شارح الدرس: مبدأ العدِّ: قاعدة الجمع الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: عَدُّ نواتج حدثين باستخدام قاعدة الجمع

يوجد ١٠ فِتْيَان و٦ فتيات. ما التعبير العددي الذي يتيح لنا حساب عدد الطرق لتكوين مجموعة من ٣ فِتْيَان أو فتاتين؟

الحل

لعلنا نتذكَّر قاعدة الجمع لحدثين؛ وهي تنص على إنه إذا كان الحدثان متنافيين، فإن عدد النواتج المختلفة لأيٍّ من الحدثين يساوي مجموع أعداد النواتج المختلفة للحدثين.

في هذا المثال، الحدثان هما «تكوين مجموعة من ٣ فتيان» و«تكوين مجموعة من فتاتين». نلاحظ أنه لا يمكن أن يُوجَد ناتج مشترك للحدثين، وهو ما يعني أن الحدثين متنافيان. ومن ثَمَّ، يمكننا تطبيق قاعدة الجمع للوصول إلى الإجابة إذا عرفنا عدد نواتج كلا الحدثين.

علينا عَدُّ النواتج من الحدثين. نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر ، يُعطى بالصيغة .

أولًا، نفكِّر في حدث تكوين مجموعة من ٣ فتيان. بما أننا نختار ٣ فتيان من بين ١٠ فتيان، ولا يهمنا ترتيب هؤلاء الفتيان، إذن عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث يساوي التوافيق .

ونفكِّر بعد ذلك في حدث تكوين مجموعة من فتاتين. بما أننا نختار فتاتين من بين ٦ فتيات، ولا يهمنا ترتيب هؤلاء الفتيات، إذن عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث يساوي التوافيق .

بتطبيق قاعدة الجمع، نجد أن عدد طرق تكوين مجموعة من ٣ فتيان أو فتاتين يساوي:

وهذا هو الخيار (ب).

مثال ٢: عَدُّ نواتج ثلاثة أحداث باستخدام قاعدة الجمع

ما التعبير العددي لعدد الطُّرق التي يُمكِن بها اختيار ٤ كرات من نفس اللون من ١٠ كرات زرقاء، و٦ كرات خضراء، و٧ كرات حمراء؟ افترِض أنه لا تُوجَد كرات مُتطابِقة.

الحل

نلاحظ أن هناك ٣ أحداث تؤدِّي إلى اختيار ٤ كرات باللون نفسه؛ وهي اختيار ٤ كرات زرقاء، واختيار ٤ كرات خضراء، واختيار ٤ كرات حمراء. لا يوجد أيُّ ناتج مشترك بين كل حدثين مختلفين؛ ومن ثَمَّ، فالأحداث تمثِّل مجموعة من الأحداث المتنافية.

نتذكَّر قاعدة الجمع التي تنص على أن عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث على حِدَةٍ.

لذا، إذا عرفنا عدد النواتج المختلفة لكل حدث من الأحداث الثلاثة، يمكننا الحصول على الإجابة عن طريق جمع الأعداد الثلاثة.

هيا نبدأ بإيجاد عدد طرق اختيار ٤ كرات زرقاء. نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر ، يُعطى بالصيغة . بما أننا نختار ٤ كرات من ١٠ كرات زرقاء، إذن يكون عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث هو .

بعد ذلك، نفكِّر في عدد طرق اختيار ٤ كرات خضراء. وبما أننا نختار ٤ كرات من ٦ كرات خضراء، إذن عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث هو .

وأخيرًا، نختار ٤ كرات من إجمالي ٧ كرات حمراء؛ ومن ثَمَّ، فإن عدد النواتج المختلفة لهذا الحدث هو .

وفقًا لقاعدة الجمع، يمكننا جمع هذه الأعداد لنعرف عدد الطرق المختلفة لاختيار ٤ كرات من نفس اللون. إذن لدينا:

وهذا هو الخيار (د).

مثال ٣: عَدُّ نواتج الأحداث باستخدام قاعدة الجمع ومبدأ العد الأساسي

كوب يحتوي على ١٠ كرات زرقاء، و٦ كرات خضراء، و٧ كرات حمراء. لا توجد كرات مُتطابِقة في الكوب. ما عدد الطرق التي يُمكِن بها اختيار ٤ كرات من الكوب؛ بحيث تكون ٣ منها بالضبط باللون نفسه؟

الحل

نلاحظ أن هناك ٣ أحداث مختلفة تؤدِّي إلى النتيجة الموضَّحة:

• اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها زرقاء.
• اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها خضراء.
• اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها حمراء.

نلاحظ أنه لا يوجد ناتج يمكن أن يشترك فيه أيُّ حدثين مختلفين؛ ومن ثَمَّ، فإن هذه الأحداث هي مجموعة من الأحداث المتنافية.

نتذكَّر قاعدة الجمع التي تنص على أن عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث.

