تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: النهايات وترميز النهايات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم ترميز النهاية ونستكشف مفهوم النهاية.

النهايات هي إحدى الأدوات الأساسية في معرفة قيمة دالة بالقرب من قيمة مُدخَلة، وتُعَدُّ النهايات حجر الأساس في حساب التفاضل والتكامل. قبل البدء في تعريف النهايات رياضيًّا، يمكننا أن نستكشف في الشكل التالي لماذا قد تكون النهايات مفيدة.

هذا تمثيل بياني لدالة متعدِّدة التعريف: 󰎨(𞸎)=󰃳𞸎+١،𞸎<٠،𞸎+١،𞸎>٠،٢،𞸎=٠.

يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني (أو تعريف الدالة) أن 󰎨(٠)=٢. ومع ذلك، إذا نظرنا إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أنه إذا كانت قيم المُدخَلات تقترب من ٠، فيبدو أن للمُخرَجات قيمًا مختلفة. على سبيل المثال، 󰎨(١٫٠)=١٫١، 󰎨(١٠٫٠)=١٠٫١.

يمكننا أن نلاحظ السبب في ذلك من التمثيل البياني، فكلما اقتربت قيم المُدخَلات من ٠ من اليمين، اقتربت قيم المُخرَجات أكثر من ١. وينطبق الأمر نفسه أيضًا عندما تقترب القيمة المُدخَلة من ٠ من اليسار.

وهذا يعني أنه إذا اقتربت قيم المُدخَلات من ٠، فإننا نَعرِف أن قيم المُخرَجات تقترب من ١. إن فكرة ما يحدث للدالة بالقرب من (وليس عند) قيم المُدخَلات مهمة للغاية في تحديد المعلومات عن شكلها، وهي السبب في تقديم مفهوم النهاية.

تعريف: نهاية دالة

إذا كانت قيم 󰎨(𞸎) تقترب من قيمةٍ ما 𞸋، عندما تقترب قيم 𞸎 من 󰏡 (من الجهتين) وليس بالضرورة عندما تكون 𞸎=󰏡، فمن ثَمَّ، نقول إن نهاية 󰎨(𞸎) عندما يقترب 𞸎 من 󰏡 تساوي 𞸋، ونرمز لهذا بالصورة: ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.

في المثال السابق، لاحظنا أنه كلما اقتربت قيم 𞸎 من ٠، اقتربت قيم مُخرَجات الدالة من ١؛ لذا، يمكننا القول إن ـــــ𞸎٠󰎨(𞸎)=١. من المهم تذكُّر أن قيمة الدالة عند ٠ لا تؤثِّر على نهاية الدالة عندما يقترب 𞸎 من ٠؛ لأننا نهتم فقط بقيم المُخرَجات القريبة من ٠. ومن ثَمَّ، في هذه الحالة، على الرغم من أن 󰎨(٠)=٢، تكون نهاية 󰎨 عندما يقترب 𞸎 من ٠ تساوي ١.

قبل أن نتناول كيفية تطبيق هذا التعريف، نناقش ترميزًا شائعًا بديلًا.

تعريف: الترميز البديل لنهاية دالة

الترميز 󰎨(𞸎)𞸋 عندما تكون 𞸎󰏡 له المعنى نفسه مثل ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.

يمكننا قراءة السهم على صورة «يقترب من» أو «يئول إلى».

وأخيرًا، يُوجَد تعريف آخر شائع للنهاية، يُشار إليه عادةً بتعريف 𝜖𝛿 للنهاية. هذا تعريف رياضي دقيق للنهاية، وعلى الرغم من كونه مفيدًا في إثبات نواتج النهايات، فإنه أقل بديهية في تطبيق الأمثلة؛ ومن ثَمَّ، لن نتناول هذا التعريف في هذا الشارح.

نبدأ بتناول مثال حول كيفية كتابة ترميز نهاية دالة مُعطاة.

مثال ١: التعبير عن العبارات الرياضية باستخدام ترميز النهاية

ما الترميز الصحيح الذي يَصِف العبارة الآتية؟

عند اقتراب 𞸎 من ٠، تقترب 󰎨(𞸎) من ٦.

الحل

نتذكَّر أن نهاية 󰎨(𞸎) عند اقتراب 𞸎 من 󰏡 كونها تساوي 𞸋 يُرمَز لها بـ ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.

