فيديو الدرس: نهاية قسمة دوال القوى الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

نهاية قسمة دوال القوى

في هذا الفيديو، سوف نناقش ونثبت عدة نتائج مختلفة لمساعدتنا في إيجاد قيمة نهاية قسمة دالتي قوى. وسنتناول أيضًا عدة أمثلة وتطبيقات مختلفة لهذه النتائج. قبل أن نبدأ بالحالة العامة لنهاية قسمة دالتي قوى، دعونا نبدأ بحالة نعرفها سابقًا، وهي نهاية دالة كسرية. إننا نعلم أنه إذا كانت ﺭﺱ مقسومة على ﻱﺱ دالة كسرية؛ ما يعني أن كلًّا من ﺭ وﻱ كثيرات حدود، يمكننا إيجاد قيمة نهاية الدالة الكسرية بالتعويض المباشر. النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺭﺱ على ﻱﺱ تساوي ﺭﺃ مقسومًا على ﻱﺃ. وذلك بالطبع بشرط أن يكون المقام ﻱﺃ لا يساوي صفرًا.

يمكننا إثبات ذلك مباشرة من خلال خصائص النهايات. إننا نستخدم قاعدة القسمة للنهايات، وأيضًا حقيقة أنه يمكننا إيجاد قيمة كثيرات الحدود بالتعويض المباشر. الدالة الكسرية هي مثال على الفرق بين دالتي قوى. على سبيل المثال، ﺱ أس ﻥ مقسومًا على ﺱ أس ﻡ يساوي ﺱ أس ﻥ ناقص ﻡ. لذا، علينا تعميم ذلك بصورة أكبر. لكن دعونا نركز الآن على الحالة التي لدينا والتي فيها دوال كسرية. وسنركز على الحالة التي لا يمكن فيها أن تكون ﻱﺃ تساوي صفرًا.

للتعرف على كيفية التعامل مع هذا الشرط، دعونا نبدأ بتذكر تعريف النهاية. إننا نعلم أنه يمكننا قول إن نهاية أي دالة ﺩﺱ عند اقتراب ﺱ من ﺃ تساوي قيمة محددة لـ ﻝ إذا كانت قيم ﺩﺱ تقترب من ﻝ عند اقتراب قيم ﺱ من ﺃ من كلا الجهتين. على وجه التحديد، ما يعنينا فقط هو القيم المخرجة للدالة ﺩﺱ عند اقتراب قيم ﺱ من ﺃ. بعبارة أخرى، نحن نريد معرفة ما يحدث عند اقتراب قيم ﺱ أكثر فأكثر من ﺃ. ولا نهتم بمعرفة ما يحدث عند ﺱ يساوي ﺃ.

يمكننا استخدام هذا لتكوين نظرية مفيدة للغاية. ماذا يحدث إذا كانت الدالة ﻕﺱ تساوي الدالة ﺩﺱ على كل مجالها ما عدا عند ﺱ يساوي ﺃ؟ حسنًا، سنبدأ بالدالة ﻕﺱ، التي تساوي الدالة ﺩﺱ على كل مجالها، ما عدا عند ﺱ يساوي ﺃ. إننا نريد استخدام هذا لتحديد النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﻕﺱ. وفي الواقع، يمكننا فعل هذا. نحن نعلم أن ﻕﺱ تساوي ﺩﺱ على كل مجالها ما عدا عند ﺱ يساوي ﺃ. كما نعلم أن ﻕﺱ، التي لا تساوي ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ﺃ، لن تؤثر على نهايتها لأننا لا نهتم بما يحدث عند ﺱ يساوي ﺃ.

إذن، في الواقع، يجب أن تكون النهايتان عند اقتراب ﺱ من ﺃ متساويتين. النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﻕﺱ ستساوي النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ. وهذا يعطينا نتيجة مفيدة للغاية. إذا كانت لدينا دالتان ﺩﺱ وﻕﺱ — وهما متساويتان عند كل قيم المجال ما عدا عند ﺱ يساوي ﺃ —ونعرف أن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﻕﺱ تساوي قيمة محددة لـ ﻝ، فإن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ يجب أن تساوي ﻝ أيضًا.

