في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد معادلة الخط المستقيم في الصورة المتجهة.
هناك العديد من الطرق المختلفة لتمثيل خط مستقيم في المستوى. في الواقع، يمكن أن يفيد كلٌّ من هذه التمثيلات في مواقف مختلفة. على سبيل المثال، نتذكَّر أنه إذا كان الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ، ، وميله، ، فسيمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم على صيغة الميل والمقطع: .
إلا أن هذه الصورة لمعادلة الخط المستقيم تفترض أننا نعرف كلًّا من الميل والجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ، ما يجعل رسم خط مُعطى بهذه الصورة صعبًا. كما أنها تفترض أيضًا أن الخط المستقيم ليس رأسيًّا (لأن ميل الخط الرأسي غير معرَّف). ولكن، إذا أُعطِينا بدلًا من ذلك نقطة على الخط مع الميل، يمكننا استخدام هذه المُعطيات لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ؛ ومن ثَمَّ، معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع. لكن، من الأسهل تمثيل هذا الخط المستقيم في صيغة الميل والنقطة، التي تُعرَف على النحو الآتي.
ملخَّص: صيغة الميل والنقطة لمعادلة خط مستقيم في بُعدَيْن
خط مستقيم يمر بالنقطة له الميل ، تكون معادلته:
تُسمَّى هذه بمعادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والنقطة.
وتُسمَّى هذه بصيغة الميل والنقطة لمعادلة الخط المستقيم؛ لأننا لا نحتاج إلا إلى معرفة نقطة واحدة على الخط المستقيم وميله لإيجاد معادلة الخط المستقيم في هذه الصورة.
ولكن تظل هناك بعض المشكلات المتعلِّقة بهذه الصيغة. أولًا، بما أن صيغة الميل والنقطة تستلزم وجود ميل الخط المستقيم، إذن هذا يعني أن الخط المستقيم ليس رأسيًّا. ثانيًا، لن يكون لدينا ميل الخط المستقيم دائمًا، ما يعني أن علينا حساب الميل لإيجاد معادلته. وأخيرًا، ليس من السهل رسم خط مستقيم على هذه الصورة؛ لأننا لا نعرف أيًّا من الأجزاء التي يقطعها من المحور.
تُوجَد صورة أخرى لمعادلة الخط المستقيم، وتُعرَف بالصورة القياسية، وتكون أسهل في الرسم من الصورتين السابقتين.
ملخَّص: الصورة القياسية لمعادلة خط مستقيم في بُعدَيْن
إذا كان كلٌّ من ، ، أعدادًا صحيحة، ولم تكن قيمة سالبة، فإذن: سيُطلَق عليها الصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم.
ويُسمَح لواحد على الأكثر من أو أن يساوي صفرًا.
للصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم عددٌ من المميِّزات التي تميِّزها على الصورتين الأخريين المذكورتين سابقًا. أولًا، إذا جعلنا ، فسيمكننا تكوين معادلة أيِّ خط رأسي.
على سبيل المثال، إذا كان ، ، ، فسنحصل على الخط المستقيم ؛ أي الخط المستقيم الرأسي . ثانيًا، إذا كان العددان ، لا يساويان صفرًا، فسيمكننا بسهولة أن نُوجِد الجزأين اللذين يقطعهما الخط المستقيم من المحورين ، في هذه الصورة، من خلال التعويض بكلٍّ من ، على الترتيب.
نُوجِد الجزء المقطوع من المحور من خلال التعويض بـ : والجزء المقطوع من المحور من خلال التعويض بـ :
بما أنه يمكننا أن نُوجِد الجزأين المقطوعين بسهولة، إذن يمكننا استخدام هذه الصورة لرسم الخط المستقيم من خلال تمثيل الجزأين المقطوعين من المحورين بيانيًّا، ورسم الخط المستقيم الذي يمر بهاتين النقطتين.
