في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قيمة نهاية قسمة دالتَيْ قوًى.
قبل أن نناقش كيفية إيجاد نهاية قسمة دالة ، دعونا نتذكَّر باختصار تعريف النهاية وبعض الخواص التي سنحتاج إليها.
تعريف: نهاية دالة
إذا كانت قيم تقترب من قيمة معينة لـ عندما تقترب قيم من (في كلا الجانبين)، ولكن ليس بالضرورة عندما تكون ، فإننا نقول إن نهاية عندما تقترب قيم من تساوي ، ونرمز إلى ذلك على النحو الآتي:
وفقًا لهذا التعريف، يمكن توضيح الخواص الآتية لنهايات الدوال عند نقطة ما.
خواص: نهايات الدوال
إذا كانت ، ، وكان يساوي أيَّ عدد ثابت، فإن:
- ،
- ،
- ،
- ، إذا كان .
إذا كان ، ، فإن:
إذا كانت دالة كثيرة الحدود، فلأيِّ :
باستخدام خواص النهايات، يمكننا إيجاد قيمة أيِّ دالة كسرية. وبما أن الدالة الكسرية هي خارج قسمة دالتين كثيرتَي الحدود، على سبيل المثال، ، إذن إذا كانت ، يكون لدينا:
نريد توسيع نطاق ذلك ليشمل الحالة التي تكون فيها . لنبدأ بتناول مثال. نفترض أن . لتحديد نهاية عندما تقترب قيم من ، يمكننا رسم تمثيلها البياني.
يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أنه كلما اقتربت قيم من في أيٍّ من الجانبين، اقتربت المخرجات من .
تذكَّر أن قيمة لا تؤثِّر على نهايتها عندما تقترب قيم من . هذا يعني أنه يمكننا اختيار أيِّ قيمة نريدها لـ ونُوجِد أيضًا قيمة نهايتها. على وجه التحديد، إذا قلنا إن ، فسنحصل على التمثيل البياني الآتي.
ومن ثَمَّ، هذا هو الخط المستقيم . يمكننا إيجاد قيمة نهاية هذه الدالة بالتعويض المباشر، وهذه هي نفس قيمة نهاية :
يمكننا صياغة هذا الناتج مباشرةً من خلال تعريف النهاية. بما أن لا تؤثِّر على نهاية عندما تقترب قيم من ، إذن أيُّ دالتين تتفقان في كل موضع ما عدا لا بد أن تكون لهما النهاية نفسها عند .
خاصية: دوال لها النهاية نفسها
إذا كانت لجميع ، ، فإن:
ومن ثَمَّ، إذا أردنا إيجاد قيمة نهاية دالة، فيمكننا إجراء العمليات الحسابية للدالة عن طريق تغيير قيمتها عند نقطة النهاية. في المثال السابق، استخدمنا حقيقة أنه عندما يكون ، لا يساوي صفرًا، فإن:
بعبارة أخرى، إذا كانت ، فإن لجميع قيم . ومن ثَمَّ:
يمكننا إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية عن طريق إلغاء العوامل المشتركة، وبما أن هذا لن يغيِّر قيمة الدالة حول نقطة النهاية، إذن يمكنه تغيير قيمة الدالة عند تلك النقطة فقط.
دعونا نرَ مثالًا على تطبيق ذلك لإيجاد قيمة نهاية دالة كسرية.
مثال ١: إيجاد نهاية دالة باستخدام نهاية قسمة دوال القوى
أوجد .
الحل
بما أن المطلوب هو إيجاد نهاية دالة كسرية، إذن يمكننا البدء بتجربة التعويض المباشر:
وبما أن هذا يعطينا صيغة غير معيَّنة، إذن لا يمكننا استنتاج أيِّ شيء يتعلَّق بهذه النهاية عن طريق التعويض المباشر. بدلًا من ذلك، دعونا نحلِّل بالكامل بسط الدالة الكسرية ومقامها. قد تساعدنا ملاحظة أننا نعرف أن كلًّا منهما له عامل باستخدام نظرية الباقي:
ومن ثَمَّ:
تذكَّر أنه إذا كانت لجميع قيم ، ، فإن . هذا يسمح لنا بحذف العامل المشترك في البسط والمقام؛ لأنه لن يؤثِّر على قيمة الدالة عند أي نقطة إلا عندما يكون :
يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر:
إذن، .
يمكننا تطبيق الناتج المذكور سابقًا لتوضيح بعض النواتج المفيدة الأخرى. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد قيمة ؛ حيث ، فوفقًا لنظرية الباقي، يكون لكلٍّ من البسط والمقام عامل مشترك . يمكننا تحليل البسط لإيجاد قيمة النهاية:
الناتج الذي أوضحناه للتو ينطبق على الأعداد الطبيعية وغيرها.
