نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل الآتي التمثيل البياني للمشتقة الأولى ﺩ شرطة للدالة ﺩ. ما قيم الإحداثي ﺱ لنقاط انقلاب الدالة ﺩ؟
لدينا هنا شكل يوضح التمثيل البياني للمشتقة الأولى ﺩ شرطة للدالة ﺩ. وعلينا استخدامه لتحديد قيم الإحداثي ﺱ لجميع نقاط انقلاب الدالة ﺩ. في البداية، دعونا نسترجع ما نعنيه بقيم الإحداثي ﺱ لنقاط انقلاب الدالة ﺩ. نقاط انقلاب الدالة ﺩ هي النقاط التي تغير عندها الدالة تقعرها، وعندها أيضًا تكون الدالة متصلة.
إذن، قيم الإحداثي ﺱ لنقاط الانقلاب هذه ستكون النقاط التي تغير عندها ﺩ تقعرها عند قيم ﺱ هذه، وعندما تكون ﺩ متصلة عند قيم ﺱ هذه أيضًا. لذا ثمة أمران لا بد أن يتحققا بالنسبة إلى نقاط الانقلاب. سنبدأ بـ ﺩ عندما تكون متصلة عند قيم ﺱ. في هذا السؤال، نحن لا نعلم كثيرًا عن الدالة ﺩﺱ. في الواقع، نحن لا نعلم أي شيء عن اتصال ﺩﺱ. كل ما لدينا هو المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ.
لكن علينا أن نتذكر أنه إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فلا بد أن تكون متصلة عند هذه النقطة. كما نلاحظ من المنحنى، فإن ﺩﺱ قابلة للاشتقاق لجميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي صفرًا والأقل من أو تساوي تسعة. إذن، ﺩﺱ متصلة على هذه الفترة أيضًا. أي أنها متصلة على الفترة المغلقة من صفر إلى تسعة.
إذن، في الحالة لدينا، لا داعي للقلق بشأن هذا الشرط الخاص بنقاط الانقلاب. فهذه الدالة متصلة لجميع قيم ﺱ التي لدينا. إذن، في الحالة لدينا، يمكننا استبعاد هذا الشرط تمامًا والاهتمام فقط بالنقاط التي يتغير عندها تقعر المنحنى.
لفعل ذلك، علينا أن نتذكر ما نعنيه بتقعر المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ. لعلنا نتذكر أن المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ يكون مقعرًا لأعلى على فترة ما إذا كانت جميع الخطوط المماسية على هذه الفترة تقع أسفل المنحنى. وبالمثل، نقول إن المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ يكون مقعرًا لأسفل على فترة ما إذا كانت جميع الخطوط المماسية على هذه الفترة تقع أعلى المنحنى.
إذن، نحصل على نقاط انقلاب المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ عندما يتحول المنحنى من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل أو من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. لكن لا يمكننا استخدام ذلك مباشرة إلا إذا كان لدينا المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ. لكن السؤال لم يخبرنا بذلك. بدلًا من ذلك، لدينا المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ. إذن، علينا الآن أن نفكر، ما علاقة تقعر المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ بالمنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ؟
للإجابة عن ذلك، علينا تذكر ما تعنيه ﺩ شرطة ﺱ. تخبرنا ﺩ شرطة ﺱ بميل المماس عند ﺱ. إذن لتحديد ما يحدث لـ ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ عندما يتغير التقعر، علينا أن نحدد ما يحدث لميل المنحنى على الفترات التي يكون عليها المنحنى مقعرًا لأعلى وأيضًا على الفترات التي يكون عليها المنحنى مقعرًا لأسفل.
دعونا نبدأ بميل الخطوط المماسية على الفترات التي يكون عليها المنحنى مقعرًا لأعلى. في الرسم لدينا، نلاحظ أن المماس يبدأ بميل سالب. ويصل ميله في النهاية إلى صفر. ويصبح بعد ذلك موجبًا. في الواقع، يمكننا أن نسترجع أن هذا صحيح دائمًا. في الفترة التي يكون عليها ﺹ يساوي ﺩﺱ مقعرًا لأعلى، يزداد ميل الخطوط المماسية. لكن يمكننا أن نطرح السؤال التالي: ما علاقة ذلك بالمنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ؟
تذكر أن ﺩ شرطة ﺱ يساوي ميل المماس. هذا يعني أنه إذا كانت قيمة ميل المماس تتزايد، فلا بد أن تتزايد الدالة ﺩ شرطة ﺱ هي الأخرى. إذن، لإيجاد الفترات التي يكون عليها ﺹ يساوي ﺩﺱ مقعرًا لأعلى، يمكننا بدلًا من ذلك إيجاد الفترات التي يتزايد عليها المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ. ويمكننا أن نفعل شيئًا مشابهًا لتحديد الفترات التي يكون عليها المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ مقعرًا لأسفل.
