في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قيمة تكامل دوالَّ على الصورة: ، وهو الذي تَنتُج عنه دوالُّ لوغاريتمية.
للتكاملات التي تَنتُج عنها دوالُّ لوغاريتمية العديد من التطبيقات الحياتية؛ حيث تُستخدَم هذه الدوالُّ في النماذج الرياضية لوصف النمو السكاني أو نمو الخلايا أو الاضمحلال الإشعاعي.
التكاملات التي على الصورة: هي تعميم لتكامل دوالِّ المقلوب؛ مثل: حيث ، . بالنسبة لدالة عامة ، نريد حساب التكامل:
يمكن توضيح هذا مباشرة باستخدام التكامل بالتعويض. بإجراء تغيير المتغيِّر؛ حيث ،
يمكننا فصل المتغيِّرات في هذه المشتقة بالتعامل معها باعتبارها كسرًا، وإعادة ترتيب التفاضلات، أو بشكل أكثر دقَّة، باستخدام:
ومن ثَمَّ:
إذن، عندما نقوم بتغيير المتغيِّر باستخدام ، نحصل على:
لقد استخدمنا التكامل لدوالِّ المقلوب لحساب هذا التكامل. تقودنا هذه النتيجة إلى التعريف التالي:
تعريف: التكاملات التي على الصورة د’(س)/(س)
حيث .
يمكننا التحقُّق من هذا باشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة، وإظهار أن الناتج يساوي الدالة التي سيتمُّ تكاملها (١)، أو بفرض أن: لأيِّ دالة اختيارية . يمكننا اشتقاق هذا لنحصل على:
ومن ثَمَّ:
لكن بما أن ، فإننا نجد أن:
تتيح القاعدة (١) المعطاة في التعريف تكاملَ نوع معين من التكاملات الناتجة عنها دالة لوغاريتمية عند التعبير عن الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة الخاصة: ، وبتحديد بشكل صحيح.
من الواضح أن هذه الطريقة مناسبة لإيجاد تكامل دوالِّ المقلوب؛ مثل: ، لكن ماذا لو كان لدينا دوالُّ كثيرات الحدود ذات درجات عُليا في البسط أو المقام؟ وما دام يمكننا التعبير عن مشتقة المقام باعتبارها مضاعفًا قياسيًّا للبسط، فإنه يمكن تطبيق هذه الطريقة. لمعرفة ذلك، نتناول التكامل:
المقام: يمكن اشتقاقه ليعطينا: وهو بالفعل مضاعف قياسيٌّ للبسط. إذن، من (١) يمكننا استنتاج أن:
انظر الآن إلى التكامل:
المقام: يمكن اشتقاقه ليعطينا: وهو ما يمثِّل، مرَّة أخرى، مضاعفًا قياسيًّا للبسط. يمكننا على الفور استخدام التعريف (١) لاستنتاج أن:
قد يبدو التعامل مع بعض المقادير الكسرية صعبًا للغاية، وربما لا يتَّضح أنه يمكننا استخدام هذه الطريقة للتكامل. لكن، بإعادة الصياغة بشكل ذكيٍّ قليلًا؛ مثل: ضرب الدالة التي سيتمُّ تكاملها في ؛ وذلك باختيار دالة مناسبة ، قد يكون بإمكاننا وضعهما على الصورة الخاصة للتعريف (١) لتطبيقه.
