تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: مبدأ العدِّ: قاعدة الجمع الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد عدد جميع النواتج الممكنة لحدثين معًا أو أكثر، باستخدام مبدأ العد بالجمع.

افترض أنه يُوجَد مطعمان في الحي الذي تسكن به؛ مطعم البيتزا ومطعم الحساء. يقدِّم مطعم البيتزا ١٠ أنواع مختلفة من البيتزا في قائمة الطعام الخاصة به، ويقدِّم مطعم الحساء ٧ أنواع من الحساء في قائمته.

نريد إيجاد عدد الخيارات المختلفة لوجبة الغداء إذا اشترينا وجبة الغداء من أيٍّ من هذين المطعمين. يمكننا جمع عدد الأصناف الموجودة في قائمة كلٍّ من المطعمين ليصبح لدينا ٠١+٧=٧١ خيارًا مختلفًا لوجبة الغداء.

لاحظنا فيما سبق أنه يمكننا عدُّ الخيارات المختلفة لتناول الغداء من المطعمين من خلال إيجاد مجموع الخيارات المختلفة من كل مطعم. وهذا صحيح؛ لأنه لا يوجد نوع طعام مشترك يقدِّمه كلا المطعمين. هيا نكتب ذلك في صورة عامة.

نقول إن أيَّ حدثين متنافيان إذا لم يكن هناك ناتج مشترك بين كلٍّ من الحدثين. في سياق المثال السابق، الحدثان هما «شراء وجبة غداء من مطعم البيتزا»، و«شراء وجبة غداء من مطعم الحساء». مطعم البيتزا لا يبيع إلا البيتزا، ومطعم الحساء لا يبيع إلا الحساء. ومن ثَمَّ، لا يمكن أن يؤدِّي الحدثان إلى ناتج مشترك. وهذا يعني أن الحدثين متنافيان. لحل مسائل العدِّ التي تتضمَّن حدثين متنافيين، يمكننا استخدام قاعدة الجمع.

نظرية: قاعدة الجمع لحدثين

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان متنافيان. إذا كان هناك عدد 𞸌 من النواتج المختلفة للحدث 󰏡، وعدد 𞸍 من النواتج المختلفة للحدث 𞸁، فإنه يوجد عدد 𞸌+𞸍 من النواتج المختلفة للحدث 󰏡 أو 𞸁.

نعود إلى مثال شراء وجبة الغداء من مطعم البيتزا أو مطعم الحساء. يوجد 𞸌=٠١ نواتج مختلفة لشراء وجبة الغداء من مطعم البيتزا، ويوجد 𞸍=٧ نواتج مختلفة لشراء وجبة الغداء من مطعم الحساء. ومن ثَمَّ، تنص قاعدة الجمع على أنه يوجد 𞸌+𞸍=٠١+٧=٧١ ناتجًا مختلفًا.

في العديد من مسائل العد، يمكننا استخدام قاعدة الجمع مع قواعد العد الأخرى. هيا نتذكَّر قاعدتَي التوافيق والتباديل.

تعريف: التوافيق والتباديل

التوافيق هي عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸊 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر 𞸊. ويُشار إلى هذا العدد بـ 𞸍𞸊𞹟.

التباديل هي عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸊 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة. ويُشار إلى هذا العدد بـ 𞸍𞸊𞸋.

في المثال الأول، سنطبِّق قاعدة التوافيق وقاعدة الجمع معًا.

مثال ١: عَدُّ نواتج حدثين باستخدام قاعدة الجمع

يوجد ١٠ فِتْيَان و٦ فتيات. ما التعبير العددي الذي يتيح لنا حساب عدد الطرق لتكوين مجموعة من ٣ فِتْيَان أو فتاتين؟

  1. ٠١٣٦٢𞹟×𞹟
  2. ٠١٣٦٢𞹟+𞹟
  3. ٠١٣٦٢𞸋×𞸋
  4. ٠١٣٦٢𞸋+𞸋
  5. ٠١٣٦٢𞹟𞹟

الحل

لعلنا نتذكَّر قاعدة الجمع لحدثين؛ وهي تنص على إنه إذا كان الحدثان متنافيين، فإن عدد النواتج المختلفة لأيٍّ من الحدثين يساوي مجموع أعداد النواتج المختلفة للحدثين.

