فيديو الدرس: تفسير التمثيلات البيانية للمشتقات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نربط التمثيل البياني للدالة بالتمثيل البياني لكل من مشتقتيها الأولى والثانية. سنرى كيف يمكن استخدام التمثيل البياني لكل من المشتقة الأولى والمشتقة الثانية للدالة للتوصل إلى استنتاجات حول التمثيل البياني للدالة نفسها وخصائصها. لا بد وأنك تعرف بالفعل السمات الأساسية للتمثيل البياني للدالة، مثل نقاط القيم الصغرى والعظمى المحلية. ولا بد أيضًا أنك على دراية بتعريف تقعر الدالة وعلاقته بنقاط انقلاب الدالة. وأخيرًا، بالتأكيد أنت على علم بما يعنيه أن تتزايد الدالة أو تتناقص على فترة محددة، وسنراجع هذين المفهومين بإيجاز من خلال بعض الأمثلة.

لنبدأ بالنظر إلى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ. يمكننا استخدام الاشتقاق لإيجاد المشتقة الأولى للدالة، وهي ﺩ شرطة ﺱ، وتساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص تسعة، والمشتقة الثانية أيضًا، وهي ﺩ شرطتان ﺱ، وتساوي ستة ﺱ زائد ستة. دعونا الآن نمثل هذه الدوال بيانيًا باستخدام الآلة الحاسبة البيانية لتساعدنا إذا لزم الأمر، ثم نفكر فيما نستنتجه من ذلك. إليك هذه المنحنيات الثلاثة. التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ هو تمثيل بياني لدالة تكعيبية. والتمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ هو تمثيل بياني لدالة تربيعية. والتمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ شرطتين ﺱ هو خط مستقيم. أولًا، من التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ، نلاحظ أن للدالة نقطتين حرجتين، وهما عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة وعند ﺱ يساوي موجب واحد.

في التمثيل البياني للمشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ، يمكننا ملاحظة أن قيمة ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا عند قيمتي ﺱ هاتين، حيث يقطع الخط المحور ﺱ عند هاتين النقطتين. نعلم من تعريف النقاط الحرجة أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا أو أنها غير معرفة عند النقطة الحرجة للدالة. ولكن بالنظر إلى التمثيل البياني للمشتقة الأولى وحدها، يمكننا استنتاج أن الدالة ﺩﺱ لها نقطتان حرجتان. وهما نقطتا قيمة عظمى محلية وقيمة صغرى محلية، أو نقطتا انقلاب عند قيمتي ﺱ هاتين.

هناك خاصية أخرى للدالة ﺩﺱ يمكننا ملاحظتها في تمثيلها البياني، وهي أن الدالة تزايدية في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى سالب ثلاثة. بالنظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺩ شرطة ﺱ، نلاحظ أن ﺩ شرطة ﺱ تكون موجبة دائمًا في هذه الفترة لأن التمثيل البياني لـ ﺩ شرطة ﺱ يقع أعلى المحور ﺱ. إذن، بالنظر إلى إشارة ﺩ شرطة ﺱ سواء كان الخط أعلى المحور ﺱ أم أسفله في فترة محددة، يمكن أن نستنتج ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية على هذه الفترة نفسها. وبذلك يمكننا التوصل لاستنتاجات حول ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية من التمثيل البياني لمشتقتها الأولى دون الحاجة إلى تمثيل الدالة نفسها بيانيًا.

بالإضافة إلى ذلك، نلاحظ في التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ أن للدالة ﺩ نقطة انقلاب عند ﺱ يساوي سالب واحد، حيث يتغير تقعر التمثيل البياني من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. وبالنظر إلى التمثيل البياني لكل من ﺩ شرطة ﺱ وﺩ شرطتين ﺱ، يمكننا ملاحظة أن هناك أمرين آخرين يحدثان عند هذه النقطة. أولًا، ميل التمثيل البياني لـ ﺩ شرطة ﺱ يتغير من سالب إلى موجب. أو يمكننا القول إن المشتقة الأولى تتغير من كونها تناقصية إلى كونها تزايدية عند ﺱ يساوي سالب واحد. هذا يعني أن المشتقة الثانية تتغير أيضًا من سالب إلى موجب عند ﺱ يساوي سالب واحد، وهو ما يتفق مع ما نراه في التمثيل البياني الثالث. يقع الخط الوردي أسفل المحور ﺱ بالنسبة لقيم ﺱ التي هي أقل من سالب واحد، ويقع أعلى المحور ﺱ بالنسبة لقيم ﺱ التي هي أكبر من سالب واحد.

