تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: مبدأ العد: قاعدة الجمع الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد عدد جميع النواتج الممكنة لحدثين معًا أو أكثر، باستخدام مبدأ العد بالجمع.

٢٠:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد عدد جميع النواتج الممكنة لحدثين معًا أو أكثر، باستخدام مبدأ العد بالجمع.

افترض أنه يوجد مطعمان في الحي الذي تسكن به: مطعم البيتزا ومطعم الحساء — يا لهما من اسمين مبتكرين! — يقدم مطعم البيتزا ١٠ أنواع مختلفة من البيتزا في قائمته، بينما يقدم مطعم الحساء سبعة أنواع من الحساء. نريد إيجاد عدد الخيارات المختلفة لوجبة الغداء إذا اخترنا شراء هذه الوجبة من أي من هذين المطعمين. لإيجاد ذلك، كل ما علينا فعله هو جمع عدد العناصر الموجودة في قائمتي المطعمين. هذا يساوي ١٠ زائد سبعة، أي ١٧ خيارًا مختلفًا لوجبة الغداء.

بالطبع هذا صحيح فقط لأنه لا يوجد صنف غداء مشترك يباع في كلا المطعمين. ولكن إذا قرر مطعم الحساء، على سبيل المثال، أن يبيع فجأة بيتزا بالبيبروني، فسنحتاج إلى إعادة التفكير في حساباتنا.

دعونا نكتب ذلك في صورة عامة. تذكر أن أي حدثين يكونان متنافيين إذا لم يوجد ناتج مشترك بينهما. في سياق المثال السابق، الحدثان هما شراء وجبة غداء من مطعم البيتزا، وشراء وجبة غداء من مطعم الحساء. إذا قرر مطعم الحساء، كما قلنا، أن يبيع بيتزا بالبيبروني، فلن يكون هذان الحدثان متنافيين. ولكن إذا ظل الحال كما هو، فبما أن الحدثين لا يؤديان إلى ناتج مشترك، فإنهما متنافيان.

إذن إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين، ويوجد عدد ﻡ من النواتج المختلفة للحدث ﺃ وعدد ﻥ من النواتج المختلفة للحدث ﺏ، فإن إجمالي عدد النواتج يساوي ﻡ زائد ﻥ.

والآن سنطبق ذلك بالإضافة إلى قواعد التوافيق والتباديل التي نعرفها. تستخدم التوافيق عندما نختار عناصر من مجموعة كبيرة، ولا يهم الترتيب. لنفترض أن لدينا ثلاثة عناصر، هي: ﺃ وﺏ وﺟ. فاختيار ﺃ ثم ﺏ يماثل اختيار ﺏ ثم ﺃ. ولإيجاد عدد طرق اختيار عدد ﺭ من العناصر من عدد ﻥ عندما يكون الترتيب غير مهم، نوجد قيمة ﻥﻕﺭ. أما عندما يكون الترتيب مهمًّا، فهذه تباديل. وعدد طرق اختيار عدد ﺭ من العناصر من عدد ﻥ في هذه الحالة هو ﻥﻝﺭ.

بمعرفة كل ذلك، دعونا نطبق قاعدة التوافيق وقاعدة الجمع معًا.

يوجد ١٠ فتيان وست فتيات. ما التعبير العددي الذي يتيح لنا حساب عدد الطرق لتكوين مجموعة من ثلاثة فتيان أو فتاتين؟ هل هو (أ) ١٠ﻕ ثلاثة في ستة ﻕ اثنين؟ أم (ب) ١٠ﻕ ثلاثة زائد ستة ﻕ اثنين؟ أم (ج) ١٠ﻝ ثلاثة في ستة ﻝ اثنين، أم (د) ١٠ﻝ ثلاثة زائد ستة ﻝ اثنين، أم (هـ) ١٠ﻕ ثلاثة ناقص ستة ﻕ اثنين؟

نحاول هنا تكوين مجموعة من ثلاثة فتيان أو فتاتين. إذن، في الواقع، يوجد حدثان. الحدث الأول، ولنطلق عليه الحدث ﺃ، هو اختيارنا لثلاثة فتيان من إجمالي ١٠. والحدث الثاني، الذي سنطلق عليه ﺏ، هو اختيارنا فتاتين من إجمالي ست فتيات. لا يمكن أن يوجد ناتج مشترك بين هذين الحدثين. لذا فلا بد أنهما متنافيان. هذا يدل على أنه يمكننا تطبيق قاعدة الجمع لحل هذه المسألة.

