نسخة الفيديو النصية
التكاملات التي ناتجها دوال لوغاريتمية. في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية استخدام التكامل بالتعويض عن الدوال التي تتخذ الصورة: ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ. وسوف نتناول بعض الأمثلة لمعرفة نوع التكاملات التي يمكن تطبيق هذه الطريقة عليها. لنبدأ الآن بالنظر إلى التكامل التالي. وهو التكامل غير المحدد لـ ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وسنحاول حل هذا التكامل. وفي الواقع، يمكننا فعل ذلك بالتعويض. لنفترض أن ﻉ يساوي ﺩﺱ. ويمكننا اشتقاق ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. فنحصل على: ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ﺩ شرطة ﺱ. حيث تشير الشرطة إلى الاشتقاق بالنسبة لـ ﺱ. وهذا يخبرنا بأن ﺩﻉ يساوي ﺩ شرطة لـ ﺱ ﺩﺱ.
يمكننا الآن إعادة كتابة التكامل على صورة: واحد على ﺩﺱ مضروبًا في ﺩ شرطة لـ ﺱ ﺩﺱ. يمكننا الآن إجراء التعويض. سنعوض بـ ﻉ عن ﺩﺱ، وعن ﺩﻉ بـ ﺩ شرطة لـ ﺱ ﺩﺱ. ومن ثم، نحصل على تكامل يساوي تكامل واحد على ﻉ بالنسبة لـ ﻉ. وهذا التكامل من النوع الذي نعرف كيف نحسبه. نعلم أن تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺙ. إذن، التكامل يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻉ زائد ثابت التكامل ﺙ. بذلك، يمكننا التعويض بقيمة ﻉ في المعادلة. فنحصل على النتيجة التي مفادها أن التكامل غير المحدد لـ ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ﺙ.
لنتناول الآن مثالًا على كيفية فعل ذلك.
أوجد التكامل غير المحدد لاثنين ﺱ زائد واحد على ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ.
عندما ننظر إلى الدالة التي سيجري تكاملها، نلاحظ أن البسط يشبه إلى حد كبير مشتقة المقام. لنتحقق من ذلك سريعًا. يمكننا أن نسمي المقام ﺩﺱ. إذن ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص سبعة. يمكننا الآن اشتقاق ذلك. باستخدام قاعدة القوة لكل حد، نحصل على: ﺩ شرطة ﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد. وهو ما يساوي بسط الكسر. إذن، الدالة التي سيجري تكاملها تكون على الصورة: ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ. ولدينا في الواقع قاعدة لتكامل الدوال على هذه الصورة. تنص القاعدة على أن تكامل ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ﺙ. باستخدام هذه القاعدة، نجد أن تكامل اثنين ﺱ زائد واحد على ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص سبعة زائد ثابت التكامل ﺙ.
في المثال التالي، سنرى كيف يمكن أن تكون هذه الطريقة مفيدة للغاية عند إجراء تكامل لدوال مثلثية معينة.
أوجد التكامل غير المحدد لـ ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
نعلم أن ظتا ﺱ يمكن كتابتها على صورة: جتا ﺱ على جا ﺱ. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة التكامل على صورة تكامل جتا ﺱ على جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ثم نستخدم حقيقة أن مشتقة جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي جتا ﺱ. وعليه، إذا جعلنا المقام جا ﺱ يساوي ﺩﺱ، فإن البسط، جتا ﺱ، يساوي ﺩ شرطة ﺱ. وهنا، يمكننا أن نلاحظ أن التكامل يكون على صورة تكامل ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
ونعرف صيغة لحل التكاملات على هذه الصورة. تنص هذه الصيغة على أن التكامل غير المحدد لـ ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ﺙ. إذا طبقنا هذه الصيغة على التكامل مع ﺩﺱ يساوي جا ﺱ، فسنصل إلى الحل. وهو أن التكامل غير المحدد لـ ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ جا ﺱ زائد ﺙ.
والآن، يمكننا المضي خطوة أخرى في هذه الطريقة. ويجب أن ننتبه عندما يختلف البسط عن مشتقة المقام بعامل ثابت. إذا كانت الدالة التي سيجري تكاملها تساوي ﺃ في ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ؛ حيث ﺃ عبارة عن عدد حقيقي. الآن، قد يبدو هذا مباشرًا جدًّا. بما أنه يمكننا الاستفادة بإمكانية أخذ ثابت كعامل مشترك من داخل التكامل. والنتيجة هي أن التكامل يساوي ﺃ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ﺙ. وتبدو هذه الطريقة مباشرة جدًّا. إنها مجرد خطوة صغيرة مما فعلناه من قبل. لكن، في الواقع، ثمة جزءان قد ينطويان على صعوبة عند إنشاء التكامل. ومن ثم، يمكننا تطبيق هذه الصيغة.
