تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: نهاية قسمة دوال القُوى الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قيمة نهاية قسمة دالتَيْ قوًى.

قبل أن نناقش كيفية إيجاد نهاية قسمة دالة 𞸎، دعونا نتذكَّر باختصار تعريف النهاية وبعض الخواص التي سنحتاج إليها.

تعريف: نهاية دالة

إذا كانت قيم 󰎨(𞸎) تقترب من قيمة معينة لـ 𞸋 عندما تقترب قيم 𞸎 من 󰏡 (في كلا الجانبين)، ولكن ليس بالضرورة عندما تكون 𞸎=󰏡، فإننا نقول إن نهاية 󰎨(𞸎) عندما تقترب قيم 𞸎 من 󰏡 تساوي 𞸋، ونرمز إلى ذلك على النحو الآتي: ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.

وفقًا لهذا التعريف، يمكن توضيح الخواص الآتية لنهايات الدوال عند نقطة ما.

خواص: نهايات الدوال

إذا كانت ـــــ𞸎󰏡١󰎨(𞸎)=𞸋، ـــــ𞸎󰏡٢𞹟(𞸎)=𞸋، وكان 𞸊 يساوي أيَّ عدد ثابت، فإن:

  • ـــــ𞸎󰏡١(𞸊󰎨(𞸎))=𞸊𞸋،
  • ـــــ𞸎󰏡١٢(󰎨(𞸎)±𞹟(𞸎))=𞸋±𞸋،
  • ـــــ𞸎󰏡١٢(󰎨(𞸎)×𞹟(𞸎))=𞸋×𞸋،
  • ـــــ𞸎󰏡١٢󰃁󰎨(𞸎)𞹟(𞸎)󰃀=𞸋𞸋، إذا كان 𞸋٠٢.

إذا كان 𞸍𞹇، 󰁓𞸋󰁒𞹇١𞸍، فإن: ـــــ𞸎󰏡𞸍١𞸍(󰎨(𞸎))=󰁓𞸋󰁒.

إذا كانت 𞸓(𞸎) دالة كثيرة الحدود، فلأيِّ 󰏡𞹇: ـــــ𞸎󰏡𞸓(𞸎)=𞸓(󰏡).

باستخدام خواص النهايات، يمكننا إيجاد قيمة أيِّ دالة كسرية. وبما أن الدالة الكسرية هي خارج قسمة دالتين كثيرتَي الحدود، على سبيل المثال، 𞸕(𞸎)𞸒(𞸎)، إذن إذا كانت 𞸒(󰏡)٠، يكون لدينا: ـــــ𞸎󰏡󰃁𞸕(𞸎)𞸒(𞸎)󰃀=𞸕(󰏡)𞸒(󰏡).

نريد توسيع نطاق ذلك ليشمل الحالة التي تكون فيها 𞸒(󰏡)=٠. لنبدأ بتناول مثال. نفترض أن 󰎨(𞸎)=(𞸎١)(𞸎+١)𞸎+١. لتحديد نهاية 󰎨(𞸎) عندما تقترب قيم 𞸎 من ١، يمكننا رسم تمثيلها البياني.

يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أنه كلما اقتربت قيم 𞸎 من ١ في أيٍّ من الجانبين، اقتربت المخرجات من ٢.

تذكَّر أن قيمة 󰎨(١) لا تؤثِّر على نهايتها عندما تقترب قيم 𞸎 من ١. هذا يعني أنه يمكننا اختيار أيِّ قيمة نريدها لـ 󰎨(١) ونُوجِد أيضًا قيمة نهايتها. على وجه التحديد، إذا قلنا إن 󰎨(١)=٢، فسنحصل على التمثيل البياني الآتي.

ومن ثَمَّ، هذا هو الخط المستقيم 𞸑=𞸎١. يمكننا إيجاد قيمة نهاية هذه الدالة بالتعويض المباشر، وهذه هي نفس قيمة نهاية 󰎨(𞸎): ــــــــــ𞸎١𞸎١󰎨(𞸎)=𞸎١=١١=٢.

يمكننا صياغة هذا الناتج مباشرةً من خلال تعريف النهاية. بما أن 󰎨(󰏡) لا تؤثِّر على نهاية 󰎨 عندما تقترب قيم 𞸎 من 󰏡، إذن أيُّ دالتين تتفقان في كل موضع ما عدا 𞸎=󰏡 لا بد أن تكون لهما النهاية نفسها عند 󰏡.

