تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: تفسير التمثيلات البيانية للمشتقات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نربط بين دالة والتمثيل البياني لكلٍّ من مشتقتها الأولى ومشتقتها الثانية.

تعطينا مشتقات الدالة عدة طرق مختلفة لوصف الخصائص المختلفة للمنحنى. على سبيل المثال، ميل المنحنى يمثله مشتقته الأولى، ويمثل تقعر المنحنى بمشتقته الثانية.

لدالة قابلة للاشتقاق 󰎨، فإننا نعلم أن القيم القصوى المحلية ستحدث عندما تساوي مشتقتها صفرًا. يمكننا أن نرى ذلك بيانيًّا، حيث نقاط توقف 𞸑=󰎨(𞸎) لها نفس قيم 𞸎 للأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎، للمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎).

هذه ليست هي المعطيات الوحيدة التي يمكننا أن نراها من المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎). نحن نعرف أيضًا أن 󰎨(𞸎) تكون تزايدية عندما تكون مشتقتها موجبة وتكون تناقصية عندما تكون مشتقتها سالبة. يمكننا أيضًا رؤية هذه المعلومات بيانيًّا.

هذا يعني أنه يمكننا تحليل المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) لتحديد معلومات حول الدالة 󰎨. عندما تكون 𞸑=󰎨(𞸎) تحتوي على الجزء المقطوع من المحور 𞸎 يجب أن يكون لدى 󰎨 نقطة توقف. بعبارة أخرى، يكون خط المماس لمنحنى 󰎨(𞸎) عند هذه النقطة في أفقيا. يمكن أن يكون ذلك إما قيمة قصوى محلية وإما نقطة انقلاب.

نحن نعرف أنه عندما تكون 󰎨(𞸎) أعلى المحور 𞸎، فيمكننا استنتاج أن 󰎨 تزايدية. وبالمثل، عندما تكون 󰎨(𞸎) أسفل المحور 𞸎، فيمكننا استنتاج أن 󰎨 تناقصية.

ويمكننا أيضًا فعل ذلك مع المشتقة الثانية. تذكر أن المشتقة الثانية للدالة تخبرنا بتقعر المنحنى.

تعريف: تقعر الدالة

  • نقول تكون دالة 󰎨(𞸎) مقعرة لأعلى على فترة 𞸐 إذا كانت جميع مماساته على هذه الفترة تقع أسفل المنحنى. نتيجة لذلك تكون الدالة 󰎨(𞸎) تزايدية على الفترة 𞸐.
  • نقول إن 󰎨(𞸎) تكون مقعرة لأسفل على الفترة 𞸐 إذا كانت جميع مماساتها على هذه الفترة تقع أعلى المنحنى. وبالمثل تكون الدالة 󰎨(𞸎) تناقصية على الفترة 𞸐.

إذا كانت الدالة 󰎨 عبارة عن دالة قابلة للاشتقاق مرتين في فترةٍ ما، إذن يمكننا بالمثل إيجاد إشارة المشتقة الثانية على هذه الفترة.

تعريف: تقعر دالة قابلة للاشتقاق مرتين

لدالة قابلة للاشتقاق مرتين 󰎨،

  • إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ في الفترة 𞸐، فإن 󰎨 تكون مقعرة لأعلى على هذه الفترة.
  • إذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ في فترة 𞸐، فإن 󰎨 تكون مقعرة لأسفل على هذه الفترة.

قد يتغير تقعر المنحنى عند قيم 𞸎 حيث تساوي مشتقتها الثانية صفرًا (أو غير موجودة)؛ وهي تسمى نقاط الانقلاب. يمكننا أيضًا رؤية هذه المعلومات بيانيًّا.

لنبدأ بالمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎).

عندما يكون المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) أعلى المحور 𞸎، وتكون المشتقة الثانية موجبة، فإن 󰎨 تكون مقعرة لأعلى. وبالمثل، عندما يكون المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) أسفل المحور 𞸎، وتكون المشتقة الثانية سالبة، فإن 󰎨 تكون مقعرة لأسفل.