نحن الآن مستعدون لتطبيق هذه النتيجة مباشرة على مثال يتضمن دوال كسرية. دعونا نتناول مثالًا الآن. افترض أننا نريد إيجاد قيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ ناقص واحد الكل مقسوم على ﺱ زائد واحد. وبما أن هذه دالة كسرية، يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. لكن إذا فعلنا هذا، فسنجد في البسط أن ﺱ زائد واحد سيساوي صفرًا. وفي المقام، ﺱ زائد واحد سيساوي صفرًا أيضًا. إذن، التعويض المباشر يعطينا صفرًا مقسومًا على صفر، وهي صيغة غير معينة، وهذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر.

لكن من المهم أن نتذكر أن هذا لا يعني أن النهاية غير موجودة. بل نستنتج من ذلك أنه لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية باستخدام هذه الطريقة. علينا تجربة طريقة أخرى. بدلًا من ذلك، يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ زائد واحد من البسط والمقام. وهذا سيعطينا النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب واحد لـ ﺱ ناقص واحد، والتي يمكننا إيجاد قيمتها بالتعويض المباشر. لكن علينا أن ننتبه. يؤدي إلغاء العامل المشترك ﺱ زائد واحد إلى تغيير الدالة التي نوجد نهايتها. سابقًا، لم يكن سالب واحد ينتمي لمجال الدالة. لكن سالب واحد ينتمي لمجال ﺱ ناقص واحد.

يمكننا هنا توضيح أن بإمكاننا إجراء ذلك باستخدام الخاصية التي أوضحناها للتو. عندما يكون ﺱ لا يساوي سالب واحد، فإن ﺱ زائد واحد يكون عددًا غير صفري. وقسمة العدد غير الصفري على نفسه يعطينا واحدًا دائمًا. ما يعنيه هذا حقًّا هو أن الدالة الكسرية الأصلية ودالة كثيرة الحدود ﺱ ناقص واحد متساويتان عند كل قيم المجال ما عدا عند ﺱ يساوي سالب واحد. ومن ثم، باستخدام الخاصية التي لدينا، نجد أن النهايتين هنا يجب أن تكونا متساويتين. ويمكننا إيجاد قيمة النهاية لـ ﺱ ناقص واحد عند اقتراب ﺱ من سالب واحد بالتعويض المباشر. هذا يعطينا سالب واحد ناقص واحد؛ وهو ما يساوي سالب اثنين بالطبع.

يمكننا استخدام هذا المنطق نفسه لإيجاد قيمة النهاية لدوال كسرية أخرى. دعونا نفرغ بعض المساحة ونتناول واحدًا من هذه الأمثلة. إننا نريد تحديد النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ ناقص ﺃ. سنفترض الآن أن قيمة ﻥ هي عدد صحيح موجب. وهذه دالة كسرية، لذا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. إذا فعلنا هذا، فسنحصل على ﺃ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺃ ناقص ﺃ، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح صفرًا مقسومًا على صفر، وهي صيغة غير معينة بالطبع.

إذن لإيجاد قيمة هذه النهاية، علينا استخدام الحيلة نفسها التي استخدمناها من قبل. علينا حذف العامل المشترك ﺱ ناقص ﺃ من البسط والمقام. لفعل ذلك، سنبدأ بأن نطلق على كثيرة الحدود في البسط، ﺭﺱ. أي ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ. على وجه التحديد، بما أن قيمة ﺭﺃ تساوي صفرًا، فإن نظرية الباقي تنص على أن ﺱ ناقص ﺃ لا بد أن يكون عاملًا لـ ﺭﺱ. وفي الحقيقة، باستخدام قسمة كثيرات الحدود أو غير ذلك، يمكننا توضيح أن ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ يساوي ﺱ ناقص ﺃ الكل مضروب في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد زائد ﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص اثنين زائد ﺃ تربيع مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص ثلاثة. ونضيف حدودًا على هذه الصورة حتى نصل إلى ﺃ أس ﻥ ناقص واحد.

يمكننا التعويض بهذا التعبير مباشرة في النهاية لدينا. هذا يعطينا التعبير التالي للنهاية. والآن يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ ناقص ﺃ من كل من البسط والمقام. وجدير بالذكر أنه يمكننا فعل ذلك لأننا نوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ. إلغاء العامل المشترك ﺱ ناقص ﺃ لن يغير قيم مجال الدالة إلا عند ﺱ يساوي ﺃ. لذا، لدينا الآن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص واحد زائد ﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص اثنين. ونضيف حدودًا على هذه الصورة حتى نصل إلى ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. حسنًا، هذه نهاية كثيرة حدود، لذا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر.