خاصية: دوال لها النهاية نفسها

إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞹟(𞸎) لجميع 𞸎𞹇{󰏡}، ـــــ𞸎󰏡𞹟(𞸎)=𞸋، فإن: ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.

ومن ثَمَّ، إذا أردنا إيجاد قيمة نهاية دالة، فيمكننا إجراء العمليات الحسابية للدالة عن طريق تغيير قيمتها عند نقطة النهاية. في المثال السابق، استخدمنا حقيقة أنه عندما يكون 𞸎١، 𞸎+١ لا يساوي صفرًا، فإن: 󰎨(𞸎)=(𞸎+١)(𞸎١)𞸎+١=(𞸎+١)(𞸎١)𞸎+١=𞸎١𞸎١.إذان

بعبارة أخرى، إذا كانت 𞹟(𞸎)=𞸎١، فإن 󰎨(𞸎)=𞹟(𞸎) لجميع قيم 𞸎𞹇{١}. ومن ثَمَّ: ـــــــــــــــ𞸎١𞸎١𞸎١󰎨(𞸎)=𞹟(𞸎)=𞸎١=٢.

يمكننا إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية عن طريق إلغاء العوامل المشتركة، وبما أن هذا لن يغيِّر قيمة الدالة حول نقطة النهاية، إذن يمكنه تغيير قيمة الدالة عند تلك النقطة فقط.

دعونا نرَ مثالًا على تطبيق ذلك لإيجاد قيمة نهاية دالة كسرية.

مثال ١: إيجاد نهاية دالة باستخدام نهاية قسمة دوال القوى

أوجد ـــــ𞸎٥٤٣𞸎٥٢٦𞸎٥٢١.

الحل

بما أن المطلوب هو إيجاد نهاية دالة كسرية، إذن يمكننا البدء بتجربة التعويض المباشر: ٥٥٢٦٥٥٢١=٠٠.٤٣

وبما أن هذا يعطينا صيغة غير معيَّنة، إذن لا يمكننا استنتاج أيِّ شيء يتعلَّق بهذه النهاية عن طريق التعويض المباشر. بدلًا من ذلك، دعونا نحلِّل بالكامل بسط الدالة الكسرية ومقامها. قد تساعدنا ملاحظة أننا نعرف أن كلًّا منهما له عامل 𞸎٥ باستخدام نظرية الباقي: 𞸎٥٢٦=󰁓𞸎٥٢󰁒󰁓𞸎+٥٢󰁒=(𞸎٥)(𞸎+٥)󰁓𞸎+٥٢󰁒،𞸎٥٢١=(𞸎٥)󰁓𞸎+٥𞸎+٥٢󰁒.٤٢٢٢٣٢

ومن ثَمَّ: ــــــــــ𞸎٥٤٣𞸎٥٢٢𞸎٥٢٦𞸎٥٢١=(𞸎٥)(𞸎+٥)󰁓𞸎+٥٢󰁒(𞸎٥)(𞸎+٥𞸎+٥٢).

تذكَّر أنه إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞹟(𞸎) لجميع قيم 𞸎𞹇{󰏡}، ـــــ𞸎󰏡𞹟(𞸎)=𞸋، فإن ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋. هذا يسمح لنا بحذف العامل المشترك 𞸎٥ في البسط والمقام؛ لأنه لن يؤثِّر على قيمة الدالة عند أي نقطة إلا عندما يكون 𞸎=٥: ــــــــــ𞸎٥٢٢𞸎٥٢٢(𞸎٥)(𞸎+٥)󰁓𞸎+٥٢󰁒(𞸎٥)(𞸎+٥𞸎+٥٢)=(𞸎+٥)󰁓𞸎+٥٢󰁒(𞸎+٥𞸎+٥٢).

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر: ـــــ𞸎٥٢٢٢٢(𞸎+٥)󰁓𞸎+٥٢󰁒(𞸎+٥𞸎+٥٢)=(٥+٥)󰁓٥+٥٢󰁒(٥+٥(٥)+٥٢)=٠٠٥٥٧=٠٢٣.

إذن، ـــــ𞸎٥٤٣𞸎٥٢٦𞸎٥٢١=٠٢٣.