عند النقطة ﺱ يساوي سالب واحد نفسها، يقطع الخط المحور ﺱ، ما يعطينا ﺩ شرطتين لسالب واحد تساوي صفرًا. عند إضافة ذلك إلى تغير إشارة ﺩ شرطتين ﺱ، أي المشتقة الثانية، فهذا يكفينا لنستنتج أن للتمثيل البياني للدالة ﺩ نقطة انقلاب عند ﺱ يساوي سالب واحد دون الحاجة للتمثيل البياني لـ ﺩﺱ أو لـ ﺩ شرطة ﺱ. وأخيرًا، يمكننا أيضًا استخدام التمثيل البياني للمشتقة الثانية لتصنيف نقاط انقلاب الدالة ﺩ. نلاحظ أن المشتقة الثانية عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة قيمتها سالبة. إذن وفقًا لاختبار المشتقة الثانية، فإن النقطة الحرجة عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة هي نقطة قيمة عظمى محلية، وهو ما يتفق مع ما نراه في التمثيل البياني للدالة ﺩ.

ومع ذلك فقيمة الدالة ﺩ شرطتين لواحد موجبة. إذن وفقًا لاختبار المشتقة الثانية، نعلم أن النقطة الحرجة عند ﺱ يساوي واحدًا هي نقطة قيمة صغرى محلية، وهو ما يتفق أيضًا مع ما نراه في التمثيل البياني للدالة ﺩ. دعونا نتناول الآن كيفية تطبيق بعض المبادئ العامة التي ذكرناها على بعض الأمثلة.

يوضح الرسم التالي منحنى المشتقة الأولى ﺩ شرطة للدالة ﺩ. ما الفترات التي تكون عندها الدالة ﺩ مقعرة لأعلى أو لأسفل؟

لنبدأ باسترجاع ما يعنيه هذان المصطلحان «التقعر لأعلى» و«التقعر لأسفل». إذا كانت الدالة مقعرة لأعلى في فترة محددة، فهذا يعني أن مماسات التمثيل البياني للدالة تقع بالكامل أسفل التمثيل البياني نفسه في تلك الفترة المحددة. وبرسم هذه المماسات، يمكننا أيضًا ملاحظة أن ميل هذه المماسات يتزايد. قد يتضح ذلك بشكل أكبر في الرسم الذي على اليمين. ولكن في الرسم الذي على اليسار، نلاحظ أن للمماسات ميلًا سالبًا. وهي تصبح أقل انحدارًا، ومن ثم يصبح عدد القيم السالبة أقل وبالتالي تصبح الدالة تزايدية.

من هنا يمكننا ملاحظة وجود رابط بين تقعر الدالة ومشتقتها الأولى. عندما تكون الدالة مقعرة لأعلى، فإن مشتقتها الأولى تتزايد. لكن إذا كانت الدالة مقعرة لأسفل، فهذا يعني أنه في فترة محددة تقع مماسات التمثيل البياني بالكامل أعلى التمثيل البياني نفسه في تلك الفترة. من هذا الرسم، يمكننا ملاحظة أن ميل المماس يتناقص الآن. ومن هنا نلاحظ أنه عندما تكون الدالة مقعرة لأسفل، فإن مشتقتها الأولى تتناقص. يعطينا هذا مفتاح حل أساسيًا حول كيفية استخدام الشكل المعطى، الذي عليك أن تتذكر أنه التمثيل البياني للمشتقة الأولى للدالة، وذلك لتحديد ما يتعلق بتقعر الدالة.