عندما تتحول المشتقة الثانية للدالة التي لدينا من سالب إلى موجب، ستكون لدى 󰎨 نقطة انقلاب، وستتغير خطوط المماس من أعلى المنحنى إلى أسفل المنحنى.

يمكننا بالتالي استخدام التمثيلات البيانية لـ 𞸑=󰎨(𞸎)، 𞸑=󰎨(𞸎) لتحديد معلومات حول الدالة 󰎨. هيا نرى مثالًا يتضمن مشتقة الدالة.

مثال ١: إيجاد اطراد دالةٍ ما بمعلومية التمثيل البياني لمشتقتها

التمثيل البياني للمشتقة 󰎨 للدالة 󰎨 موضح بالشكل. في أي الفترات تكون 󰎨 تزايدية أو تناقصية؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا منحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، وطلب منا إيجاد الفترات، حيث تكون 󰎨(𞸎) تزايدية. عادة ما ننظر إلى التمثيل البياني لـ 󰎨(𞸎) ونبحث عن أجزاء التمثيل البياني؛ حيث يكون فيها الميل موجبًا لمعرفة موضع تزايد الدالة، والموضع الذي فيه يكون الميل سالبا لمعرفة موضع تناقص الدالة. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر أن ميل 󰎨(𞸎) يعطى بـ 󰎨(𞸎).

وهذا يعني أنه يمكننا أيضًا رؤية هذه البيانات في التمثيل البياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎). ستكون المشتقة، 󰎨(𞸎) موجبة عندما يكون المنحنى أعلى المحور 𞸎، وتكون سالبة عندما يكون المنحنى أسفل المحور 𞸎.

يمكننا أن نرى عندما تكون 𞸎]١،٥[ يكون لدينا 󰎨(𞸎)>٠، حيث ميل 󰎨(𞸎) يكون موجبًا. هذا يعني أنه، بالنسبة لقيم 𞸎 تلك، يجب أن تكون الدالة 󰎨 تزايدية.

وبالمثل، عندما تكون 𞸎]٠،١[ أو 𞸎]٥،٦[ يمكننا أن نرى أن 󰎨(𞸎)<٠، لذلك يكون ميل 󰎨(𞸎) سالبًا لقيم 𞸎 تلك، معنى ذلك أن 󰎨 تكون تناقصية في هذه الفترات.

ومن ثم، استطعنا إثبات أن 󰎨 تكون تزايدية في الفترة ]١،٥[ وتناقصية في الفترتين ]٠،١[ و]٥،٦[.

ومن الجدير بالملاحظة أن 󰎨(١)=٠ ، 󰎨(٥)=٠. بما أن قيم 𞸎 هي طرفَا الفترات التزايدية أو التناقصية، فيمكننا فعليًّا تضمين هذه القيم في إجابتنا.

وفي الواقع، يتجه البعض دائمًا إلى طرفي الفترات ذات المشتقة المساوية للصفر في الفترات التي تكون فيها الدالة تزايدية أو تناقصية. ويكون تفضيلًا شخصيًّا تضمين أو عدم تضمين طرفي الفترات التي تكون مشتقتها صفرًا في الفترات التزايدية أو التناقصية؛ وسنختار ترك هذه النقاط جانبًا. ولأنه أيضا الدالة غير قابلة للاشتقاق عندما تكون 𞸎٠، 𞸎٦، فيمكننا افتراض أنها لا تتزايد أو تتناقص باستخدام هاتين القيمتين أيضًا.

بالطبع فإن إيجاد فترات التزايد والتناقص ليس هو الشيء الوحيد الذي نستخدم فيه المشتقة. يمكننا أيضًا استخدام المشتقة الثانية للدالة لتحديد التقعر. لنرَ مثالًا على استخدام التمثيل البياني لمشتقة دالة لإيجاد نقاط انقلابها.