ولكن، لهذه الصورة من معادلة الخط المستقيم بعض العيوب أيضًا. أولًا، لا يمكن دائمًا إيجاد قيم الأعداد الصحيحة لكلٍّ من ، ، ؛ ما يعني أنه لا يمكننا كتابة كل خط مستقيم في الصورة القياسية. ثانيًا، لا يمكننا أن نرى ميل الخط المستقيم بسهولة في الصورة القياسية. وأخيرًا، من الصعب إيجاد الصورة القياسية، وعادةً ما تستلزم التعامل مع إحدى الصورتين الأخريين لمعادلة الخط المستقيم أو معرفة كلا الجزأين المقطوعين من المحورين.
وهذا يقودنا إلى الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. كما رأينا في صيغة الميل والنقطة، يمكننا التفكير في الخط على أنه نقطة على الخط المستقيم، وميل يمثِّل اتجاه الخط المستقيم. تكمن المشكلة في استخدام الميل في أنه يفترض أن الخط المستقيم ليس رأسيًّا. ولكن، بتذكُّر أنه يمكن أيضًا تمثيل الاتجاه باستخدام المتجهات، يمكننا التغلُّب على هذه المشكلة. لنستكشف أولًا كيفية إيجاد المعادلة المتجهة لأيِّ خط مستقيم، ثم نفكِّر في كيفية تطبيقها على حالة الخط المستقيم الرأسي.
يمكننا إيجاد متجه موضع أيِّ نقطة على خط مستقيم باستخدام نقطة معلومة، ، على الخط المستقيم لها متجه موضع، ، بالإضافة إلى أيِّ متجه لا يساوي صفرًا، ، يكون موازيًا للخط المستقيم. يُسمَّى المتجه متجه اتجاه الخط المستقيم.
إذا كانت النقطة تقع على الخط المستقيم الذي يوازي المتجه الذي لا يساوي صفرًا ، فسيمكننا إيجاد متجه موضع أيِّ نقطة على الخط من خلال إضافة مضاعف قياسي للمتجه إلى متجه الموضع : . يعطينا هذا المعادلة الآتية للخط المستقيم التي تُسمَّى الصورة المتجهة للخط المستقيم.
تعريف: الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم في بُعدَيْن
متجه الموضع، ، لأيِّ نقطة تقع على خط مستقيم يحتوي على النقطة التي لها متجه الموضع ، يُعطى من خلال: حيث متجه اتجاه الخط المستقيم، أي قيمة قياسية.
بما أن يعتمد على قيمة الكمية القياسية ، إذن نكتب هذه المعادلة عادةً على الصورة:
على سبيل المثال، يمكننا رسم الخط المستقيم . عند ، نحصل على . هذا هو متجه موضع نقطة تقع على الخط المستقيم. إذن، يمر هذا الخط المستقيم بالنقطة . بعد ذلك، متجه اتجاه هذا الخط المستقيم هو . تذكَّر أن المركبة الأولى تخبرنا بالإزاحة الأفقية، والمركبة الثانية تخبرنا بالإزاحة الرأسية.
ومن ثَمَّ، يمثِّل المتجه وحدة حركة واحدة إلى اليمين لكل وحدتَي حركة لأعلى. وهذا يعطينا الآتي.
نتحرَّك على طول الخط المستقيم من النقطة بمضاعفات قياسية لمتجه الاتجاه .
على سبيل المثال، عندما نتحرَّك من النقطة مع متجه الاتجاه المضاعف القياسي الذي يساوي ١، نصل إلى النقطة .
إذا كان المضاعف القياسي يساوي ٢، فإننا نتحرَّك بمقدار من النقطة لنصل إلى النقطة .
يمكننا أيضًا أن نستخدم قيمًا سالبة مع هذه الكمية القياسية؛ إذا كانت الكمية القياسية ، فسنتحرَّك بمقدار من النقطة لنصل إلى النقطة .
في الواقع، إن أيَّ متجه لا يساوي صفرًا يوازي الخط المستقيم يكون متجه اتجاه مكافئًا للخط المستقيم؛ حيث من المسموح لنا أن نأخذ أيَّ مضاعفات قياسية لمتجه الاتجاه.
يمكننا استخدام الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم لإيجاد الأجزاء التي يقطعها الخط المستقيم من المحور والمحور .