لتحديد موضع تقعر الدوال لأعلى، علينا معرفة ما إذا كان التمثيل البياني للمشتقة الأولى متزايدًا، ما يعني أن له ميلًا موجبًا. يمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق أولًا على الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد. كما ينطبق أيضًا على الفترة المفتوحة من اثنين إلى ثلاثة والفترة المفتوحة من خمسة إلى سبعة. بالنظر إلى الموضع الذي يكون ميل المشتقة الأولى عنده سالبًا ومن ثم موضع تناقص المشتقة الأولى، يمكننا استنتاج موضع تقعر الدالة ﺩ لأسفل. وهو أولًا الفترة المفتوحة من واحد إلى اثنين، ثم الفترة المفتوحة من ثلاثة إلى خمسة، وأخيرًا الفترة المفتوحة من سبعة إلى تسعة. بهذا نكون قد توصلنا إلى حل المسألة.

يجب أن نكون دقيقين وواضحين بشأن ما نبحث عنه. نحن لا نبحث عن الموضع الذي تكون فيه المشتقة الأولى موجبة أو سالبة، ولكن عن موضع تزايدها أو تناقصها، وهو ما يتحدد حسب ميل التمثيل البياني للمشتقة الأولى وليس حسب إشارتها.

في المثال التالي، سنستخدم التمثيل البياني للدالة نفسها لتحديد إشارة مشتقتيها الأولى والثانية.

يوضح الشكل منحنى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ؛ عند أي نقطة يكون كل من ﺩﺹ على ﺩﺱ وﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع سالبًا؟

معطى لدينا التمثيل البياني للدالة نفسها. والمطلوب منا هو استخدامه لتحديد أي من هذه النقاط الخمس تكون عندها المشتقتان الأولى والثانية للدالة سالبتين. لننظر أولًا إلى إشارة المشتقة الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ عند كل نقطة. تذكر أن المشتقة الأولى للدالة عند نقطة ما تعطينا ميل مماس التمثيل البياني عند هذه النقطة. فبرسم مماسات التمثيل البياني عند كل نقطة، يمكننا تحديد إشارة المشتقة الأولى.

يمكننا ملاحظة أنه عند النقطة ﺃ، ينحدر المماس لأسفل. إذن، تكون المشتقة الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ سالبة بالفعل عند النقطة ﺃ. بينما عند النقطتين ﺏ وﺟ، ينحدر المماسان لأعلى، وهو ما نستنتج منه أن المشتقة الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ موجبة عند كل من ﺏ وﺟ. وعند النقطة ﻭ، يكون مماس التمثيل البياني أفقيًا. وعليه، فإن المشتقة الأولى تساوي صفرًا وليست سالبة عند هذه النقطة. وأخيرًا، نلاحظ عند النقطة ﻫ أن المماس ينحدر لأسفل. وبذلك تكون المشتقة الأولى سالبة عند النقطة ﻫ. ويتبقى لدينا النقطتان ﺃ وﻫ فقط. ثم علينا النظر إلى إشارة المشتقة الثانية عند كل نقطة منهما. وهذا يرتبط بتقعر التمثيل البياني عند كل نقطة.

تذكر أنه من المفترض أن يكون التمثيل البياني مقعرًا لأسفل في فترة محددة إذا كانت مماسات التمثيل البياني في هذه الفترة تقع أعلى التمثيل البياني نفسه. يمكننا أيضًا ملاحظة أنه عندما يكون التمثيل البياني مقعرًا لأسفل، فإن ميل مماسه يتناقص. وعليه تتناقص المشتقة الأولى أيضًا. وإذا تناقصت الدالة، فإن مشتقتها تكون سالبة. وبما أن مشتقة المشتقة الأولى هي المشتقة الثانية، يترتب على ذلك أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع أقل من صفر عندما يكون التمثيل البياني مقعرًا لأسفل.

هذا غير مطلوب هنا، ولكن من المفترض أن يكون التمثيل البياني مقعرًا لأعلى عندما يكون العكس صحيحًا. تقع مماسات التمثيل البياني أسفل التمثيل البياني نفسه. تتزايد المشتقة الأولى ومن ثم تكون المشتقة الثانية موجبة. بالنظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ، يمكننا ملاحظة أن المماس الذي رسمناه عند النقطة ﻫ يقع أعلى التمثيل البياني. بذلك يكون شكل التمثيل البياني مقعرًا لأسفل في هذا الجزء. ولكن إذا نظرنا إلى النقطة ﺃ، نجد أن المماس الذي رسمناه هنا يقع أسفل التمثيل البياني. وبذلك يكون التمثيل البياني مقعرًا لأعلى عند النقطة ﺃ. ونستنتج من ذلك أن المشتقة الثانية سالبة عند النقطة ﻫ، بينما تكون موجبة عند النقطة ﺃ.

