نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺃ اثنين، سالب واحد، ﺏ ثلاثة، خمسة؟ أ: ﺭ يساوي اثنين، سالب واحد زائد ﻙ في سالب واحد، ستة. ب: ﺭ يساوي اثنين، سالب واحد زائد ﻙ في اثنين، ١٢. ج: ﺭ يساوي اثنين، ١٢ زائد ﻙ في اثنين، سالب واحد. د: ﺭ يساوي ثلاثة، خمسة زائد ﻙ في سالب واحد، ستة. هـ: ﺭ يساوي اثنين، ١٢ زائد ﻙ في ثلاثة، خمسة.
في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي من الخيارات الخمسة المعطاة يمثل المعادلة المتجهة الصحيحة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺃ، وﺏ. لفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر المقصود بالمعادلة المتجهة لخط مستقيم. إنها معادلة على الصورة ﺭ يساوي ﻕ زائد ﻙ في ﻱ.
في المعادلة المتجهة للخط المستقيم، المتجه ﺭ هو متجه الموضع لأي نقطة على المستقيم، وذلك حسب البارامتر ﻙ واختياراتنا لكل من ﻕ، وﻱ. المتجه ﻕ هو متجه الموضع لنقطة واحدة على المستقيم. وﻙ بارامتر يمكن أن يأخذ أي قيم حقيقية. وﻱ هو متجه اتجاه المستقيم؛ حيث إنه أي متجه غير صفري يوازي المستقيم.
هذا يعني أنه يمكننا تكوين معادلات متجهة للمستقيمات باستخدام متجهين هما: متجه الموضع لنقطة ما على المستقيم، ومتجه اتجاه المستقيم. يمكننا محاولة استبعاد بعض الخيارات في هذه المرحلة. وعلى الرغم من أن هذا ممكن، فمن الصعب جدًّا فعل ذلك. بدلًا من ذلك، دعونا نوجد متجه اتجاه المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺃ، وﺏ. يمكننا تذكر أن المتجه من ﺃ إلى ﺏ سيكون متجه اتجاه هذا المستقيم؛ لأنه يوازي المستقيم، ويعطى بالعلاقة: متجه موضع ﺏ ناقص متجه موضع ﺃ.
يمكننا بعد ذلك تذكر أن متجه الموضع لنقطة ما له مركبات تساوي إحداثيات هذه النقطة. إذن نعوض بإحداثيات هاتين النقطتين في المتجهين لنحصل على المتجه ثلاثة، خمسة ناقص المتجه اثنين، سالب واحد. لطرح متجهين، علينا طرح مركباتهما المتناظرة. لذا نحصل على المتجه ثلاثة ناقص اثنين، خمسة ناقص سالب واحد.
ثم يمكننا إيجاد قيمة ذلك لنحصل على المتجه واحد، ستة. وهذا أحد متجهات الاتجاه المحتملة للخط المستقيم. من المهم ملاحظة أن هذا ليس متجه الاتجاه الوحيد المحتمل لهذا الخط المستقيم. يمكننا أخذ أي مضاعف قياسي غير صفري لهذا المتجه لإيجاد متجه اتجاه مختلف لهذا المستقيم. وجميع هذه المضاعفات القياسية اختيارات صحيحة لـ ﻱ.
يمكننا هنا إجراء الضرب في عدد ثابت عن طريق ضرب ﻥ في كل مركبة لنحصل بذلك على المتجه ﻥ، ستة ﻥ. جميع متجهات الاتجاه لهذا الخط المستقيم تعطى في صورة هذا المتجه؛ حيث تكون قيمة ﻥ لا تساوي صفرًا. ويمكننا استخدام ذلك لاستبعاد بعض الخيارات.
إحدى طرق فعل ذلك هي ملاحظة أنه بما أن ﻥ لا يساوي صفرًا، ومعاملي ﻥ لهما نفس الإشارة، فلا بد أن يكون لمركبتي ﻱ نفس الإشارة. وهذا يتيح لنا استبعاد أي خيارات بها متجهات اتجاه تتضمن إشارتين مختلفتين في مركبتيها. نلاحظ أن الخيارات أ، ج، د لا يمكن أن تكون معادلات متجهة لهذا المستقيم؛ لأن متجهات الاتجاه بها ليست موازية للمتجه من ﺃ إلى ﺏ.
بطريقة مشابهة، يمكننا استبعاد الخيار هـ. لكي تساوي المركبة الأولى لمتجه الاتجاه ﻱ ثلاثة، يجب أن يكون ﻥ يساوي ثلاثة. لكن لكي تساوي المركبة الثانية خمسة، يجب أن يساوي ﻥ خمسة على ستة. هذا يعني أن المتجه ثلاثة، خمسة لا يوازي المتجه من ﺃ إلى ﺏ. ومن ثم، فهو ليس متجه اتجاه محتمل للمستقيم. إذن، يتبقى لدينا الخيار ب فقط.
للتحقق منه، دعونا نتأكد من أن هذه معادلة متجهة صحيحة للخط المستقيم. نلاحظ أولًا أن المتجه اثنين، سالب واحد هو متجه الموضع للنقطة ﺃ. إذن، هذا متجه الموضع لنقطة ما على المستقيم. يمكننا أيضًا ملاحظة أنه إذا جعلنا ﻥ يساوي اثنين، فسنلاحظ أن المتجه اثنين، ١٢ يوازي المتجه من ﺃ إلى ﺏ. ويعني هذا أنه متجه اتجاه صحيح للخط المستقيم. وهذا يؤكد أن ﺭ يساوي اثنين، سالب واحد زائد ﻙ في اثنين، ١٢ يمثل المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين اثنين، سالب واحد، وثلاثة، خمسة.
