نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معادلة الخط المستقيم في الصورة المتجهة. يوجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا بها كتابة معادلة الخط المستقيم في المستوى ﺱﺹ. دعونا نتذكر بعضًا منها.
أولًا، بصيغة الميل والمقطع، يكون لدينا ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﻡ هو الميل أو الانحدار، وﺟ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. بصيغة الميل ونقطة، يكون لدينا ﺹ ناقص ﺹ صفر يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ صفر؛ حيث ﻡ مجددًا هو الميل، والخط المستقيم يمر بالنقطة ﺱ صفر، ﺹ صفر. ثالثًا، لدينا الصورة القياسية، وهي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ أعداد صحيحة، وﺃ عدد غير سالب. من المهم أيضًا الإشارة إلى أن واحدًا فقط من ﺃ أو ﺏ يمكن أن يساوي صفرًا.
ولهذه الطرق الثلاث جميعها مميزات وعيوب. وبما أن كلًّا من صيغة الميل والمقطع وصيغة الميل ونقطة لا يمكن استخدامهما في حالة وجود الخطوط الرأسية، فسنستخدم الصورة المتجهة للخط المستقيم للتغلب على ذلك. يمكننا إيجاد متجه الموضع لأي نقطة على خط مستقيم باستخدام نقطة معلومة ﻥ، إحداثياتها: ﺱ صفر، ﺹ صفر على الخط الذي متجه موضعه ﻕ، مع أي متجه غير صفري ﻱ يوازي الخط المستقيم. المتجه ﻱ يسمى متجه اتجاه الخط المستقيم.
وهذا يقودنا إلى التعريف التالي. متجه الموضع ﺭ لأي نقطة على خط مستقيم يحتوي على النقطة ﻥ التي متجه موضعها ﻕ يعطى بـ ﺭ يساوي ﻕ زائد ﻙ مضروبًا في ﻱ؛ حيث ﻱ هو متجه اتجاه الخط المستقيم، وﻙ هو أي قيمة قياسية. وهذا لأنه إذا كانت النقطة ﻥ تقع على الخط المستقيم، الذي يوازي المتجه غير الصفري ﻱ، يمكننا إذن إيجاد متجه موضع أي نقطة على الخط المستقيم بإضافة مضاعف قياسي لـ ﻱ إلى متجه الموضع ﻥ.
دعونا نفكر في الخط الذي متجه اتجاهه واحد، اثنان، الذي يمر بالنقطة التي إحداثياتها واحد، واحد؛ حيث ﻕ يساوي واحد، واحد. وعليه، فإن الصورة المتجهة لمعادلة هذا الخط المستقيم ستساوي واحد، واحد زائد ﻙ مضروبًا في واحد، اثنين. يمكننا تمثيل هذا على المستوى الإحداثي. نعلم أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها واحد، واحد. متجه الاتجاه هو: واحد، اثنان. ويمكننا تذكر أن المركبة الأولى توضح لنا الإزاحة الأفقية بينما تبين المركبة الثانية الإزاحة الرأسية. هذا يعني أن المتجه واحد، اثنين يمثل حركة بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين، ووحدتين لأعلى. نتحرك على طول الخط المستقيم من النقطة واحد، واحد بالمضاعفات القياسية لمتجه الاتجاه واحد، اثنين.
إذا كان المضاعف القياسي يساوي اثنين، يصبح متجه الاتجاه اثنين، أربعة. في الحقيقة، أي متجه لا يساوي صفرًا ويوازي الخط المستقيم هو متجه اتجاه مكافئ للخط المستقيم؛ حيث إنه مسموح لنا أن نأخذ أي مضاعفات قياسية لمتجه الاتجاه. سنفكر الآن في كيفية إيجاد الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ والمحور ﺹ باستخدام الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم.
لإيجاد الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ والمحور ﺹ، نساوي كل مركبة من مركبتي الصورة المتجهة للمعادلة بصفر، ثم نحل لإيجاد قيمة ﻙ. بتذكر الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي رأيناه سابقًا، نعلم أن هذا المتجه سيتضمن المركبتين ﺱ وﺹ. عندما يقطع الخط المستقيم المحور ﺹ، نعلم أن قيمة ﺱ تساوي صفرًا. بتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة، يصبح لدينا المركبتان: واحد زائد ﻙ، وواحد زائد اثنين ﻙ. يمكننا بعد ذلك مساواة قيمتي المركبة ﺱ. وبحساب ذلك، نحصل على ﻙ يساوي سالب واحد. وبما أن ﺹ يساوي واحدًا زائد اثنين ﻙ، فإن ﺹ يساوي أيضًا سالب واحد. ومن ثم يمكننا استنتاج أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يقع عند ﺹ يساوي سالب واحد.