هذا يعطينا ﺃ أس ﻥ ناقص واحد زائد ﺃ في ﺃ أس ﻥ ناقص اثنين. ونضيف حدودًا على هذه الصورة حتى نصل إلى ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وإذا أردنا تبسيط كل حد، فسنلاحظ أمرًا مثير للاهتمام. كل حد في هذا التعبير يساوي ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. ويوجد عدد ﻥ من هذه الحدود؛ حيث كل حد منها له قوة لـ ﺱ، وهذه القوى من ﻥ ناقص واحد حتى صفر. وعليه، فإن هذا يساوي ﻥ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد.

وعلى الرغم من أننا افترضنا أن قيمة ﻥ هي عدد صحيح موجب، لكن هذه النتيجة تنطبق على أي قيمة لـ ﻥ. لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ، النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ ناقص ﺃ تساوي ﻥ في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وذلك بشرط وجود ﺃ أس ﻥ وﺃ أس ﻥ ناقص واحد. دعونا الآن نتناول مثالًا لتطبيق هذه الصيغة لإيجاد قيمة نهاية.

أوجد النهاية عند اقتراب ﺱ من واحد للجذر الرابع لـ ﺱ ناقص واحد مضروبًا في الجذر السادس لـ ﺱ أس سبعة ناقص واحد الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد الكل تربيع.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة نهاية. ويمكننا ملاحظة أن هذه نهاية دالة معقدة للغاية. ولكن، يمكننا ملاحظة أن هذه الدالة هي مجموع وفرق وقسمة وضرب وتركيب دوال قوى وكثيرات حدود. لذا يمكننا أن نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. إذا عوضنا عن ﺱ بواحد في هذه الدالة ثم بسطنا، فسنجد أنها تساوي صفرًا مقسومًا على صفر، وهي صيغة غير معينة، وهذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية باستخدام هذه الطريقة. علينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية. بدلًا من ذلك، علينا ملاحظة أن النهاية المطلوب منا إيجادها تشبه جدًّا إحدى نتائج النهاية.

نحن نعلم أنه لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ، فإن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺱ ناقص ﺃ تساوي ﻥ في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وذلك بشرط وجود ﺃ أس ﻥ وﺃ أس ﻥ ناقص واحد. إذن، علينا إعادة كتابة النهاية المعطاة لتصبح على هذه الصورة. لفعل ذلك، سنبدأ باستخدام قاعدة الضرب للنهايات لتوزيع المقام على كل العوامل الموجودة في البسط. أولًا، سنعيد كتابة النهاية لتصبح النهاية عند اقتراب ﺱ من واحد للجذر الرابع لـ ﺱ ناقص واحد الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد مضروبًا في الجذر السادس لـ ﺱ أس سبعة ناقص واحد الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد.

نلاحظ هنا أن عاملي الدالة لدينا على صورة قاعدة إيجاد النهاية. وباستخدام قاعدة الضرب للنهايات، يمكننا تقسيم نهاية ضرب دالتين إلى ضرب نهايتي هاتين الدالتين. وعلينا أن نوضح مجددًا أن هذا لن يكون صحيحًا إلا بوجود نهايتي كلتا الدالتين. في الحقيقة، سنتمكن من إثبات ذلك باستخدام النهاية الناتجة. قبل أن نطبق هذه النتيجة، علينا إعادة كتابة البسط. سنعيد كتابة الجذر الرابع لـ ﺱ باستخدام قوانين الأسس ليكون على الصورة ﺱ أس ربع، والجذر السادس لـ ﺱ أس سبعة سيكون على الصورة ﺱ أس سبعة على ستة.

نحن الآن جاهزون لاستخدام النهاية الناتجة لإيجاد قيمة النهاية. هيا نبدأ بالنهاية الأولى. لدينا ﻥ يساوي ربعًا، وﺃ يساوي واحدًا. وتجدر الإشارة إلى أن واحدًا مرفوعًا للقوة ربع يساوي واحدًا. إذن هذا على صورة النهاية الناتجة. ومن ثم، من خلال النهاية الناتجة، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية حيث تساوي ﻥ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد، وهو ما يساوي في هذه الحالة ربعًا مضروبًا في واحد مرفوعًا للقوة ربع ناقص واحد.