كيفية إيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور س والمحور ص من الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم
لإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور والمحور ، نجعل كل مركبة من المعادلة المتجهة تساوي صفرًا، ثم نَحُل المعادلة لنُوجِد قيمة . على سبيل المثال، في الخط المستقيم ، من أجل إيجاد الجزء المقطوع من المحور ، نجعل المركبة الأولى تساوي صفرًا:
يجب أن تكون جميع المركبات في الطرفين الأيسر والأيمن من هذه المعادلة متساوية. يعطينا هذا معادلتين:
لكي تكون المعادلة الأولى صحيحة، لا بد أن يكون . بعد ذلك يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية:
ومن ثَمَّ، يقع الجزء المقطوع من المحور عند . بتكرار العملية نفسها مع المركبة الثانية، نجد أن الخط المستقيم يقطع المحور عند .
كما رأينا، فإن إيجاد الأجزاء المقطوعة يتضمَّن إيجاد قيمة الكمية القياسية ، ثم التعويض بهذه القيمة في المعادلة. يبدو أن هذه الصورة تتطلَّب عملًا أكثر من الصورتين الأخريين للخط المستقيم. لكن، كما أشرنا من قبل، ثمة ميزة مهمة لاستخدام الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. هذه الميزة هي أنه يمكننا إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة أيِّ خط مستقيم، ويشمل ذلك الخطوط المستقيمة الرأسية. نتناول مثالًا على ذلك.
كيفية كتابة معادلة خط مستقيم رأسي في الصورة المتجهة
يمر الخط المستقيم بالنقطة وله اتجاه رأسي. يعني هذا أنه ليس له اتجاه أفقي على الإطلاق. ومن ثَمَّ، تكون المركبة الأولى لمتجه الاتجاه صفرًا. بما أن أي قيمة قياسية، إذن يمكننا اختيار أي ثابت لا يساوي صفرًا للمركبة الثانية. سنختار متجه الاتجاه ، لكن من المهم أن نتذكَّر أنه يمكننا اختيار أي مضاعف قياسي لا يساوي صفرًا لهذا المتجه.
يعطينا هذا المعادلة: التي رُسِمت على النحو الآتي.
في المثال التالي، نكوِّن معادلة متجهة لخط مستقيم بمعلومية متجه موضع نقطة تقع على الخط المستقيم ومتجه اتجاهه.
مثال ١: إيجاد المعادلة المتجهة لخط مستقيم يمر بنقطة بمتجه اتجاه
اكتب المعادلة المتجهة للخط المستقيم المار بالنقطة ، ومتجه اتجاهه .
الحل
لعلنا نتذكَّر أن المعادلة المتجهة لخط مستقيم هي: حيث متجه موضع أي نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم. نعلم من المُعطيات أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي لها متجه الموضع ، وأن الخط المستقيم له متجه الاتجاه . بالتعويض بهذه المتجهات في المعادلة المتجهة للخط المستقيم، نحصل على:
وأخيرًا، تمثِّل قيمة في هذه المعادلة أي مضاعف قياسي؛ ولمطابقة الخيارات، نُطلِق عليه .
إذن المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ، والذي له متجه الاتجاه ، هي:
في المثال التالي، لإيجاد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم، نرى كيف نحسب متجه اتجاه خط مستقيم بمعلومية ميله.
مثال ٢: إيجاد المعادلة المتجهة لخط مستقيم بمعلومية ميل الخط المستقيم ونقطة تقع على الخط المستقيم
أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي ميله ويمر بالنقطة .
الحل
لعلنا نتذكَّر أن المعادلة المتجهة لخط مستقيم هي: حيث متجه موضع أي نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، أي قيمة قياسية.
نعلم من المُعطيات أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي لها متجه الموضع ، وفي المعادلة المتجهة للخط المستقيم، هي النقطة التي لها متجه الموضع .
ومن ثَمَّ، لإيجاد الصورة المتجهة لمعادلة هذا الخط المستقيم، كل ما علينا فعله هو إيجاد متجه اتجاهه .
يمكننا فعل ذلك من خلال تذكُّر ما يعنيه ميل الخط المستقيم. ميل الخط المستقيم هو التغيُّر في مقسومًا على التغيُّر في . ولذا، إذا كان ميل الخط المستقيم هو ، فإن هذا يعني أنه مع كل ٣ وحدات نتحرَّكها في الاتجاه الأفقي، علينا أن نتحرَّك ٨ وحدات في الاتجاه الرأسي. هناك طريقتان مكافئتان لكتابة ذلك على صورة متجه.