لمشاهدة ذلك عمليًّا، انظر إلى التكامل:
قد لا يتَّضح من الوهلة الأولى أنه يمكن تطبيق هذه الطريقة على هذا التكامل؛ لأن مشتقة مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها ليست مضاعفًا قياسيًّا للبسط. وبالتحديد، إذا كان: إذن: ومن الواضح أنه ليس مضاعفًا قياسيًّا للبسط بالصورة الحالية. لكن يمكننا إعادة صياغة الدالة التي سيتمُّ تكاملها بضرب البسط والمقام في :
بهذه الصورة، يمكننا تعريف: وهي التي، عند اشتقاقها، تعطينا:
نلاحظ أن مضاعف قياسيٌّ للبسط. بتطبيق القاعدة (١)، نجد:
انظر الآن إلى التكامل:
مرَّة أخرى، ربما لا يتَّضح على الفور أنه يمكن تطبيق هذه الطريقة. بهذه الصورة، إذا اعتبرنا المقام: فإن المشتقة تكون:
وهذا ليس مضاعفًا قياسيًّا للبسط. لكن، إذا عبَّرنا عن ، يمكننا إعادة كتابة الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة:
بهذه الصورة، يمكننا تحديد المقام على الصورة: والمشتقة على الصورة: وهي بالفعل مضاعف قياسيٌّ للبسط. ومن ثَمَّ، باستخدام (١)، فإنه يمكننا استنتاج أن:
توضِّح هذه الأمثلة أهمية أن تكون الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة الصحيحة، واختيار مناسبة لتطبيق هذه الطريقة. ونتوصَّل إلى إيجاد الطريقة الصحيحة لإعادة صياغة المقادير لتمثيلها بالصورة الصحيحة من خلال التدريب والخبرة، وهو ما يجعل إتمامَ أكبر عدد ممكن من الأمثلة فكرةً جيدةً. يمكن أيضًا حلُّ جميع هذه الأنواع من التكاملات باستخدام التكامل بالتعويض بعد إجراء تغيير مناسب للمتغيِّر.
والآن، دعونا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة من أجل تطبيق فهمنا وصقله؛ لإيجاد تكامل الدوالِّ التي على الصورة: باستخدام القاعدة (١) المعطاة في التعريف.
يتضمَّن المثال الأول تكاملَ دالة نسبية تحتوي على كثيرتَي حدود في البسط والمقام.
مثال ١: إيجاد تكامل دالة نسبية
أوجد .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة نسبية.
نحدِّد أوَّلًا مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهو:
نحن نعلم أنه يمكننا استخدام الصيغة: إذا كانت مشتقة مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها مضاعفًا قياسيًّا للبسط. في هذه الحالة، لدينا:
وبما أن هذا هو بسط الدالة التي سيتمُّ تكاملها، يمكننا تطبيق الصيغة لإيجاد:
أو بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا استخدام التكامل بالتعويض بتغيير المتغيِّر؛ حيث ، للحصول على الناتج نفسه.
في المثال التالي، سنتعلَّم كيف نُوجِد تكاملَ مقلوب دالة مثلثية بتطبيق القاعدة (١).
مثال ٢: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن مقلوبات دوالَّ مثلثية
أوجد .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة عبارة عن مقلوب دالة مثلثية، وهي التي يمكن تمثيلها على صورة خارج قسمة دالتين مثلثيتين. سنحسب هذا التكامل باستخدام الصيغة:
نبدأ باستخدام تعريف بدلالة ، وهي التي يمكن التعبير عنها أيضًا بدلالة و، ويمكننا إعادة كتابة الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة:
يمكننا التحقُّق من أن هذا التكامل على الصورة الخاصة عن طريق تحديد المقام؛ وهو: والتحقُّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. بالفعل، نجد:
ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام الصيغة لاستنتاج أن:
يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: .
في المثال التالي، سنوضِّح كيف نُوجِد تكاملَ دالة نسبية تتكوَّن من خارج قسمة كثيرتَي حدود.
مثال ٣: إيجاد تكامل دالة نسبية باستخدام التكامل بالتعويض
أوجد .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة نسبية.
لقد حدَّدنا أوَّلًا مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهو: ونتحقَّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. بالفعل، نحصل على:
وبما أن هذا على الصورة الخاصة: يمكننا حساب التكامل:
يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: .
في المثال التالي، سنوجد تكاملَ خارج قسمة دالتين مثلثيتين.