في هذا المثال، الحدثان هما «تكوين مجموعة من ٣ فتيان» و«تكوين مجموعة من فتاتين». نلاحظ أنه لا يمكن أن يُوجَد ناتج مشترك للحدثين، وهو ما يعني أن الحدثين متنافيان. ومن ثَمَّ، يمكننا تطبيق قاعدة الجمع للوصول إلى الإجابة إذا عرفنا عدد نواتج كلا الحدثين.

علينا عَدُّ النواتج من الحدثين. نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸊 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر 𞸊، يُعطى بالصيغة 𞸍𞸊𞹟.

أولًا، نفكِّر في حدث تكوين مجموعة من ٣ فتيان. بما أننا نختار ٣ فتيان من بين ١٠ فتيان، ولا يهمنا ترتيب هؤلاء الفتيان، إذن عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث يساوي التوافيق ٠١٣𞹟.

ونفكِّر بعد ذلك في حدث تكوين مجموعة من فتاتين. بما أننا نختار فتاتين من بين ٦ فتيات، ولا يهمنا ترتيب هؤلاء الفتيات، إذن عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث يساوي التوافيق ٦٢𞹟.

بتطبيق قاعدة الجمع، نجد أن عدد طرق تكوين مجموعة من ٣ فتيان أو فتاتين يساوي: ٠١٣٦٢𞹟+𞹟.

وهذا هو الخيار (ب).

في المثال السابق، طبَّقنا قاعدة الجمع على حدثين متنافيين. يمكننا تعميم قاعدة الجمع لتطبيقها على أكثر من حدثين. ولإجراء ذلك، علينا أن نفهم أولًا كيفية تطبيق شرط أن تكون الأحداث متنافية عند وجود ٣ أحداث أو أكثر. في هذه الحالة، يجب أن يكون كلُّ حدثين متنافيين. بعبارة أخرى، إذا كان لدينا ٣ أحداث أو أكثر، فإنها تكون مجموعة من الأحداث المتنافية إذا لم يُوجَد ناتج مشترك بين أيِّ حدثين.

نعود إلى مثال شراء وجبة الغداء. افترضنا سابقًا أن الحي به مطعمان فقط؛ مطعم البيتزا الذي يقدِّم ١٠ أصناف مختلفة في قائمة طعامه، ومطعم الحساء الذي يقدِّم ٧ أصناف مختلفة في قائمة طعامه. نفترض الآن أنه تم افتتاح مطعم جديد، وهو مطعم للشطائر، ويقدِّم ٥ أصناف مختلفة من الشطائر في قائمة طعامه. يمكننا أن نلاحظ أنه لا يوجد أيُّ وجبة غداء يشترك في تقديمها أيُّ مطعمين؛ لذا، فإن أحداث شراء وجبة الغداء من مطاعم مختلفة هنا هي مجموعة من الأحداث المتنافية. إذن يصبح لدينا ٠١+٧+٥=٢٢ خيارًا مختلفًا لوجبة الغداء.

وبالمثل، يمكننا توسيع قاعدة الجمع لتشمل مجموعة من الأحداث المتنافية.

نظرية: قاعدة الجمع

عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث.

في المثال التالي، سنُطبِّق قاعدة الجمع على مجموعة من ثلاثة أحداث متنافية.

مثال ٢: عَدُّ نواتج ثلاثة أحداث باستخدام قاعدة الجمع

ما التعبير العددي لعدد الطُّرق التي يُمكِن بها اختيار ٤ كرات من نفس اللون من ١٠ كرات زرقاء، و٦ كرات خضراء، و٧ كرات حمراء؟ افترِض أنه لا تُوجَد كرات مُتطابِقة.

  1. ٠١٤٦٤٧٤𞹟×𞹟×𞹟
  2. ٠١٤٦٤٧٤𞸋×𞸋×𞸋
  3. ٠١٤٦٤٧٤𞸋+𞸋+𞸋
  4. ٠١٤٦٤٧٤𞹟+𞹟+𞹟
  5. ٠١٤٦٤٧٤𞹟×𞹟+𞹟

الحل

نلاحظ أن هناك ٣ أحداث تؤدِّي إلى اختيار ٤ كرات باللون نفسه؛ وهي اختيار ٤ كرات زرقاء، واختيار ٤ كرات خضراء، واختيار ٤ كرات حمراء. لا يوجد أيُّ ناتج مشترك بين كل حدثين مختلفين؛ ومن ثَمَّ، فالأحداث تمثِّل مجموعة من الأحداث المتنافية.