يمكننا التفكير في هذا على أنه التحرُّك بمقدار ٣ وحدات إلى اليمين و٨ وحدات إلى أسفل، أو ٣ وحدات إلى اليسار ثم ٨ وحدات إلى أعلى. هذان هما المتجهان، ، ، على الترتيب. في الواقع، هما متجهان متكافئان، وكلاهما متجها اتجاه للخط المستقيم. يظهر المتجه فقط في الخيارات؛ لذا، سنختاره على أنه متجه الاتجاه.
إذن المعادلة المتجهة للخط المستقيم هي ؛ أي الخيار (ج).
يوضِّح هذا المثال خاصية مفيدة لإيجاد متجه اتجاه خط مستقيم بمعلومية ميله. بما أن ميل الخط المستقيم هو التغيُّر في مقسومًا على التغيُّر في ، إذن يمكننا دائمًا إيجاد متجه اتجاه خط مستقيم غير رأسي من خلال أخذ التغيُّر في ليساوي ١، ثم التغيُّر في ليساوي الميل. ومن ثَمَّ، يكون للخط المستقيم متجه الاتجاه ؛ حيث ميل الخط المستقيم.
تعريف: متجه اتجاه خط مستقيم بمعلومية ميله
إذا كان للخط المستقيم الميل ، فسيكون للخط المستقيم متجه الاتجاه .
إذا كان عددًا نسبيًّا، يمكننا أن نضرب متجه الاتجاه في المقام، ، لنحصل على متجه اتجاه بدلالة الأعداد الصحيحة. إذن متجه اتجاهه هو .
في المثال التالي، لتحديد المعادلة المتجهة لخط مستقيم، يكون علينا أن نُوجِد متجه الاتجاه، بمعلومية نقطتين مختلفتين على الخط المستقيم.
مثال ٣: إيجاد المعادلة المتجهة لخط مستقيم يمر بنقطتين تقعان على الخط المستقيم
أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين و.
الحل
لعلنا نتذكَّر أن المعادلة المتجهة لخط مستقيم هي: حيث متجه موضع أي نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، أي كمية قياسية. لدينا نقطتان معلومتان تقعان على الخط المستقيم، ويمكننا اختيار أيٍّ من هاتين النقطتين لتحديد المعادلة المتجهة لهذا الخط المستقيم. سنختار النقطة التي لها متجه الموضع . سيكون هذا المتجه .
لإيجاد الصورة المتجهة لمعادلة هذا الخط المستقيم، كل ما نحتاج إليه في هذه الحالة هو متجه اتجاه الخط المستقيم. يمكننا إيجاد ذلك من خلال تذكُّر أن المتجه الذي يقع بين النقطتين ، يُعطى من خلال:
إذا كان ، نقطتين مختلفتين تقعان على الخط المستقيم، فسيكون متجه اتجاه هذا الخط المستقيم.
لا يهم ترتيب النقاط؛ لذا، على سبيل المثال، باختيار ، ، نحصل على:
ولكن، هذا ليس متجه اتجاه أيٍّ من الخيارات المُعطاة، لكن يمكننا إيجاد متجه مكافئ لـ من خلال الضرب في الكمية القياسية ، والتي تساوي ؛ ونحصل على:
إذن، بالتعويض بمتجه الاتجاه ومتجه الموضع هذين في الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم، نحصل على ، وهو الخيار (أ).
يجدر التأكيد على أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم ليست ذات شكل ثابت. يمكننا أن نعتبر أن أيَّ نقطة تقع على الخط المستقيم هي متجه الموضع ، وأيَّ متجه اتجاه للخط المستقيم هو متجه الاتجاه .
إذن، بالنسبة إلى المثال السابق، تكون جميع المعادلات الآتية معادلات متجهة صحيحة للخط المستقيم نفسه:
يقدِّم لنا المثال السابق نتيجة مفيدة عن إيجاد متجه اتجاه خط مستقيم ما عندما نعلم نقطتين مختلفتين على الخط المستقيم.
