فيديو السؤال: إيجاد النهايات التي تتضمن دوال مثلثية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لتسعة ﺱ مقسومًا على جا ١٠ﺱ ناقص ظا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد نهاية الفرق بين خارجي قسمة. خارج القسمة الأول هو دالة خطية مقسومة على دالة مثلثية. والحد الثاني هو دالة مثلثية مقسومة على دالة خطية. وهناك طرق مختلفة يمكننا بها إيجاد قيمة هذه النهاية. وبما أنه يمكننا إيجاد قيمة جميع أجزاء هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر، يمكننا البدء بمحاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر.

بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة لدينا، نحصل على تسعة في صفر على جا ١٠ في صفر ناقص ظا اثنين مضروبًا في صفر مقسومًا على اثنين في صفر. وإذا حسبنا قيم البسط والمقام لكل حد على حدة، فسنحصل على صفر مقسومًا على صفر ناقص صفر مقسومًا على صفر.

هذا يوضح، على وجه التحديد، أن نهاية الدالة الأولى هي صيغة غير معينة باستخدام التعويض المباشر. ونهاية الحد الثاني هي أيضًا صيغة غير معينة باستخدام التعويض المباشر. ومن ثم، لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية لكلا الحدين بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، سنحتاج إلى استخدام طريقة أخرى. وبما أن كل حد يمثل خارج قسمة دالة خطية ودالة مثلثية، فسنفعل ذلك باسترجاع بعض نتائج النهايات المثلثية المفيدة.

يمكننا أن نسترجع أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺃﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي ﺃ. ولأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا ﺃﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي ﺃ أيضًا. وهذان الحدان على الصورة التي نريدها تقريبًا. كل ما علينا فعله هو إعادة ترتيبهما قليلًا باستخدام خواص النهايات.

دعونا نبدأ بالحد الأول. يمكننا ملاحظة أننا نقسم على جا ١٠ﺱ. لكن في نتيجة النهاية، لدينا جا ﺃﺱ في البسط. يمكننا الالتفاف حول ذلك باستخدام مقلوب طرفي نتيجة النهاية. علينا استخدام قاعدة القوة للنهايات لإيجاد المقلوب داخل النهاية. وبالطبع، هذا يعني أن ﺃ لا يمكن أن يساوي صفرًا بما أننا نقسم على ﺃ. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا ﺃﺱ يساوي واحدًا على ﺃ بشرط أن يكون ﺃ لا يساوي صفرًا.

يمكننا الآن إيجاد قيمة النهاية لكل حد على حدة باستخدام نتائج النهاية هذه. دعونا نبدأ إذن بجعل نهاية الفرق هي الفرق بين نهايتين. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لتسعة ﺱ مقسومًا على جا ١٠ﺱ ناقص النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ. والجدير بالذكر هنا، أنه يمكن تقسيم النهاية لتكون على صورة الفرق بين نهايتين في حالة وجود هاتين النهايتين. ولكن يمكننا توضيح ذلك باستخدام نتيجتي النهايتين لدينا.

دعونا نبدأ بالنهاية الأولى. إننا نريد استخدام حقيقة أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا ﺃﺱ تساوي واحدًا على ﺃ. وستكون النهاية لدينا على هذه الصورة تقريبًا. سنحتاج فقط إلى جعل العامل الثابت تسعة خارج النهاية. وهذا يعطينا تسعة في النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا ١٠ﺱ. حسنًا، قيمة ﺃ تساوي ١٠. ومن ثم، نحصل على واحد على ١٠.

ما سنفعله في الحد الثاني يشبه ما قمنا به للتو. إننا نريد استخدام حقيقة أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا ﺃﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي ﺃ. لكن ليس لدينا ﺱ في المقام. وبدلًا من ذلك، لدينا اثنان ﺱ. لذا علينا أن نجعل العامل الثابت نصف خارج النهاية. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا اثنين ﺱ مقسومًا على ﺱ لتكون معامل ﺱ، وهو اثنان.

هذا يعطينا تسعة مضروبًا في عشر ناقص نصف مضروبًا في اثنين. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك. تسعة في عشر يساوي تسعة على ١٠، ونصف في اثنين يساوي واحدًا. ومن ثم، نحصل على تسعة على ١٠ ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب عشر، وهذه هي إجابتنا النهائية.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لتسعة ﺱ مقسومًا على جا ١٠ﺱ ناقص ظا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ تساوي سالب واحد على ١٠.