فيديو الدرس: اشتقاق الدوال الأسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد مشتقات الدوال الأسية. سنبدأ بتوضيح صيغة مشتقة دالة أسية في صورة ﺩ(ﺱ) تساوي ﻫ أس ﺱ وﻫ أس ﻙﺱ، ثم سنطبق هذه الصيغة على أمثلة أكثر تعقيدًا. سنشرح أيضًا كيف نستخدم قوانين الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية لإيجاد مشتقة الدوال الأسية العامة.

تذكر أن الدالة الأسية هي دالة تكتب على صورة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺃﺏ أس ﺱ، حيث ﺃ وﺏ ثابتان وﺏ أكبر من صفر. سننظر في البداية إلى مشتقة دالة تمثل حالة خاصة من هذه الدوال، الدالة الأسية ﺩ(ﺱ) تساوي ﻫ أس ﺱ وﺩ(ﺱ) تساوي ﻫ أس ﻙﺱ. من الأخطاء الشائعة هنا أن نعتقد أنه يمكننا تطبيق قاعدة القوى على هذه الدوال الأسية. في الحقيقة، لا تنطبق قاعدة القوى إلا عندما يكون الأس ثابتًا والأساس متغيرًا.

في الدوال الأسية، الأساس ثابت والأس هو المتغير. لذلك علينا استخدام صيغة أخرى لإيجاد مشتقة الدالة الأسية، مع أنه يمكن استنتاج هذه الصيغة إذا كنت تعرف كيف تشتق معكوس الدالة ﻫ أس ﺱ أو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. ويمكن أيضًا استنتاجها باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات. لكن الوقت المخصص لهذا الفيديو لا يتسع لتناول ذلك كله. وبدلًا من ذلك، سنوضح صيغة مشتقة ﻫ أس ﺱ وﻫ أس ﻙﺱ.

مشتقة ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ. ويمكن تعميم هذه الصيغة. ويمكننا القول إن مشتقة ﻫ أس ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻙﻫ أس ﻙﺱ. الآن، الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﻫ أس ﺱ غير مألوفة على الإطلاق. فمشتقتها هي نفسها الدالة الأصلية. من الناحية الهندسية، هذا يعني أنه لجميع قيم ﺱ، فإن ميل مماس المنحنى أو انحداره عند تلك النقطة يساوي قيمة ﺹ. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺹ يساوي ﻫ أس اثنين، وهو ما يساوي ٧٫٣٩ تقريبًا. وبما أن مشتقة ﻫ أس ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ، فهذا يعني أن ميل مماس المنحنى عند تلك النقطة يساوي ٧٫٣٩ أيضًا. لنأخذ مثالًا على تطبيقات هذه الصيغة.

إذا كانت الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي سالب خمسة ﻫ أس سالب تسعة ﺱ، فأوجد ﺩ شرطة (ﺱ). أوجد مشتقة الدالة.

تذكر أن مشتقة ﻫ أس ﺱ هي ﻫ أس ﺱ. ومشتقة ﻫ أس ﻙﺱ تساوي ﻙﻫ أس ﻙﺱ. هذه الدالة عبارة عن أحد مضاعفات ﻫ أس ﻙﺱ. إنها سالب خمسة في ﻫ أس ﻙﺱ، حيث ﻙ يساوي سالب تسعة. ونعلم أن قاعدة الضرب في ثابت تتيح لنا إخراج الثوابت خارج المشتقة والتركيز على اشتقاق دالة المتغير ﺱ نفسها. هذا يعني أن مشتقة دالة المتغير ﺱ تساوي سالب خمسة في مشتقة ﻫ أس سالب تسعة ﺱ. ونعلم أن مشتقة ﻫ أس سالب تسعة ﺱ تساوي سالب تسعة في ﻫ أس سالب تسعة ﺱ. وبما أن سالب خمسة في سالب تسعة يساوي ٤٥، نجد أن مشتقة الدالة تساوي ٤٥ﻫ أس سالب تسعة ﺱ.

دعونا نأخذ مثالًا آخر.

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان خمسة ﺹﻫ أس اثنين ﺱ يساوي سبعة ﻫ أس خمسة.

قد يبدو هذا السؤال صعبًا للوهلة الأولى. لكن من الواضح أنه يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لنجعل ﺹ المتغير التابع. سنقسم كلا طرفي المعادلة على خمسة ﻫ أس اثنين ﺱ. في الطرف الأيمن، يتبقى لنا ﺹ فقط. وفي الطرف الأيسر، لدينا سبعة ﻫ أس خمسة على خمسة ﻫ أس اثنين ﺱ. في الواقع، واحد على ﻫ أس اثنين ﺱ يساوي ﻫ أس سالب اثنين ﺱ. لذا يمكننا إعادة كتابة المعادلة. ونجد أن ﺹ يساوي سبعة ﻫ أس خمسة على خمسة في ﻫ أس سالب اثنين ﺱ.