يمكننا تطبيق الناتج المذكور سابقًا لتوضيح بعض النواتج المفيدة الأخرى. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد قيمة ـــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸎󰏡𞸎󰏡؛ حيث 𞸍𞸈، فوفقًا لنظرية الباقي، يكون لكلٍّ من البسط والمقام عامل مشترك 𞸎󰏡. يمكننا تحليل البسط لإيجاد قيمة النهاية: ـــــــــــــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸎󰏡𞸍١𞸍٢٢𞸍٣𞸍١𞸎󰏡𞸍١𞸍٢٢𞸍٣𞸍١𞸍١𞸍٢٢𞸍٣𞸍١𞸍١𞸎󰏡𞸎󰏡=(𞸎󰏡)󰁓𞸎+󰏡𞸎+󰏡𞸎++󰏡󰁒𞸎󰏡=󰁓𞸎+󰏡𞸎+󰏡𞸎++󰏡󰁒=󰁓󰏡+󰏡󰁓󰏡󰁒+󰏡󰁓󰏡󰁒++󰏡󰁒=𞸍󰏡.

الناتج الذي أوضحناه للتو ينطبق على الأعداد الطبيعية 𞸍 وغيرها.

نظرية: نهاية دالة كسرية

لأي ثابتين حقيقيين 𞸍، 󰏡: ـــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸍١𞸎󰏡𞸎󰏡=𞸍󰏡، بشرط وجود كل من 󰏡𞸍، 󰏡𞸍١.

يمكننا استخدام هذه النظرية لإثبات ناتج آخر مفيد. لنفترض أننا نريد إيجاد قيمة ـــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸌𞸌𞸎󰏡𞸎󰏡. يمكننا فعل ذلك بإعادة كتابة النهاية: ــــــــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸌𞸌𞸎󰏡𞸍𞸍𞸌𞸌𞸎󰏡𞸎󰏡=󰃁𞸎󰏡𞸎󰏡÷𞸎󰏡𞸎󰏡󰃀.

والآن، يمكننا تطبيق قاعدة خارج القسمة للنهايات: ـــــــــــــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸌𞸌𞸎󰏡𞸍𞸍𞸎󰏡𞸌𞸌󰃁𞸎󰏡𞸎󰏡÷𞸎󰏡𞸎󰏡󰃀=󰃁𞸎󰏡𞸎󰏡󰃀÷󰃁𞸎󰏡𞸎󰏡󰃀.

بشرط وجود هاتين النهايتين، يمكننا إذن إيجاد قيمة هاتين النهايتين باستخدام ناتج النهاية الموضَّح سابقًا: ــــــــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸎󰏡𞸌𞸌𞸍١𞸌١𞸍𞸌󰃁𞸎󰏡𞸎󰏡󰃀÷󰃁𞸎󰏡𞸎󰏡󰃀=𞸍󰏡𞸌󰏡=𞸍𞸌󰏡.

وهذا يعطينا الناتج الآتي.

نظرية: نهاية قسمة دالتي قوى

لأي 𞸍،𞸌،󰏡𞹇: ـــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸌𞸌𞸍𞸌𞸎󰏡𞸎󰏡=𞸍𞸌󰏡، بشرط أن 𞸌٠، وأن يوجد كل من 󰏡𞸍، 󰏡𞸌، 󰏡𞸍𞸌.

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة النهاية في المثال الأول مباشرةً، ـــــ𞸎٥٤٣𞸎٥٢٦𞸎٥٢١. في هذه الحالة، نعيد كتابة النهاية على الصورة: ــــــــــ𞸎٥٤٣𞸎٥٤٤٣٣𞸎٥٢٦𞸎٥٢١=𞸎٥𞸎٥.

نحن نلاحظ أن 𞸍=٤، 󰏡=٥، 𞸌=٣. بالتعويض بهذه القيم في ناتج نهاية قسمة دالتي القوى، نجد أن: ـــــ𞸎٥٤٤٣٣٤٣𞸎٥𞸎٥=٤٣(٥)=٠٢٣.

يوجد نوع آخر من النهايات يمكننا إيجاد قيمته من ناتج النهاية هذا. إذا عوَّضنا بـ 𞸑=𞸎󰏡 في ـــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸍١𞸎󰏡𞸎󰏡=𞸍󰏡، نحصل على: 𞸍󰏡=𞸎󰏡𞸎󰏡=(𞸑+󰏡)󰏡𞸑.𞸍١𞸎󰏡𞸍𞸍𞸑٠𞸍𞸍ــــــــــ

وهذا يعطينا ناتجًا آخر.

نظرية: نهاية دالة كسرية

لأي ثابتين حقيقيين 𞸍، 󰏡: ـــــ𞸎٠𞸍𞸍𞸍١(𞸎+󰏡)󰏡𞸎=𞸍󰏡، بشرط وجود كل من 󰏡𞸍، 󰏡𞸍١.

