نسخة الفيديو النصية
النهايات وترميز النهاية
في هذا الفيديو، سوف نتدرب على استخدام ترميز النهاية وسوف نتعرف على مفهوم النهاية. تعد النهايات أدوات مهمة للغاية تستخدم كثيرًا في فرع حساب التفاضل والتكامل. في كثير من الأحيان، تستخدم كمكونات أساسية تبنى عليها مفاهيم أكثر تعقيدًا سيلي ذكرها بعد هذا الفيديو. إن الصورة القياسية لترميز النهاية تكون كما يلي. سنقرأ هذه العبارة الرياضية: النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﻝ. هذه العبارة ستكون صحيحة، بشرط أن تكون قيمة ﺩ(ﺱ) قريبة بشكل ما من ﻝ عندما تقترب ﺱ بما يكفي من ﺃ، من الجهتين، دون السماح لأن يكون ﺱ مساويًا لـ ﺃ.
جدير بالذكر هنا أننا لن نتحدث في هذا الفيديو عن تعريف دقيق للنهاية رياضيًا. فقد تجد ذلك في مكان آخر إن بحثت مستخدمًا الرمزين اليونانيين 𝜀 و𝛿. عوضًا عن ذلك، سنستخدم هذا التعريف الشائع الاستخدام، والذي يمهد لنا تفسير معنى النهاية. فلننظر مثلًا إلى التمثيل البياني لدالة ما ﺩ(ﺱ). عندما ينص التعريف الذي أوردناه على أن تكون ﺩ(ﺱ) قريبة بشكل ما من ﻝ، فهذا يعني أن تكون قريبة من ﻝ كما نريد. بشكل عام، تخبرنا النهاية أن قيمة ﺩ(ﺱ) تقترب أكثر فأكثر من ﻝ كلما اقتربت قيمة ﺱ أكثر فأكثر من ﺃ. وعندما نقول من الجهتين، نعني بذلك أن ﺱ يمكن أن يقترب إما من قيمة ﺃ من الاتجاه الموجب، وذلك عندما يكون ﺱ أكبر من ﺃ، أو من الاتجاه السالب، وذلك عندما يكون ﺱ أصغر من ﺃ.
أخيرًا، من المهم جدًا ألا يكون ﺱ مساويًا لـ ﺃ. وسوف نتطرق لتلك المعلومة لاحقًا. قبل المتابعة، لاحظ أنك قد ترى ترميزًا بديلًا للنهاية، وسيكون على هذا النحو. سنقرأ هذه العبارة: ﺩ(ﺱ) تقترب من ﻝ عندما يقترب ﺱ من ﺃ. لنلق الآن نظرة على مثال سريع لنوضح استخدام ترميز النهاية.
ما الترميز الصحيح الذي يصف العبارة التالية؟ عند اقتراب ﺱ من صفر، تقترب ﺩ(ﺱ) من سالب ستة.
في الأسئلة من هذا النوع، قد يكون أول ما نلاحظه هو هذه الكلمة «تقترب». عندما يذكر أن قيمة دالة أو متغير تقترب من قيمة ما، فهذا يشير إلى أن السؤال قد يتضمن النهايات. الصورة القياسية لترميز النهاية موضحة هنا. وسنقرأ العبارة على النحو التالي: النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﻝ. عند تجزئة هذه العبارة، فإنها تخبرنا بأنه كلما اقتربت قيمة ﺱ من الثابت، والذي يسمى هنا ﺃ، فإن قيمة ﺩ(ﺱ) ستقترب من ﻝ. ويشار أحيانًا إلى ﻝ هذه بقيمة النهاية. ثمة نصيحة سريعة هنا وهي أن نتذكر أنه لم يذكر أن ﺩ(ﺱ) تساوي ﻝ، بل إن قيمة النهاية تساوي ﻝ.
حسنًا، الآن بعد أن فهمنا كيف نكتب النهاية وكيف نفسر هذه العبارة، دعونا نر كيف نطبقها على السؤال لدينا. نعلم من السؤال أنه عند اقتراب ﺱ من صفر، تقترب قيمة ﺩ(ﺱ) من سالب ستة. الصفر هنا هو القيمة التي نعتبر أن ﺱ يقترب منها. ويمثله ﺃ في المعادلة العامة للنهاية لدينا. بالمثل، سالب ستة هنا، وهي القيمة التي تقترب منها قيمة ﺩ(ﺱ)، يمثله ﻝ في المعادلة العامة للنهاية لدينا. ومن ثم، نكتب العبارة التالية. النهاية عند اقتراب ﺱ من صفر لـ ﺩ(ﺱ) تساوي سالب ستة. بما أننا عوضنا عن ﺃ بصفر، وﻝ تساوي سالب ستة؛ تصاغ العبارة بالطريقة التالية. عند اقتراب قيمة ﺱ من صفر، تقترب قيمة ﺩ(ﺱ) من سالب ستة.