هيا نَعُدُّ نواتج كل حدث، بدءًا من حدث اختيار ٣ كرات زرقاء. يمكن تقسيم هذا الحدث إلى حدثين؛ وهما «اختيار ٣ كرات زرقاء» و«اختيار كرة واحدة غير زرقاء». وبما أنه لا يوجد ناتج معيَّن لأحد الحدثين يؤثِّر على عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر، إذن الحدثان مستقلان. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد نواتج الحدثين معًا هو حاصل ضرب عدد نواتج كل حدث في الآخر.

وبما أن لدينا كرة ليست زرقاء، إذن يوجد ١٣ ناتجًا مختلفًا لاختيار كرة ليست زرقاء. ولإيجاد عدد نواتج اختيار ٣ كرات زرقاء، نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر ، يُعطى بالصيغة . إذن يوجد من الطرق لاختيار ٣ كرات من بين ١٠ كرات زرقاء. بتطبيق مبدأ العد الأساسي، نجد أن عدد طرق اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها زرقاء يساوي:

يمكننا عَدُّ نواتج الحدثين الآخرين بالمثل. بعد ذلك، نفكِّر في عدد طرق اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها خضراء. نقسِّم هذا الحدث إلى حدثين مستقلين؛ وهما «اختيار ٣ كرات خضراء»، و«اختيار كرة واحدة غير خضراء». يوجد من الطرق المختلفة لاختيار ٣ كرات من ٦ كرات خضراء، ويوجد كرة مختلفة ليست خضراء. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد طرق اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها خضراء يساوي:

وأخيرًا، نَعُدُّ الطرق المختلفة لاختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها حمراء. يوجد من الطرق المختلفة لاختيار ٣ كرات من ٧ كرات حمراء، ويوجد كرة مختلفة ليست حمراء. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد طرق اختيار ٤ كرات تكون ٣ كرات منها حمراء يساوي:

ومن ثَمَّ، بتطبيق قاعدة الجمع، فإن عدد الطرق المختلفة التي يمكننا بها اختيار ٤ كرات من الكوب تكون ٣ منها بالضبط باللون نفسه يساوي:

وهذا هو الخيار (ج).

مثال ٤: عَدُّ نواتج الأحداث باستخدام قاعدة الجمع ومبدأ العد الأساسي

ما عدد الطرق التي يمكن من خلالها تكوين مجموعة مكوَّنة من ٦ أشخاص من بين ٥ مُعلِّمين و١٠ أولياء أمور؛ بحيث تحتوي المجموعة على ولي أمر واحد على الأقل، ولكن يقل عدد المُعلِّمين عن ٤ مُعلِّمين؟

الحل

نلاحظ أن هناك ٣ أحداث مختلفة تؤدِّي إلى النتيجة الموضَّحة:

• تكوين مجموعة من مُعلِّم واحد و٥ أولياء أمور.
• تكوين مجموعة من مُعلِّمَيْن اثنين و٤ أولياء أمور.
• تكوين مجموعة من ٣ مُعلِّمين و٣ أولياء أمور.

نلاحظ أنه لا يمكن أن يوجد أيُّ ناتج يشترك فيه حدثان مختلفان؛ ومن ثَمَّ، فإن هذه الأحداث هي مجموعة من الأحداث المتنافية.

لعلنا نتذكَّر قاعدة الجمع التي تنص على أن عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث.

هيا نَعُدُّ نواتج كل حدث، ونبدأ بالحدث الذي نكوِّن فيه مجموعة من ٣ مُعلِّمين و٣ أولياء أمور. يمكن تقسيم هذا الحدث إلى حدثين؛ وهما «تكوين مجموعة من ٣ مُعلِّمين»، و«تكوين مجموعة من ٣ أولياء أمور». وبما أنه لا يوجد ناتج معيَّن لأحد الحدثين يمكن أن يؤثِّر على عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر، إذن هذان الحدثان مستقلان. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد نواتج الحدثين معًا هو حاصل ضرب عدد نواتج كل حدث في الآخر.

نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة، مع عدم الاهتمام بترتيب العناصر ، يُعطى بالصيغة . إذن يوجد من الطرق لتكوين مجموعة من ٣ من بين ٥ مُعلِّمين، و من الطرق لتكوين مجموعة من ٣ من بين ١٠ أولياء أمور. وبتطبيق مبدأ العد الأساسي، نجد أن عدد طرق تكوين مجموعة من ٣ مُعلِّمين و٣ أولياء أمور يساوي:

يمكننا عد نواتج الحدثين الآخرين بالطريقة نفسها. بعد ذلك، نفكِّر في عدد طرق تكوين مجموعة من مُعلِّمَيْن اثنين و٤ أولياء أمور. يوجد من الطرق المختلفة لتكوين مجموعة من مُعلِّمَيْن اثنين من بين ٥ مُعلِّمين، و من الطرق المختلفة لتكوين مجموعة من ٤ من بين ١٠ أولياء أمور. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد طرق تكوين مجموعة من مُعلِّمَيْن اثنين و٤ أولياء أمور يساوي:

