نسخة الفيديو النصية
أوجد دﺹ على دﺱ إذا كان ﺹ يساوي أربعة أس تسعة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثمانية.
لإيجاد قيمة دﺹ على دﺱ، سنستخدم قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أن دﺹ على دﺱ يساوي دﺹ على دﻥ في دﻥ على دﺱ. وهذا عندما يساوي ﺹ دالة في المتغير ﻥ ويساوي ﻥ دالة في المتغير ﺱ. حسنًا، علمنا الآن ما تنص عليه قاعدة السلسلة. إذن، فلنطبقها في المسألة لحلها وإيجاد قيمة دﺹ على دﺱ.
أولًا، علينا تحديد قيمة ﻥ. سنجد أنها تساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثمانية. إذن، فإن ﺹ سيساوي أربعة أس ﻥ. هكذا، فإن هذه هي الخطوة الأولى. والآن، علينا الاشتقاق لإيجاد دﺹ على دﻥ ودﻥ على دﺱ.
سنبدأ بإيجاد دﻥ على دﺱ، وسيكون ذلك عن طريق اشتقاق المقدار تسعة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثمانية. وسيعطينا هذا ١٨ﺱ ناقص أربعة. وقد فعلنا هذا بالطريقة المعتادة. فقمنا باشتقاق هذا الحد أو تمييزه مع الحد الأول. وما فعلناه أننا ضربنا الأس في المعامل. اثنان في تسعة يساوي ١٨، ثم طرحنا واحدًا من الأس — فأصبح واحدًا بدلًا من اثنين. وبذلك، حصلنا على ١٨ﺱ.
رائع! هكذا نكون قد اشتققنا هذا الحد؛ والآن، فلنوجد دﺹ على دﻥ. ولإيجاد دﺹ على دﻥ، سيكون علينا اشتقاق أربعة أس ﻥ. ولفعل هذا سنستخدم القاعدة العامة التي تنص على أننا إذا أردنا اشتقاق ﺃ أس ﺱ، فسنحصل على ﺃ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. وبالتالي، يصبح الحل أربعة أس ﻥ، لأن أربعة هنا يعبر عن ﺃ، مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة لأنه، مرة أخرى، يعبر عن ﺃ في المسألة، ولأن ﺃ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ.
رائع، وهكذا نكون قد اشتققنا كلا الحدين. ويمكننا الآن استخدام قاعدة السلسلة معهما لإيجاد قيمة دﺹ على دﺱ. إذن، سنستخدم قاعدة السلسلة التي تنص على أن دﺹ على دﺱ يساوي دﺹ على دﻥ في دﻥ على دﺱ. فنكتب دﺹ على دﺱ يساوي أربعة أس ﻥ في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة، حيث كانت هذه هي قيمة دﺹ على دﻥ، ثم نضرب هذا في ١٨ﺱ ناقص أربعة، والتي هي قيمة دﻥ على دﺱ.
حسنًا، هذا رائع، ولكن هذا ليس الحل النهائي؛ لأننا نلاحظ أنه ما زال يحتوي على ﻥ. إذن، ما علينا فعله هو التعويض بقيمة ﻥ. وهكذا، فإننا — بعد إعادة الترتيب هنا قليلًا — سنحصل على ١٨ﺱ ناقص أربعة في أربعة أس تسعة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثمانية، لأن هذه هي قيمة ﻥ، ثم نضرب هذا في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة.
وعليه، وبعد بعض التنظيم باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية، يمكننا القول إنه إذا كان ﺹ يساوي أربعة أس تسعة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثمانية، فإن دﺹ على دﺱ يساوي اثنين في تسعة ﺱ ناقص اثنين. وقد حصلنا على هذا الناتج لأننا حللنا ١٨ﺱ ناقص أربعة، لأن اثنين عامل مشترك في كل من ١٨ﺱ وسالب أربعة. وضربنا هذا في أربعة أس تسعة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثمانية اللوغاريتم الطبيعي لأربعة.
