ستة في ﺱ ناقص ستة، وهو ما يساوي ﺱ ناقص ستة الكل تربيع. أما بالنسبة إلى مقام الحد الأيمن، فنجد أن لدينا فرقًا بين مكعبين. تذكر أنه عندما يكون لدينا فرق بين مكعبين، أي ﺱ تكعيب ناقص ﺟ تكعيب، يمكننا تحليله إلى: ﺱ ناقص ﺟ في ﺱ تربيع زائد ﺟﺱ زائد ﺟ تربيع. ‏٢١٦ هو مكعب عدد ما، بل هو مكعب كامل، ويساوي ستة تكعيب. ومن ثم، يمكننا تحليل هذا المقدار إلى: ﺱ ناقص ستة في ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ستة تربيع، وهو ما يساوي ٣٦.

يمكننا محاولة تحليل هذا المقدار التربيعي أكثر من ذلك. بأخذ المميز ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ، نحصل على الناتج سالب ١٠٨، وهو أقل من صفر. وعليه، فإن هذا المقدار التربيعي ليست له جذور حقيقية، ولا يمكن تحليله أكثر من ذلك. بالنسبة إلى بسط الدالة الكسرية الثانية، لدينا سبعة ﺱ ناقص ٤٢. يمكننا أخذ سبعة عاملًا مشتركًا، ليصبح لدينا: سبعة في ﺱ ناقص ستة. وأخيرًا، في مقام الدالة الكسرية الثانية، لدينا: ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦. وقد أوضحنا للتو أن نفس هذا المقدار ليست له جذور حقيقية، ولا يمكن تحليله أكثر من ذلك.

حسنًا، يمكننا تبسيط الدالة ﻥﺱ إلى: ﺱ ناقص ستة الكل تربيع على ﺱ ناقص ستة في ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦ مقسومًا على سبعة في ﺱ ناقص ستة على ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦. تذكر أنه إذا كانت لدينا الدالة ﻥﺱ؛ وهي خارج قسمة الدالتين الكسريتين ﺩ واحد ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ وﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ أربعة ﺱ، فإن مجال ﻥ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص ﻉﺩ اثنين ﺱ ناقص ﻉﺩ ثلاثة ﺱ ناقص ﻉﺩ أربعة ﺱ؛ حيث يشير ﻉ إلى مجموعة أصفار الدالة. في السؤال لدينا، ﺩ اثنين ﺱ هو مقام الدالة الكسرية الأولى؛ أي ﺱ ناقص ستة في ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦. وﺩ ثلاثة ﺱ هو بسط الدالة الكسرية الثانية؛ أي سبعة في ﺱ ناقص ستة. وﺩ أربعة ﺱ هو مقام الدالة الكسرية الثانية؛ أي ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦.

علينا إيجاد جميع قيم ﺱ التي تحل المعادلات: ﺩ اثنين ﺱ يساوي صفرًا، وﺩ ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا، وﺩ أربعة ﺱ يساوي صفرًا، واستبعاد هذه القيم من مجموعة الأعداد الحقيقية لإيجاد مجال ﻥ. بالنسبة إلى المعادلة الأولى، يجب أن يساوي ﺱ ناقص ستة صفرًا، أو يجب أن يساوي ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦ صفرًا. إذا كان ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي ستة.

وبالنسبة إلى هذا المقدار التربيعي، فلقد رأينا بالفعل أن المميز ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ كان أقل من صفر. وعليه، فإن هذا المقدار ليست له جذور حقيقية، ولذا لا يمكن أن يساوي صفرًا لأي قيمة حقيقية لـ ﺱ. ويمكن حل المعادلة الثانية بسهولة؛ حيث نحصل على ﺱ يساوي ستة مرة أخرى. وفي المعادلة الثالثة، لدينا نفس المقدار التربيعي الذي مميزه أقل من صفر. ومن ثم، لا توجد قيم حقيقية لـ ﺱ تحقق هذه المعادلة. وعليه، فإن قيمة ﺱ الوحيدة التي تجعل أيًّا من هذه الدوال مساويًا لصفر هي ستة. إذن، مجال ﻥ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص العنصر الوحيد ستة.

والآن، يمكننا المتابعة وحساب خارج القسمة والتبسيط. لحساب خارج القسمة، نستخدم مقلوب الدالة الكسرية المقسوم عليها. أي إننا نبدل البسط والمقام ثم نغير عملية القسمة إلى عملية ضرب. بإجراء عملية الضرب بضرب البسطين معًا والمقامين معًا، نحصل على: ﺱ ناقص ستة الكل تربيع في ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦ الكل على ﺱ ناقص ستة في ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦ في سبعة في ﺱ ناقص ستة. يحذف ﺱ ناقص ستة الكل تربيع من البسط مع الحدين ﺱ ناقص ستة من المقام. كما يحذف ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ٣٦ من البسط مع نظيره الموجود في المقام. ويصبح لدينا واحد في البسط وسبعة في المقام، وبذلك نجد أن الدالة ﻥﺱ تساوي سبعًا.

دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. إذا كانت لدينا دالتان كسريتان، ﺩ واحد ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ وﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ أربعة ﺱ، فإن حاصل ضربهما يعطى بالعلاقة: ﺩ واحد ﺱ في ﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ في ﺩ أربعة ﺱ. مجال الدالة الناتجة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص جميع قيم ﺱ التي تجعل الدالة غير معرفة؛ أي أصفار الدالة ﺩ اثنين ﺱ والدالة ﺩ أربعة ﺱ. لحساب خارج قسمة دالتين كسريتين، نستخدم مقلوب الدالة الكسرية المقسوم عليها، أي ﺩ ثلاثة ﺱ على ﺩ أربعة ﺱ، بتبديل البسط والمقام معًا. ثم نحسب حاصل ضرب الدالتين الكسريتين الناتجتين، وهذا يعطينا: ﺩ واحد ﺱ في ﺩ أربعة ﺱ على ﺩ اثنين ﺱ في ﺩ ثلاثة ﺱ. ويكون مجال الدالة الناتجة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص مجموعة أصفار كل من ﺩ اثنين ﺱ وﺩ ثلاثة ﺱ وﺩ أربعة ﺱ.

تذكر أن علينا طرح أصفار الدالة ﺩ ثلاثة ﺱ، لأننا نستخدم مقلوبها ومن ثم نقسم عليها. وبذلك فإن كونها مساوية لصفر يجعل الدالة غير معرفة أيضًا. وتذكر أن علينا دائمًا إيجاد مجال الدالة الناتجة قبل تبسيط أي حدود وحذفها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.