نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا تربيع اثنين ﺱ مقسومًا على أربعة ﺱ.
يطلب منا السؤال إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لخارج قسمة مربع دالة مثلثية ودالة خطية. أول ما علينا فعله عندما يطلب منا إيجاد قيمة نهاية بهذه الصورة هو طرح السؤال الآتي: هل يمكننا إيجاد قيمة ذلك عن طريق التعويض المباشر؟ نحن نعلم أنه يمكننا إيجاد قيمة نهاية الدوال المثلثية عن طريق التعويض المباشر. ويمكننا كذلك إيجاد قيمة نهاية الدوال الخطية عن طريق التعويض المباشر. ويمكننا أيضًا إيجاد قيمة مربع دالة مثلثية عن طريق التعويض المباشر.
ولكن، سنواجه مشكلة عند محاولة إيجاد قيمة خارج قسمة هاتين الدالتين عن طريق التعويض المباشر. فعند التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا، سنحصل على جا تربيع اثنين في صفر مقسومًا على أربعة في صفر. وبإيجاد قيمة هذا المقدار، سنحصل على الصيغة غير المعينة صفر مقسومًا على صفر. إذن، لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. وسنحتاج إلى استخدام طريقة أخرى. يمكننا أن نتذكر نهاية مماثلة، والتي نعرف كيفية إيجاد قيمتها. نعرف أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي واحدًا. إذن، علينا إعادة كتابة النهاية المعطاة في السؤال بدلالة النهاية التي نعرف كيفية إيجاد قيمتها. لذا، سنحاول إعادة كتابة جا تربيع اثنين ﺱ مقسومًا على أربعة ﺱ بدلالة جا ﺱ مقسومًا على ﺱ.
ولكن، نلاحظ في دالتنا أن لدينا جا اثنين ﺱ، وليس جا ﺱ. ويمكننا حل ذلك باستخدام صيغة ضعف الزاوية، وسينجح هذا الأمر. ولكن، هناك طريقة أبسط من ذلك. سنعيد فقط كتابة النهاية التي نعرف كيفية إيجاد قيمتها بدلالة اثنين ﺱ. وبذلك، نعرف أن النهاية عندما يقترب اثنان ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ تساوي واحدًا أيضًا. علينا أن ننتبه هنا لأن النهاية التي نحاول إيجاد قيمتها تتضمن ﺱ يقترب من صفر. لكن في هذه النهاية يقترب اثنان ﺱ من صفر. ولكن، إذا كان اثنان ﺱ يقترب من صفر، فإن ﺱ يقترب كذلك من الصفر. إذن، يمكننا كتابة هذه النهاية بحيث يكون ﺱ يقترب من صفر.
والآن بعد أن عرفنا ذلك، دعونا نحاول أخذ العامل جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ خارج الدالة: جا تربيع اثنين ﺱ مقسومًا على أربعة ﺱ. أصبح البسط لدينا هو جا تربيع اثنين ﺱ، لذا سنحتاج إلى عامل آخر في البسط هو جا اثنين ﺱ. ويمكننا ملاحظة أننا، في المقام، سنحتاج إلى عامل آخر هو اثنان. الآن، يمكننا تقسيم نهاية حاصل الضرب هذه إلى حاصل ضرب نهايتين. وبفعل ذلك، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين.
في الواقع، يمكننا إيجاد قيمة هاتين النهايتين. فنحن نعلم أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ تساوي واحدًا. ويمكننا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين باستخدام التعويض المباشر. نعوض إذن بـ ﺱ يساوي صفرًا. وهذا يعطينا جا اثنين في صفر مقسومًا على اثنين. ونحن نعلم أن جا صفر يساوي صفرًا. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا تربيع اثنين ﺱ مقسومًا على أربعة ﺱ تساوي صفرًا.