عند النظر إلى العبارة في السؤال والعبارة التي كتبناها للتو، نجد أنهما متماثلتان تمامًا. يعني ذلك أننا عبرنا عن العبارة الواردة في السؤال باستخدام الترميز الصحيح للنهاية.
هيا نرجع الآن إلى التعريف لتسليط الضوء على جزء مهم جدًا. ثمة جزء بالغ الأهمية في التعريف وهو أن النهاية تتعلق بقيم ﺱ القريبة من ﺃ، لكن ليس عندما ﺱ يساوي ﺃ. ويعني ذلك أن قيمة النهاية، التي هي ﻝ بالتأكيد، توفر لنا معلومات مفيدة عن قيمة الدالة عندما يقترب ﺱ من ﺃ. لكن ينبغي ألا نتسرع في استخلاص أي استنتاجات حول قيمة الدالة عند ﺱ يساوي ﺃ. وبالطبع هذا هو ﺩﺃ. في الحقيقة، يمكن أن تختلف قيمة ﺩﺃ تمامًا عن قيمة ﻝ. ويمكننا توضيح ذلك بالمثال الآتي.
لقد رأينا سابقًا تمثيلًا بيانيًا يوضح تعريف النهاية. دعونا نحدد الآن بعض الأرقام على هذا التمثيل البياني لتساعدك في استيعاب المفهوم الذي نتحدث عنه. لدينا الدالة التي قيمة نهايتها عندما ﺱ يقترب من واحد، التي سنسميها الآن ﺩ واحد لـ ﺱ، تساوي ثلاثة. ويعني ذلك بالتأكيد أنه كلما اقترب ﺱ من واحد، تقترب قيمة ﺩ واحد لـ ﺱ من ثلاثة. الآن، يصادف في هذه الدالة أن ﺩ واحد لواحد تساوي ثلاثة. ويعني ذلك أنه عند ﺱ يساوي واحدًا فعليًا، فإن قيمة الدالة تساوي ثلاثة. لكن، الأمر ليس كذلك دائمًا. لنتناول دالة أخرى، وهي ﺩ اثنان لـ ﺱ.
تكاد ﺩ اثنان لـ ﺱ أن تكون مطابقة للدالة الأولى، ﺩ واحد لـ ﺱ. لكن، نلاحظ وجود دائرة مفرغة على التمثيل البياني عند الزوج الإحداثي: واحد، وثلاثة. في حين نلاحظ وجود دائرة مصمتة على التمثيل البياني عند الزوج الإحداثي: واحد، وأربعة. ويعني ذلك أن الدالة غير معرفة عند الدائرة المفرغة لكنها معرفة عند الدائرة المصمتة. عندما يساوي ﺱ واحدًا، فإن الدالة تساوي أربعة. إذن، ﺩ اثنان لواحد تساوي أربعة. على الرغم من ذلك الاختلاف، يجب ألا تعتقد خطأ أن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد تساوي أربعة أيضًا. وفي الواقع، فإنه لم يتغير سوى ﺩ لواحد، وهذه الحقيقة لا تؤثر على قيمة النهاية مطلقًا. ولا يزال بإمكاننا أن نقول إن النهاية عند اقتراب ﺱ من واحد لـ ﺩ اثنين لـ ﺱ تساوي ثلاثة.
ويرجع ذلك إلى أن النهاية تتعلق بقيم ﺱ القريبة بشكل ما من ﺱ يساوي واحدًا، ولكن ليس عند ﺱ يساوي واحدًا فعليًا. كلما اقترب ﺱ من واحد، تظل قيمة ﺩ اثنين لـ ﺱ تقترب من ثلاثة. يمكننا توسيع نطاق هذا المفهوم أكثر من ذلك بملاحظة أن الدالة قد لا تكون معرفة حتى عند القيمة التي تحسب عندها النهاية.