نظرية: نهاية دالة كسرية
لأي ثابتين حقيقيين ، : بشرط وجود كل من ، .
يمكننا استخدام هذه النظرية لإثبات ناتج آخر مفيد. لنفترض أننا نريد إيجاد قيمة . يمكننا فعل ذلك بإعادة كتابة النهاية:
والآن، يمكننا تطبيق قاعدة خارج القسمة للنهايات:
بشرط وجود هاتين النهايتين، يمكننا إذن إيجاد قيمة هاتين النهايتين باستخدام ناتج النهاية الموضَّح سابقًا:
وهذا يعطينا الناتج الآتي.
نظرية: نهاية قسمة دالتي قوى
لأي : بشرط أن ، وأن يوجد كل من ، ، .
يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة النهاية في المثال الأول مباشرةً، . في هذه الحالة، نعيد كتابة النهاية على الصورة:
نحن نلاحظ أن ، ، . بالتعويض بهذه القيم في ناتج نهاية قسمة دالتي القوى، نجد أن:
يوجد نوع آخر من النهايات يمكننا إيجاد قيمته من ناتج النهاية هذا. إذا عوَّضنا بـ في ، نحصل على:
وهذا يعطينا ناتجًا آخر.
نظرية: نهاية دالة كسرية
لأي ثابتين حقيقيين ، : بشرط وجود كل من ، .
دعونا نتناول بعض الأمثلة على تطبيق نواتج النهايات هذه لإيجاد قيمة نهايات دوال مختلفة.
مثال ٢: إيجاد نهاية قسمة دالتي قوى باستخدام العمليات الجبرية
أوجد .
الحل
بما أن هذه هي نهاية تعبير جذري، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر:
وبما أن هذا يعطينا صيغة غير معيَّنة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتذكَّر أنه لأي ثابتين حقيقيين ، : بشرط وجود كل من ، .
يمكننا إعادة كتابة النهاية على هذه الصورة بتقسيم الكسر من خلال توزيع البسط على المقام كما يلي:
ومن ثَمَّ، باستخدام حقيقة أن نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات، بشرط أن تكون هاتان النهايتان موجودتين، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، .
مثال ٣: إيجاد نهاية دالة تتضمَّن جذورًا
أوجد .
الحل
بما أن هذه هي نهاية تعبير جذري، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر:
وبما أن هذا يعطينا صيغة غير معيَّنة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتذكَّر أنه لأي ثابتين حقيقيين ، :
بشرط وجود كل من ، .
يمكننا إعادة كتابة النهاية على هذه الصورة باستخدام قاعدة حاصل الضرب للنهايات:
ومن ثَمَّ، .
في المثال التالي، سنستخدم التعويض لإعادة كتابة النهاية على صورة يمكننا بها إيجاد قيمتها.
مثال ٤: إيجاد نهاية دالة كسرية
أوجد .
الحل
بما أن هذه هي نهاية دالة كسرية، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر:
هذه صيغة غير معيَّنة؛ لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر. لإيجاد قيمة هذه النهاية، علينا ملاحظة أن هذه النهاية تشبه أحد نواتج النهايات التي تتضمَّن نهاية قسمة دالتي قوى. تذكَّر أنه لأي ثابتين حقيقيين ، : بشرط وجود كل من ، .
لكتابة النهاية على هذه الصورة، علينا استخدام التعويض بـ :
أصبحت النهاية الآن على الصورة المطلوبة؛ حيث ، ، ؛ ومن ثَمَّ:
إذن، .
في المثال الأخير، سنحتاج إلى استخدام العديد من طرق العمليات الجبرية وخواص النهايات لإيجاد قيمة نهاية دالة كسرية.
مثال ٥: إيجاد نهاية دالة كسرية
أوجد .
الحل
بما أن هذه هي نهاية دالة كسرية، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر:
هذه صيغة غير معيَّنة؛ لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر.
لإيجاد قيمة هذه النهاية، نبدأ بإعادة ترتيب الدالة الكسرية باستخدام الفرق بين المربعات:
يمكننا إذن إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام قاعدة حاصل الضرب للنهايات، وقاعدة القوى للنهايات، وحقيقة أنه لأي : بشرط أن ، وأن يوجد كل من ، ، :
ومن ثَمَّ، .
دعونا نختتم الآن بتذكُّر بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- إذا كانت لجميع قيم ، ، فإن .
- لأي ثابتين حقيقيين ، :
- لأي :
- لأي ثابتين حقيقيين ، :
