شارح الدرس: التكاملات الناتج عنها دوال لوغاريتمية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قيمة تكامل دوالَّ على الصورة: 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)، وهو الذي تَنتُج عنه دوالُّ لوغاريتمية.

للتكاملات التي تَنتُج عنها دوالُّ لوغاريتمية العديد من التطبيقات الحياتية؛ حيث تُستخدَم هذه الدوالُّ في النماذج الرياضية لوصف النمو السكاني أو نمو الخلايا أو الاضمحلال الإشعاعي.

التكاملات التي على الصورة: 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎) هي تعميم لتكامل دوالِّ المقلوب؛ مثل: 󰏅١𞸎𞸃𞸎=|𞸎|+𞸖،𞸤 حيث 󰎨(𞸎)=𞸎، 󰎨(𞸎)=١. بالنسبة لدالة عامة 󰎨(𞸎)، نريد حساب التكامل: 󰏅󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎.

يمكن توضيح هذا مباشرة باستخدام التكامل بالتعويض. بإجراء تغيير المتغيِّر؛ حيث 𞸏=󰎨(𞸎)، 𞸃𞸏𞸃𞸎=󰎨(𞸎).

يمكننا فصل المتغيِّرات في هذه المشتقة بالتعامل معها باعتبارها كسرًا، وإعادة ترتيب التفاضلات، أو بشكل أكثر دقَّة، باستخدام: 𞸃𞸏=󰃁𞸃𞸏𞸃𞸎󰃀𞸃𞸎.

ومن ثَمَّ: 𞸃𞸏=󰎨(𞸎)𞸃𞸎.

إذن، عندما نقوم بتغيير المتغيِّر باستخدام 𞸏=󰎨(𞸎)، نحصل على: 󰏅󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰃁١󰎨(𞸎)󰃀󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅١𞸏𞸃𞸏=|𞸏|+𞸖=|󰎨(𞸎)|+𞸖.𞸤𞸤

لقد استخدمنا التكامل لدوالِّ المقلوب لحساب هذا التكامل. تقودنا هذه النتيجة إلى التعريف التالي:

تعريف: التكاملات التي على الصورة د’(س)/(س)

󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،𞸤()١

حيث 󰏡𞸇.

يمكننا التحقُّق من هذا باشتقاق 𞸤|󰎨(𞸎)| باستخدام قاعدة السلسلة، وإظهار أن الناتج يساوي الدالة التي سيتمُّ تكاملها (١)، أو بفرض أن: 󰎨(𞸎)=𞸤،𞸓(𞸎) لأيِّ دالة اختيارية 𞸓(𞸎). يمكننا اشتقاق هذا لنحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)𞸤=𞸓(𞸎)󰎨(𞸎).𞸓(𞸎)

ومن ثَمَّ: 𞸓(𞸎)=󰎨(𞸎)󰎨(𞸎).

لكن بما أن 𞸓(𞸎)=|󰎨(𞸎)|𞸤، فإننا نجد أن: 𞸃𞸃𞸎󰁓|󰎨(𞸎)|󰁒=󰎨(𞸎)󰎨(𞸎).𞸤

تتيح القاعدة (١) المعطاة في التعريف تكاملَ نوع معين من التكاملات الناتجة عنها دالة لوغاريتمية عند التعبير عن الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة الخاصة: 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)، وبتحديد 󰎨(𞸎) بشكل صحيح.

من الواضح أن هذه الطريقة مناسبة لإيجاد تكامل دوالِّ المقلوب؛ مثل: ١𞸎، لكن ماذا لو كان لدينا دوالُّ كثيرات الحدود ذات درجات عُليا في البسط أو المقام؟ وما دام يمكننا التعبير عن مشتقة المقام باعتبارها مضاعفًا قياسيًّا للبسط، فإنه يمكن تطبيق هذه الطريقة. لمعرفة ذلك، نتناول التكامل: 󰏅٢𞸎𞸎+١𞸃𞸎.٢

المقام: 󰎨(𞸎)=𞸎+١،٢ يمكن اشتقاقه ليعطينا: 󰎨(𞸎)=٢𞸎، وهو بالفعل مضاعف قياسيٌّ للبسط. إذن، من (١) يمكننا استنتاج أن: 󰏅٢𞸎𞸎+١𞸃𞸎=󰍸𞸎+١󰍸+𞸖.٢𞸤٢

