نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لاثنين ﺱ زائد واحد الكل أس سبعة ناقص واحد الكل مقسوم على اثنين ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة نهاية دالة. وإذا قمنا بتفكيك القوسين في البسط، فستكون لدينا كثيرة حدود مقسومة على كثيرة حدود. هذه نهاية دالة كسرية. ونعلم أنه يمكننا محاولة إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية باستخدام التعويض المباشر. لكن إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي صفرًا في هذه الدالة، وبعد حساب قيمة ذلك والتبسيط، فسنحصل على صفر مقسومًا على صفر، وهي صيغة غير معينة. ومن ثم، لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر وحده. لذا، علينا إعادة كتابة هذه النهاية لإيجاد قيمتها.
توجد بضع طرق مختلفة لإجراء ذلك. إحدى طرق إجراء ذلك هي استخدام صيغة ذات الحدين لتوزيع الأس سبعة على ما بداخل القوسين ثم حذف العامل المشترك ﺱ في البسط والمقام. تجدر الإشارة هنا إلى أننا نعرف أنه سيكون هناك عامل مشترك ﺱ في البسط عن طريق تطبيق نظرية الباقي، لأنه عندما نعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا في البسط، نحصل على صفر. وهذا صحيح. ومع ذلك، يصعب توزيع الأس سبعة على مقدار ذي حدين. لذا، سنستخدم طريقة مختلفة بدلًا من ذلك. دعونا نر إذا ما كان يمكننا إعادة كتابة هذه النهاية باستخدام خطوة تعويض. سنفترض أن ﺃ يساوي المقدار الخطي الموجود داخل القوسين. وهو ما يساوي اثنين ﺱ زائد واحد.
بعد ذلك، نلاحظ أن لدينا في المقام اثنين ﺱ. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة ﺃ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد من خلال طرح واحد من كلا طرفي المعادلة. نرى أن اثنين ﺱ يساوي ﺃ ناقص واحد. هذا يمكننا من إعادة كتابة الدالة. لكن تذكر أننا نوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر. ومن ثم، علينا أن نعرف ما يحدث لقيمة ﺃ عندما يقترب ﺱ من الصفر. عندما يقترب ﺱ من صفر، يقترب اثنان في ﺱ من صفر أيضًا. لذا، فإن قيمة ﺃ تقترب من واحد. هذا يسمح لنا بالتعويض بـ ﺃ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد في النهاية التي لدينا. فنحصل على النهاية عندما يقترب ﺃ من واحد لـ ﺃ أس سبعة ناقص واحد الكل على ﺃ ناقص واحد.
والآن يمكننا أن نلاحظ أن هذه النهاية في صورة نهاية قسمة دالتي قوى. ولعلنا نتذكر أن هذه النتيجة تخبرنا أنه لأي ثوابت حقيقية ﻙ وﻥ وﻡ، حيث ﻡ لا يساوي صفرًا، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﻙ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﻙ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ أس ﻡ ناقص ﻙ أس ﻡ يساوي ﻥ مقسومًا على ﻡ مضروبًا في ﻙ أس ﻥ ناقص ﻡ. ويمكننا إعادة كتابة النهاية في هذه الصورة من خلال ملاحظة أننا نوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺃ من واحد. إذن، قيمة ﻙ هي واحد. وواحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا. وعليه، واحد أس سبعة يساوي واحدًا، وواحد أس واحد يساوي واحدًا.
ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﺃ من واحد لـ ﺃ أس سبعة ناقص واحد أس سبعة مقسومًا على ﺃ أس واحد ناقص واحد أس واحد. وهذه بالضبط في صورة نتيجة النهاية لدينا؛ حيث ﻥ يساوي سبعة، وﻡ يساوي واحدًا، وﻙ يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض بهذه القيم في نتيجة النهاية. فنحصل على سبعة على واحد مضروبًا في واحد أس سبعة ناقص واحد. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك. واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا. وسبعة على واحد يساوي سبعة. إذن، قيمة هذا المقدار هي سبعة، وهي الإجابة النهائية.
وبذلك، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لاثنين ﺱ زائد واحد الكل أس سبعة ناقص واحد الكل على اثنين ﺱ تساوي سبعة.