يمكننا فعل الأمر نفسه مع النهاية الثانية. قيمة ﻥ هي سبعة أسداس، وقيمة ﺃ هي واحد أيضًا. ومرة أخرى، باستخدام النهاية الناتجة، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية. إنها ﻥ في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد، وهو ما يساوي في هذه الحالة سبعة أسداس مضروبًا في واحد مرفوعًا للقوة سبعة أسداس ناقص واحد. وبالطبع علينا ضرب هاتين القيمتين إحداهما في الأخرى. والآن يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير مباشرة. واحد مرفوعًا لأي قوة يساوي واحدًا. إذن يمكن تبسيط ذلك ليصبح لدينا ربع مضروب في سبعة أسداس، وهو ما يساوي سبعة على ٢٤.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن النهاية عند اقتراب ﺱ من واحد للجذر الرابع لـ ﺱ ناقص واحد مضروبًا في الجذر السادس لـ ﺱ أس سبعة ناقص واحد الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد الكل تربيع تساوي سبعة مقسومًا على ٢٤.

باستخدام النهاية الناتجة لإيجاد الفرق بين دالتي قوى، يمكننا في الواقع استعراض نهايتين ناتجتين أخريين مفيدتين حقًّا. في البداية، تخيل أن المطلوب منا هو إيجاد قيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ. يمكننا كتابة ذلك بالكامل بدلالة النهاية الناتجة. لفعل ذلك، سنبدأ بإدخال العامل ﺱ ناقص ﺃ في كل من البسط والمقام. بعد ذلك، بدلًا من الضرب، سنقسم على المقلوب. وهذا يعطينا التعبير التالي. ويمكننا هنا ملاحظة أن كلتا الدالتين على صورة النهاية الناتجة. لذا، سنوجد قيمة هذه النهاية باستخدام قاعدة القسمة للنهايات.

تنص قاعدة القسمة للنهايات على أن نهاية خارج قسمة دالتين تساوي خارج قسمة نهايتي هاتين الدالتين. وذلك بشرط أن تكون هاتان النهايتان موجودتين، وألا تكون النهاية في المقام تساوي صفرًا. يمكننا الآن إيجاد قيمتي هاتين النهايتين باستخدام النهاية الناتجة. الحد الأول يساوي ﻥ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. والحد الثاني يساوي ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻡ ناقص واحد. علينا فقط قسمة هذين التعبيرين. وعند قسمة هذين التعبيرين والتبسيط، نحصل على ﻥ على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ.

وهذا يعطينا نتيجة مفيدة للغاية. لأي ثوابت حقيقية ﺃ وﻥ وﻡ، النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ تساوي ﻥ مقسومًا على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وذلك بشرط أن يكون ﻡ لا يساوي صفرًا، ووجود كل من ﺃ أس ﻥ، وﺃ أس ﻡ، وﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ.

توجد نهاية أخرى مفيدة يمكننا استنتاجها من هذا. سنعوض بـ ﺹ يساوي ﺱ ناقص ﺃ في هذه النهاية الناتجة. لفعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة ونبدأ بالنهاية الناتجة. يمكننا إيجاد تعبير لـ ﺱ عن طريق إضافة ﺃ إلى كلا الطرفين. وسنجد أن ﺱ يساوي ﺹ زائد ﺃ. يمكننا أيضًا ملاحظة أنه عند اقتراب قيم ﺱ من ﺃ، فإن ﺱ ناقص ﺃ يقترب من صفر. ومن ثم، تقترب قيم ﺹ من صفر. إذن، بالتعويض بـ ﺹ يساوي ﺱ ناقص ﺃ في النهاية، نحصل على النهاية عند اقتراب ﺹ من الصفر لـ ﺹ زائد ﺃ الكل مرفوع للقوة ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺹ. وهذا يساوي ﻥ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. يمكننا الآن إعادة كتابة هذه النهاية الناتجة بدلالة المتغير ﺱ.

هذا يعطينا النتيجة التالية. لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ، النهاية عند اقتراب ﺱ من صفر لـ ﺱ زائد ﺃ الكل مرفوع للقوة ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ تساوي ﻥ في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وهذا بشرط أن يكون كل من ﺃ أس ﻥ وﺃ أس ﻥ ناقص واحد موجودين.

سنتناول الآن مثالًا على تطبيق إحدى هذه النهايات الناتجة.

أوجد النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺱ ناقص أربعة الكل تكعيب زائد ثمانية الكل مقسوم على ﺱ ناقص اثنين.

مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قيمة نهاية دالة. نلاحظ هنا أن لدينا في البسط دالة كثيرة حدود، ولدينا في المقام دالة كثيرة حدود. إذن، هذه دالة كسرية. ويمكننا دائمًا محاولة إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية بالتعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين في الدالة، نحصل على اثنين ناقص أربعة الكل تكعيب زائد ثمانية الكل مقسوم على اثنين ناقص اثنين، وفي حالة إيجاد قيمة ذلك، نجد أنه يساوي صفرًا مقسومًا على صفر، وهي صيغة غير معينة. وبما أن هذا يعطينا صيغة غير معينة، فلا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر؛ وسنحتاج إلى استخدام طريقة أخرى.