مثال ٢: إيجاد نقاط انقلاب دالة من التمثيل البياني لمشتقتها

أمامنا كما هو موضح تمثيل بياني للمشتقة الأولى 󰎨 لدالة متصلة 󰎨. اذكر إحداثيات 𞸎 لنقاط انقلاب 󰎨.

الحل

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد نقاط انقلاب المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) وللقيام بذلك، لدينا تمثيل بياني لدالة المشتقة 𞸑=󰎨(𞸎). نحتاج أولًا إلى أن نتذكر أن نقاط الانقلاب توجد عندما يتغير المنحنى من حيث التقعر، بعبارة أخرى، عندما تتغير إشارة 󰎨(𞸎). هناك بعض الطرق المختلفة لإيجاد ذلك من التمثيل البياني المعطى. وأسهل طريقة هي التفكير في العلاقة بين 󰎨(𞸎)، 󰎨(𞸎). ونحن نعرف أن 󰎨(𞸎) هي مشتقة 󰎨(𞸎)؛ بعبارة أخرى، 󰎨(𞸎) هو ميل المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎).

يمكننا بعد ذلك طرح السؤال التالي: ماذا يحدث عند تغير إشارة 󰎨(𞸎)؟ عندما تكون 󰎨(𞸎) موجبة، يكون ميل 𞸑=󰎨(𞸎) موجبًا، لذا يجب أن تكون تزايدية. وبالمثل، متى تكُن 󰎨(𞸎) سالبة، يكُن ميل 𞸑=󰎨(𞸎) سالبًا.

إذن، نبحث عن النقاط التي على التمثيل البياني التي يتحول فيها المنحنى من تزايد إلى تناقص أو العكس.

يمكننا تحديد ذلك على التمثيل البياني، ويمكننا رؤية أن 󰎨(𞸎) تكون تزايدية لقيم 𞸎 التالية: 𞸎<٢،٣<𞸎<٥،𞸎>٧.

وبالمثل، يمكننا ملاحظة أن 󰎨(𞸎) تكون تناقصية لقيم 𞸎 التالية: ٢<𞸎<٣،٥<𞸎<٧.

هذا يعني أن 󰎨(𞸎) تتحول من تزايدية إلى تناقصية عندما تكون 𞸎=٢، 𞸎=٤ وتتحول من كونها تناقصية إلى تزايدة عندما تكون 𞸎=٣، 𞸎=٧.

إذن، 󰎨 لها نقاط الانقلاب عند 𞸎=٢، 𞸎=٣، 𞸎=٥، 𞸎=٧.

لقد رأينا أيضًا كيف نستخدم اختبار المشتقة الأولى لتحديد ما إذا كانت القيم القصوى المحلية هي القيم العظمى أو الصغرى. على سبيل المثال، انظر إلى التمثيل البياني التالي.

يمكننا تحديد القيم القصوى المحلية على النحو الموضح، ويمكننا تحديد أنواعها بالنظر إلى الميل حول هذه النقاط.

عند القيمة العظمى المحلية لدالة قابلة للاشتقاق، يتغير الميل من موجب إلى سالب. عند القيمة الصغرى المحلية لدالة قابلة للاشتقاق، يتغير الميل من سالب إلى موجب. وهذا يعطينا طريقة للتحقق من نوع القيمة المحلية من حيث كونها عظمى أو صغرى عند معرفة اشتقاق الدالة 󰎨(𞸎). ولكن يمكننا استخدام المنطق نفسه إذا كان لدينا المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) بدلًا من ذلك. هيا نرى ذلك في مثال.

