فيديو السؤال: إيجاد التكامل لدالة تتضمن مقلوب دوال مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل تسعة ظا ﺱ في قا ﺱ الكل مقسوم على خمسة قا ﺱ ناقص ١٩ بالنسبة إلى ﺱ.

مطلوب منا إيجاد تكامل خارج قسمة دالتين مثلثيتين. ولا نعلم كيف نوجد هذا التكامل عمومًا. توجد عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها. على سبيل المثال، يمكننا استخدام التعويض لمحاولة إيجاد هذا التكامل وتسهيله. لكن في هذه الحالة، توجد بالفعل طريقة أسهل.

علينا ملاحظة ما يحدث عند اشتقاق المقام بالنسبة إلى ﺱ. نعلم أن مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ظا ﺱ مضروبًا في قا ﺱ. إذن، باشتقاق المقام بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على خمسة ظا ﺱ في قا ﺱ. وفي الواقع، هذا مضاعف قياسي للبسط. هذا يعني أنه يمكننا استخدام إحدى قواعد التكامل لمساعدتنا في إيجاد هذا التكامل.

علينا أن نتذكر قاعدة التكامل التالية. تكامل ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. والتكامل الذي لدينا يكاد يكون مكتوبًا على هذه الصورة بالضبط. لكن بدلًا من وجود المعامل خمسة في البسط، لدينا المعامل تسعة. على أي حال، يمكننا حل ذلك. سنبدأ بنقل العامل الثابت تسعة خارج التكامل. وهذا يعطينا التعبير التالي.

بعد ذلك، نريد أن يكون لدينا العدد خمسة في البسط. لكن هذا يعني أن علينا ضرب التكامل بأكمله في خمس. هذا يعني أننا قد أعدنا كتابة التكامل على صورة التعبير التالي. وإذا جعلنا ﺩﺱ هو المقام، أي خمسة في قا ﺱ ناقص ١٩، فإن ﺩ شرطة ﺱ هو البسط، أي خمسة ظا ﺱ في قا ﺱ. ومن ثم، يمكننا إيجاد هذا التكامل باستخدام قاعدة التكامل.

باستخدام قاعدة التكامل عندما يكون ﺩﺱ يساوي خمسة قا ﺱ ناقص ١٩، يمكننا إيجاد قيمة التكامل لدينا فنحصل على تسعة على خمسة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لخمسة قا ﺱ ناقص ١٩ زائد ثابت التكامل ﺙ. وتذكر أن علينا الضرب في تسعة على خمسة؛ لأن التكامل به هذا العامل. ويمكننا توزيع تسعة على خمسة على القوس. لكن ﺙ هو ثابت التكامل، لذا يمكننا إضافته في نهاية التعبير بدلًا من ذلك. وهذا يعطينا الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد تمكنا من أن نوضح أن تكامل تسعة ظا ﺱ في قا ﺱ الكل على خمسة قا ﺱ ناقص ١٩ بالنسبة إلى ﺱ يساوي تسعة على خمسة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لخمسة قا ﺱ ناقص ١٩ زائد ثابت التكامل ﺙ.