يتبقى لدينا نقطة واحدة فقط تكون المشتقة الأولى والمشتقة الثانية عندها سالبتين. وهي النقطة ﻫ. عرفنا في هذا المثال كيفية تحديد أمر متعلق بالمشتقتين الأولى والثانية للدالة من التمثيل البياني للدالة نفسها.

لنتناول الآن كيفية تحديد أمر متعلق بالتمثيل البياني للدالة من التمثيل البياني لمشتقتها الثانية.

استخدم الرسم البياني للدالة ﺩ شرطتين لإيجاد الإحداثيات ﺱ لنقاط انقلاب الدالة ﺩ.

لدينا التمثيل البياني للمشتقة الثانية للدالة ومطلوب منا استخدامه لتحديد أمر متعلق بالدالة نفسها. في البداية، نتذكر أنه عند نقطة الانقلاب، تكون المشتقة الثانية ﺩ شرطتان ﺱ مساوية للصفر. وهذا شرط غير كاف لتكون النقطة نقطة انقلاب، حيث من الممكن أن تكون قيمة المشتقة الثانية صفرًا عند نقطة قيمة صغرى محلية أو نقطة قيمة عظمى محلية. ولكن ذلك يعطينا نقطة بداية. من الرسم الموضح، يمكننا ملاحظة أن ﺩ شرطتين ﺱ تساوي صفرًا في ثلاثة مواضع: عند ﺱ يساوي واحدًا وعند ﺱ يساوي أربعة وعند ﺱ يساوي سبعة. إذن، هذه هي إحداثيات ﺱ لنقاط الانقلاب الثلاث المحتملة للدالة ﺩ.

والآن لنفكر قليلًا فيما نعرفه عن نقاط الانقلاب. هناك نقاط على التمثيل البياني للدالة يتغير عندها التقعر من تقعر للأسفل إلى تقعر للأعلى والعكس. نتذكر أيضًا أنه عندما تكون الدالة مقعرة لأسفل، فإن مشتقتها الثانية، أي ﺩ شرطتين ﺱ، تكون سالبة. وعندما تكون الدالة مقعرة لأعلى، فإن مشتقتها الثانية تكون موجبة. عند نقطة الانقلاب نفسها، ﺩ شرطتان ﺱ تساوي صفرًا، وهو ما استخدمناه بالفعل لتحديد نقاط الانقلاب المحتملة. لكن النقطة الأساسية هي أنه عند حدوث تغير في التقعر، فسيكون هناك تغير أيضًا في إشارة المشتقة الثانية. من الرسم المعطى، يمكننا ملاحظة أن إشارة المشتقة الثانية تتغير من سالب إلى موجب عند ﺱ يساوي واحدًا، ومن موجب إلى سالب عند ﺱ يساوي سبعة.

ومع ذلك، فعلى كلا جانبي ﺱ يساوي أربعة، المشتقة الثانية موجبة، أي إنه لا يحدث أي تغير في الإشارة هنا. إذن، لا يوجد أي تغير في تقعر الدالة عند ﺱ يساوي أربعة، ولكن يحدث تغير عند ﺱ يساوي واحدًا وعند ﺱ يساوي سبعة. يمكننا استنتاج أن الدالة ﺩ لها نقطتا انقلاب عند ﺱ يساوي واحدًا وعند ﺱ يساوي سبعة.

في المثال الأخير، سنرى كيفية تحديد ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية في فترة محددة باستخدام التمثيل البياني لمشتقتها الأولى.