مثال ٣: إيجاد القيم التي تعطي القيمتين العظمى والصغرى المحلية للدالة من التمثيل البياني لمشتقتها الأولى

أمامنا تمثيل بياني للمشتقة 󰎨 للدالة 󰎨 كما هو موضح. عند أي قيم لـ 𞸎 تكون لـ 󰎨 قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية؟

الحل

في هذه المسألة، لدينا تمثيل بياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎) ومطلوب منا إيجاد كل قيم 𞸎، حيث تكون الدالة 󰎨(𞸎) لها قيمة قصوى محلية. للقيام بذلك، علينا أن نتذكر أن القيم القصوى المحلية يجب أن تحدث دائمًا عند النقاط الحرجة للدالة، أي عندما تساوي المشتقة صفرًا أو تكون غير موجودة. وفي هذه الحالة، يمكننا ملاحظة أن 󰎨(𞸎)=٠، عندما يقطع منحناه المحور 𞸎.

إذن، لدينا نقطتان حرجتان للدالة 󰎨(𞸎) واحدة عند 𞸎=١ والأخرى عند 𞸎=٥.

على أية حال، لم ننتهِ بعدُ. ما زلنا بحاجة إلى التحقق من أنواع النقاط التي لدينا. بما أن لدينا تمثيلًا بيانيًّا لـ 𞸑=󰎨(𞸎)، سنفعل ذلك باستخدام اختبار المشتقة الأولى.

تذكر، تخبرنا 󰎨(𞸎) أن ميل المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎). لذلك متى تكُن 󰎨(𞸎) موجبة، نعرف أن 󰎨(𞸎) تكون موجبة، والشيء نفسه ينطبق بالعكس.

وبالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا أن نرى أنه:

  • عندما تكون 𞸎<١، فإن 󰎨(𞸎) يكون ميلها سالبًا.
  • عندما تكون ١<𞸎<٥، فإن 󰎨(𞸎) يكون ميلها موجبًا.

يوضح لنا اختبار المشتقة الأولى أنه يجب أن يكون لدينا قيمة صغرى محلية عند 𞸎=١.

وبالمثل:

  • عندما تكون ١<𞸎<٥، فإن 󰎨(𞸎) يكون ميلها موجبًا؛
  • عندما تكون 𞸎>٥، فإن 󰎨(𞸎) يكون ميلها سالبًا.

ولكن هذه المرة اختبار المشتقة الأولى يوضح أن 𞸎=٥ هي قيمة عظمى محلية للدالة 󰎨(𞸎).

وباستخدام اختبار المشتقة الأولى بيانيًّا، تَمكَّنَّا من إيضاح أن 󰎨 لها قيمة عظمى محلية عند 𞸎=٥ ولها قيمة صغرى محلية عند 𞸎=١.

حتى الآن، في جميع الأمثلة، كان لدينا تمثيل بياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎). لكن يمكننا أيضًا استنتاج الكثير من البيانات من التمثيل البياني للمشتقة الثانية للدالة. هيا نرى مثالًا على ذلك.

مثال ٤: إيجاد الإحداثيات س لنقاط انقلاب دالةٍ ما من التمثيل البياني لمشتقتها الثانية

استخدم التمثيل البياني المعطى للدالة 󰎨 لإيجاد الإحداثيات 𞸎 لنقاط انقلاب 󰎨.

الحل

نريد إيجاد نقاط انقلاب الدالة 󰎨(𞸎). تذكر أن تلك هي النقاط، حيث 󰎨(𞸎) تكون متصلة وعندما يتغير المنحنى من حيث التقعر، إما من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل وإما العكس.

نحن نعلم أن جميع نقاط الانقلاب تحدث عندما تكون 󰎨(𞸎)=٠ أو عندما تكون المشتقة الثانية غير موجودة. إذن، يمكننا أن نلاحظ من الشكل أنه لا يمكن أن يحدث ذلك إلا عندما تكون 𞸎=١، 𞸎=٤ أو 𞸎=٧.

ولكننا أثبتنا فقط أن المنحنى يمكن أن يكون له نقاط انقلاب عند هذه القيم 𞸎. ما زال علينا التأكد من أن هذه هي نقاط الانقلاب بالفعل. لفعل ذلك، نحتاج التحقق مما إذا كان المنحنى يتغير من حيث التقعر عند هذه القيم 𞸎.