نتذكَّر قاعدة الجمع التي تنص على أن عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث على حِدَةٍ.

لذا، إذا عرفنا عدد النواتج المختلفة لكل حدث من الأحداث الثلاثة، يمكننا الحصول على الإجابة عن طريق جمع الأعداد الثلاثة.

هيا نبدأ بإيجاد عدد طرق اختيار ٤ كرات زرقاء. نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸊 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر 𞸊، يُعطى بالصيغة 𞸍𞸊𞹟. بما أننا نختار ٤ كرات من ١٠ كرات زرقاء، إذن يكون عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث هو ٠١٤𞹟.

بعد ذلك، نفكِّر في عدد طرق اختيار ٤ كرات خضراء. وبما أننا نختار ٤ كرات من ٦ كرات خضراء، إذن عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث هو ٦٤𞹟.

وأخيرًا، نختار ٤ كرات من إجمالي ٧ كرات حمراء؛ ومن ثَمَّ، فإن عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث هو ٧٤𞹟.

وفقًا لقاعدة الجمع، يمكننا جمع هذه الأعداد لنعرف عدد الطرق المختلفة لاختيار ٤ كرات من نفس اللون. إذن لدينا: ٠١٤٦٤٧٤𞹟+𞹟+𞹟.

وهذا هو الخيار (د).

يمكننا أيضًا استخدام قاعدة الجمع مع مبدأ العد الأساسي، وهو ما يُعرَف بالضرب أو قاعدة حاصل الضرب. في الوقت الذي تشترط فيه قاعدة الجمع أن تكون الأحداث متنافية، يشترط مبدأ العد الأساسي أن تكون الأحداث مستقلة. لعلنا نتذكَّر أن الحدثين يكونان مستقلين إذا كان أحد النواتج المحدَّدة لحدث واحد لا يُغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

نظرية: مبدأ العد الأساسي

إذا كان لدينا حدثان مستقلان 󰏡، 𞸁؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸌، وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸍، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة المختلفة لهذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب 𞸌×𞸍.

هيا نتناول مثالًا نستخدم فيه قاعدة الجمع مع مبدأ العد الأساسي.

مثال ٣: عَدُّ نواتج الأحداث باستخدام قاعدة الجمع ومبدأ العد الأساسي

كوب يحتوي على ١٠ كرات زرقاء، و٦ كرات خضراء، و٧ كرات حمراء. لا توجد كرات مُتطابِقة في الكوب. ما عدد الطرق التي يُمكِن بها اختيار ٤ كرات من الكوب؛ بحيث تكون ٣ منها بالضبط باللون نفسه؟

  1. ٣١×𞸋+٧١×𞸋+٦١×𞸋٠١٣٦٣٧٣
  2. ٠١٣٦٣٧٣𞸋+𞸋+𞸋
  3. ٣١×𞹟+٧١×𞹟+٦١×𞹟٠١٣٦٣٧٣
  4. ٠١٣٦٣٧٣𞹟+𞹟+𞹟
  5. ٠١٣٦٣٧٣𞹟×𞹟×𞹟

الحل

نلاحظ أن هناك ٣ أحداث مختلفة تؤدِّي إلى النتيجة الموضَّحة:

  • اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها زرقاء.
  • اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها خضراء.
  • اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها حمراء.

نلاحظ أنه لا يوجد ناتج يمكن أن يشترك فيه أيُّ حدثين مختلفين؛ ومن ثَمَّ، فإن هذه الأحداث هي مجموعة من الأحداث المتنافية.

نتذكَّر قاعدة الجمع التي تنص على أن عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث.

هيا نَعُدُّ نواتج كل حدث، بدءًا من حدث اختيار ٣ كرات زرقاء. يمكن تقسيم هذا الحدث إلى حدثين؛ وهما «اختيار ٣ كرات زرقاء» و«اختيار كرة واحدة غير زرقاء». وبما أنه لا يوجد ناتج معيَّن لأحد الحدثين يؤثِّر على عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر، إذن الحدثان مستقلان. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد نواتج الحدثين معًا هو حاصل ضرب عدد نواتج كل حدث في الآخر.