علينا هنا ملاحظة أن النهاية المعطاة لنا في السؤال تشبه إلى حد كبير إحدى النهايات الناتجة. هذا يعني أن النهاية عند اقتراب ﺱ من صفر لـ ﺱ زائد ﺃ الكل مرفوع للقوة ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ تساوي ﻥ في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وذلك بشرط وجود كل من ﺃ أس ﻥ وﺃ أس ﻥ ناقص واحد. لكن في النهاية الناتجة هذه ﺱ يقترب من صفر، بينما في النهاية المطلوب منا إيجادها نجد أن ﺱ يقترب من اثنين. إذن، سنستخدم التعويض بـ ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين. إذن، كلما اقتربت قيم ﺱ من اثنين، اقترب ﺱ ناقص اثنين من صفر. لذا، فإن قيم ﺹ تقترب من صفر.

لدينا في المقام ﺱ ناقص اثنين، وهو ما يساوي ﺹ. لكن في البسط لدينا ﺱ ناقص أربعة. لذا، علينا إيجاد تعبير لـ ﺱ ناقص أربعة. ويمكننا إيجاد ذلك بطرح اثنين من طرفي المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. ويصبح لدينا ﺹ ناقص اثنين يساوي ﺱ ناقص أربعة. ومن ثم، باستخدام التعويض بـ ﺹ يساوي ﺱ ناقص اثنين، تمكنا من إعادة كتابة النهاية لتصبح هكذا؛ النهاية عند اقتراب ﺹ من صفر لـ ﺹ ناقص اثنين الكل تكعيب زائد ثمانية الكل مقسوم على ﺹ.

هذه الآن على صورة النهاية الناتجة تقريبًا. يمكننا إعادة كتابتها على صورة النهاية الناتجة تمامًا إذا لاحظنا أن ﺹ زائد سالب اثنين يساوي ﺹ ناقص اثنين، وأن ثمانية هو نفسه سالب واحد في سالب اثنين الكل تكعيب. إذن، قيمة ﺃ هي سالب اثنين، وقيمة ﻥ هي ثلاثة. وبذلك، توضح لنا النهاية الناتجة أن هذه النهاية تساوي ﻥ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. بالتعويض عن ﺃ بسالب اثنين وعن ﻥ بثلاثة، نحصل على ثلاثة مضروبًا في سالب اثنين أس ثلاثة ناقص واحد، وهو ما يمكننا حساب قيمته لنجد أنه يساوي ١٢. وبذلك نكون قد تمكنا من توضيح أن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺱ ناقص أربعة الكل تكعيب زائد ثمانية الكل مقسوم على ﺱ ناقص اثنين تساوي ١٢.

سنراجع الآن النقاط الرئيسية التي استعرضناها في هذا الفيديو. إذا كانت لدينا دالتان؛ ﺩﺱ وﻕﺱ، متساويتان عند كل قيم المجال إلا عند ﺱ يساوي ﺃ، ونعرف أن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﻕﺱ تساوي ﻝ، فإن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ يجب أيضًا أن تساوي ﻝ. وهذه نتيجة مفيدة حقًّا. وذلك لأنها تتيح لنا إلغاء العامل المشترك ﺱ ناقص ﺃ عند إيجاد قيمة نهاية الدوال الكسرية.

لقد تناولنا أيضًا ثلاث نهايات ناتجة مفيدة تنطبق على أي ثوابت حقيقية ﺃ وﻥ وﻡ. أولًا، النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ ناقص ﺃ تساوي ﻥ في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وذلك بشرط وجود كل من ﺃ أس ﻥ وﺃ أس ﻥ ناقص واحد. ثانيًا، أوضحنا أن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ تساوي ﻥ مقسومًا على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وهذا بشرط أن ﻡ لا يساوي صفرًا، ووجود كل من ﺃ أس ﻥ، وﺃ أس ﻡ، وﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. والنهاية الناتجة الأخيرة توضح لنا أن النهاية عند اقتراب ﺱ من صفر لـ ﺱ زائد ﺃ الكل مرفوع للقوة ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ تساوي ﻥ في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وذلك بشرط وجود كل من ﺃ أس ﻥ وﺃ أس ﻥ ناقص واحد.