لدينا دالة أخيرة ﺩ ثلاثة لـ ﺱ. هذه الدالة مطابقة للدالتين السابقتين، ما عدا عندما ﺱ يساوي واحدًا. فالدالة هنا غير معرفة. إذن، ﺩ ثلاثة لواحد غير معرفة. مثلما هو الحال مع ﺩ اثنين لـ ﺱ، لا يؤثر هذا الاختلاف على قيمة النهاية. ولا يزال بإمكاننا أن نقول إن النهاية عند اقتراب ﺱ من واحد لـ ﺩ ثلاثة لـ ﺱ تساوي ثلاثة. بالنظر الآن إلى هذه الأمثلة الثلاثة، نلاحظ أن لدينا ثلاث حالات مختلفة. الحالة الأولى عندما تكون قيمة الدالة مساوية لقيمة النهاية عند تلك النقطة. الحالة الثانية عندما تكون قيمة الدالة محددة لكنها لا تساوي قيمة النهاية عند تلك النقطة. وأخيرًا، عندما تكون قيمة الدالة غير معرفة عند النقطة التي تحسب عندها النهاية.
يمكننا تعميم هذه الحالات الثلاث بالقول إنه إذا كانت النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﻝ، فإن ﺩﺃ قد تساوي ﻝ، أو قد تكون ﺩﺃ محددة لكنها لا تساوي ﻝ، أو قد تكون ﺩﺃ غير معرفة. نأمل أن يكون هذا المثال قد أوضح ضرورة عدم التسرع في وضع استنتاجات بخصوص قيمة ﺩﺃ بناء على قيمة النهاية. وذلك لوجود عدة احتمالات مختلفة. هيا نستخدم هذه المعلومة للإجابة عن السؤال التالي.
صواب أم خطأ: إذا كانت النهاية عند اقتراب ﺱ من خمسة لـ ﺩ(ﺱ) تساوي سالب ثلاثة، فإن الدالة ﺩ لخمسة يجب أن تساوي سالب ثلاثة.
المعطيات في هذا السؤال بصيغة النهاية. هيا نفسر هذه العبارة. ما تخبرنا به هذه العبارة أنه كلما اقتربت قيمة ﺱ من خمسة، تقترب قيمة ﺩ(ﺱ) من سالب ثلاثة. هيا ننظر الآن إلى الجزء الثاني من السؤال. يطلب منا السؤال معرفة ما إذا كانت النهاية ستضمن أنه عندما ﺱ يساوي خمسة، فستكون قيمة الدالة سالب ثلاثة. للإجابة عن ذلك، هيا نسترجع الصورة العامة لتعريف النهاية.
نتذكر أن النهاية تتعلق بقيم ﺱ القريبة من ﺃ، ولكن ليس عند ﺱ يساوي ﺃ. قيمة ﺃ هنا في السؤال تساوي خمسة. توفر لنا النهاية معلومات عن الدالة عندما يقترب ﺱ من خمسة، لكنها لا توفر لنا معلومات عن الدالة عندما ﺱ يساوي خمسة. في الحقيقة، من الممكن أن تساوي ﺩ لخمسة قيمة النهاية في السؤال، وهي سالب ثلاثة. ويمكنها أن تأخذ أي قيمة أخرى، أو يمكن أن تكون حتى غير معرفة. ونظرًا لأنه لا يمكننا أن نضمن أن قيمة ﺩ لخمسة تساوي سالب ثلاثة بناء على النهاية، فإن إجابة هذا السؤال هي «خطأ». فالدالة ﺩ لخمسة لا يجب أن تساوي سالب ثلاثة.
والآن، بعد أن فهمنا خصائص النهايات فهمًا جيدًا، هيا نلق نظرة على مثال يطلب منا حساب قيمة النهاية.
يمثل الشكل التالي التمثيل البياني للدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع. ما الذي يشير إليه التمثيل البياني حول قيمة النهاية لـ ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من اثنين؟
لدينا في هذا السؤال دالة. ومطلوب منا حساب قيمة نهاية الدالة المذكورة. لتفسير ذلك، هيا نسترجع الصورة العامة للنهاية. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﻝ. ما تخبرنا به هذه العبارة هو أن قيمة ﺩ(ﺱ) ستقترب من ﻝ كلما اقتربت قيمة ﺱ من ﺃ من الجهتين. لكن تذكر أننا لا تعنينا النقطة التي يساوي ﺱ عندها فعليًا ﺃ. هيا نطبق هذه العبارة الآن على السؤال.
النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺩ(ﺱ) تساوي قيمة ما. وسنعطي هذه القيمة الرمز ﻝ واحد. تمثل ﻝ واحد القيمة التي علينا إيجادها. ما تخبرنا به هذه العبارة هو أن قيمة ﺩ(ﺱ) تقترب من ﻝ واحد عندما تقترب قيمة ﺱ من اثنين من الجهتين. وتذكر أن هذه القيمة لا يلزم بالضرورة أن تكون نفس قيمة الدالة عندما يساوي ﺱ اثنين. لإيجاد قيمة ﻝ واحد، يمكننا أن نرى ما يحدث لقيمة الدالة كلما اقتربنا أكثر من ﺱ يساوي اثنين. سنبدأ بالتفكير في قيمة ما لـ ﺱ تقل عن اثنين قليلًا.
