نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل الآتي التمثيل البياني للدالة د، حيث د ﺱ تساوي أربعة في ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص واحد ناقص ﺱ ناقص واحد في ﺱ ناقص خمسة الكل مقسوم على ﺱ ناقص خمسة. ما قيمة د لخمسة؟ ماذا يوضح التمثيل البياني عن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ د ﺱ؟
في هذا السؤال، لدينا التمثيل البياني للدالة د ﺱ، وفي الواقع لدينا صيغة صريحة للدالة د ﺱ. علينا استخدام هاتين المعلومتين لتحديد أمرين. أولًا، علينا تحديد قيمة د عند خمسة. إحدى الطرق لإجراء ذلك بما أن لدينا التعريف الصريح للدالة د ﺱ، هي فقط التعويض بـ ﺱ يساوي خمسة في الدالة د ﺱ.
بالتعويض بـ ﺱ يساوي خمسة في د ﺱ، نجد أن د لخمسة تساوي أربعة في خمسة ناقص خمسة مضروبًا في الجذر التربيعي لخمسة ناقص واحد ناقص خمسة ناقص واحد في خمسة ناقص خمسة الكل مقسوم على خمسة ناقص خمسة. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنجد أن كلا الحدين في البسط بهما العامل صفر، والمقام يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، قيمة د عند خمسة يساوي صفرًا مقسومًا على صفر. ونعرف أنه لا يمكننا قسمة صفر على صفر. إذن، قيمة د عند خمسة لا بد أن تكون غير معرفة. وعليه، فإن هذه هي إحدى الطرق لإظهار أن قيمة د عند خمسة غير معرفة.
لكن يمكننا فعل ذلك مباشرة من التمثيل البياني للدالة د ﺱ أيضًا. بما أن هذا تمثيل بياني للمنحنى ﺹ يساوي د ﺱ، فإن قيم ﺱ ستكون القيم المدخلة للدالة، وقيم ﺹ ستكون القيم المخرجة للدالة. نريد معرفة ما يحدث عند القيمة المدخلة ﺱ يساوي خمسة. لذا يمكننا فعل ذلك بالنظر إلى التمثيل البياني. ويمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام بشأن هذا المنحنى عندما تساوي قيمة ﺱ خمسة. نلاحظ أن لدينا دائرة مفرغة في الشكل. وعندما نلاحظ وجود دائرة مفرغة مثل هذه في منحنى، فإننا نعرف أن هذا يعني أن الدالة غير معرفة عند هذه النقطة. وعليه، فإن الدالة د ﺱ تكون غير معرفة عندما تكون القيمة المدخلة ﺱ يساوي خمسة.
والآن، الجزء الثاني من هذا السؤال يطلب منا الإجابة عن: ماذا يوضح التمثيل البياني عن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ د ﺱ؟ ولكي نبدأ بالإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا أن نتذكر ما نعنيه بنهاية الدالة عندما يقترب ﺱ من قيمة ما. نتذكر أننا نقول إن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لدالة ما د ﺱ تساوي ثابتًا ما ل إذا كانت قيم الدالة د ﺱ تقترب من ل عندما يقترب ﺱ من قيمة ﺃ من الجهتين.
في هذه الحالة، نريد معرفة النهاية عندما يقترب ﺱ من خمسة للدالة د ﺱ. لذا نريد قيمة ﺃ أن تساوي خمسة. في الواقع، يمكننا تحديث التعريف فقط باستخدام القيمة ﺃ تساوي خمسة. لنلق نظرة أقرب على التعريف. نريد معرفة ما يحدث لمخرجات الدالة د ﺱ عندما تقترب قيم ﺱ من خمسة من الجهتين. وفي الواقع، يمكننا فعل ذلك مباشرة من التمثيل البياني.
دعونا نبدأ برؤية ما يحدث لمخرجات د ﺱ عندما يقترب ﺱ من خمسة من أعلى. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن هذا يسمى عادة من اليمين، لأنه عندما تكون قيم ﺱ أكبر من خمسة، فإن هذا على خط الأعداد أو على المحور يعني أن قيم ﺱ ستكون على يمين خمسة. نحن نريد أن نعرف ما يحدث لمخرجات د ﺱ عندما يقترب ﺱ أكثر من خمسة من اليمين.
ولذا، علينا البدء بقيمة ما لـ ﺱ. لنبدأ بـ ﺱ يساوي ثمانية. ويمكننا تقريب قيمة د عند ثمانية باستخدام التمثيل البياني. ونتحرك رأسيًّا لأعلى من القيمة المدخلة ﺱ يساوي ثمانية وصولًا إلى المنحنى. ثم نتحرك أفقيًّا لإيجاد قيمة الإحداثي ﺹ. ويمكننا ملاحظة أن القيمة المخرجة في هذه الحالة تساوي ٣٫٦ تقريبًا.