التمثيل البياني للمشتقة ﺩ شرطة للدالة ﺩ موضح بالشكل. في أي الفترات تكون الدالة ﺩ تزايدية أو تناقصية؟

لإجابة هذا السؤال، علينا أن نتذكر الرابط بين ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية وبين مشتقتها الأولى. نظريًا، الدالة تكون تزايدية في الفترة ﻑ إذا كانت قيمة ﺩﺱ واحد أقل من قيمة ﺩﺱ اثنين لجميع أزواج قيم ﺱ، أي ﺱ واحد وﺱ اثنين، على أن يكون ﺱ واحد أقل من ﺱ اثنين في الفترة ﻑ. وعمليًا، هذا يعني أن التمثيل البياني للدالة ينحدر لأعلى. وعليه، فإن المشتقة الأولى للدالة، أي دالة ميل التمثيل البياني، تكون موجبة. من ناحية أخرى، تكون الدالة تناقصية في الفترة ﻑ، إذا كانت قيمة ﺩﺱ واحد أكبر من قيمة ﺩﺱ اثنين لجميع قيم ﺱ واحد الأقل من قيم ﺱ اثنين في الفترة ﻑ، ما يعني من الناحية العملية أن الخط ينحدر لأسفل. وبالتالي تكون المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ سالبة.

لتحديد الفترات التي تتزايد فيها أي دالة أو تتناقص، فكل ما علينا فعله هو النظر إلى إشارة مشتقتها الأولى. وبذلك، تكون الدالة ﺩ تزايدية عندما يقع التمثيل البياني لمشتقتها الأولى ﺩ شرطة أعلى المحور ﺱ. في الشكل المعطى، نلاحظ أن هذا ينطبق على الفترة المفتوحة من واحد إلى خمسة. وتكون الدالة ﺩ تناقصية عندما يقع التمثيل البياني لمشتقتها الأولى أسفل المحور ﺱ. نلاحظ في الشكل أن هذا ينطبق على فترتين مفتوحتين، وهما الفترة من صفر إلى واحد والفترة من خمسة إلى ستة. إذن، يمكننا استنتاج أن الدالة ﺩ تزايدية في الفترة المفتوحة من واحد إلى خمسة، وتناقصية في الفترتين المفتوحتين من صفر إلى واحد ومن خمسة إلى ستة.

في هذا الفيديو، عرفنا كيف نستخدم التمثيل البياني للمشتقتين الأولى والثانية للدالة للخروج باستنتاجات حول الخصائص الأساسية للدالة نفسها، وعرفنا أيضًا كيف نستخدم التمثيل البياني للدالة للخروج باستنتاجات حول مشتقتيها الأولى والثانية. عرفنا أنه عندما تكون قيمة المشتقة الأولى للدالة هي صفرًا، يكون للدالة نفسها نقطة حرجة. ومن ثم، يمكننا تحديد قيم ﺱ للنقاط الحرجة للدالة من التمثيل البياني لمشتقتها الأولى. وذلك بالنظر إلى الموضع الذي يقطع فيه هذا التمثيل البياني المحور ﺱ. عرفنا أيضًا أن إشارة المشتقة الأولى تحدد ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية في فترة محددة. إذن، بالنظر إلى ما إذا كان التمثيل البياني للمشتقة الأولى يقع أسفل المحور ﺱ أم أعلاه في فترة محددة، يمكننا تحديد ما إذا كانت الدالة نفسها تزايدية أم تناقصية.

علمنا كذلك أنه يمكننا استخدام التمثيل البياني للمشتقة الثانية لدالة ما لتحديد ما إذا كان لتلك الدالة نقاط انقلاب. عند نقاط الانقلاب، فإن قيمة المشتقة الأولى تساوي صفرًا. ولكن يحدث تغير في إشارة المشتقة الثانية، ما يعكس حدوث تغير في تقعر الدالة. بالنظر إلى الموضع الذي يكون التمثيل البياني للمشتقة الثانية عنده مساويًا للصفر وما إذا كان يخضع لتغير في الإشارة عند هذه القيمة، يمكننا تحديد الإحداثيات ﺱ لأي نقاط انقلاب للدالة. إذن، بفهم هذه الروابط بين التمثيلات البيانية للدالة ومشتقاتها، يمكننا استنتاج معلومات أساسية بشأن الدالة نفسها دون الحاجة إلى تمثيلها بيانيًا. ويمكننا كذلك استخدام التمثيل البياني للدالة نفسها لتحديد الخصائص الأساسية لمشتقاتها.