تنص هذه القاعدة على أنه إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين، حيث ﺃ له عدد ﻡ من النواتج المختلفة وﺏ له عدد ﻥ من النواتج المختلفة، فإجمالي عدد نواتج كلا الحدثين يعطى بالعلاقة ﻡ زائد ﻥ. نجمع ببساطة أعداد النواتج المختلفة للحدثين. إذن فما علينا فعله هنا هو حساب عدد نواتج كل حدث.

نختار ثلاثة فتيان من إجمالي ١٠. ولا يوجد هنا ما يشير إلى أن الترتيب مهم. لذا لنفترض أن لدينا الفتى رقم واحد، والفتى رقم اثنين، والفتى رقم ثلاثة. ولا يهم في الواقع تبديل الترتيب الذي نختار به الفتيين الأولين، بحيث نختار الفتى رقم اثنين ثم الفتى رقم واحد ثم الفتى رقم ثلاثة. فسنظل نحصل في النهاية على نفس الفتيان الثلاثة. ولذا، فإننا نتعامل مع توافيق. وعندما لا يهم الترتيب، يكون عدد التوافيق لاختيار عدد ﺭ من العناصر من عدد ﻥ هو ﻥﻕﺭ أو ﻥ توافيق ﺭ.

والرمز الذي استخدمناه هنا ليس بالضرورة الرمز الذي اعتدت عليه. فبناء على المكان الذي توجد فيه، قد ترى كلًّا من ﻥ وﺭ في صورة رمز سفلي أو زوج مرتب، وأحيانًا في صورة متجه عمود. مع وضع ذلك في الاعتبار، سنحسب عدد طرق اختيار ثلاثة فتيان من إجمالي ١٠. إذن لدينا ١٠ توافيق ثلاثة. وبالمثل، لا يهم ترتيب اختيار الفتيات. ونختار هنا اثنين من إجمالي ستة. إذن لدينا ستة توافيق اثنين.

بما أن الحدثين متنافيان، نجمع هاتين القيمتين لإيجاد إجمالي عدد النواتج الممكنة. وعليه، فإن عدد طرق تكوين مجموعة إما من ثلاثة فتيان أو فتاتين هو ١٠ توافيق ثلاثة زائد ستة توافيق اثنين، وهو الخيار (ب).

بذلك نكون قد أوضحنا كيفية تطبيق قاعدة الجمع لحدثين متنافيين. والآن لنر كيف يمكننا تعميم ذلك لتطبيقه على أكثر من حدثين.

نعود إلى المسألة التي نحاول فيها تحديد وجبة الغداء التي سنشتريها. افترض الآن أن مطعمًا ثالثًا افتتح، وهو «مطعم الشطائر». وهذا مطعم يقدم خمسة أنواع مختلفة من الشطائر. تظل الأحداث الثلاثة، وهي اختيار بيتزا واختيار حساء واختيار شطيرة، أحداثًا متنافية. فلا توجد عناصر مشتركة في هذه القوائم. إجمالي عدد الخيارات الآن هو مجموع ١٠ وسبعة وخمسة. يوجد ٢٢ خيارًا مختلفًا لوجبة الغداء.

ومن ثم، يمكننا بشكل أساسي توسيع قاعدة الجمع لتشمل مجموعة من الأحداث المتنافية. هذا يعني أن عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية هو مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث. دعونا نوضح ذلك في المثال التالي.

ما التعبير العددي لعدد الطرق التي يمكن بها اختيار أربع كرات من نفس اللون من ١٠ كرات زرقاء، وست كرات خضراء، وسبع كرات حمراء؟ افترض أنه لا توجد كرات متطابقة. (أ) ١٠ﻕ أربعة في ستة ﻕ أربعة في سبعة ﻕ أربعة، (ب) ١٠ﻝ أربعة في ستة ﻝ أربعة في سبعة ﻝ أربعة. (ج) ١٠ﻝ أربعة زائد ستة ﻝ أربعة زائد سبعة ﻝ أربعة، (د) ١٠ﻕ أربعة زائد ستة ﻕ أربعة زائد سبعة ﻕ أربعة، (هـ) ١٠ﻕ أربعة في ستة ﻕ أربعة زائد سبعة ﻕ أربعة.

