نسخة الفيديو النصية
تقيم إحدى المدارس حفل تكريم أعضاء من إدارة مدرسة يضم ٢٥ مدرسًا و١٥ مديرًا تنفيذيًّا. سيكرم الحفل ١٠ أعضاء، ويجب على المدرسة اختيار ٥ مدرسين على الأقل، و٣ مديرين تنفيذيين على الأقل. إذا كان المدرسون سيقفون على يسار المسرح، والمديرون التنفيذيون سيقفون على يمين المسرح؛ فما العدد الكلي للترتيبات الممكنة على المسرح لأعضاء الإدارة المدرسية؟ عبر عن إجابتك بدلالة التوافيق أو التباديل.
دعونا نبدأ بتصور الشكل الذي قد يبدو عليه هذا الموقف. سنختار خمسة مدرسين على الأقل من إجمالي ٢٥ مدرسًا، وسنختار ثلاثة مديرين تنفيذيين على الأقل من إجمالي ١٥ مديرًا تنفيذيًّا. هدفنا من ذلك هو تكريم ١٠ أعضاء بالضبط. إذن، كم مدرسًا وكم مديرًا تنفيذيًّا يمكن أن يكون لدينا؟ حسنًا، لا يمكن أن يكون لدينا أقل من خمسة مدرسين. ومن ثم، يمكن أن يكون لدينا خمسة مدرسين بالضبط، وهو ما يعني أن يكون لدينا أيضًا خمسة مديرين تنفيذيين بالضبط. كما يمكن أن يكون لدينا ستة مدرسين وأربعة مديرين تنفيذيين. أما الخيار الأخير فهو أن يكون لدينا سبعة مدرسين وثلاثة مديرين تنفيذيين. نحن نعلم أنه لا توجد خيارات أخرى هنا؛ لأنه يجب علينا اختيار ثلاثة مديرين تنفيذيين على الأقل.
كما نعلم أيضًا أن المدرسين سيقفون على يسار المسرح، وأن المديرين التنفيذيين سيقفون على يمينه كما هو موضح في الشكل. هذا يقلل من إجمالي عدد طرق ترتيب مجموعتي الأعضاء هاتين. في الواقع، لقد مثلنا الطرق الثلاث الممكنة لاختيار كل من عدد المدرسين وعدد المديرين التنفيذيين. والترتيب الذي يقف به كل من المدرسين والمديرين التنفيذيين هنا مهم. ومن ثم، يجب أن يوضح لنا ذلك إذا ما كان علينا استخدام التوافيق أم التباديل هنا. يكمن الفرق بين حساب التباديل وحساب التوافيق في أهمية الترتيب من عدمه. وذلك لأنه في التوافيق، لا يهم الترتيب الذي يقف به الأعضاء. في حين أنه في التباديل، يكون الترتيب الذي يقف به هؤلاء الأعضاء مهمًّا. إذن، سنستخدم التباديل.
إذا أردنا حساب عدد طرق اختيار العدد ﺭ من العناصر من إجمالي العدد ﻥ من العناصر، عندما يكون الترتيب مهمًّا، فإننا نمثل ذلك بـ ﻥﻝﺭ كما هو موضح. إذن، إذا نظرنا إلى عدد طرق اختيار المدرسين الخمسة، فسنجد أننا نختار من بين إجمالي ٢٥ مدرسًا. وبما أن الترتيب هنا مهم، فإن عدد طرق اختيار هؤلاء المدرسين الخمسة هو ٢٥ﻝ خمسة. بطريقة مشابهة، نختار خمسة مديرين تنفيذيين من إجمالي ١٥ مديرًا تنفيذيًّا، والترتيب هنا مهم أيضًا، ونجد عندئذ أن عدد طرق اختيار خمسة منهم هو ١٥ﻝ خمسة. في الخيار التالي، نجد إذن أن عدد طرق ترتيب ستة مدرسين هو ٢٥ﻝ ستة وأن عدد طرق ترتيب أربعة مديرين تنفيذيين هو ١٥ﻝ أربعة. أما في الخيار الأخير، فنجد أن عدد طرق ترتيب سبعة مدرسين من إجمالي ٢٥ مدرسًا هو ٢٥ﻝ سبعة. في حين أن عدد طرق ترتيب ثلاثة مديرين تنفيذيين هو ١٥ﻝ ثلاثة.
لكن كيف ندمج هذه النواتج معًا؟ في هذه المرحلة، علينا أن نذكر أنفسنا بقاعدة الضرب للعد. توضح هذه القاعدة أنه يمكن إيجاد إجمالي عدد نواتج حدثين أو أكثر بضرب أعداد نواتج الأحداث معًا. إذن، عدد طرق ترتيب خمسة مدرسين وخمسة مديرين تنفيذيين هو ٢٥ﻝ خمسة في ١٥ﻝ خمسة. أما عدد طرق ترتيب ستة مدرسين وأربعة مديرين تنفيذيين فهو ٢٥ﻝ ستة في ١٥ﻝ أربعة. وأخيرًا: عدد طرق ترتيب سبعة مدرسين وثلاثة مديرين تنفيذيين هو ٢٥ﻝ سبعة في ١٥ﻝ ثلاثة. نحن بالطبع لم ننته بعد. وذلك لأنه لا يزال علينا دمج هذه الخيارات الثلاثة معًا.
في هذه المرحلة، علينا أن نذكر أنفسنا بما نعنيه عندما نتحدث عن قاعدة الجمع. يوضح ما يسمى أحيانًا بمبدأ العد بالجمع أنه إذا كان لدينا العدد ﺃ من الطرق لاختيار حدث ما، والعدد ﺏ من الطرق لاختيار حدث آخر؛ بحيث لا يمكن اختيار الحدثين معًا في الوقت نفسه، فإنه يوجد العدد ﺃ زائد ﺏ من الطرق لاختيار أحد الحدثين. بعبارة أخرى؛ لإيجاد إجمالي عدد طرق ترتيب خمسة مدرسين وخمسة مديرين تنفيذيين، أو ترتيب ستة مدرسين وأربعة مديرين تنفيذيين، أو ترتيب سبعة مدرسين وثلاثة مديرين تنفيذيين، فإننا نجمع هذه النواتج معًا. وهذا يوضح العدد الكلي للترتيبات الممكنة على المسرح لأعضاء هذه الإدارة المدرسية. إذن، لقد حصلنا على إجابة باستخدام التباديل. وهي ٢٥ﻝ خمسة في ١٥ﻝ خمسة زائد ٢٥ﻝ ستة في ١٥ﻝ أربعة زائد ٢٥ﻝ سبعة في ١٥ﻝ ثلاثة.