وأخبَرَنا السؤال أن قيم 𞸎 تقترب من ٠، وقيم مُخرَجات 󰎨(𞸎) تقترب من ٦؛ لذا، نستخدم 󰏡=٠، 𞸋=٦ ليُعطينا: ـــــ𞸎٠󰎨(𞸎)=٦.

جدير بالذكر أيضًا أنه يمكننا استخدام الترميز البديل 󰎨(𞸎)٦ عندما تكون 𞸎٠.

في المثال التالي، نُناقش المعلومات التي يمكننا تحديدها حول دالة بمعلومية قيمة نهايتها.

مثال ٢: فَهْم العلاقة بين قيمة دالة ونهاية دالة

إذا كانت 󰎨(٦)=٦، فماذا يمكننا أن نقول حول ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)؟

  1. ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٦
  2. ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)٦
  3. ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=١
  4. ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٠
  5. لا يمكننا استخلاص استنتاج حول ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎).

الحل

لعلنا نتذكَّر أن ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٦ يعني أنه عندما تقترب قيم 𞸎 بشكل ما من ٦ من أيٍّ من الجهتين، تقترب قيم مُخرَجات الدالة من ٦. وهذا يعني أن نهاية 󰎨(𞸎) عندما يقترب 𞸎 من ٦، تخبرنا عن قيم المُخرَجات حول ٦، وليس عندما تكون 𞸎=٦.

لتوضيح ذلك، علينا النظر إلى المنحنيات الآتية. أولًا، 󰎨(𞸎)=𞸎.

في هذا الشكل، عندما تقترب قيم 𞸎 من ٦ من أيِّ طرف من الجهتين، يمكننا ملاحظة أن قيم مُخرَجات الدالة تقترب من ٦.

في هذه الحالة، ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٦، 󰎨(٦)=٦، تتفق النهاية وقيمة الدالة، لكن هذا ليس هو الخيار الوحيد. انظر إلى التمثيلات البيانية الآتية.

في هذا التمثيل البياني، يمكننا رؤية أن 󰎨(٦)=٦. في الواقع، يمكننا تمثيل ذلك باستخدام دالة متعدِّدة التعريف. ولكن، إذا أوجدنا قيمة نهاية هذه الدالة عندما يقترب 𞸎 من ٦، نلاحظ أنها لا تساوي ٦.

وبما أن قيم مُدخَلات الدالة تقترب من ٦ من أيٍّ من الجهتين، إذن يمكننا ملاحظة أن قيم المُخرَجات تقترب من ١. إذن التمثيل البياني يُشير إلى أن ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=١، التي لا تساوي قيمة الدالة عند هذه القيمة.

وهذا يعني أنه لا يمكننا استخلاص أيِّ استنتاج حول ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)، وهو الخيار (هـ).

والآن، انظر إلى العبارة ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٦. هل يمكننا استنتاج أيِّ معلومات عن 󰎨(٦)؟ في هذه الحالة، نتناول التمثيلات البيانية للدوال الآتية.

في الشكل (١)، يمكننا ملاحظة أنه كلما اقتربت قيم المُدخَلات من ٦ من أيِّ جهة من الجهتين، اقتربت قيم المُخرَجات من ٦؛ ومن ثَمَّ، كلٌّ من ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)، 󰎨(٦) يساوي ٦.

ومع ذلك، في الشكل (٢)، تقترب قيم المُخرَجات من ٦ عندما تقترب قيم 𞸎 من ٦، لكن يمكننا ملاحظة أن 󰎨(٦)=٤. إذن، في هذه الحالة، تكون ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٦، 󰎨(٦)=٤ غير متساويتين.

وأخيرًا، في الشكل (٣)، مرةً أخرى، عند اقتراب قيم المُدخَلات من ٦ من أيِّ جهة من الجهتين، تقترب قيم المُخرَجات من ٦؛ ومن ثَمَّ، ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٦. لكن العدد ٦ لا يقع ضمن مجال الدالة؛ لذا، تكون الدالة غير معرَّفة جيدًا عند هذه القيمة.

يمكننا تلخيص هذا الناتج بوجه عام على النحو الآتي.

