نسخة الفيديو النصية
يمر تيار مستمر في سلك طويل مستقيم، فينتج مجالًا مغناطيسيًّا شدته 𝐵 واحد تسلا، على بعد مسافة 𝑑 سنتيمتر عموديًّا على السلك. بافتراض عدم تغير النظام، ما العلاقة بين 𝐵 واحد وشدة المجال المغناطيسي 𝐵 اثنين على بعد مسافة اثنين 𝑑 سنتيمتر عموديًّا على السلك؟ افترض أن 𝐵 واحد و𝐵 اثنين أكبر بكثير من شدة المجال المغناطيسي للأرض.
حسنًا، في هذا السؤال نريد كتابة علاقة بين قياسين مختلفين للمجال المغناطيسي الذي يولده سلك يمر به تيار. وبما أننا نتعامل مع افتراضين هنا، فلنبدأ بتوضيح ماهيتهما بإيجاز.
أولًا: نحن نفترض أن النظام لا يتغير عند المقارنة بين 𝐵 واحد و𝐵 اثنين، وهو ما يعني في الحقيقة أن التيار في السلك يظل ثابتًا. كل ما يختلف بين قياسي المجال المغناطيسي هو المسافة من السلك التي أخذ عندها قياس كل منهما، ومن ثم شدة القياسين نفسيهما. لا شيء آخر يتغير. الافتراض الآخر هو أن قياسي 𝐵 واحد و𝐵 اثنين أكبر بكثير من شدة المجال المغناطيسي للأرض. وهذا يخبرنا بأنه علينا تجاهل أي مجال مغناطيسي لا ينتجه السلك الذي يمر فيه التيار في هذا السؤال.
حسنًا، لنبدأ الآن في حل السؤال فعليًّا. بعد إفراغ بعض المساحة على الشاشة، دعونا نرسم شكلًا توضيحيًّا لما يحدث. لدينا سلك يحمل تيارًا 𝐼، وينتج عنه مجال مغناطيسي مكون من دائرتين مغلقتين متحدتي المركز ممثلتين هنا بالحلقتين الوردية والبرتقالية أو ما يعرفان بخطي المجال. نحن نقيس شدة المجال المغناطيسي على مسافتين مختلفتين من السلك، ونحصل على ناتج 𝐵 واحد على مسافة 𝑑 و𝐵 اثنين على مسافة اثنين 𝑑.
الوقت مناسب الآن؛ كي نسترجع صيغة إيجاد شدة المجال المغناطيسي الذي يولده سلك مستقيم يمر به تيار، وهي تنص على أن: 𝐵 يساوي 𝜇 صفرًا في 𝐼 مقسومًا على اثنين 𝜋𝑑؛ حيث 𝐵 شدة المجال المغناطيسي عند مسافة 𝑑 من سلك يمر به تيار 𝐼. و𝜇 صفر ثابت لا نحتاج إلى تذكر قيمته للإجابة عن هذا السؤال، وسنعرف السبب بعد قليل.
مهمتنا هي إيجاد العلاقة بين 𝐵 واحد و𝐵 اثنين، وسنستخدم هذه الصيغة لفعل ذلك. حسنًا، لدينا قيم معطاة بوحدتي السنتيمتر والتسلا، ولكن في الحقيقة، 𝑑 واثنان 𝑑 و𝐵 واحد و𝐵 اثنان هي قيم عامة جدًّا لدرجة أنه سيكون مفيدًا أن نعاملها كمتغيرات نموذجية في الصيغة، أي: 𝑑 و𝐵 فقط. وما نريد معرفته هو السؤال الآتي. عند قياس المجال المغناطيسي الناتج عن السلك، كيف تؤثر مضاعفة المسافة 𝑑 من السلك على شدة المجال 𝐵.
حسنًا، عندما نريد معرفة كيف تتغير المتغيرات في صيغة ما بالنسبة إلى كل منها، من المفيد أن نستنبط عبارة تناسب. لذا، دعونا نكتب الصيغة بالأسفل هنا، ونضع هذا الرمز محل علامة التساوي، وهو يعني: «يتناسب مع». يخبرنا هذا أننا لم نعد نساوي بين الطرفين الأيسر والأيمن من هذا التعبير. تذكر أن التناسب يخبرنا بكيفية ارتباط المتغيرات أحدها بالآخر. لذلك، سنتجاهل كل القيم الثابتة غير المتغيرة هنا. وتتضمن العدد اثنين، و𝜋، و𝜇 صفر، والتيار 𝐼؛ لأننا نتعامل وفق الافتراض بأن التيار في السلك يظل ثابتًا.
والآن، دعونا نجعل كل هذه القيم الأربع مساوية لواحد؛ لنحتفظ بمكانها في التعبير. بهذه الطريقة يصبح لدينا تعبير التناسب. ويقرأ: 𝐵 يتناسب مع واحد مقسومًا على 𝑑. وهناك طريقة أخرى لقول ذلك، وهي أن 𝐵 يتناسب عكسيًّا مع 𝑑؛ لأن 𝐵 يقع في بسط الطرف الأيسر، بينما يقع 𝑑 في مقام الطرف الأيمن. وهذا يعني أنه بزيادة إحدى الكميتين، يجب أن تقل الكمية الأخرى، والعكس صحيح.
ولمعرفة مقدار التغير في الكمية بالضبط، يمكننا استخدام تعبير التناسب كصيغة عن طريق التعويض بمعامل نعرف أن إحدى الكميتين تتغير به. وبما أننا نهتم بمضاعفة المسافة من السلك، فسنضرب 𝑑 في المعامل اثنين. ومع وجود هذا المعامل اثنين في المقام، لاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: واحد مقسومًا على 𝑑 الكل مضروبًا في نصف. ولكي يظل هذا التعبير الجديد متطابقًا مع التعبير العام الذي توصلنا إليه هنا، يجب ضرب الطرف الأيسر أيضًا في نصف.
تذكر أن زيادة المقام تعني أننا نقسم على عدد أكبر، وهو يناظر انخفاض القيمة الكلية. وهذا ما نعنيه بالتناسب العكسي. تؤدي زيادة 𝑑 إلى انخفاض 𝐵. كل هذا يعني أننا إذا زدنا المسافة من السلك بمعامل يساوي اثنين، فلا بد أن تقل شدة المجال المغناطيسي بمعامل يساوي اثنين. إذن: إجابة هذا السؤال هي أن مضاعفة قيمة 𝑑 تقلل قيمة 𝐵 إلى النصف.
وأخيرًا: نحن جاهزون لكتابة العلاقة بين 𝐵 واحد و𝐵 اثنين. مقارنة بـ 𝐵 واحد، قيست 𝐵 اثنين عند ضعف المسافة من السلك. وباستخدام هذه الصيغة لاستنباط تعبير التناسب هنا، تمكنا من إيجاد أن شدة المجال المغناطيسي 𝐵 اثنين تساوي نصف شدة المجال المغناطيسي 𝐵 واحد، أو 𝐵 اثنين تساوي نصف في 𝐵 واحد.