انظر الآن إلى التكامل: 󰏅٦𞸎+٦١𞸎+٦𞸎+٤𞸎+٣𞸎+٧𞸃𞸎.٢٣٢

المقام: 󰎨(𞸎)=𞸎+٤𞸎+٣𞸎+٧،٣٢ يمكن اشتقاقه ليعطينا: 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٨𞸎+٣=١٢󰁓٦𞸎+٦١𞸎+٦󰁒،٢٢ وهو ما يمثِّل، مرَّة أخرى، مضاعفًا قياسيًّا للبسط. يمكننا على الفور استخدام التعريف (١) لاستنتاج أن: 󰏅٦𞸎+٦١𞸎+٦𞸎+٤𞸎+٣𞸎+٧𞸃𞸎=٢󰏅٣𞸎+٨𞸎+٣𞸎+٤𞸎+٣𞸎+٧𞸃𞸎=٢󰍸𞸎+٤𞸎+٣𞸎+٧󰍸+𞸖.٢٣٢٢٣٢𞸤٣٢

قد يبدو التعامل مع بعض المقادير الكسرية صعبًا للغاية، وربما لا يتَّضح أنه يمكننا استخدام هذه الطريقة للتكامل. لكن، بإعادة الصياغة بشكل ذكيٍّ قليلًا؛ مثل: ضرب الدالة التي سيتمُّ تكاملها في 𞸓(𞸎)𞸓(𞸎)؛ وذلك باختيار دالة مناسبة 𞸓(𞸎)، قد يكون بإمكاننا وضعهما على الصورة الخاصة للتعريف (١) لتطبيقه.

لمشاهدة ذلك عمليًّا، انظر إلى التكامل: 󰏅𞸤١𞸎𞸤+١𞸃𞸎.𞸎𞸎

قد لا يتَّضح من الوهلة الأولى أنه يمكن تطبيق هذه الطريقة على هذا التكامل؛ لأن مشتقة مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها ليست مضاعفًا قياسيًّا للبسط. وبالتحديد، إذا كان: 󰎨(𞸎)=𞸎𞸤+١،𞸎 إذن: 󰎨(𞸎)=(𞸎+١)𞸤،𞸎 ومن الواضح أنه ليس مضاعفًا قياسيًّا للبسط بالصورة الحالية. لكن يمكننا إعادة صياغة الدالة التي سيتمُّ تكاملها بضرب البسط والمقام في 𞸤𞸎: 󰃁𞸤١𞸎𞸤+١󰃀𞸤𞸤=١𞸤𞸎+𞸤.𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎

بهذه الصورة، يمكننا تعريف: 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸤،𞸎 وهي التي، عند اشتقاقها، تعطينا: 󰎨(𞸎)=١𞸤.𞸎

نلاحظ أن 󰎨(𞸎) مضاعف قياسيٌّ للبسط. بتطبيق القاعدة (١)، نجد: 󰏅𞸤١𞸎𞸤+١𞸃𞸎=󰏅١𞸤𞸎+𞸤𞸃𞸎=󰍸𞸎+𞸤󰍸+𞸖.𞸎𞸎𞸎𞸎𞸤𞸎

انظر الآن إلى التكامل: 󰏅𞸎𞸎(𞸎)𞸃𞸎.𞸤

مرَّة أخرى، ربما لا يتَّضح على الفور أنه يمكن تطبيق هذه الطريقة. بهذه الصورة، إذا اعتبرنا المقام: 󰎨(𞸎)=𞸎(𞸎)،𞸤 فإن المشتقة تكون: 󰎨(𞸎)=𞸎󰁓(𞸎)+١󰁒،𞸤

وهذا ليس مضاعفًا قياسيًّا للبسط. لكن، إذا عبَّرنا عن 𞸎=𞸎𞸎، يمكننا إعادة كتابة الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة: 𞸎𞸎(𞸎)=𞸎(𞸎).𞸤𞸤