لاحظ أن سبعة ﻫ أس خمسة على خمسة مجرد ثابت. إذن، يمكننا اشتقاق ذلك باستخدام الصيغة العامة لمشتقة الدالة الأسية. مشتقة ﻫ أس ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻙﻫ أس ﻙﺱ. ونتذكر بالطبع أن قاعدة الضرب في ثابت تتيح لنا إخراج الثوابت خارج المشتقة والتركيز على اشتقاق دالة المتغير ﺱ نفسها.

بعبارة أخرى، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سبعة ﻫ أس خمسة على خمسة في مشتقة ﻫ أس سالب اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومشتقة ﻫ أس سالب اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب اثنين ﻫ أس سالب اثنين ﺱ. هذا يعني أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين في سبعة ﻫ أس خمسة على خمسة في ﻫ أس سالب اثنين ﺱ.

لاحظ أنه يمكن كتابة المشتقة بدلالة ﺹ لأننا قلنا إن ﺹ يساوي سبعة ﻫ أس خمسة على خمسة في ﻫ أس سالب اثنين ﺱ. بالتالي يمكننا القول إن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين ﺹ.

والآن نأخذ مثالًا أصعب قليلًا يتطلب منا أن نطبق قواعد أخرى للاشتقاق.

أوجد مشتقة الدالة ﺩ(ﻉ) تساوي سالب ثلاثة ﻫ أس أربعة ﻉ على أربعة ﻉ زائد واحد.

لدينا هنا دالة لدالة أو دالة مركبة. هذا يعني أن علينا تطبيق قاعدة السلسلة. وهي تقول إن مشتقة ﺩ(ﻕ(ﺱ)) تساوي مشتقة ﺩ(ﻕ(ﺱ)) مضروبة في مشتقة ﻕ لـ ﺱ. بعبارة أخرى، يمكننا القول إنه إذا كان ﺹ يساوي هذه الدالة المركبة، ﺩ(ﻕ(ﺱ))، فإذا افترضنا أن ﻝ يساوي ﻕ(ﺱ)، فإن ﺹ يساوي ﺩ(ﻝ). وهذا يعني أنه يمكننا القول إن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻝ مضروبة في مشتقة ﻝ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا المثال، نقول إن ﺹ يساوي سالب ثلاثة في ﻫ أس ﻝ، حيث ﻝ يساوي أربعة ﻉ على أربعة ﻉ زائد واحد. وبما أننا نشتق بالنسبة إلى ﻉ، فسنغير الصيغة قليلًا. فنقول إن ﺩﺹ على ﺩﻉ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻝ في ﺩﻝ على ﺩﻉ. إذن، علينا أن نحسب ﺩﺹ على ﺩﻝ وﺩﻝ على ﺩﻉ. وواضح أنه من السهل اشتقاق ﺩﺹ على ﺩﻝ. نعلم أن مشتقة ﻫ أس ﻝ تساوي ﻫ أس ﻝ. إذن، مشتقة سالب ثلاثة ﻫ أس ﻝ تساوي سالب ثلاثة ﻫ أس ﻝ. ثم يمكن أن نعوض عن ﻝ بأربعة ﻉ على أربعة ﻉ زائد واحد لنحصل على سالب ثلاثة ﻫ أس أربعة ﻉ على أربعة ﻉ زائد واحد. لكن ماذا عن مشتقة أربعة ﻉ على أربعة ﻉ زائد واحد؟

حسنًا، علينا أن نستخدم قاعدة خارج القسمة. وهي تقول إن مشتقة ﺩ(ﺱ) على ﻕ(ﺱ) تساوي الدالة ﻕ(ﺱ) في مشتقة ﺩ(ﺱ) ناقص الدالة ﺩ(ﺱ) في مشتقة ﻕ(ﺱ). الكل على ﻕ(ﺱ) تربيع. نغير ﺩ(ﺱ) لتصبح ﺩ(ﻉ)، وﻕ(ﺱ) لتصبح ﻕ(ﻉ). ثم، مشتقة البسط تساوي أربعة. ومشتقة المقام تساوي أربعة أيضًا. إذن ﻕ(ﻉ) في مشتقة ﺩ(ﻉ) يساوي أربعة ﻉ زائد واحد في أربعة. وﺩ(ﻉ) في مشتقة ﻕ(ﻉ) يساوي أربعة ﻉ في أربعة. والكل على المقام تربيع. وهذا يساوي أربعة ﻉ زائد واحد تربيع. وبفك الأقواس نحصل ببساطة على أربعة في بسط هذا الكسر. إذن ﺩﻝ على ﺩﻉ يساوي أربعة على أربعة ﻉ زائد واحد تربيع.