تعريف: الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم في بُعدَيْن
إذا كان ، نقطتين مختلفتين على خط مستقيم، فستُعطى الصورة المتجهة من معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ، من خلال:
يمكننا استخدام هذا التعريف ليساعدنا في تحديد إذا ما كانت ٣ نقاط أو أكثر على المستوى على استقامة واحدة، كما سنرى في المثال الآتي.
مثال ٤: تحديد إذا ما كانت ثلاث نقاط على استقامة واحدة باستخدام الصورة المتجهة من معادلة خط مستقيم
باستخدام الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم، حدِّد إذا ما كانت النقاط ، ، تقع على استقامة واحدة.
الحل
تذكَّر أنه يُقال إن مجموعة من النقاط تقع على استقامة واحدة إذا كانت جميع تلك النقاط تقع على الخط المستقيم نفسه. هناك عدة طرق للتحقُّق ممَّا إذا كانت النقاط الثلاث المُعطاة تقع على استقامة واحدة؛ إحداها، إيجاد المعادلة بين نقطتين ثم التحقُّق ممَّا إذا كانت النقطة الثالثة تحقِّق المعادلة. نفعل ذلك من خلال إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يصل بين النقطتين و.
نستخدم حقيقة أن الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم يصل بين نقطتين مختلفتين، ، ، تُعطى من خلال: حيث أي كمية قياسية.
بالتعويض بإحداثيات النقطتين، نحصل على: وهو ما يمكن كتابته على الصورة:
إذا كانت النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة، فستقع النقطة الثالثة، ، على هذا الخط المستقيم. لنتحقَّق ممَّا إذا كان هذا صحيحًا أو لا. هذه النقطة لها متجه الموضع ، وبالتعويض بمتجه موضعها في المعادلة المتجهة للخط المستقيم للمتجه ، نحصل على:
لكي تقع النقطة على الخط المستقيم، لا بد أن تكون هناك قيمة لـ تحقِّق المعادلة.
بمساواة المركبة الأولى لكل متجه، نحصل على المعادلة: التي يمكننا حلها لإيجاد قيمه :
بالتعويض بقيمة هذه في المعادلة المتجهة، نحصل على: وهو متجه موضع النقطة ؛ أي إنها تقع أيضًا على هذا الخط المستقيم الذي تقع عليه النقطتان و. ومن ثَمَّ، فإن النقاط جميعها تقع على استقامة واحدة.
كان بإمكاننا التحقُّق ممَّا إذا كانت هذه النقاط تقع على استقامة واحدة من خلال إيجاد المتجهات بين كل نقطتين. إذا كانت ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة، فلا بد أن تكون جميع المتجهات بين أيِّ نقطتين متوازية.
يمكننا حساب هذه المتجهات:
ثم نلاحظ أن:
إذن جميع المتجهات الثلاثة متوازية؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن النقاط الثلاث لا بد أن تكون على استقامة واحدة.
في المثال الأخير، سنُحدِّد المعادلة المتجهة لخط مستقيم مُعطى على صيغة الميل والمقطع.
مثال ٥: تحويل معادلة من صيغة الميل والمقطع إلى الصيغة المتجهة
تُعطى معادلة الخط المستقيم من خلال . أيٌّ من معادلات المتجهات الآتية تمثِّل الخط المستقيم نفسه؟
الحل
لعلنا نتذكَّر أن المعادلة المتجهة لخط مستقيم تُعطى من خلال: حيث متجه موضع أي نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، أي كمية قياسية. ومن ثَمَّ، يجب أن تقع النقطة التي لها متجه الموضع على الخط المستقيم، ويجب أن يكون المتجه موازيًا للخط المستقيم.
الخط المستقيم المُعطى في السؤال في صورة الميل والمقطع؛ أي الصورة ؛ حيث الميل، الجزء المقطوع من المحور . ومن ثَمَّ، للخط المستقيم الميل ٧، ويقطع المحور عند . ميل الخط المستقيم يساوي ٧ يعني أنه في مقابل كل وحدة واحدة يتحرَّكها الخط المستقيم في الاتجاه الأفقي الموجب، يتحرَّك بمقدار ٧ وحدات في الاتجاه الرأسي الموجب، ويمكننا تمثيل ذلك بالمتجه ، وهو أحد المتجهات المحتملة للخط المستقيم.