أولى هاتين النقطتين هي ملاحظة أن التكامل قد يتخذ هذه الصورة. لأنه ليس واضحًا على الدوام ما إذا كان البسط يساوي ثابتًا مضروبًا في مشتقة المقام. وأحيانًا يطلب منا ضرب الدالة التي سيجري تكاملها في دالة ما على الدالة نفسها؛ مثل: ﻫﺱ على ﻫﺱ. لوضعها على الصورة التي تمكننا من استخدام هذه الطريقة. الجزء الثاني، الذي عادة ما يكون أسهل قليلًا، هو إيجاد قيمة الثابت ﺃ؛ لأنه ليس واضحًا دائمًا على الفور.
لنتناول الآن مثالًا على كيفية استخدام هذه الطريقة.
أوجد التكامل غير المحدد لـ ﺱ تربيع زائد سبعة على ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ.
أول ما نلاحظه هو أن بسط الدالة التي سيجري تكاملها يشبه إلى حد كبير مشتقة المقام. لنتحقق من ذلك سريعًا. لنفترض أن ﺩﺱ هي المقام. إذن ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة. والآن نجري الاشتقاق. ونجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ٢١، وهو ما لا يساوي البسط. ولكن نلاحظ أنه في الواقع مختلف بعامل ثلاثة. إذا قسمنا ﺩ شرطة ﺱ على ثلاثة، نحصل على: ثلث ﺩ شرطة ﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد سبعة. وهو ما يساوي بسط الدالة التي سيجري تكاملها. يمكننا كتابة التكامل بدلالة ﺩﺱ. وهو يساوي تكامل ثلث ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
يمكننا الآن استخدام قاعدة نعلمها لإجراء تكامل للتكاملات التي تتخذ هذه الصورة. تنص القاعدة على أن تكامل ﺃ مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ﺙ. ومن ثم، يمكننا تطبيق هذه الصيغة. إلا أن ﺃ في هذه الحالة يساوي ثلثًا. وﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة. وبذلك، نحصل على الحل، وهو أن التكامل غير المحدد لـ ﺱ تربيع زائد سبعة على ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ثلثًا مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ تكعيب زائد ٢١ﺱ ناقص خمسة زائد ﺙ.
في هذا المثال الأخير، عرفنا كيف يمكننا إيجاد الثابت ﺃ عن طريق الفحص. لكن هذا ليس واضحًا دائمًا. ويمكن استخدام التعويض كطريقة أخرى لإيجاده، كما سنرى في المثال التالي.
أوجد التكامل غير المحدد لـ ٢٧ جا ﺱ زائد ٢١ جتا ﺱ الكل على سبعة جا ﺱ ناقص تسعة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
نلاحظ هنا أن بسط الدالة التي سيجري تكاملها يبدو وكأنه مشتقة المقام. حيث إن مشتقة جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي جتا ﺱ، ومشتقة سالب جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي جا ﺱ. يبدو أن البسط قد يختلف عن مشتقة المقام بعامل ثابت. ولكننا لا نعلم ما هو هذا العامل. يمكننا محاولة إيجاده باستخدام التعويض. دعونا نفترض أن ﻉ يساوي مقام الدالة التي سيجري تكاملها، أي سبعة جا ﺱ ناقص تسعة جتا ﺱ. يمكننا الآن اشتقاق ﻉ بالنسبة لـﺱ. وبمعلومية أن اشتقاق جيب الزاوية يساوي جتا ﺱ، واشتقاق سالب جتا ﺱ يساوي جا ﺱ. نحصل على: ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سبعة جتا ﺱ زائد تسعة جا ﺱ. ومن ثم نحصل على: ﺩﻉ يساوي تسعة جا ﺱ زائد سبعة جتا ﺱ ﺩﺱ.
والآن نعيد ترتيب التكامل حتى نتمكن من تطبيق هذا التعويض. نلاحظ أنه يمكننا تحليل العامل ثلاثة من البسط. مما يسمح لنا بكتابة التكامل على صورة تكامل ثلاثة على سبعة جا ﺱ ناقص تسعة جتا ﺱ مضروبًا في تسعة جا ﺱ زائد سبعة جتا ﺱ ﺩﺱ. ومن ثم، يمكننا التعويض بـ ﻉ في مقام الكسر. والتعويض بـ ﺩﻉ عن تسعة جا ﺱ زائد سبعة جتا ﺱ ﺩﺱ. مما يساوي تكامل ثلاثة على ﻉ ﺩﻉ، وهو ما يمكن تكامله مع ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻉ زائد ﺙ. وفي الخطوة الأخيرة، نعوض بسبعة جا ﺱ ناقص تسعة جتا ﺱ في ﻉ. وهو ما يعطينا الحل، وهو ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لسبعة جا ﺱ ناقص تسعة جتا ﺱ زائد ﺙ.