دعونا نتناول بعض الأمثلة على تطبيق نواتج النهايات هذه لإيجاد قيمة نهايات دوال مختلفة.

مثال ٢: إيجاد نهاية قسمة دالتي قوى باستخدام العمليات الجبرية

أوجد ـــــ𞸎١٦٢٢󰋴𞸎+󰋴𞸎٢𞸎١.

الحل

بما أن هذه هي نهاية تعبير جذري، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر: ٦٢٢󰋴١+󰋴١٢١١=٠٠.

وبما أن هذا يعطينا صيغة غير معيَّنة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتذكَّر أنه لأي ثابتين حقيقيين 𞸍، 󰏡: ـــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸍١𞸎󰏡𞸎󰏡=𞸍󰏡، بشرط وجود كل من 󰏡𞸍، 󰏡𞸍١.

يمكننا إعادة كتابة النهاية على هذه الصورة بتقسيم الكسر من خلال توزيع البسط على المقام كما يلي: ـــــــــــــــ𞸎١𞸎١𞸎١٦٢٢٦٢٢٦٢٢󰋴𞸎+󰋴𞸎٢𞸎١=󰋴𞸎١+󰋴𞸎١𞸎١=󰃭󰋴𞸎١𞸎١+󰋴𞸎١𞸎١󰃬.

ومن ثَمَّ، باستخدام حقيقة أن نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات، بشرط أن تكون هاتان النهايتان موجودتين، يكون لدينا: ـــــــــــــــ𞸎١𞸎١𞸎١١١󰃭󰋴𞸎١𞸎١+󰋴𞸎١𞸎١󰃬=󰃭󰋴𞸎١𞸎١󰃬+󰃭󰋴𞸎١𞸎١󰃬=١٦(١)+١٢٢(١)=١٦+١٢٢=٧٣٣.٦٢٢٦٢٢١٦١٢٢

ومن ثَمَّ، ـــــ𞸎١٦٢٢󰋴𞸎+󰋴𞸎٢𞸎١=٧٣٣.

مثال ٣: إيجاد نهاية دالة تتضمَّن جذورًا

أوجد ـــــ𞸎١٧٢󰂔󰋴𞸎١󰂓󰂔󰋴𞸎١󰂓(𞸎١)٤٦.

الحل

بما أن هذه هي نهاية تعبير جذري، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر: 󰂔󰋴١١󰂓󰂔󰋴(١)١󰂓(١١)=٠٠.٤٦٧٢

وبما أن هذا يعطينا صيغة غير معيَّنة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتذكَّر أنه لأي ثابتين حقيقيين 𞸍، 󰏡:

ـــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸍١𞸎󰏡𞸎󰏡=𞸍󰏡، بشرط وجود كل من 󰏡𞸍، 󰏡𞸍١.

يمكننا إعادة كتابة النهاية على هذه الصورة باستخدام قاعدة حاصل الضرب للنهايات: ــــــــــــــــــــــــــــــ𞸎١٧٢𞸎١٧𞸎١𞸎١٧𞸎١𞸎١١١󰂔󰋴𞸎١󰂓󰂔󰋴𞸎١󰂓(𞸎١)=󰃭󰋴𞸎١𞸎١×󰋴𞸎١𞸎١󰃬=󰃭󰋴𞸎١𞸎١󰃬×󰃭󰋴𞸎١𞸎١󰃬=󰃭𞸎١𞸎١󰃬×󰃭𞸎١𞸎١󰃬=󰂔١٤[١]󰂓×󰂔٧٦[١]󰂓=١٤×٧٦=٧٤٢.٤٦٤٦٤٦١٤٧٦١٤٧٦

ومن ثَمَّ، ـــــ𞸎١٧٢󰂔󰋴𞸎١󰂓󰂔󰋴𞸎١󰂓(𞸎١)=٧٤٢٤٦.

في المثال التالي، سنستخدم التعويض لإعادة كتابة النهاية على صورة يمكننا بها إيجاد قيمتها.

مثال ٤: إيجاد نهاية دالة كسرية

أوجد ـــــ𞸎٢٣(𞸎٤)+٨𞸎٢.

الحل

بما أن هذه هي نهاية دالة كسرية، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر: (٢٤)+٨٢٢=٠٠.٣

هذه صيغة غير معيَّنة؛ لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر. لإيجاد قيمة هذه النهاية، علينا ملاحظة أن هذه النهاية تشبه أحد نواتج النهايات التي تتضمَّن نهاية قسمة دالتي قوى. تذكَّر أنه لأي ثابتين حقيقيين 𞸍، 󰏡: ـــــ𞸎٠𞸍𞸍𞸍١(𞸎+󰏡)󰏡𞸎=𞸍󰏡، بشرط وجود كل من 󰏡𞸍، 󰏡𞸍١.