سيكون أي مضاعف قياسي لا يساوي صفرًا لهذا المتجه موازيًا للخط المستقيم؛ يعني هذا أن لا بد أن يكون مضاعفًا قياسيًّا لـ . من بين الخيارات المُعطاة، يمكننا ملاحظة أن الخيارات (أ)، (د)، (هـ) فقط لها متجهات اتجاه تمثِّل مضاعفات قياسية لـ :
بما أن متجهَي الاتجاه في الخيارين (ب)، (ج) لا يمثِّلان مضاعفين قياسيين لـ ، فلن يكون الخطان المستقيمان في الخيارين (ب)، (ج) معادلتين متجهتين محتملتين للخط المستقيم .
في الصورة المتجهة من معادلة خط مستقيم، لا بد أن يكون المتجه متجه موضع نقطة تقع على الخط المستقيم. يمكننا التحقُّق من الخيارات الثلاثة المتبقية (أ)، (د)، (هـ)، لنرى إذا ما كانت النقاط في كل حالة تمثِّل متجهات موضع تقع على الخط.
بالمقارنة بالمعادلة المتجهة العامة للخط المستقيم، نجد في الخيار (أ)، ؛ لذا، للتأكُّد ممَّا إذا كان يقع على الخط المستقيم ، نعوِّض بـ :
وبما أنه في الخيار (أ)، الإحداثي المناظر عند هو ، وليس ، إذن يمكننا استنتاج أن النقطة لا تقع على الخط المستقيم ، وأن الخيار (أ) لا يمثِّل هذا الخط المستقيم. وفي الواقع، بما أن متجهَي هذين المستقيمين متوازيان والمستقيمين مختلفان، إذن فقد أوضحنا أن هذا المستقيم موازٍ.
في الخيار (د)، لنتحقَّق من أنه إذا كانت النقطة تقع على الخط المستقيم، يمكننا التعويض بـ في الخط المستقيم ، وهو ما يعطينا:
ومن ثَمَّ، فإن النقطة لا تقع على الخط المستقيم ؛ إذن الخيار (د) لا يمثِّل هذا الخط المستقيم. مرة أخرى، بما أن هذين المستقيمين مختلفان ولهما متجها اتجاه متوازيان، إذن لا بد أن يكون هذان الخطان المستقيمان متوازيين.
وأخيرًا، بالنظر إلى الخيار (هـ)، علينا أن نعرف إذا ما كانت النقطة تقع على الخط المستقيم.
بالتعويض بـ في معادلة الميل والجزء المقطوع للخط المستقيم، نحصل على:
إذن، تقع النقطة على الخط المستقيم، وهذا تمثيل صحيح لهذا الخط المستقيم.
إذن، من بين الخيارات المُعطاة، الخيار (هـ) فقط، ، هو تمثيل الخط المستقيم .
نختتم هذا الشارح بمراجعة بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- متجه الموضع، ، لأي نقطة تقع على خط مستقيم يحتوي على النقطة التي لها متجه الموضع يُعطى من خلال: حيث متجه اتجاه الخط المستقيم، أي قيمة قياسية.
يُطلَق على ذلك المعادلة المتجهة للخط المستقيم. - إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان ، تقعان على الخط المستقيم، يمكننا إيجاد متجه الاتجاه من خلال حساب المتجه :
- الخط المستقيم الذي له الميل يكون له متجه الاتجاه .
- المعادلة المتجهة للخط المستقيم ليست ذات شكل ثابت؛ حيث يمكننا اختيار أي نقطة تقع على الخط المستقيم لتكون متجه الموضع ، وأي متجه لا يساوي صفرًا يوازي الخط المستقيم ليكون متجه الاتجاه .
- أيُّ متجهَي اتجاه ، متكافئين يكون كلٌّ منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر لا يساوي صفرًا.
- تكون أيُّ ثلاث نقاط أو أكثر على استقامة واحدة إذا كانت متجهات الاتجاه بين كل نقطتين متكافئة.
