شارح الدرس: النهايات وترميز النهايات الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: التعبير عن العبارات الرياضية باستخدام ترميز النهاية

ما الترميز الصحيح الذي يَصِف العبارة الآتية؟

عند اقتراب من ٠، تقترب من .

الحل

نتذكَّر أن نهاية عند اقتراب من كونها تساوي يُرمَز لها بـ .

وأخبَرَنا السؤال أن قيم تقترب من ٠، وقيم مُخرَجات تقترب من ؛ لذا، نستخدم ، ليُعطينا:

جدير بالذكر أيضًا أنه يمكننا استخدام الترميز البديل عندما تكون .

مثال ٢: فَهْم العلاقة بين قيمة دالة ونهاية دالة

إذا كانت ، فماذا يمكننا أن نقول حول ؟

5. لا يمكننا استخلاص استنتاج حول .

الحل

لعلنا نتذكَّر أن يعني أنه عندما تقترب قيم بشكل ما من ٦ من أيٍّ من الجهتين، تقترب قيم مُخرَجات الدالة من . وهذا يعني أن نهاية عندما يقترب من ٦، تخبرنا عن قيم المُخرَجات حول ٦، وليس عندما تكون .

لتوضيح ذلك، علينا النظر إلى المنحنيات الآتية. أولًا، .

في هذا الشكل، عندما تقترب قيم من ٦ من أيِّ طرف من الجهتين، يمكننا ملاحظة أن قيم مُخرَجات الدالة تقترب من .

في هذه الحالة، ، ، تتفق النهاية وقيمة الدالة، لكن هذا ليس هو الخيار الوحيد. انظر إلى التمثيلات البيانية الآتية.

في هذا التمثيل البياني، يمكننا رؤية أن . في الواقع، يمكننا تمثيل ذلك باستخدام دالة متعدِّدة التعريف. ولكن، إذا أوجدنا قيمة نهاية هذه الدالة عندما يقترب من ٦، نلاحظ أنها لا تساوي .

وبما أن قيم مُدخَلات الدالة تقترب من ٦ من أيٍّ من الجهتين، إذن يمكننا ملاحظة أن قيم المُخرَجات تقترب من . إذن التمثيل البياني يُشير إلى أن ، التي لا تساوي قيمة الدالة عند هذه القيمة.

وهذا يعني أنه لا يمكننا استخلاص أيِّ استنتاج حول ، وهو الخيار (هـ).

مثال ٣: فَهْم النهايات باستخدام التمثيلات البيانية

يمثِّل الشكل التالي التمثيل البياني للدالة .

ما الذي يشير إليه التمثيل البياني حول قيمة النهاية ؟

الحل

نتذكَّر أن الترميز يعني أنه كلما اقتربت قيم بشكل ما من ٢ من أيِّ جهة من الجهتين، لا بد أن تقترب قيم مُخرَجات الدالة من . تُمثَّل مُخرَجات الدالة بقيم الإحداثي لنقاط المنحنى؛ حيث يُخبرنا الإحداثي بالقيمة المُدخَلة للدالة.

هذا يعني أنه يمكننا دراسة نهاية الدالة عندما تكون ، بالنظر إلى قيم الإحداثي لنقاط المنحنى على أيِّ طرف من طرفَي . نبدأ بقيم . أولًا، ننظر إلى قيمة الدالة عندما تكون .

من هذا الشكل، يمكننا ملاحظة أن قيمة الدالة تعلو ٦ قليلًا، ولإيجاد قيمة النهاية، نحتاج إلى أن تقترب قيم المُدخَلات بشكل ما من ٢. هيا نفعل ذلك بتجربة قيم أقرب إلى ٢.

يمكننا من خلال الشكل ملاحظة أن . ويمكننا المتابعة بهذه الطريقة.

كلما اقتربت قيم المُدخَلات من ٢ من اليمين، اقتربت قيم المُخرَجات من ٤. يمكننا اتباع الطريقة نفسها مع .

يمكننا ملاحظة أن ، .

كلما اقتربت قيم المُدخَلات من ٢ من اليسار، اقتربت قيم مُخرَجات الدالة من ٤.

ولذلك، كلما اقتربت قيم بشكل ما من ٢ من أيِّ جهة من الجهتين، اقتربت قيم مُخرَجات الدالة من ٤. باستخدام ترميز النهاية، يكافئ هذا عبارة .

مثال ٤: فَهْم النهايات باستخدام التمثيلات البيانية

الشكل التالي هو التمثيل البياني للدالة ؛ حيث .

1. ما قيمة ؟
2. ما الذي يُشير إليه التمثيل البياني حول قيمة ؟

الحل

الجزء الأول

يمكننا إيجاد قيمة من الشكل. نتذكَّر أنه، بالنسبة إلى التمثيل البياني لـ ، يكون لأيِّ نقطة على المنحنى الإحداثيان ؛ لذا، يمكننا تحديد قيمة عن طريق التحقُّق من الإحداثي لنقطة على المنحنى التي يساوي الإحداثي لها ٠. نُضيف الخط المستقيم إلى الشكل.

بما أن المنحنى به دائرة مفرغة عند النقطة ، إذن نعلم أن الدالة غير معرَّفة هنا. ومن ثَمَّ، لا توجد تقاطعات بين الخط المستقيم والمنحنى.

إذن تكون غير معرَّفة.

الجزء الثاني

نتذكَّر أن الترميز يعني أنه كلما اقتربت قيم بشكل ما من ٠ من أيِّ اتجاه من الاتجاهين، لا بد أن تقترب قيم مُخرَجات الدالة من . يمكننا تحديد مُخرَجات الدالة من تمثيلها البياني؛ ومن ثَمَّ، يمكننا تحديد قيمة هذه النهاية بالنظر إلى التمثيل البياني على جانبَي .

من خلال النظر إلى قيم مُخرَجات الدالة عندما يقترب من ٠ من أيِّ طرف من الطرفين، كما هو موضَّح في الشكل التالي، يمكننا ملاحظة أن قيم المُخرَجات تقترب من ١.

من المهم أن نتذكَّر أنه على الرغم من أن الدالة نفسها غير معرَّفة عندما تكون ، فإن هذا لن يؤثِّر على قيمة النهاية؛ لأننا نهتم فقط بما يحدث عندما يقترب بشكل ما من ٠، وليس عندما تكون .

إذن التمثيل البياني يُشير إلى أن .