وبما أن لدينا ٦+٧=٣١ كرة ليست زرقاء، إذن يوجد ١٣ ناتجًا مختلفًا لاختيار كرة ليست زرقاء. ولإيجاد عدد نواتج اختيار ٣ كرات زرقاء، نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸊 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر 𞸊، يُعطى بالصيغة 𞸍𞸊𞹟. إذن يوجد ٠١٣𞹟 من الطرق لاختيار ٣ كرات من بين ١٠ كرات زرقاء. بتطبيق مبدأ العد الأساسي، نجد أن عدد طرق اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها زرقاء يساوي: ٣١×𞹟.٠١٣

يمكننا عَدُّ نواتج الحدثين الآخرين بالمثل. بعد ذلك، نفكِّر في عدد طرق اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها خضراء. نقسِّم هذا الحدث إلى حدثين مستقلين؛ وهما «اختيار ٣ كرات خضراء»، و«اختيار كرة واحدة غير خضراء». يوجد ٦٣𞹟 من الطرق المختلفة لاختيار ٣ كرات من ٦ كرات خضراء، ويوجد ٠١+٧=٧١ كرة مختلفة ليست خضراء. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد طرق اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها خضراء يساوي: ٧١×𞹟.٦٣

وأخيرًا، نَعُدُّ الطرق المختلفة لاختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها حمراء. يوجد ٧٣𞹟 من الطرق المختلفة لاختيار ٣ كرات من ٧ كرات حمراء، ويوجد ٠١+٦=٦١ كرة مختلفة ليست حمراء. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد طرق اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها حمراء يساوي: ٦١×𞹟.٧٣

ومن ثَمَّ، بتطبيق قاعدة الجمع، فإن عدد الطرق المختلفة التي يمكننا بها اختيار ٤ كرات من الكوب تكون ٣ منها بالضبط باللون نفسه يساوي: ٣١×𞹟+٧١×𞹟+٦١×𞹟.٠١٣٦٣٧٣

وهذا هو الخيار (ج).

سنتناول مثالًا آخر نستخدم فيه قاعدة الجمع ومبدأ العد الأساسي معًا.

مثال ٤: عَدُّ نواتج الأحداث باستخدام قاعدة الجمع ومبدأ العد الأساسي

ما عدد الطرق التي يمكن من خلالها تكوين مجموعة مكوَّنة من ٦ أشخاص من بين ٥ مُعلِّمين و١٠ أولياء أمور؛ بحيث تحتوي المجموعة على ولي أمر واحد على الأقل، ولكن يقل عدد المُعلِّمين عن ٤ مُعلِّمين؟

  1. ٥٤٠١٢٥٣٠١٣٥٢٠١٤٥١٠١٥𞹟×𞹟+𞹟×𞹟+𞹟×𞹟+𞹟×𞹟
  2. ٥٣٠١٣٥٢٠١٤٥١٠١٥𞹟+𞹟+𞹟+𞹟+𞹟+𞹟
  3. ٥٣٠١٣٥٢٠١٤٥١٠١٥𞹟×𞹟×𞹟×𞹟×𞹟×𞹟
  4. ٥٤٠١٢٥٣٠١٣٥٢٠١٤٥١٠١٥𞹟+𞹟+𞹟+𞹟+𞹟+𞹟+𞹟+𞹟
  5. ٥٣٠١٣٥٢٠١٤٥١٠١٥𞹟×𞹟+𞹟×𞹟+𞹟×𞹟

الحل

نلاحظ أن هناك ٣ أحداث مختلفة تؤدِّي إلى النتيجة الموضَّحة:

  • تكوين مجموعة من مُعلِّم واحد و٥ أولياء أمور.
  • تكوين مجموعة من مُعلِّمَيْن اثنين و٤ أولياء أمور.
  • تكوين مجموعة من ٣ مُعلِّمين و٣ أولياء أمور.

نلاحظ أنه لا يمكن أن يوجد أيُّ ناتج يشترك فيه حدثان مختلفان؛ ومن ثَمَّ، فإن هذه الأحداث هي مجموعة من الأحداث المتنافية.

لعلنا نتذكَّر قاعدة الجمع التي تنص على أن عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث.