وأخيرًا، نَعُدُّ الطرق المختلفة لتكوين مجموعة من مُعلِّم واحد و٤ أولياء أمور. يوجد من الطرق المختلفة لاختيار مُعلِّم واحد من بين ٥ مُعلِّمين، و من الطرق المختلفة لتكوين مجموعة من ٥ من بين ١٠ أولياء أمور. ووفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن عدد طرق تكوين مجموعة من مُعلِّم واحد و٥ أولياء أمور يساوي:

ومن ثَمَّ، بتطبيق قاعدة الجمع، فإن عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها تكوين مجموعة مكوَّنة من ٦ أشخاص من بين ٥ مُعلِّمين و١٠ أولياء أمور؛ بحيث تحتوي المجموعة على ولي أمر واحد على الأقل، ويقل عدد المُعلِّمين عن ٤ مُعلِّمين، يساوي:

وهذا هو الخيار (هـ).

مثال ٥: عَدُّ نواتج الأحداث باستخدام قاعدة الجمع ومبدأ العد الأساسي

اكتب العملية الحسابية التي نستخدمها لإيجاد عدد الطرق التي يُمكِننا من خلالها إيقاف سيارتَيْن، ثم شاحنتَيْن على الأقل، وذلك في ٥ أماكن لوقوف السيارات في صف واحد.

الحل

نلاحظ أن هناك حدثين مختلفين يؤدِّيان إلى الناتج الموضَّح:

• وقوف سيارتَيْن و٣ شاحنات.
• وقوف سيارتَيْن وشاحنتَيْن.

يمكننا أن نلاحظ أنه لا يوجد أيُّ ناتج يشترك فيه الحدثان؛ ومن ثَمَّ، فإن هذين الحدثين متنافيان.

نتذكَّر قاعدة الجمع لحدثين؛ وهي تنص على أنه إذا كان الحدثان متنافيين، فإن عدد نواتج الحدثين يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث.

هيا نَعُدُّ نواتج كل حدث، بدءًا بحدث وقوف سيارتَيْن ثم ٣ شاحنات. يمكن تقسيم هذا الحدث إلى حدثين؛ وهما «وقوف سيارتين» و«وقوف ٣ شاحنات». لا يوجد ناتج محدَّد لأحد الحدثين يؤثِّر على عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر. بشكل أكثر تحديدًا، إذا أوقفنا سيارتَيْن في أيِّ مكانَيْن من أماكن الوقوف، فسيظل هناك ٣ أماكن متبقية لوقوف الشاحنات. ومن ثَمَّ، فإن هذين الحدثين مستقلان. يخبرنا مبدأ العد الأساسي أن عدد نواتج حدثَيْن مستقلَّيْن معًا يساوي حاصل ضرب عدد نواتج كل حدث في الآخر.

ونتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لترتيب من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة يُعطى بالصيغة ، وذلك يمثِّل التباديل. نفكِّر في مسألة إيجاد عدد الطرق المختلفة لوقوف سيارتَيْن في ٥ أماكن وقوف في سياق التباديل. ولهذا الغرض، سنُسمِّي إحدى السيارتَيْن «السيارة ١» ونُسمِّي الأخرى «السيارة ٢». إذن حدث إيقاف السيارتَيْن في ٥ أماكن وقوف متوفرة يكافئ حدث اختيار مكانَيْن من بين ٥ أماكن وقوف متوفرة وترتيبها بالترتيب «السيارة ١» و«السيارة ٢». ومن ثَمَّ، عدد الطرق المختلفة لإيقاف سيارتَيْن في ٥ أماكن وقوف متوفرة يساوي .

بعد إيقاف سيارتَيْن، يتبقَّى لدينا ٣ أماكن للوقوف. وبالطريقة نفسها، نجد أن عدد الطرق المختلفة لإيقاف ٣ شاحنات في ٣ أماكن للوقوف يساوي . إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، عدد الطرق المختلفة لإيقاف سيارتَيْن و٣ شاحنات في ٥ أماكن للوقوف في صف واحد يساوي:

بعد ذلك، نفكِّر في عدد الطرق المختلفة لوقوف سيارتَيْن وشاحنتَيْن. نحن نعلم أنه يوجد من الطرق المختلفة لإيقاف سيارتين في ٥ أماكن للوقوف، ويوجد من الطرق المختلفة لإيقاف شاحنتَيْن في ٣ أماكن متبقية للوقوف. إذن يخبرنا مبدأ العد الأساسي أن عدد الطرق المختلفة لإيقاف سيارتَيْن وشاحنتين في ٥ أماكن للوقوف في صف واحد يساوي:

وأخيرًا، بتطبيق قاعدة الجمع، نجد أن عدد الطرق المختلفة لإيقاف سيارتَيْن ثم شاحنتَيْن على الأقل في ٥ أماكن لوقوف السيارات في صف واحد يساوي:

وهذا هو الخيار (أ).