نختار هنا أربع كرات من ١٠ كرات زرقاء وستًّا خضراء وسبعًا حمراء. المعلومة الأساسية في هذا السؤال، التي ستساعدنا في الإجابة عنه، هي أنه لا توجد أي كرات متطابقة. لذا عندما نختار أربع كرات، سنختار إما أربع كرات زرقاء وإما أربع كرات خضراء وإما أربع كرات حمراء. وبما أنه لا يوجد أي ناتج مشترك بين اختيار أربع كرات زرقاء، أو أربع كرات خضراء، وهكذا، فنقول إن الأحداث الثلاثة متنافية.

تنص قاعدة الجمع على أن عدد النواتج المختلفة من هذه المجموعة من الأحداث المتنافية هو مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث. لذا، علينا إيجاد عدد طرق اختيار أربع كرات زرقاء من إجمالي ١٠ كرات، وأربع كرات خضراء من إجمالي ست كرات، وأربع كرات حمراء من إجمالي سبع كرات. ثم نجمع هذه القيم معًا.

وبما أن ترتيب اختيار هذه الكرات لا يهم؛ فاختيار أربع كرات زرقاء مثلًا سيؤدي إلى الناتج النهائي نفسه بغض النظر عن ترتيب اختيار هذه الكرات، فنحن نعلم أننا سنستخدم التوافيق. بعبارة أخرى، عدد طرق اختيار عدد ﺭ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر المختلفة، عندما لا يهم الترتيب، هو ﻥ توافيق ﺭ. إذن فعدد طرق اختيار الكرات الزرقاء الأربع من إجمالي ١٠ هو ١٠ توافيق أربعة. وعدد طرق اختيار أربع كرات خضراء من إجمالي ست كرات هو ستة توافيق أربعة. وعدد اختيار أربع كرات حمراء من إجمالي سبع كرات هو سبعة توافيق أربعة.

تنص قاعدة الجمع على أن إجمالي عدد النواتج يساوي مجموعها. وعليه، فإن التعبير العددي الذي سنستخدمه هو ١٠ﻕ أربعة زائد ستة ﻕ أربعة زائد سبعة ﻕ أربعة. وهو الخيار (د).

تتمثل إحدى أقوى خواص قاعدة الجمع في إمكانية استخدامها إلى جانب مبدأ العد الأساسي. وهو ما يسمى أحيانًا أيضًا قاعدة الضرب أو قاعدة حاصل الضرب للعد. وفي حين تتطلب قاعدة الجمع أن يكون الحدثان متنافيين، كما رأينا، يتطلب مبدأ العد الأساسي أن تكون الأحداث مستقلة. بعبارة أخرى، لا يغير أي ناتج محدد لحدث ما عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

ينص مبدأ العد الأساسي على أنه إذا كان لدينا حدثان مستلقان ﺃ وﺏ، وعدد النواتج الممكنة للحدث ﺃ هو ﻡ وعدد النواتج الممكنة للحدث ﺏ هو ﻥ، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة المختلفة لهذين الحدثين معًا هو ﻡ مضروبًا في ﻥ. دعونا نوضح كيف يمكننا استخدام مبدأ العد الأساسي إلى جانب قاعدة الجمع.

كوب يحتوي على ١٠ كرات زرقاء، وست كرات خضراء، وسبع كرات حمراء. لا توجد كرات متطابقة في الكوب. ما عدد الطرق التي يمكن بها اختيار أربع كرات من الكوب؛ بحيث تكون ثلاث منها بالضبط باللون نفسه؟

دعونا نبدأ بتحديد الأحداث المختلفة التي ستؤدي إلى ناتج اختيار أربع كرات بحيث تكون ثلاث منها بالضبط متماثلة اللون. يمكننا اختيار أربع كرات بحيث تكون ثلاث منها بالضبط زرقاء. ويمكننا اختيار أربع كرات بحيث تكون ثلاث منها بالضبط خضراء، أو أربع كرات بحيث تكون ثلاث منها بالضبط حمراء. نلاحظ هنا أنه لا توجد نواتج مشتركة بين هذه الأحداث المختلفة. لذا نقول إن هذه الأحداث متنافية.