يمكننا القول إن المنحنى مقعر لأعلى عندما تكون مشتقته الثانية موجبة، وتكون مقعرة لأسفل عندما تكون مشتقته الثانية سالبة. لدينا هنا تمثيل بياني للمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، لذا نلاحظ متى يكون هذا موجبًا أو سالبًا بالنظر إلى الموضع الذي يقع عنده المنحنى أعلى أو أسفل المحور 𞸎.

يمكننا الآن معرفة أنه عندما تكون 𞸎=١ سيتغير المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) من حيث التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. وبالمثل، عندما تكون 𞸎=٧ سيتغير المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) من حيث التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل. إذن، كلٌّ منهما نقاط انقلاب للمنحنى. على أية حال يمكننا أن نلاحظ أن التقعر لا يتغير من موجب إلى سالب أو العكس عند 𞸎=٤، وبالتالي هذه ليست نقطة انقلاب.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن هناك نقطتَي انقلاب للمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، واحدة عند 𞸎=١ والأخرى عند 𞸎=٧.

هيا نرى الآن مثالًا، حيث نرغب فيه في تحديد الفترات التي يكون فيها تقعر المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) لأعلى أو مقعرًا لأسفل باستخدام التمثيل البياني لمشتقتها.

مثال ٥: إيجاد تقعر دالة من منحنى مشتقتها

يوضح التمثيل البياني للمشتقة الأولى 󰎨 للدالة 󰎨. ما الفترات التي تكون عندها 󰎨 مقعرة لأعلى أو لأسفل؟

الحل

نريد تحديد الفترات، حيث يكون المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) مقعرًا لأعلى ومقعرًا لأسفل؛ لكن بدلًا من أن يكون لدينا تمثيل بياني لهذه الدالة، يكون لدينا تمثيل بياني لمشتقتها. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا أن نتذكر العلاقة بين مشتقة الدالة وتقعرها.

أولًا، تذكر قولنا إن المنحنى مقعر لأعلى عندما تكون مشتقتها الثانية موجبة ويكون مقعرًا لأسفل عندما تكون مشتقتها الثانية سالبة.

هذا يعني أن علينا تحديد إشارة المشتقة الثانية من التمثيل البياني للمشتقة الأولى. للقيام بذلك، علينا أن نتذكر أننا إذا اشتققنا المشتقة الأولى، فإننا نحصل على المشتقة الثانية؛ بعبارة أخرى، 󰎨(𞸎) هو ميل المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎).

ولذلك، عندما يكون ميل 𞸑=󰎨(𞸎) موجبًا، فلا بد أن يكون المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) لدينا مقعرًا لأعلى، وعندما يكون ميل 𞸑=󰎨(𞸎) سالبًا، فلا بد أن يكون المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) لدينا مقعرًا لأسفل.

يمكننا تحديد الفترات التي يكون فيها الميل موجبًا وسالبًا في التمثيل البياني المعطى. نحن نرى أن 󰎨 تكون متقعرة لأعلى في الفترات ]٠،١[، ]٢،٣[ و ]٥،٧[ ومقعرة لأسفل في الفترات ]١،٢[، ]٣،٥[ و ]٧،٩[.

فلننتهِ بتذكر بعض النقاط الرئيسية التي رأيناها.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا استخدام التمثيل البياني لـ 󰎨(𞸎) لإيجاد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة 󰎨.
  • يمكننا استخدام التمثيل البياني لـ 󰎨(𞸎) لإيجاد القيم القصوى المحلية لـ 󰎨 وتصنيفها على أنها قيم عظمى أو صغرى.
  • يمكننا استخدام التمثيل البياني لـ 󰎨(𞸎) أو 󰎨(𞸎) لإيجاد الفترات التي تكون فيها 󰎨 مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.
  • يمكننا استخدام التمثيل البياني لـ 󰎨(𞸎) أو 󰎨(𞸎) لإيجاد نقاط انقلاب 󰎨.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.