لنفترض أن ﺱ يساوي ١٫٥. في هذه الحالة، ﺩ(ﺱ) تساوي ٢٫٢٥. ولأننا نعلم أن ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع، يمكننا أيضًا التحقق من صحة النتائج التي حصلنا عليها من التمثيل البياني بتربيع ١٫٥. هيا نزد قيمة ﺱ الآن. ها نحن نقترب أكثر من ﺱ يساوي اثنين من اليسار، أي عندما تكون ﺱ أصغر من اثنين. وعندما نفعل ذلك، قد نبدأ في ملاحظة أن قيمة ﺩ(ﺱ) تقترب من أربعة. إذا كنا سنتبع عملية مشابهة، بدءًا من قيمة لـ ﺱ تزيد قليلًا عن اثنين، ومن ثم سنقترب من ﺱ يساوي اثنين من اليمين. فسنلاحظ أن قيم ﺩ(ﺱ) تقترب أيضًا من أربعة.
دون إجراء أي عمليات حسابية، نلاحظ أنه كلما اقترب ﺱ أكثر وأكثر من اثنين، تقترب قيمة ﺩ(ﺱ) أكثر وأكثر من أربعة. هذا صحيح إذا كنا نقترب من اليسار أو اليمين، فإنه بذلك من الجهتين. في التمثيل البياني، نحن نقترب أساسًا من النقطة: اثنين، أربعة. حسنًا، لقد اتضح أن قيمة ﺩ(ﺱ) تقترب من أربعة كلما اقتربت قيمة ﺱ من اثنين. ونظرًا لأن هذه العبارة تمثل تعريف النهاية، يمكننا استخدام ما توصلنا إليه لنقول إن قيمة النهاية تساوي أربعة أيضًا. بذلك، نكون قد أجبنا عن السؤال. بالنظر إلى التمثيل البياني، نلاحظ أن قيمة ﺩ(ﺱ) اقتربت من أربعة عندما اقتربت قيمة ﺱ من اثنين من اليسار واليمين. نستخدم ذلك لنقول إن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺩ(ﺱ) تساوي أربعة.
لنلق الآن نظرة على مثال أخير يطلب منا حساب النهاية.
الشكل التالي هو التمثيل البياني للدالة ﺩ، حيث ﺩ(ﺱ) تساوي جا ﺱ على ﺱ. الجزء (١)، ما قيمة ﺩ لصفر؟
مطلوب في الجزء (١) من هذا السؤال إيجاد قيمة ﺩ لصفر. أي يلزم حساب قيمة الدالة عند ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا إيجاد قيمة ﺩ لصفر من التمثيل البياني بالطريقة التالية. نبدأ من المحور ﺱ؛ حيث ﺱ يساوي صفرًا، ونرسم خطًا لأعلى ليلتقي بالمنحنى. نلاحظ عندما نفعل ذلك أننا نحصل على دائرة مفرغة.
ما يعنيه ذلك أن الدالة غير معرفة عند هذه النقطة على المنحنى. أما إذا تمكنا من رؤية دائرة مصمتة على التمثيل البياني عند نقطة أخرى؛ حيث ﺱ يساوي صفرًا، فسيعني ذلك أن الدالة ستكون معرفة هنا. لكننا لا نرى أي دائرة مصمتة هنا عند ﺱ يساوي صفرًا. وذلك يعني حتمًا أن الدالة غير معرفة عند ﺱ يساوي صفرًا. وفي ضوء ذلك، لا يمكننا إيجاد قيمة ﺩ لصفر، ويلزم أن نقول ببساطة إنها غير معرفة. هذه هي إجابة الجزء (١) من هذا السؤال. هيا نتابع الآن إلى الجزء (٢).