وباستخدام الطريقة نفسها ومساواة المركبة ﺹ بصفر، نجد أن الخط المستقيم يقطع المحور ﺱ عند ﺱ يساوي نصفًا. أشرنا سابقًا أنه توجد ميزة كبيرة لاستخدام الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم؛ وهي أنه يمكننا إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة أي خط مستقيم، بما في ذلك الخطوط الرأسية.
قبل الانتقال إلى بعض الأمثلة المحددة، دعونا نتناول ذلك. الخط المستقيم ﺱ يساوي سالب واحد يمر بالنقطة سالب واحد، صفر، واتجاهه رأسي. وهذا يعني أنه ليس له اتجاه أفقي على الإطلاق. هذا يعني أن المركبة الأولى من متجه الاتجاه ستساوي صفرًا. باستخدام الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم، نجد أن ﺭ يساوي سالب واحد، صفر زائد ﻙ مضروبًا في صفر، واحد. ويمكن ملاحظة ذلك على المستوى ﺱﺹ كما هو موضح. لدينا متجه الموضع سالب واحد، صفر، ومتجه الاتجاه صفر، واحد. لنتناول الآن بعض الأسئلة المحددة التي تتضمن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم.
اكتب الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ستة، سالب تسعة؛ ومتجه اتجاهه هو تسعة، سالب اثنين. هل هو الخيار (أ) ﺭ يساوي تسعة، سالب اثنين زائد ﻙ مضروبًا في ستة، سالب تسعة؟ أم هل هو (ب) ﺭ يساوي ستة، سالب تسعة زائد ﻙ مضروبًا في تسعة، سالب اثنين. أم هل هو (ج) ﻙ يساوي ستة، سالب تسعة زائد المتجه ﺭ مضروبًا في تسعة، سالب اثنين؟ أم هل هو (د) ﻙ يساوي تسعة، سالب اثنين زائد المتجه ﺭ مضروبًا في ستة، سالب تسعة؟
نبدأ بتذكر أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم هي ﺭ يساوي ﻕ زائد ﻙ مضروبًا في ﻱ؛ حيث ﻕ هو متجه موضع لنقطة على الخط المستقيم، وﻱ هو متجه الاتجاه للخط المستقيم. في هذا السؤال، معطى لنا كل من النقطة والمتجه. عندما يمر الخط المستقيم بالنقطة ستة، سالب تسعة، فإن ﻕ يساوي ستة، سالب تسعة. علمنا أيضًا من المعطيات أن متجه الاتجاه يساوي تسعة، سالب اثنين. إذن، ﺭ يساوي ستة، سالب تسعة زائد ﻙ مضروبًا في تسعة، سالب اثنين. بالإشارة إلى أن قيمة ﻙ يمكن أن تكون أي كمية قياسية، لتطابق الخيارات، سنساويها بـ ﻙ. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب).
قبل الانتقال إلى المثال التالي، سنتناول كيف يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم بمعلومية ميله. نعلم أن ميل أي خط أو انحداره يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. هيا نبدأ بالنظر إلى الخط المستقيم الذي ميله يساوي سالب ثمانية على ثلاثة. هذا يعني أنه لكل ثلاث وحدات نتحركها أفقيًّا إلى اليمين، علينا التحرك ثماني وحدات رأسيًّا لأسفل. ويمكن كتابة هذا أيضًا على صورة المتجه ثلاثة، سالب ثمانية.
من المهم الإشارة إلى أن هذا يكافئ متجه الاتجاه سالب ثلاثة، ثمانية. يوضح هذا خاصية مفيدة لإيجاد متجه الاتجاه عندما نعطى ميل الخط المستقيم. إذا كان ميل الخط المستقيم ﻡ، فسيكون متجه اتجاهه واحد، ﻡ. عندما يساوي الميل كسرًا ما يساوي ﺏ على ﺃ، كما في هذه الحالة، سيكون لهذا المستقيم متجه الاتجاه ﺃ، ﺏ. سنتناول الآن مثالًا سنستخدم فيه هذه المعلومات.
أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ستة، سالب سبعة؛ وسالب أربعة، ستة. هل هو الخيار (أ) ﺭ يساوي ستة، سالب سبعة زائد ﻙ مضروبًا في ١٠، سالب ١٣؟ أم هل هو (ب) ﺭ يساوي سالب أربعة، ستة زائد ﻙ مضروبًا في سالب ١٣، ١٠؟ أم هل هو (ج) ﺭ يساوي ستة، سالب أربعة زائد ﻙ مضروبًا في سالب سبعة، ستة؟ أم هل هو (د) ﺭ يساوي سالب أربعة، ستة زائد ﻙ مضروبًا في ١٠، ١٣؟
نبدأ بتذكر أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم هي ﺭ يساوي ﻕ زائد ﻙ مضروبًا في ﻱ؛ حيث ﻕ هو متجه الموضع لأي نقطة تقع على الخط المستقيم، وﻱ هو متجه اتجاه الخط المستقيم، وﻙ هو أي كمية قياسية. لدينا إحداثيات النقطتين ستة، سالب سبعة؛ وسالب أربعة، ستة، وكلتاهما تقع على الخط المستقيم. ويمكننا استخدام أي من هاتين النقطتين باعتبارها متجه الموضع للمساعدة في إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. في الخيار (أ)، متجه الموضع هو ستة، سالب سبعة. وفي الخيارين (ب) و(د)، متجه الموضع هو سالب أربعة، ستة.
لنبدأ بجعل متجه الموضع ﻕ يساوي ستة، سالب سبعة. علينا الآن إيجاد متجه الاتجاه بالنظر إلى النقطتين اللتين تقعان على الخط المستقيم. نتذكر أن ميل أي خط يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. وبالتعويض بالنقطتين المعطاتين، نجد أن الميل يساوي سالب سبعة ناقص ستة على ستة ناقص سالب أربعة. وهذا يساوي سالب ١٣ على ١٠. بتذكر أن أي خط مستقيم له ميل ﻡ يساوي ﺏ على ﺃ فإن متجه اتجاهه هو ﺃ، ﺏ، نجد أن متجه الاتجاه هنا يساوي ١٠، سالب ١٣. وبما أن هذا أحد متجهات الاتجاه الممكنة لهذا الخط المستقيم، يصبح لدينا ﺭ يساوي ستة، سالب سبعة زائد ﻙ مضروبًا في ١٠ سالب ١٣.
لاحظنا أن هذا يتفق مع الخيار (أ)، الذي يوضح فعلًا أن هذه هي الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ستة، سالب سبعة؛ وسالب أربعة، ستة. بالنظر إلى الخيارات الأخرى، نتذكر أن الخيارين (ب) و(د) يمران بالفعل بالنقطة سالب أربعة، ستة. لكن ليس لهما متجه اتجاه يساوي أو يوازي المتجه ١٠، سالب ١٣. لذا، يمكننا استبعاد الخيارين (ب) و(د). متجه اتجاه الخيار (ج) هو سالب سبعة، ستة. وهذا أيضًا ليس موازيًا لمتجه الاتجاه ١٠، سالب ١٣.
وعند هذه النقطة، يجدر بنا تذكر أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم ليست معادلة وحيدة. والصور المتجهة الأخرى الممكنة لمعادلة الخط المستقيم، بناء على المعلومات المعطاة، هي ﺭ يساوي سالب أربعة، ستة زائد ﻙ مضروبًا في ١٠، سالب ١٣ ؛ وﺭ يساوي ستة، سالب سبعة زائد ﻙ مضروبًا في سالب ١٠، ١٣؛ وﺭ يساوي سالب أربعة، ستة زائد ﻙ مضروبًا في سالب ١٠، ١٣. متجها الاتجاه في الخيارين الأخيرين يكونان في الاتجاه المعاكس. أي من هذه الحلول الأربعة صحيح. لكن الحل الوحيد المعطى باعتباره واحدًا من الخيارات هو ﺭ يساوي ستة، سالب سبعة زائد ﻙ مضروبًا في ١٠، سالب ١٣.
وهذا يقودنا إلى نتيجة مفيدة حول إيجاد متجه اتجاه خط مستقيم ما عندما نحصل على نقطتين مختلفتين على الخط. بمعلومية نقطتين مختلفتين ﺃ وﺏ إحداثياتهما ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ فإن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم المار بهما هي ﺭ يساوي ﺱ واحد، ﺹ واحد زائد ﻙ مضروبًا في ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد.