ومن الجدير بالذكر هنا أنه في هذه الحالة، يمكننا إيجاد قيمة د عند ثمانية مباشرة. كل ما علينا فعله هو التعويض بـ ﺱ يساوي ثمانية في تعريف الدالة د ﺱ. لكننا سنلاحظ أن هذا ليس ضروريًّا للإجابة عن السؤال. تذكر أننا نريد معرفة ما يحدث عندما تقترب قيم ﺱ من خمسة من الجهتين. لذا، يجب أن تقترب قيم ﺱ من خمسة أكثر فأكثر. لذا فلنفعل الشيء نفسه مع قيمة لـ ﺱ أقرب إلى خمسة. دعونا نجرب ﺱ يساوي ستة.
عند فعل الشيء نفسه الذي فعلناه من قبل، يمكننا إيجاد قيمة د التقريبية عند ستة. هذه المرة، يمكننا أن نلاحظ أنها قريبة جدًّا من أربعة. فهي تساوي ٣٫٩ تقريبًا. ويمكننا الاستمرار في فعل الشيء نفسه. وهنا يمكننا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. بما أن قيم ﺱ تقترب أكثر فأكثر من خمسة من اليمين، تقترب مخرجات د ﺱ أكثر فأكثر من أربعة. هذا يعني أن علينا محاولة وضع قيمة ل تساوي أربعة. لكننا لم ننته بعد.
تذكر أن علينا معرفة ما يحدث لمخرجات د ﺱ عندما يقترب ﺱ من خمسة من الجهتين. لذا، علينا معرفة ما يحدث عندما تقترب قيم ﺱ من خمسة من اليسار. ويمكننا فعل ذلك بالطريقة نفسها. علينا أن نبدأ بقيمة ما لـ ﺱ أقل من خمسة. لنبدأ بـ ﺱ يساوي اثنين.
في هذا التمثيل البياني، نلاحظ أنه عند ﺱ يساوي اثنين، فإن قيمة الدالة د ﺱ تساوي ثلاثة تقريبًا. في الواقع، إذا عوضنا عن ﺱ باثنين في الدالة، فسنجد أن قيمتها ستساوي ثلاثة بالضبط. لكننا لسنا بحاجة إلى معرفة ذلك. كل ما علينا فعله هو معرفة ما يحدث للمخرجات عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من خمسة. لذا دعونا نجرب قيمة مدخلة لـ ﺱ أقرب إلى خمسة. هيا نجرب ﺱ يساوي أربعة.
عند فعل الشيء نفسه الذي فعلناه من قبل، يمكننا إيجاد قيمة د التقريبية عند أربعة من التمثيل البياني. هذه المرة، نجد أنها أيضًا تساوي ٣٫٩ تقريبًا. ويمكننا فعل الأمر نفسه، وهو اختيار قيم ﺱ أقرب فأقرب من خمسة من اليسار. وسنلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام. كلما اقتربت قيم ﺱ أكثر فأكثر من خمسة من اليسار، لاحظنا أن مخرجات د ﺱ تقترب أكثر فأكثر من أربعة. إذن، عندما يقترب ﺱ من خمسة من اليسار، تقترب المخرجات أكثر من أربعة. وعندما يقترب ﺱ من خمسة من اليمين، تقترب المخرجات أيضًا أكثر من أربعة. لكن هذا بالضبط ما نعنيه بقولنا إن النهاية تساوي أربعة عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ د ﺱ.
وبذلك نكون قد أوضحنا أن التمثيل البياني يشير إلى أن النهاية تساوي أربعة عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ د ﺱ. وهناك أمر مثير للاهتمام يمكننا ملاحظته بشأن هذا السؤال. في الجزء الأول من هذا السؤال، أوضحنا أن قيمة د عند خمسة غير معرفة. لكن في الجزء الثاني من هذا السؤال، أوضحنا أن النهاية تساوي أربعة عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ د ﺱ. بعبارة أخرى، أوضحنا أنه على الرغم من أن الدالة غير معرفة عند ﺱ يساوي خمسة، فإن نهايتها عندما يقترب ﺱ من خمسة موجودة وتساوي أربعة. وهناك سبب مهم لذلك.
في تعريفنا للنهاية، نتساءل ماذا يحدث للمخرجات عندما يقترب ﺱ من خمسة. هذا يعني أننا نريد معرفة ما يحدث عندما تقترب قيم ﺱ أكثر فأكثر من خمسة. لذا ﺱ لا يساوي خمسة أبدًا. ولهذا السبب، فإن كون الدالة غير معرفة عند ﺱ يساوي خمسة لن يغير قيمة نهايتها عندما يقترب ﺱ من خمسة.
ومن ثم، استطعنا توضيح أنه باستخدام الدالة د ﺱ والتمثيل البياني لهذه الدالة د ﺱ، تكون الدالة غير معرفة عند ﺱ يساوي خمسة. ويشير التمثيل البياني إلى أن النهاية تساوي أربعة عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ د ﺱ.