لكتابة النهاية على هذه الصورة، علينا استخدام التعويض بـ 𞸑=𞸎٢: ــــــــــ𞸎٢٣𞸑٠٣(𞸎٤)+٨𞸎٢=(𞸑٢)+٨𞸑.

أصبحت النهاية الآن على الصورة المطلوبة؛ حيث 𞸎=𞸑، 󰏡=٢، 𞸍=٣؛ ومن ثَمَّ: ـــــ𞸑٠٣٣١(𞸑٢)+٨𞸑=٣(٢)=٢١.

إذن، ـــــ𞸎٢٣(𞸎٤)+٨𞸎٢=٢١.

في المثال الأخير، سنحتاج إلى استخدام العديد من طرق العمليات الجبرية وخواص النهايات لإيجاد قيمة نهاية دالة كسرية.

مثال ٥: إيجاد نهاية دالة كسرية

أوجد ـــــ𞸎١٤٤٣٣٦󰃰󰁓𞸎١󰁒(𞸎١)×١𞸎١󰃯.

الحل

بما أن هذه هي نهاية دالة كسرية، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر: 󰁓١١󰁒(١١)×١١١=٠٠.٤٤٣٣٦

هذه صيغة غير معيَّنة؛ لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر.

لإيجاد قيمة هذه النهاية، نبدأ بإعادة ترتيب الدالة الكسرية باستخدام الفرق بين المربعات: ـــــــــــــــ𞸎١٤٤٣٣٦𞸎١٤٤٣٣٣٣𞸎١٤٤٣٤٣󰃰󰁓𞸎١󰁒(𞸎١)×١𞸎١󰃯=󰃰󰁓𞸎١󰁒(𞸎١)×١(𞸎١)(𞸎+١)󰃯=󰃰󰁓𞸎١󰁒(𞸎١)×١𞸎+١󰃯.

يمكننا إذن إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام قاعدة حاصل الضرب للنهايات، وقاعدة القوى للنهايات، وحقيقة أنه لأي 𞸍،𞸌،󰏡𞹇: ـــــ𞸎󰏡𞸍𞸍𞸌𞸌𞸍𞸌𞸎󰏡𞸎󰏡=𞸍𞸌󰏡، بشرط أن 𞸌٠، وأن يوجد كل من 󰏡𞸍، 󰏡𞸌، 󰏡𞸍𞸌: ــــــــــــــــــــ𞸎١٤٤٣٤٣𞸎١٤٤٣٤𞸎١٣𞸎١٤٣٤٣٤٣٤󰃰󰁓𞸎١󰁒(𞸎١)×١𞸎+١󰃯=󰃰󰁓𞸎١󰁒(𞸎١)󰃯×󰃄١𞸎+١󰃃=󰃰󰁓𞸎١󰁒(𞸎١)󰃯×١١+١=󰂗٤٣(١)󰂖×١٢=٨٢١١٨.

ومن ثَمَّ، ـــــ𞸎١٤٤٣٣٦󰃰󰁓𞸎١󰁒(𞸎١)×١𞸎١󰃯=٨٢١١٨.

دعونا نختتم الآن بتذكُّر بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞹟(𞸎) لجميع قيم 𞸎𞹇{󰏡}، ـــــ𞸎󰏡𞹟(𞸎)=𞸋، فإن ـــــ𞸎󰏡󰎨(𞸎)=𞸋.
  • لأي ثابتين حقيقيين 𞸍، 󰏡: ـــــطأنن،د𞸎󰏡𞸍𞸍𞸍١𞸍𞸍١𞸎󰏡𞸎󰏡=𞸍󰏡،󰏡󰏡.
  • لأي 𞸍،𞸌،󰏡𞹇: ـــــطأنن،،دة𞸎󰏡𞸍𞸍𞸌𞸌𞸍𞸌𞸍𞸌𞸍𞸌𞸎󰏡𞸎󰏡=𞸍𞸌󰏡،𞸌٠󰏡،󰏡󰏡.
  • لأي ثابتين حقيقيين 𞸍، 󰏡: ـــــطأنن،د𞸎٠𞸍𞸍𞸍١𞸍𞸍١(𞸎+󰏡)󰏡𞸎=𞸍󰏡،󰏡󰏡.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.