بهذه الصورة، يمكننا تحديد المقام على الصورة: 󰎨(𞸎)=(𞸎)،𞸤 والمشتقة على الصورة: 󰎨(𞸎)=𞸎، وهي بالفعل مضاعف قياسيٌّ للبسط. ومن ثَمَّ، باستخدام (١)، فإنه يمكننا استنتاج أن: 󰏅𞸎𞸎(𞸎)𞸃𞸎=󰏅𞸎(𞸎)𞸃𞸎=|(𞸎)|+𞸖.𞸤𞸤𞸤𞸤

توضِّح هذه الأمثلة أهمية أن تكون الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة الصحيحة، واختيار 󰎨(𞸎) مناسبة لتطبيق هذه الطريقة. ونتوصَّل إلى إيجاد الطريقة الصحيحة لإعادة صياغة المقادير لتمثيلها بالصورة الصحيحة من خلال التدريب والخبرة، وهو ما يجعل إتمامَ أكبر عدد ممكن من الأمثلة فكرةً جيدةً. يمكن أيضًا حلُّ جميع هذه الأنواع من التكاملات باستخدام التكامل بالتعويض بعد إجراء تغيير مناسب للمتغيِّر.

والآن، دعونا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة من أجل تطبيق فهمنا وصقله؛ لإيجاد تكامل الدوالِّ التي على الصورة: 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎) باستخدام القاعدة (١) المعطاة في التعريف.

يتضمَّن المثال الأول تكاملَ دالة نسبية تحتوي على كثيرتَي حدود في البسط والمقام.

مثال ١: إيجاد تكامل دالة نسبية

أوجد 󰏅٢𞸎+١𞸎+𞸎٧𞸃𞸎٢.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة نسبية.

نحدِّد أوَّلًا مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهو: 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸎٧.٢

نحن نعلم أنه يمكننا استخدام الصيغة: 󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،󰏡𞸇،𞸤 إذا كانت مشتقة مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها مضاعفًا قياسيًّا للبسط. في هذه الحالة، لدينا: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+١.

وبما أن هذا هو بسط الدالة التي سيتمُّ تكاملها، يمكننا تطبيق الصيغة لإيجاد: 󰏅٢𞸎+١𞸎+𞸎٧𞸃𞸎=󰍸𞸎+𞸎٧󰍸+𞸖.٢𞸤٢

أو بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا استخدام التكامل بالتعويض بتغيير المتغيِّر؛ حيث 𞸏=𞸎+𞸎٧٢، للحصول على الناتج نفسه.

في المثال التالي، سنتعلَّم كيف نُوجِد تكاملَ مقلوب دالة مثلثية بتطبيق القاعدة (١).

مثال ٢: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن مقلوبات دوالَّ مثلثية

أوجد 󰏅𞸎𞸃𞸎.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة عبارة عن مقلوب دالة مثلثية، وهي التي يمكن تمثيلها على صورة خارج قسمة دالتين مثلثيتين. سنحسب هذا التكامل باستخدام الصيغة: 󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،󰏡𞸇.𞸤

نبدأ باستخدام تعريف 𞸎 بدلالة 𞸎، وهي التي يمكن التعبير عنها أيضًا بدلالة 𞸎 و𞸎، ويمكننا إعادة كتابة الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة: 𞸎=١𞸎=𞸎𞸎.

يمكننا التحقُّق من أن هذا التكامل على الصورة الخاصة عن طريق تحديد المقام؛ وهو: 󰎨(𞸎)=𞸎، والتحقُّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. بالفعل، نجد: 󰎨(𞸎)=𞸎.

ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام الصيغة لاستنتاج أن: 󰏅𞸎𞸃𞸎=󰏅𞸎𞸎𞸃𞸎=|𞸎|+𞸖.𞸤

يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: 𞸏=𞸎.

في المثال التالي، سنوضِّح كيف نُوجِد تكاملَ دالة نسبية تتكوَّن من خارج قسمة كثيرتَي حدود.

مثال ٣: إيجاد تكامل دالة نسبية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅𞸎+٧𞸎+١٢𞸎٥𞸃𞸎٢٣.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة نسبية.