ونستخدم طريقة التكامل هذه لإجراء التكامل للعديد من الأنواع المختلفة من الدوال. في المثال التالي، سنرى تكامل دالة تتضمن لوغاريتمًا طبيعيًّا.
أوجد التكامل غير المحدد لسالب ثلاثة على ﺱ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
رغم أن هذا التكامل قد يبدو صعب الحل، فإنه في الواقع يتخذ صورة نعرف كيفية إجراء التكامل لها. إذا افترضنا أن ﺩﺱ تساوي اللوغاريتم الطبيعي لثمانية ﺱ، يمكننا اشتقاق ﺩﺱ بمعلومية أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ؛ لنحصل على: ﺩ شرطة ﺱ تساوي واحدًا على ثمانية ﺱ. وبما أن هذه دالة مركبة، فسيكون لدينا ثمانية ﺱ داخل دالة اللوغاريتم الطبيعي. يجب ألا ننسى الضرب في مشتقة ثمانية ﺱ، وهي ثمانية. يرجع ذلك إلى قاعدة السلسلة. بالتبسيط، يمكننا الحصول على: ﺩ شرطة ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ.
والآن هيا نعد كتابة التكامل. إذا ضربنا بسط الكسر ومقامه في واحد على ﺱ، يمكننا إعادة كتابة التكامل على صورة تكامل سالب ثلاثة على ﺱ على اللوغاريتم الطبيعي لثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن يمكن أن نأخذ سالب ثلاثة عاملًا مشتركًا في البسط. وبالوصول إلى هذه المرحلة، نلاحظ أنه على صورة نعرف كيفية إجراء التكامل لها. وذلك لأنه يتخذ صورة تكامل ﺃ مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ على ﺩ لـ ﺱ ﺩﺱ. حيث ﺩﺱ تساوي اللوغاريتم الطبيعي لثمانية ﺱ. وﺩ شرطة ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. وعليه، فإن قيمة ﺃ هي سالب ثلاثة. الآن نعلم أن هذا التكامل يساوي ﺃ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ﺙ. ويمكننا ببساطة التعويض بقيمتي ﺃ وﺩﺱ لإيجاد الحل. أي ما يساوي سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للوغاريتم الطبيعي لثمانية ﺱ زائد ﺙ.
في المثال الأخير، سنرى تكاملًا لدالة مثلثية؛ حيث نحتاج إلى ضرب قيمة الدالة التي سيجري تكاملها في كسر من الدالة على نفسه.
أوجد التكامل غير المحدد لاثنين مضروبًا في قتا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
هذه دالة يصعب حقًّا إجراء التكامل لها مباشرة. وتحتاج منا أن نعرف مشتقات الدوال المثلثية معرفة جيدة. وبما أننا نحاول إيجاد التكامل غير المحدد لاثنين قتا سبعة ﺱ، دعونا نكتب مشتقة قتا سبعة ﺱ. فهي تساوي سالب سبعة قتا لسبعة ﺱ مضروبًا في ظتا سبعة ﺱ. والآن ما نهدف إلى فعله في هذه المرحلة هو محاولة الحصول على الدالة التي سيجري تكاملها على صورة ﺃ مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ. حيث إننا نعرف كيفية إجراء التكامل لذلك، ولكي نحاول الحصول على التكامل بهذه الصورة. سنحاول أن نضرب الدالة التي سيجري تكاملها في كسر يتكون من دالة على نفسه، وهو ما يساوي واحدًا بالطبع. الجزء الصعب هو إيجاد الدالة ﺭﺱ. لذا فإن التكامل سينتهي به الأمر إلى الصيغة التي نعرف كيفية إجراء التكامل لها.
لنر ما سيحدث إذا جعلنا ﺭﺱ تساوي قتا سبعة ﺱ. نضرب الدالة التي سيجري تكاملها في قتا سبعة ﺱ على قتا سبعة ﺱ. ونحصل على تكامل اثنين قتا تربيع سبعة ﺱ على قتا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولكن، من الواضح أن هذه ليست الصورة المطلوبة. لكنها تعطينا لمحة هنا؛ لأن لدينا قتا تربيع سبعة ﺱ في البسط. وفي الواقع، نعرف دالة مثلثية أخرى يمكن اشتقاقها لنحصل على مضاعف لـ قتا تربيع سبعة ﺱ. وهي: ظتا سبعة ﺱ. ومشتقة ظتا سبعة ﺱ تساوي سالب سبعة قتا تربيع سبعة ﺱ.