يمكننا أيضًا استخدام هذه المعطيات لتحديد إذا ما كانت النقاط الثلاث في المستوى ﺱﺹ على استقامة واحدة. سنرى مثالًا على ذلك في السؤال الأخير.
باستخدام الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم، حدد هل النقاط سالب سبعة، خمسة؛ وسالب واحد، اثنان؛ وخمسة، سالب واحد على استقامة واحدة.
نتذكر أن مجموعة من النقاط تكون على استقامة واحدة إذا كانت جميع النقاط تقع على الخط المستقيم نفسه. توجد عدة طرق للتحقق من هذا. تتمثل إحدى الطرق في البدء بإيجاد معادلة للخط المستقيم المار بنقطتين منهما، ثم التأكد من أن النقطة الثالثة تحقق المعادلة. سنبدأ بإيجاد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر خلال سالب سبعة، خمسة؛ وسالب واحد، اثنين. نتذكر أن هذا الخط المستقيم معادلته هي ﺭ يساوي ﺱ واحد، ﺹ واحد زائد ﻙ مضروبًا في ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد.
وبالتعويض بالقيم المعطاة، يصبح الطرف الأيسر سالب سبعة، خمسة زائد ﻙ مضروبًا في سالب واحد ناقص سالب سبعة، اثنين ناقص خمسة. وهذا بدوره يبسط إلى سالب سبعة، خمسة زائد ﻙ مضروبًا في ستة، سالب ثلاثة. بتجميع المركبات المتناظرة في الطرف الأيسر، يصبح لدينا ﺭ يساوي سالب سبعة زائد ستة ﻙ، وخمسة ناقص ثلاثة ﻙ. إذا كانت النقاط الثلاث على استقامة واحدة، فستقع النقطة الثالثة خمسة، سالب واحد على هذا الخط المستقيم. يمكننا التحقق من ذلك عن طريق التعويض بمتجه موضعها خمسة، سالب واحد في الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. بمساواة المركبتين، نحصل على خمسة يساوي سالب سبعة زائد ستة ﻙ، وسالب واحد يساوي خمسة ناقص ثلاثة ﻙ.
يمكننا حل المعادلة الأولى بإضافة سبعة إلى كلا الطرفين، ثم قسمة الطرفين على ستة. هذا يعطينا ﻙ يساوي اثنين. المعادلة الثانية أيضًا تعطينا حلًّا هو ﻙ يساوي اثنين. وبما أن قيمة ﻙ هي نفس القيمة، يمكننا إذن استنتاج أن النقطة خمسة، سالب واحد تقع على الخط المستقيم. إذن، الإجابة الصحيحة هي نعم؛ النقاط الثلاث على استقامة واحدة. ويمكن أيضًا تمثيل ذلك بيانيًّا على المستوى ﺱﺹ.
سننهي هذا الفيديو الآن بتلخيص النقاط الأساسية. الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم هي ﺭ يساوي ﻕ زائد ﻙ مضروبًا في ﻱ؛ حيث ﻕ هو متجه موضع أي نقطة تقع على الخط المستقيم، وﻱ هو متجه اتجاه الخط المستقيم، وﻙ هو أي كمية قياسية. إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان ﺃ وﺏ تقعان على الخط المستقيم، فيمكننا إيجاد متجه اتجاهه كما أوضحنا؛ حيث إحداثيات النقطتين هي ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان.
رأينا أيضًا في هذا الفيديو أن الخط الذي له ميل ﻡ، له متجه الاتجاه واحد، ﻡ. وإذا كانت قيمة ﻡ هذه تساوي الكسر ﺏ على ﺃ، فيمكن كتابة متجه الاتجاه هكذا: ﺃ، ﺏ. رأينا أيضًا أن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم ليست معادلة وحيدة؛ إذ يمكننا اختيار أي نقطة تقع على الخط المستقيم على أنها متجه الموضع، وأي متجه غير صفري يوازي الخط المستقيم على أنه متجه اتجاه الخط المستقيم. وأخيرًا، عرفنا أن أي ثلاث نقاط أو أكثر تكون على استقامة واحدة إذا كانت متجهات الاتجاه بين كل نقطتين منهما متكافئة.