في هذه الحالة، يمكننا استخدام قاعدة الجمع. تنص هذه القاعدة على أن عدد النواتج المختلفة لمجموعة من الأحداث المتنافية هو مجموع النواتج المختلفة لكل حدث. إذن، علينا حساب عدد نواتج كل حدث. لنبدأ بالحدث الأول، وهو اختيار ثلاث كرات زرقاء. في هذه الحالة، نحن نختار في الأساس ثلاث كرات زرقاء وكرة واحدة غير زرقاء. حسنًا، هذان الحدثان مستقلان؛ أي لا يؤثر ناتج معين لأحدهما على عدد النواتج الممكنة للآخر. ومن ثم، يمكننا استخدام مبدأ العد الأساسي. ينص هذا المبدأ على أن عدد نواتج الحدثين معًا يمكن إيجاده بضرب عدد نواتج كل حدث.

توجد ١٠ كرات زرقاء، وتوجد ست كرات زائد سبع كرات غير زرقاء. هذا يساوي ١٣. يعني ذلك أنه توجد ١٣ طريقة لاختيار كرة واحدة غير زرقاء. يكون الأمر أكثر تعقيدًا نوعًا ما عندما يتعلق باختيار ثلاث كرات من إجمالي ١٠. ولا يهم ترتيب اختيار هذه الكرات. ومن ثم، يمكننا القول إنه يوجد ١٠ﻕ أو ١٠ توافيق ثلاثة من الطرق لاختيار ثلاث كرات من إجمالي ١٠. إذن يخبرنا مبدأ العد الأساسي أن عدد طرق اختيار أربع كرات بحيث تكون ثلاث منها بالضبط زرقاء هو ١٣ في ١٠ توافيق ثلاثة.

سننتقل الآن إلى الكرات الخضراء. توجد ست كرات خضراء إجمالًا، و١٧ كرة غير خضراء. إذن توجد ستة توافيق ثلاثة من الطرق لاختيار ثلاث كرات خضراء من إجمالي ستة. إذن وفقًا لمبدأ العد الأساسي، عدد طرق اختيار أربع كرات بحيث تكون ثلاث منها بالضبط خضراء هو١٧ في ستة توافيق ثلاثة.

وأخيرًا، لدينا الكرات الحمراء. سبع كرات حمراء، و١٦ كرة غير حمراء. هذا يعني أنه توجد سبعة توافيق ثلاثة من الطرق لاختيار ثلاث كرات حمراء من إجمالي سبع. وتوجد ١٦ طريقة لاختيار كرة غير حمراء. ومن ثم، يخبرنا مبدأ العد الأساسي أن عدد طرق اختيار أربع كرات بحيث تكون ثلاث منها بالضبط حمراء هو١٦ في سبعة توافيق ثلاثة.

وأخيرًا، نطبق قاعدة الجمع. فعدد الطرق المختلفة لاختيار أربع كرات من الكوب بحيث تكون ثلاث منها بالضبط متماثلة في اللون هو مجموع عدد هذه القيم. فيساوي ١٣ في ١٠ توافيق ثلاثة زائد ١٧ في ستة توافيق ثلاثة زائد ١٦ في سبعة توافيق ثلاثة. وهو الخيار (ج).

دعونا نلق نظرة على مثال آخر، ولكننا هذه المرة لن نستخدم التوافيق.

اكتب العملية الحسابية التي نستخدمها لإيجاد عدد الطرق التي يمكننا من خلالها إيقاف سيارتين، ثم شاحنتين على الأقل، وذلك في خمسة أماكن لوقوف السيارات في صف واحد. هل هي خمسة ﻝ اثنين في ثلاثة ﻝ ثلاثة زائد خمسة ﻝ اثنين في ثلاثة ﻝ اثنين، أم خمسة توافيق اثنين في ثلاثة توافيق ثلاثة زائد خمسة توافيق اثنين في ثلاثة توافيق اثنين؟ أم خمسة ﻝ اثنين زائد ثلاثة ﻝ ثلاثة زائد خمسة ﻝ اثنين زائد ثلاثة ﻝ اثنين؟ أم الخيار (د) خمسة توافيق اثنين زائد ثلاثة ﻝ ثلاثة زائد خمسة ﻝ اثنين زائد ثلاثة ﻝ اثنين، أم الخيار (هـ) خمسة ﻝ اثنين في خمسة ﻝ ثلاثة زائد خمسة ﻝ اثنين في خمسة ﻝ اثنين؟

هيا نحدد الأحداث المختلفة التي ستعطينا الناتج الموضح في السؤال. يمكن أن يكون لدينا سيارتان وثلاث شاحنات متوقفة، أو يمكن أن يكون لدينا سيارتان وشاحنتان متوقفة. وهذان الحدثان ليس بينهما ناتج مشترك، ومن ثم فهما متنافيان. تنص قاعدة الجمع لحدثين على أنه إذا كان الحدثان متنافيين، فإن عدد نواتجهما يساوي مجموع عدد النواتج المختلفة لكل حدث.