لقد حدَّدنا أوَّلًا مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهو: 󰎨(𞸎)=𞸎+١٢𞸎٥،٣ ونتحقَّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. بالفعل، نحصل على: 󰎨(𞸎)=٣𞸎+١٢=٣󰁓𞸎+٧󰁒.٢٢

وبما أن هذا على الصورة الخاصة: 󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،󰏡𞸇،𞸤 يمكننا حساب التكامل: 󰏅𞸎+٧𞸎+١٢𞸎٥𞸃𞸎=󰏅(٣𞸎+١٢)𞸎+١٢𞸎٥𞸃𞸎=١٣󰏅٣𞸎+١٢𞸎+١٢𞸎٥𞸃𞸎=١٣󰍸𞸎+١٢𞸎٥󰍸+𞸖.٢٣١٣٢٣٢٣𞸤٣

يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: 𞸏=𞸎+١٢𞸎٥٣.

في المثال التالي، سنوجد تكاملَ خارج قسمة دالتين مثلثيتين.

مثال ٤: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅٧٢𞸎+١٢𞸎٧𞸎٩𞸎𞸃𞸎.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة مثلثية. سنحسب هذا التكامل باستخدام الصيغة: 󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،󰏡𞸇.𞸤

لقد حدَّدنا أوَّلًا مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهو: 󰎨(𞸎)=٧𞸎٩𞸎، ونتحقَّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. بالفعل، نحصل على: 󰎨(𞸎)=٧𞸎+٩𞸎=١٣(٧٢𞸎+١٢𞸎).

وبما أن هذه هي الصورة المطلوبة، 󰎨(𞸎) مضاعف قياسيٌّ لبسط الدالة التي سيتمُّ تكاملها، فإنه يمكننا استنتاج أن التكامل من الصيغة التالية: 󰏅٧٢𞸎+١٢𞸎٧𞸎٩𞸎𞸃𞸎=󰏅٣(٧𞸎+٩𞸎)٧𞸎٩𞸎𞸃𞸎=٣󰏅٧𞸎+٩𞸎٧𞸎٩𞸎𞸃𞸎=٣|٧𞸎٩𞸎|+𞸖.𞸤

يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: 𞸏=٧𞸎٩𞸎.

في الأمثلة القليلة الأولى، تعلَّمنا كيفية تطبيق القاعدة الخاصة (١) لإيجاد التكامل؛ حيث البسط مضاعف قياسيٌّ لمشتقة المقام، وتَنتُج عنه دالة لوغاريتمية. يمكننا أيضًا تطبيق هذه القاعدة عندما تتضمَّن الدالة التي سيتمُّ تكاملها بالفعل لوغاريتمات. هيا نوضِّح هذا في المثال التالي.

مثال ٥: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دالة لوغاريتمية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅٣𞸎٨𞸎𞸃𞸎𞸤.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة تتضمَّن دالة لوغاريتمية. سنحسب هذا التكامل باستخدام الصيغة: 󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،󰏡𞸇.𞸤

قد لا تتَّضح على الفور كيفية وضع هذا التكامل في الصورة الخاصة المطلوبة في هذه الصيغة. لهذا السبب، سنعيد كتابة الدالة التي سيتمُّ تكاملها: ٣𞸎٨𞸎=٨𞸎.𞸤٣𞸎𞸤

نحدِّد الآن مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهو: 󰎨(𞸎)=٨𞸎𞸤، ونتحقَّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. بالفعل، نجد: 󰎨(𞸎)=١𞸎=١٣󰃁٣𞸎󰃀.

وبما أن هذا على الصورة الصحيحة، 󰎨(𞸎) هو مضاعف قياسيٌّ لبسط الدالة التي سيتمُّ تكاملها، فإنه يمكننا استنتاج أن التكامل من الصيغة التالية: 󰏅٣𞸎٨𞸎𞸃𞸎=󰏅٨𞸎𞸃𞸎=٣󰏅٨𞸎=٣󰍸٨𞸎󰍸+𞸖.𞸤٣𞸎𞸤١𞸎𞸤𞸤𞸤

يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: 𞸏=٨𞸎𞸤.

في المثال التالي، سنتعلَّم كيفية إعادة صياغة مقلوب دالة مثلثية لكي نكتبها على الصورة: 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)؛ بحيث يمكننا حساب تكاملها.