ما الذي يشير إليه التمثيل البياني حول قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺩ(ﺱ)؟
لإجابة هذا الجزء من السؤال بشكل أفضل، هيا نكتب الصورة العامة لمعادلة النهاية. ما تخبرنا به هذه العبارة هو أن قيمة ﺩ(ﺱ) ستقترب من ﻝ عندما تقترب قيمة ﺱ من ﺃ من الجهتين. لكننا لا تعنينا النقطة التي عندها ﺱ يساوي ﺃ. حسنًا، نريد حساب قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لهذه الدالة. بعبارة أخرى، فإن ﺃ في الصورة العامة لمعادلة النهاية يساوي صفرًا. حسنًا، لحساب قيمة النهاية، يلزم إيجاد قيمة ﻝ. ربما سنسمي هذه ﻝ واحد للإيضاح. تمثل ﻝ واحد القيمة التي تقترب منها قيمة ﺩ(ﺱ) عندما يقترب ﺱ من صفر من الجهتين. لإيجاد ﻝ واحد هذه، يمكننا النظر إلى التمثيل البياني وملاحظة ما يحدث للمنحنى عندما تقترب قيمة ﺱ من صفر.
نلاحظ أنه كلما اقترب ﺱ من صفر، تقترب قيمة ﺩ(ﺱ) من واحد. بعبارة أخرى، نقترب أكثر وأكثر من الزوج الإحداثي: صفر، وواحد. لكن انتظر، هذه النقطة: صفر، واحد على التمثيل البياني عبارة عن دائرة مفرغة، ما يعني أن الدالة ليست معرفة هنا. في الواقع، لن يتسبب ذلك في أي مشاكل. ويرجع ذلك إلى أن النهاية تتعلق بقيم ﺱ القريبة من صفر، ولكن ليس عند ﺱ يساوي صفرًا فعليًا. عظيم، لقد وجدنا أن قيمة ﺩ(ﺱ) تقترب من الواحد عندما يقترب ﺱ من صفر من الجهتين. ويعني ذلك أن قيمة ﻝ واحد تساوي واحدًا. يمكننا الآن إعادة كتابة معادلة النهاية بالكامل. النهاية عند اقتراب ﺱ من صفر لـ ﺩ(ﺱ) تساوي واحدًا. لقد أجبنا الآن عن جزئي السؤال.
لقد استخدمنا أولًا التمثيل البياني لنحدد أن ﺩ لصفر غير معرفة. ثم استنتجنا أن نهاية ﺩ(ﺱ)، عند اقتراب ﺱ من صفر، تساوي واحدًا. جدير بالذكر هنا أن قيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من صفر لـ ﺩ(ﺱ) لا تساوي قيمة الدالة عند ﺱ يساوي صفرًا. ينبغي أن نتذكر دائمًا أن نهاية دالة ما عندما يقترب ﺱ من قيمة ما، لنقل ﺃ، لا توفر لنا بالضرورة معلومات موثوقة حول قيمة الدالة عند ﺱ يساوي ﺃ. إن استنتجنا خطأ أن هاتين القيمتين متساويتان دائمًا، فقد يوقعنا ذلك في مشكلة. في الحقيقة، لقد لاحظنا في هذا السؤال أنه لا يلزم أن تكون الدالة معرفة عند النقطة التي تحسب عندها النهاية.
وفي ختام هذا الفيديو، دعونا نراجع بعض النقاط الأساسية. النهايات هي مكون أساسي مهم في العديد من جوانب حساب التفاضل والتكامل. الصورة القياسية للنهاية موضحة هنا. ويمكننا قراءتها على النحو التالي: النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﻝ. كما يمكن أن ترى نفس المعلومات ممثلة باستخدام ترميز مختلف قليلًا. وتفسير هاتين العبارتين هو أن قيمة ﺩ(ﺱ) تقترب من ﻝ كلما اقتربت قيمة ﺱ من ﺃ. وتذكر أنه يجب أن يكون ذلك صحيحًا عندما يقترب ﺱ من ﺃ من الجهتين، أي من الاتجاهين الموجب والسالب.
وثمة جزء بالغ الأهمية في هذا التعريف وهو أن النهايات تتعلق بقيم ﺱ القريبة من ﺃ، ولكن ليس عند ﺱ يساوي ﺃ. ويعني ذلك أن النهاية يمكن أن توفر معلومات مفيدة حول الدالة لقيم ﺱ القريبة من ﺃ. ولكن لا يجب أن نتسرع في استخلاص نتائج حول ﺩﺃ نفسها، ومن ثم حول قيمة الدالة عند ﺱ يساوي ﺃ. لقد شرحنا ذلك سابقًا؛ حيث أوضحنا أنه إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﻝ. يمكن أن يكون صحيحًا أن ﺩﺃ تساوي أيضًا ﻝ، أو أن ﺩﺃ لا تساوي ﻝ؛ ولكنها تساوي قيمة أخرى محددة، أو أن ﺩﺃ في الحقيقة غير معرفة.