لنوجد إذن عدد النواتج. سنبدأ بالحدث الذي يتضمن إيقاف سيارتين وثلاث شاحنات. والآن سنقسم هذا الحدث إلى حدثين آخرين، وهما إيقاف سيارتين وإيقاف ثلاث شاحنات. وبما أن أي ناتج معين لأحد الحدثين لا يؤثر على عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر، فإن هذين الحدثين مستقلان. بصورة أكثر تحديدًا، إذا أوقفنا سيارتين في أي أماكن لوقوف السيارات، فسيظل لدينا ثلاثة أماكن شاغرة لإيقاف الشاحنات.

ومن ثم، يمكننا استخدام مبدأ العد الأساسي. عدد نواتج الحدثين معًا هو حاصل ضرب عدد النواتج لكل حدث. وبما أن ترتيب إيقاف السيارات وترتيب إيقاف الشاحنات مهم بالفعل، فإننا نتحدث عن استخدام التباديل. عدد طرق اختيار ﺭ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر عندما يكون الترتيب مهمًّا هو ﻥﻝﺭ.

إذن، في هذه الحالة، عدد طرق إيقاف السيارتين في أماكن وقوف السيارات الخمسة الممكنة هو خمسة ﻝ اثنين. وعند إيقاف السيارتين، لا يتبقى سوى ثلاثة أماكن وقوف ممكنة. إذن، توجد ثلاثة أماكن مختلفة متبقية لترتيب الشاحنات الثلاث بها. هذا يساوي ثلاثة ﻝ ثلاثة. بما أن هذين الحدثين مستقلان، فإن مبدأ العد الأساسي ينص على أن إجمالي عدد النواتج هو حاصل ضرب هاتين القيمتين. إذن، فهو يساوي خمسة ﻝ اثنين في ثلاثة ﻝ ثلاثة.

دعونا الآن نكرر هذه العملية في حالة وجود سيارتين وشاحنتين. الجزء الأول من ذلك متماثل. فهو خمسة ﻝ اثنين. فنحن نختار مكانين من إجمالي خمسة. لكن بعد ذلك عدد طرق تنظيم الشاحنتين في الأماكن الثلاثة المتبقية هو ثلاثة ﻝ اثنين. إجمالي عدد النواتج وفقًا لمبدأ العد الأساسي هو حاصل ضرب هاتين القيمتين. فهو خمسة ﻝ اثنين في ثلاثة ﻝ اثنين.

بما أن إيقاف سيارتين وثلاث شاحنات حدث متناف مع حدث إيقاف سيارتين وشاحنتين، يمكن إيجاد عدد النواتج إجمالًا، أي إجمالي عدد الطرق التي يمكننا بها إيقاف سيارتين وشاحنتين على الأقل في خمسة أماكن، عن طريق جمع هذين التعبيرين معًا. إذن فهو خمسة ﻝ اثنين في ثلاثة ﻝ ثلاثة زائد خمسة ﻝ اثنين في ثلاثة ﻝ اثنين. ويمكننا أن نلاحظ أن هذا هو الخيار (أ).

والآن لنلخص النقاط الرئيسية التي وردت في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه إذا كان ﺃ وﺏ حدثين متنافيين، حيث ﺃ له عدد ﻡ من النواتج المختلفة وﺏ له عدد ﻥ من النواتج المختلفة، فسيكون لدينا عدد ﻡ زائد ﻥ إجمالًا من النواتج المختلفة للحدث ﺃ أو الحدث ﺏ. ويمكن توسيع نطاق هذه القاعدة لتنطبق على أكثر من زوج من الأحداث المتنافية. رأينا أيضًا أنه يمكن تطبيقها إلى جانب مبدأ العد الأساسي لحل المسائل الأكثر تعقيدًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.