هيا نَعُدُّ نواتج كل حدث، ونبدأ بالحدث الذي نكوِّن فيه مجموعة من ٣ مُعلِّمين و٣ أولياء أمور. يمكن تقسيم هذا الحدث إلى حدثين؛ وهما «تكوين مجموعة من ٣ مُعلِّمين»، و«تكوين مجموعة من ٣ أولياء أمور». وبما أنه لا يوجد ناتج معيَّن لأحد الحدثين يمكن أن يؤثِّر على عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر، إذن هذان الحدثان مستقلان. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد نواتج الحدثين معًا هو حاصل ضرب عدد نواتج كل حدث في الآخر.

نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸊 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر 𞸊، يُعطى بالصيغة 𞸍𞸊𞹟. إذن يوجد ٥٣𞹟 من الطرق لتكوين مجموعة من ٣ من بين ٥ مُعلِّمين، و٠١٣𞹟 من الطرق لتكوين مجموعة من ٣ من بين ١٠ أولياء أمور. وبتطبيق مبدأ العد الأساسي، نجد أن عدد طرق تكوين مجموعة من ٣ مُعلِّمين و٣ أولياء أمور يساوي: ٥٣٠١٣𞹟×𞹟.

يمكننا عد نواتج الحدثين الآخرين بالطريقة نفسها. بعد ذلك، نفكِّر في عدد طرق تكوين مجموعة من مُعلِّمَيْن اثنين و٤ أولياء أمور. يوجد ٥٢𞹟 من الطرق المختلفة لتكوين مجموعة من مُعلِّمَيْن اثنين من بين ٥ مُعلِّمين، و٠١٤𞹟 من الطرق المختلفة لتكوين مجموعة من ٤ من بين ١٠ أولياء أمور. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد طرق تكوين مجموعة من مُعلِّمَيْن اثنين و٤ أولياء أمور يساوي: ٥٢٠١٤𞹟×𞹟.

وأخيرًا، نَعُدُّ الطرق المختلفة لتكوين مجموعة من مُعلِّم واحد و٤ أولياء أمور. يوجد ٥١𞹟 من الطرق المختلفة لاختيار مُعلِّم واحد من بين ٥ مُعلِّمين، و٠١٥𞹟 من الطرق المختلفة لتكوين مجموعة من ٥ من بين ١٠ أولياء أمور. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد طرق تكوين مجموعة من مُعلِّم واحد و٥ أولياء أمور يساوي: ٥١٠١٥𞹟×𞹟.

ومن ثَمَّ، بتطبيق قاعدة الجمع، فإن عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها تكوين مجموعة مكوَّنة من ٦ أشخاص من بين ٥ مُعلِّمين و١٠ أولياء أمور؛ بحيث تحتوي المجموعة على ولي أمر واحد على الأقل، ويقل عدد المُعلِّمين عن ٤ مُعلِّمين، يساوي: ٥٣٠١٣٥٢٠١٤٥١٠١٥𞹟×𞹟+𞹟×𞹟+𞹟×𞹟.

وهذا هو الخيار (هـ).

في الأمثلة السابقة، تناولنا مسائل عَدٍّ استخدمنا فيها التوافيق مع قاعدة الجمع. وفي المثال الأخير، سنتناول مسألة عَدِّ نستخدم فيها التباديل مع قاعدة الجمع ومبدأ العد الأساسي.

مثال ٥: عَدُّ نواتج الأحداث باستخدام قاعدة الجمع ومبدأ العد الأساسي

اكتب العملية الحسابية التي نستخدمها لإيجاد عدد الطرق التي يُمكِننا من خلالها إيقاف سيارتَيْن، ثم شاحنتَيْن على الأقل، وذلك في ٥ أماكن لوقوف السيارات في صف واحد.

  1. ٥٢٣٣٥٢٣٢𞸋×𞸋+𞸋×𞸋
  2. ٥٢٣٣٥٢٣٢𞹟×𞹟+𞹟×𞹟
  3. ٥٢٣٣٥٢٣٢𞸋+𞸋+𞸋+𞸋
  4. ٥٢٣٣٥٢٣٢𞹟+𞸋+𞸋+𞸋
  5. ٥٢٥٣٥٢٥٢𞸋×𞸋+𞸋×𞸋

الحل

نلاحظ أن هناك حدثين مختلفين يؤدِّيان إلى الناتج الموضَّح:

  • وقوف سيارتَيْن و٣ شاحنات.
  • وقوف سيارتَيْن وشاحنتَيْن.