مثال ٤: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض
أوجد .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة مثلثية. سنحسب هذا التكامل باستخدام الصيغة:
لقد حدَّدنا أوَّلًا مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهو: ، ونتحقَّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. بالفعل، نحصل على:
وبما أن هذه هي الصورة المطلوبة، مضاعف قياسيٌّ لبسط الدالة التي سيتمُّ تكاملها، فإنه يمكننا استنتاج أن التكامل من الصيغة التالية:
يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: .
في الأمثلة القليلة الأولى، تعلَّمنا كيفية تطبيق القاعدة الخاصة (١) لإيجاد التكامل؛ حيث البسط مضاعف قياسيٌّ لمشتقة المقام، وتَنتُج عنه دالة لوغاريتمية. يمكننا أيضًا تطبيق هذه القاعدة عندما تتضمَّن الدالة التي سيتمُّ تكاملها بالفعل لوغاريتمات. هيا نوضِّح هذا في المثال التالي.
مثال ٥: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دالة لوغاريتمية باستخدام التكامل بالتعويض
أوجد .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة تتضمَّن دالة لوغاريتمية. سنحسب هذا التكامل باستخدام الصيغة:
قد لا تتَّضح على الفور كيفية وضع هذا التكامل في الصورة الخاصة المطلوبة في هذه الصيغة. لهذا السبب، سنعيد كتابة الدالة التي سيتمُّ تكاملها:
نحدِّد الآن مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهو: ، ونتحقَّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. بالفعل، نجد:
وبما أن هذا على الصورة الصحيحة، هو مضاعف قياسيٌّ لبسط الدالة التي سيتمُّ تكاملها، فإنه يمكننا استنتاج أن التكامل من الصيغة التالية:
يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: .
في المثال التالي، سنتعلَّم كيفية إعادة صياغة مقلوب دالة مثلثية لكي نكتبها على الصورة: ؛ بحيث يمكننا حساب تكاملها.
مثال ٦: تكامل مقلوبات الدوالِّ المثلثية
أوجد .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل مقلوب دالة مثلثية. سنحسب هذا التكامل باستخدام الصيغة:
لنضعَ التكامل على الصورة المطلوبة لهذه الصيغة، علينا ضرب المقام والبسط في: ؛ لكي تصبح مشتقة ذلك مضاعفًا قياسيًّا للبسط. إذا فعلنا ذلك، سيصبح التكامل:
نحدِّد الآن مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة: ونتحقَّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. من أجل هذا، سنستخدم:
ومن ثَمَّ، تكون المشتقة: وهي مضاعف قياسيٌّ بالفعل للبسط. وبما أنها على الصورة الخاصة، يمكننا استنتاج أن التكامل من الصيغة التالية:
يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: .
في المثال الأخير، سنستخدم المتطابقات المثلثية مرَّة أخرى؛ لتساعدنا على حساب التكامل.
مثال ٧: تكامل الدوالِّ المثلثية
أوجد .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة مثلثية.
بالتعرُّف على المتطابقة المثلثية ، يمكننا أن نكتب الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهي:
يمكننا تحديد مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة: وهي التي، عند الاشتقاق، تعطينا:
وعليه، فإن الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة الخاصة، ويمكننا تطبيق الصيغة:
ومن ثَمَّ:
يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: .
النقاط الرئيسية
- التكاملات التي على الصورة: يمكن حسابها باستخدام الصيغة:
- يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد تكاملات الدوالِّ المثلثية؛ مثل: ، ، ، وما إلى ذلك.
- أحيانًا لا يتَّضح على الفور أنه يمكننا استخدام هذه الطريقة لحساب التكامل، لكن يمكننا إعادة صياغة التكامل على الصورة الصحيحة من خلال إعادة كتابة الدالة التي سيتمُّ تكاملها، أو ضربها في دالة مناسبة: .