ويمكن في هذه المرحلة أن نبدأ في التعرف على قيمة ﺭﺱ. عندما نضرب ﺭﺱ على ﺭﺱ في الدالة التي سيجري تكاملها، سنحصل دائمًا على معامل قتا سبعة ﺱ، الذي كان في الأصل في الدالة التي سيجري تكاملها. إذا أخذنا العامل قتا سبعة ﺱ عاملًا مشتركًا من المشتقتين، فسيتبقى لدينا ظتا سبعة ﺱ مضروبًا في ثابت، وقتا سبعة ﺱ مضروبًا في الثابت نفسه. وهذا مهم للغاية؛ لأن الدالتين اللتين سنشتقهما هما: قتا سبعة ﺱ، وظتا سبعة ﺱ.
لذا، ربما فيما يخص ﺭﺱ التالية، يمكننا محاولة جمع هاتين الدالتين معًا. لكن أولًا، دعونا نشر سريعًا إلى مشتقة مجموع هاتين الدالتين. وذلك باستخدام حقيقة أن مشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع فروقهما. وبالحفاظ على تحليل قيمة قتا سبعة ﺱ. يكون لدينا مشتقة قتا سبعة ﺱ زائد ظتا سبعة ﺱ يساوي قتا سبعة ﺱ مضروبًا في سالب سبعة ظتا سبعة ﺱ ناقص سبعة قتا سبعة ﺱ.
والآن يمكننا تجربة ﺭﺱ تساوي قتا سبعة ﺱ زائد ظتا سبعة ﺱ. لدينا تكامل اثنين قتا سبعة ﺱ مضروبًا في قتا سبعة ﺱ زائد ظتا سبعة ﺱ على قتا سبعة ﺱ زائد ظتا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا إعادة كتابة ذلك باستخدام اثنين قتا سبعة ﺱ في البسط. نلاحظ أن التكامل بالصيغة التي نحتاج إليها تقريبًا. إذا افترضنا أن ﺩﺱ تساوي ﺭﺱ، فسنجد أن مقام الدالة التي سيجري تكاملها هو ﺭﺱ. وإذا قارنا البسط بمشتقة ﺭﺱ، فسنجد تشابهًا كبيرًا جدًّا. الاختلافان الطفيفان الوحيدان هما: وجود هذا العامل الثابت اثنين في بسط الدالة التي سيجري تكاملها، وعامل سالب سبعة في المشتقة. وبذلك، نستنتج أن بسط الدالة التي سيجري تكاملها يساوي اثنين على سالب سبعة في ﺭ شرطة لـ ﺱ.
يمكننا الآن أن نلاحظ بوضوح أكبر أن التكامل في الواقع على الصورة التي نريدها. في هذه الحالة، ﺃ يساوي سالب اثنين على سبعة. وﺩﺱ تساوي قتا سبعة ﺱ زائد ظتا سبعة ﺱ. ومن ثم، يمكننا تطبيق الصيغة. وهنا نصل إلى الحل، وهو أن التكامل غير المحدد لاثنين قتا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب سبعين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ قتا سبعة ﺱ زائد ظتا سبعة ﺱ زائد ﺙ.
في المثال السابق، عرفنا كيف يمكننا أحيانًا إيجاد التكامل لدالة صعبة باستخدام هذه الطريقة بالضرب في ﺭﺱ على ﺭﺱ لدالة ما ﺭﺱ. والجزء الأصعب في هذه الطريقة هو إيجاد قيمة ﺭﺱ. ومن المؤكد أن معرفة التفاضلات للعديد من الأنواع المختلفة من الدوال يفيد جدًّا في إجراء ذلك.
تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة في هذا الفيديو. هيا نلخص بعض النقاط الأساسية. النقاط الأساسية. التكامل غير المحدد لـ ﺃ مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩﺱ زائد ﺙ؛ حيث ﺃ عدد حقيقي. ويمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد تكاملات أنواع مختلفة من الدوال، بما في ذلك الدوال المثلثية؛ مثل: ظتا ﺱ، وظا ﺱ، وقتا ﺱ، وهكذا. أحيانًا لا تتضح مباشرة إمكانية استخدام هذه الطريقة للتكامل. لكن الضرب في ﺭﺱ على ﺭﺱ لبعض قيم ﺭ ﺱ قد يمكننا من استخدامها.