يمكننا أن نلاحظ أنه لا يوجد أيُّ ناتج يشترك فيه الحدثان؛ ومن ثَمَّ، فإن هذين الحدثين متنافيان.

نتذكَّر قاعدة الجمع لحدثين؛ وهي تنص على أنه إذا كان الحدثان متنافيين، فإن عدد نواتج الحدثين يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث.

هيا نَعُدُّ نواتج كل حدث، بدءًا بحدث وقوف سيارتَيْن ثم ٣ شاحنات. يمكن تقسيم هذا الحدث إلى حدثين؛ وهما «وقوف سيارتين» و«وقوف ٣ شاحنات». لا يوجد ناتج محدَّد لأحد الحدثين يؤثِّر على عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر. بشكل أكثر تحديدًا، إذا أوقفنا سيارتَيْن في أيِّ مكانَيْن من أماكن الوقوف، فسيظل هناك ٣ أماكن متبقية لوقوف الشاحنات. ومن ثَمَّ، فإن هذين الحدثين مستقلان. يخبرنا مبدأ العد الأساسي أن عدد نواتج حدثَيْن مستقلَّيْن معًا يساوي حاصل ضرب عدد نواتج كل حدث في الآخر.

ونتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸊 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة يُعطى بالصيغة 𞸍𞸊𞸋، وذلك يمثِّل التباديل. نفكِّر في مسألة إيجاد عدد الطرق المختلفة لوقوف سيارتَيْن في ٥ أماكن وقوف في سياق التباديل. ولهذا الغرض، سنُسمِّي إحدى السيارتَيْن «السيارة ١» ونُسمِّي الأخرى «السيارة ٢». إذن حدث إيقاف السيارتَيْن في ٥ أماكن وقوف متوفرة يكافئ حدث اختيار مكانَيْن من بين ٥ أماكن وقوف متوفرة وترتيبها بالترتيب «السيارة ١» و«السيارة ٢». ومن ثَمَّ، عدد الطرق المختلفة لإيقاف سيارتَيْن في ٥ أماكن وقوف متوفرة يساوي ٥٢𞸋.

بعد إيقاف سيارتَيْن، يتبقَّى لدينا ٣ أماكن للوقوف. وبالطريقة نفسها، نجد أن عدد الطرق المختلفة لإيقاف ٣ شاحنات في ٣ أماكن للوقوف يساوي ٣٣𞸋. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، عدد الطرق المختلفة لإيقاف سيارتَيْن و٣ شاحنات في ٥ أماكن للوقوف في صف واحد يساوي: ٥٢٣٣𞸋×𞸋.

بعد ذلك، نفكِّر في عدد الطرق المختلفة لوقوف سيارتَيْن وشاحنتَيْن. نحن نعلم أنه يوجد ٥٢𞸋 من الطرق المختلفة لإيقاف سيارتين في ٥ أماكن للوقوف، ويوجد ٣٢𞸋 من الطرق المختلفة لإيقاف شاحنتَيْن في ٣ أماكن متبقية للوقوف. إذن يخبرنا مبدأ العد الأساسي أن عدد الطرق المختلفة لإيقاف سيارتَيْن وشاحنتين في ٥ أماكن للوقوف في صف واحد يساوي: ٥٢٣٢𞸋×𞸋.

وأخيرًا، بتطبيق قاعدة الجمع، نجد أن عدد الطرق المختلفة لإيقاف سيارتَيْن ثم شاحنتَيْن على الأقل في ٥ أماكن لوقوف السيارات في صف واحد يساوي: ٥٢٣٣٥٢٣٢𞸋×𞸋+𞸋×𞸋.

وهذا هو الخيار (أ).

هيا نلخِّص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • نفترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان متنافيان. إذا كان هناك عدد 𞸌 من النواتج المختلفة للحدث 󰏡، وعدد 𞸍 من النواتج المختلفة للحدث 𞸁، فإنه يكون لدينا عدد 𞸌+𞸍 من النواتج المختلفة للحدث 󰏡 أو الحدث 𞸁.
  • عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية هو مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث على حِدَةٍ.
  • يمكن تطبيق قاعدة الجمع مع مبدأ العد الأساسي لحل المسائل الأكثر تعقيدًا التي تتضمَّن التوافيق والتباديل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.