فيديو السؤال: إيجاد إحداثيات مركز كتلة صفيحة مثلثة منتظمة معلق بها كتلة منفصلة في أحد جوانبها الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

صفيحة منتظمة على شكل مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢٤ سنتيمترًا، وكتلتها ٢٩٨ جرامًا. جسم كتلته ١٤٩ جرامًا معلق بالصفيحة عند إحدى نقاط تثليث القطعة المستقيمة ﺃﺏ، كما هو موضح في الشكل. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام.

مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد إحداثيات مركز ثقل النظام. يتكون هذا النظام من مثلث متساوي الأضلاع كتلته ٢٩٨ جرامًا وطول ضلعه ٢٤ سنتيمترًا، بالإضافة إلى كتلة تساوي ١٤٩ جرامًا معلقة عند إحدى نقطتي تثليث القطعة المستقيمة ﺃﺏ. سنبدأ بإيجاد مركز ثقل كل من المثلث والكتلة. مركز ثقل الكتلة التي وزنها ١٤٩ جرامًا هو النقطة المعلقة عندها. وطول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي ٢٤ سنتيمترًا. لإيجاد نقطة التثليث، علينا حساب قيمة ثلث ٢٤ سنتيمترًا. هذا يساوي ثمانية سنتيمترات. إذن، الإحداثي ﺱ لمركز الثقل هو ثمانية. وبما أن الكتلة تقع على المحور ﺱ، فإن الإحداثي ﺹ يساوي صفرًا. يعني هذا أن مركز ثقل الكتلة التي تساوي ١٤٩ جرامًا هو ثمانية، صفر.

خطوتنا الآتية هي حساب مركز ثقل المثلث الذي كتلته ٢٩٨ جرامًا. وسيكون ذلك عند تقاطع الأقطار الثلاثة الموضحة، حيث إن الأقطار هي الأعمدة المنصفة لكل من ﺃﺏ وﺏﺟ وﺃﺟ. إحدى طرق إيجاد هذه النقطة هي البدء في التفكير في إحداثيات الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ. تقع النقطة ﺃ عند نقطة الأصل، إذن إحداثياتها هي صفر، صفر. وبما أن طول ضلع المثلث يساوي ٢٤ سنتيمترًا، فإن إحداثيات النقطة ﺏ هي ٢٤، صفر. والإحداثي ﺱ للنقطة ﺟ هو ١٢؛ لأنها نقطة المنتصف بين صفر و٢٤.

يعد إيجاد الإحداثي ﺹ أكثر تعقيدًا، وعلينا استخدام معرفتنا بالمثلثات القائمة. يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس أو النسب المثلثية. تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع، حيث ﺟ هو طول الضلع الأطول أو وتر المثلث، وﺃ وﺏ هما طولا الضلعين القصيرين. وإذا افترضنا أن الإحداثي الذي نحاول حساب قيمته هو ﺹ، فسنجد أن ١٢ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ٢٤ تربيع. ‏١٢ تربيع يساوي ١٤٤، و٢٤ تربيع يساوي ٥٧٦. وبطرح ١٤٤ من كلا الطرفين، نحصل على ﺹ تربيع يساوي ٤٣٢. وبما أن قيمة ﺹ لا بد أن تكون موجبة، فإن أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة يعطينا ﺹ يساوي ١٢ جذر ثلاثة. إذن، إحداثيات الرأس ﺟ للمثلث هي ١٢، ١٢ جذر ثلاثة.

يمكننا الآن إيجاد مركز ثقل المثلث بإيجاد متوسط الإحداثيات ﺱ وﺹ. متوسط الإحداثيات ﺱ يساوي ١٢ زائد صفر زائد ٢٤ الكل مقسوم على ثلاثة. وهذا يعطينا ٣٦ مقسومًا على ثلاثة، ما يساوي ١٢. إذن، الإحداثي ﺱ لمركز ثقل المثلث هو ١٢. بتكرار ذلك مع الإحداثيات ﺹ، يصبح لدينا صفر زائد صفر زائد ١٢ جذر ثلاثة مقسومًا على ثلاثة. وهذا يساوي أربعة جذر ثلاثة. إذن، يقع مركز ثقل المثلث عند النقطة ١٢، أربعة جذر ثلاثة.

هناك طريقة بديلة لحساب قيمة الإحداثي ﺹ، وهي التفكير في المثلث القائم الزاوية الأخضر. يمكننا استخدام النسبة المثلثية ظا 𝜃 يساوي الضلع المقابل على الضلع المجاور، حيث قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٣٠ درجة؛ لأن الوتر ينصف زاوية قياسها ٦٠ درجة، وطول الضلع المجاور يساوي ١٢ سنتيمترًا. بالتعويض بهذه القيم، نجد أن ظا ٣٠ درجة يساوي د على ١٢. وبضرب الطرفين في ١٢، نجد أن د يساوي ١٢ مضروبًا في ظا ٣٠ درجة. وبما أن ظا ٣٠ يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة، فإن د يساوي أربعة جذر ثلاثة. وهذا يؤكد لنا قيمة الإحداثي ﺹ لمركز ثقل المثلث.

والآن بعد أن أصبح لدينا مركز ثقل كل من الكتلة والمثلث، يمكننا استخدام هذا لإيجاد مركز ثقل النظام بأكمله. الإحداثي ﺱ يساوي ﻡ واحد ﺱ واحد زائد ﻡ اثنين ﺱ اثنين مقسومًا على ﻡ واحد زائد ﻡ اثنين، حيث ﻡ واحد وﻡ اثنان هما الكتلتان، وﺱ واحد وﺱ اثنان هما الإحداثيان ﺱ لمركزي الثقل المناظرين. يمكننا استخدام صيغة مشابهة لحساب قيمة الإحداثي ﺹ لمركز الثقل.

بالتعويض بالقيم في الطرف الأيسر من المعادلة الأولى، يصبح لدينا ١٤٩ مضروبًا في ثمانية زائد ٢٩٨ مضروبًا في ١٢ الكل مقسوم على ١٤٩ زائد ٢٩٨. وبكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٢ على ثلاثة. وبما أن ﺹ واحد يساوي صفرًا، فإن الإحداثي ﺹ يساوي ٢٩٨ مضروبًا في أربعة جذر ثلاثة مقسومًا على ١٤٩ زائد ٢٩٨. وهذا يساوي ثمانية جذر ثلاثة على ثلاثة. يمكننا إذن استنتاج أن إحداثيات مركز ثقل النظام هي ٣٢ على ثلاثة، ثمانية جذر ثلاثة على ثلاثة.