على هذه الفترات، يتناقص ميل الخطوط المماسية. وبما أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي قيم ميل الخطوط المماسية، فهذا يعني أن منحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ يتناقص على هذه الفترات.
إذن، كل ما علينا فعله الآن هو النظر إلى المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ، وتحديد فترات تزايده وفترات تناقصه. سنبدأ من ﺱ يساوي صفرًا. نلاحظ أنه من ﺱ يساوي صفرًا صعودًا إلى ﺱ يساوي واحدًا، أن المنحنى يتحرك لأعلى. بعبارة أخرى، ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ يتزايد. لكن عند ﺱ يساوي واحدًا، نلاحظ أن المنحنى يتحول. إنه يتحرك الآن لأسفل. وهذا يعني أنه يتناقص.
إذن، في هذه الحالة، عند ﺱ يساوي واحدًا، تتحول ﺩ شرطة ﺱ من كونها دالة تزايدية إلى دالة تناقصية. وتذكر أنه عند تحول ﺩ شرطة ﺱ من دالة تزايدية إلى دالة تناقصية، فهذا يعني أن الدالة ﺩﺱ تتحول من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل. وإذا كان تقعر الدالة ﺩ يتغير عند قيمة ﺱ هذه وتكون الدالة متصلة عند هذه النقطة، فإن هذه القيمة تمثل نقطة انقلاب.
إذن، لا بد من وجود نقطة انقلاب للدالة ﺩ عند ﺱ يساوي واحدًا. إذا واصلنا على هذا النحو، يمكننا إيجاد مزيد من نقاط الانقلاب. نلاحظ أن قيم ﺩ شرطة ﺱ تتناقص وصولًا إلى ﺱ يساوي اثنين. ومن ثم، يمكننا ملاحظة أنه عند ﺱ أكبر من اثنين، يتحرك المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ لأعلى. أي أنه يتزايد.
إذن، مرة أخرى، يمكننا ملاحظة أنه عند ﺱ يساوي اثنين، تتغير ﺩ شرطة ﺱ من كونها دالة تزايدية إلى دالة تناقصية. ونحن نعلم بالطبع أنه عندما تتحول ﺩ شرطة ﺱ من دالة تناقصية إلى دالة تزايدية، فإن منحنى ﺩﺱ يتحول من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. إذن، ﺩ تغير تقعرها عند ﺱ يساوي اثنين. ومن ثم، فإن ﺩﺱ لها نقطة انقلاب عند ﺱ يساوي اثنين.
ويمكننا المواصلة لإيجاد جميع هذه النقاط بيانيًّا. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد نقطة انقلاب أخرى عند ﺱ يساوي ثلاثة. لكن جدير بالذكر أيضًا أننا نعلم كيفية إيجاد جميع هذه النقاط للمنحنى المتصل ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ. إننا نحصل على هذه النقاط عندما تكون قيم ميل الخطوط المماسية للدالة ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا، أو بعبارة أخرى عندما تكون قيم ﺩ شرطتين ﺱ تساوي صفرًا.
لكن تذكر أن ذلك لن يتحقق إلا إذا كانت ﺩ شرطة ﺱ متصلة. ونحن نعلم أن ﺩﺱ وﺩ شرطة ﺱ ليسا بالضرورة أن تكونا متصلتين دائمًا. إذن، لن ينطبق هذا إلا في حالات معينة. لذا يجدر بنا تذكر كلتا الطريقتين. فقد تكونان مفيدتين في حالات مختلفة.
وبذلك نكون قد تمكنا من إيجاد قيم الإحداثي ﺱ لنقاط انقلاب الدالة ﺩ بمعلومية الفترات التي يكون عليها المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ تزايديًّا وتناقصيًّا. كما استطعنا توضيح أن ﺩ لها نقاط انقلاب عند ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي اثنين، وﺱ يساوي ثلاثة، وﺱ يساوي خمسة، وﺱ يساوي سبعة.