مثال ٦: تكامل مقلوبات الدوالِّ المثلثية

أوجد 󰏅٢٧𞸎𞸃𞸎.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل مقلوب دالة مثلثية. سنحسب هذا التكامل باستخدام الصيغة: 󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،󰏡𞸇.𞸤

لنضعَ التكامل على الصورة المطلوبة لهذه الصيغة، علينا ضرب المقام والبسط في: ٧𞸎+٧𞸎؛ لكي تصبح مشتقة ذلك مضاعفًا قياسيًّا للبسط. إذا فعلنا ذلك، سيصبح التكامل: ٢٧𞸎󰃁٧𞸎+٧𞸎٧𞸎+٧𞸎󰃀=٢󰃁٧𞸎٧𞸎+٧𞸎٧𞸎+٧𞸎󰃀.٢

نحدِّد الآن مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة: 󰎨(𞸎)=٧𞸎+٧𞸎، ونتحقَّق من أن مشتقة ذلك أحد مضاعفات البسط. من أجل هذا، سنستخدم: 𞸃𞸃𞸎(󰏡𞸎)=󰏡󰏡𞸎،𞸃𞸃𞸎(󰏡𞸎)=󰏡󰏡𞸎󰏡𞸎.٢

ومن ثَمَّ، تكون المشتقة: 󰎨(𞸎)=٧٧𞸎٧𞸎٧٧𞸎=٧󰁓٧𞸎٧𞸎+٧𞸎󰁒،٢٢ وهي مضاعف قياسيٌّ بالفعل للبسط. وبما أنها على الصورة الخاصة، يمكننا استنتاج أن التكامل من الصيغة التالية: 󰏅٢٧𞸎𞸃𞸎=٢󰏅󰃁٧𞸎٧𞸎+٧𞸎٧𞸎+٧𞸎󰃀𞸃𞸎=٢󰏅󰃭󰁓٧٧𞸎٧𞸎٧٧𞸎󰁒٧𞸎+٧𞸎󰃬𞸃𞸎=٢٧󰏅󰃁٧٧𞸎٧𞸎٧٧𞸎٧𞸎+٧𞸎󰃀𞸃𞸎=٢٧|٧𞸎+٧𞸎|+𞸖.٢١٧٢٢𞸤

يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: 𞸏=٧𞸎+٧𞸎.

في المثال الأخير، سنستخدم المتطابقات المثلثية مرَّة أخرى؛ لتساعدنا على حساب التكامل.

مثال ٧: تكامل الدوالِّ المثلثية

أوجد 󰏅٥٦𞸎𞸃𞸎.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجادَ تكامل دالة مثلثية.

بالتعرُّف على المتطابقة المثلثية 𞸎=𞸎𞸎، يمكننا أن نكتب الدالة التي سيتمُّ تكاملها؛ وهي: ٦𞸎=٦𞸎٦𞸎.

يمكننا تحديد مقام الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة: 󰎨(𞸎)=٦𞸎، وهي التي، عند الاشتقاق، تعطينا: 󰎨(𞸎)=٦٦𞸎.

وعليه، فإن الدالة التي سيتمُّ تكاملها على الصورة الخاصة، ويمكننا تطبيق الصيغة: 󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،󰏡𞸇.𞸤

ومن ثَمَّ: 󰏅٥٦𞸎𞸃𞸎=٥󰏅٦𞸎𞸃𞸎=٥󰏅٦𞸎٦𞸎𞸃𞸎=٥󰏅(٦٦𞸎)٦𞸎𞸃𞸎=٥٦󰏅٦٦𞸎٦𞸎𞸃𞸎=٥٦|٦𞸎|+𞸖.١٦𞸤

يمكننا أيضًا حساب هذا التكامل باستخدام التعويض: 𞸏=٦𞸎.

النقاط الرئيسية

  • التكاملات التي على الصورة: 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎) يمكن حسابها باستخدام الصيغة: 󰏅󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏡|󰎨(𞸎)|+𞸖،󰏡𞸇.𞸤
  • يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد تكاملات الدوالِّ المثلثية؛ مثل: 𞸎، 𞸎، 𞸎، وما إلى ذلك.
  • أحيانًا لا يتَّضح على الفور أنه يمكننا استخدام هذه الطريقة لحساب التكامل، لكن يمكننا إعادة صياغة التكامل على الصورة الصحيحة من خلال إعادة كتابة الدالة التي سيتمُّ تكاملها، أو ضربها في دالة مناسبة: 𞸓(𞸎)𞸓(𞸎).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.