خاصية: نهاية دالة

إذا كانت ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋، فإن 󰎨(󰏡) ليس واجبًا أن تساوي 𞸋. في الواقع، يمكن أن تكون 󰎨(󰏡) غير معرَّفة.

في الأمثلة القليلة التالية، نتعرَّف على العلاقة بين نهاية دالة وتمثيلها البياني.

مثال ٣: فَهْم النهايات باستخدام التمثيلات البيانية

يمثِّل الشكل التالي التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢.

ما الذي يشير إليه التمثيل البياني حول قيمة النهاية ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)؟

الحل

نتذكَّر أن الترميز ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=𞸋 يعني أنه كلما اقتربت قيم 𞸎 بشكل ما من ٢ من أيِّ جهة من الجهتين، لا بد أن تقترب قيم مُخرَجات الدالة من 𞸋. تُمثَّل مُخرَجات الدالة بقيم الإحداثي 𞸑 لنقاط المنحنى؛ حيث يُخبرنا الإحداثي 𞸎 بالقيمة المُدخَلة للدالة.

هذا يعني أنه يمكننا دراسة نهاية الدالة عندما تكون 𞸎٢، بالنظر إلى قيم الإحداثي 𞸑 لنقاط المنحنى على أيِّ طرف من طرفَي 𞸎=٢. نبدأ بقيم 𞸎>٢. أولًا، ننظر إلى قيمة الدالة عندما تكون 𞸎=٥٫٢.

من هذا الشكل، يمكننا ملاحظة أن قيمة الدالة تعلو ٦ قليلًا، ولإيجاد قيمة النهاية، نحتاج إلى أن تقترب قيم المُدخَلات بشكل ما من ٢. هيا نفعل ذلك بتجربة قيم أقرب إلى ٢.

يمكننا من خلال الشكل ملاحظة أن 󰎨(٥٢٫٢)٥. ويمكننا المتابعة بهذه الطريقة.

كلما اقتربت قيم المُدخَلات من ٢ من اليمين، اقتربت قيم المُخرَجات من ٤. يمكننا اتباع الطريقة نفسها مع 𞸎<٢.

يمكننا ملاحظة أن 󰎨(١)=١، 󰎨(٥٫١)=٥٢٫٢.

كلما اقتربت قيم المُدخَلات من ٢ من اليسار، اقتربت قيم مُخرَجات الدالة من ٤.

ولذلك، كلما اقتربت قيم 𞸎 بشكل ما من ٢ من أيِّ جهة من الجهتين، اقتربت قيم مُخرَجات الدالة من ٤. باستخدام ترميز النهاية، يكافئ هذا عبارة ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=٤.

مثال ٤: فَهْم النهايات باستخدام التمثيلات البيانية

الشكل التالي هو التمثيل البياني للدالة 󰎨؛ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎.

  1. ما قيمة 󰎨(٠)؟
  2. ما الذي يُشير إليه التمثيل البياني حول قيمة ـــــ𞸎٠󰎨(𞸎)؟

الحل

الجزء الأول

يمكننا إيجاد قيمة 󰎨(٠) من الشكل. نتذكَّر أنه، بالنسبة إلى التمثيل البياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎)، يكون لأيِّ نقطة على المنحنى الإحداثيان (𞸎،󰎨(𞸎))؛ لذا، يمكننا تحديد قيمة 󰎨(٠) عن طريق التحقُّق من الإحداثي 𞸑 لنقطة على المنحنى التي يساوي الإحداثي 𞸎 لها ٠. نُضيف الخط المستقيم 𞸎=٠ إلى الشكل.

بما أن المنحنى به دائرة مفرغة عند النقطة (٠،١)، إذن نعلم أن الدالة غير معرَّفة هنا. ومن ثَمَّ، لا توجد تقاطعات بين الخط المستقيم والمنحنى.

إذن تكون 󰎨(٠) غير معرَّفة.

الجزء الثاني

نتذكَّر أن الترميز ـــــ𞸎٠󰎨(𞸎)=𞸋 يعني أنه كلما اقتربت قيم 𞸎 بشكل ما من ٠ من أيِّ اتجاه من الاتجاهين، لا بد أن تقترب قيم مُخرَجات الدالة من 𞸋. يمكننا تحديد مُخرَجات الدالة من تمثيلها البياني؛ ومن ثَمَّ، يمكننا تحديد قيمة هذه النهاية بالنظر إلى التمثيل البياني على جانبَي 𞸎=٠.

من خلال النظر إلى قيم مُخرَجات الدالة عندما يقترب 𞸎 من ٠ من أيِّ طرف من الطرفين، كما هو موضَّح في الشكل التالي، يمكننا ملاحظة أن قيم المُخرَجات تقترب من ١.

من المهم أن نتذكَّر أنه على الرغم من أن الدالة نفسها غير معرَّفة عندما تكون 𞸎=٠، فإن هذا لن يؤثِّر على قيمة النهاية؛ لأننا نهتم فقط بما يحدث عندما يقترب 𞸎 بشكل ما من ٠، وليس عندما تكون 𞸎=٠.

إذن التمثيل البياني يُشير إلى أن ـــــ𞸎٠󰎨(𞸎)=١.

قبل أن ننتهي من هذا الشارح، يجدر بنا معرفة خيارات أخرى لإيجاد قيمة النهايات. في الأمثلة السابقة، استخدمنا التمثيل البياني لدالة لتحديد قيمة نهايتها، ومع هذا، لإيجاد قيمة نهاية ما علينا فقط ملاحظة ما يحدث لقيم مُخرَجات الدالة. هذا يعني أنه يمكننا أيضًا دراسة النهايات عن طريق أخذ عيِّنة من النقاط للدالة.

على سبيل المثال، إذا لم يكن لدينا التمثيل البياني لـ 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎؛ حيث 𞸎 مقيسة بالراديان يمكننا دراسة نهاية 󰎨(𞸎) عندما يقترب 𞸎 من ٠ عن طريق إيجاد قيم الدالة عند قيم موجودة على يسار ويمين ٠. أولًا، 󰎨(٢٫٠)=٢٫٠٢٫٠٣٣٩٩٫٠. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة 󰎨 عند قيمة أقرب كثيرًا إلى ٠ (أي 󰎨(١٫٠)=١٫٠١٫٠٣٨٩٩٫٠). يمكننا إكمال هذه العملية للحصول على الجدول الآتي:

𞸎٠٫٢٠٫١٠٫٠١
󰎨(𞸎)٠٫٩٩٣٣٠٫٩٩٨٣٠٫٩٩٩٩

يمكننا ملاحظة أنه كلما اقتربت قيم المُدخَلات من ٠ من جهة اليمين، بدا أن قيم المُخرَجات تقترب من ٠. يمكننا فعل الأمر نفسه مع القيم الأقل من ٠:

𞸎٢٫٠١٫٠١٠٫٠
󰎨(𞸎)٠٫٩٩٣٣٠٫٩٩٨٣٠٫٩٩٩٩

ومرةً أخرى، يبدو أن قيم المُخرَجات تقترب من ١. ومن ثَمَّ، مع اقتراب هاتين النهايتين من ١، يبدو أن نقاط العيِّنة تُشير إلى أن ـــــ𞸎٠𞸎𞸎=١.

هيا نختتم بإلقاء نظرة على بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت قيم 󰎨(𞸎) تقترب من قيمة ما 𞸋 عندما تقترب قيم 𞸎 من 󰏡 (من الجهتين) وليس بالضرورة عندما تكون 𞸎=󰏡، فإننا نقول إن نهاية 󰎨(𞸎) عندما تقترب 𞸎 من 󰏡 تساوي 𞸋.
  • إذا كانت نهاية 󰎨(𞸎) عندما يقترب 𞸎 من 󰏡 تساوي 𞸋، يمكننا الإشارة إلى ذلك بطريقتين:
    • ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.
    • 󰎨(𞸎)𞸋 عندما تكون 𞸎󰏡.
  • قيمة الدالة عند 󰏡 لا تؤثِّر على نهايتها عندما يقترب 𞸎 من 󰏡.
  • يمكننا دراسة نهاية دالة عندما تكون 𞸎=󰏡 من تمثيلها البياني من خلال النظر فيما يحدث للمنحنى على كلتا جهتَي 𞸎=󰏡.
  • يمكننا دراسة نهاية دالة من خلال أخذ عيِّنة من النقاط أعلى وأسفل القيمة التي نحسب عندها النهاية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.