والآن نعوض بكل القيم التي لدينا في صيغة قاعدة السلسلة. ‏‏ﺩﺹ على ﺩﻝ في ﺩﻝ على ﺩﻉ يساوي سالب ثلاثة ﻫ أس أربعة ﻉ على أربعة ﻉ زائد واحد في أربعة على أربعة ﻉ زائد واحد تربيع. ونقوم بالتبسيط لنجد أن مشتقة الدالة تساوي سالب ١٢ﻫ أس أربعة ﻉ على أربعة ﻉ زائد واحد، الكل على أربعة ﻉ زائد واحد تربيع.

سيقودنا المثال التالي إلى تعريف مشتقة معادلة أسية على الصورة ﺃﺏ أس ﺱ.

إذا كان ﺹ يساوي سالب ثلاثة في اثنين أس ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر أولًا أن قاعدة الضرب في ثابت تتيح لنا إخراج الثوابت خارج المشتقة والتركيز على اشتقاق دالة المتغير ﺱ نفسها. لذلك يمكننا القول إن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ثلاثة في مشتقة اثنين أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لكن كيف نشتق اثنين أس ﺱ؟ حسنًا، سنستخدم قوانين الدوال اللوغاريتمية والدوال الأسية.

أولًا نقول إن اثنين هو نفسه ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي اثنين. وتذكر أن هذا صحيح لأن ﻫ واللوغاريتم الطبيعي دالتان إحداهما دالة عكسية للأخرى. بعد ذلك، نرفع طرفي هذه المعادلة للقوة ﺱ ونستخدم قوانين الأسس لنقول إن اثنين أس ﺱ يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي اثنين في ﺱ. ‏‏اللوغاريتم الطبيعي اثنين هو مجرد ثابت. لذا سنستخدم القاعدة التي تقول إن مشتقة ﻫ أس ﻙﺱ تساوي ﻙﻫ أس ﻙﺱ. وبالتالي، مشتقة اثنين أس ﺱ تساوي اللوغاريتم الطبيعي اثنين في ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي اثنين ﺱ. هذا يعني أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ثلاثة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي اثنين في ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي اثنين ﺱ.

تذكر أننا بالفعل عرفنا اثنين أس ﺱ بأنه يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي اثنين ﺱ. إذن، سنعوض عن ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي اثنين ﺱ باثنين أس ﺱ. وسنجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي في هذه الحالة سالب ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي اثنين في اثنين أس ﺱ.

والآن، يمكننا تعميم النتيجة التي توصلنا إليها في المثال السابق. فنقول إن مشتقة الدالة الأسية على الصورة ﺏ أس ﺱ هي اللوغاريتم الطبيعي ﺏ في ﺏ أس ﺱ. ويمكننا تعميم ذلك بشكل ما. فنقول إن مشتقة ﺏ أس ﻙﺱ تساوي ﻙ في اللوغاريتم الطبيعي ﺏ في ﺏ أس ﻙﺱ. وفي حين أنه من المفيد جدًا أن تحفظ هذه الصيغة عن ظهر قلب، فمن المهم أيضًا أن تكون قادرًا على اتباع الخطوات التي شرحناها سابقًا لإيجادها. ونأخذ مثالًا على تطبيق هذه الصيغة.

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي سبعة أس سالب تسعة ﺱ ناقص ثمانية، الكل أس سالب اثنين.

لإيجاد مشتقة هذه الدالة، سنبحث أولًا عما إذا كان هناك طريقة لتبسيطها بعض الشيء. في الحقيقة، يمكننا استخدام قوانين الأسس لفعل ذلك. تذكر أن ﺃ أس ﻡ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ في ﻥ. لذا يمكننا القول إن سبعة أس سالب تسعة ﺱ ناقص ثمانية، الكل أس سالب اثنين، هو نفسه سبعة أس ١٨ﺱ زائد ١٦. بعد ذلك سنستخدم قانونًا آخر من قوانين الأسس. هذه المرة، ﺃ أس ﻡ في ﺃ أس ﻥ هو نفسه ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. إذن، لا بد أن ﺹ يساوي سبعة أس ١٨ﺱ في سبعة أس ١٦.

وسبعة أس ١٦ ثابت. لذا يمكننا القول إن المشتقة الأولى ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي سبعة أس ١٦ في مشتقة سبعة أس ١٨ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن، نستخدم حقيقة أن المشتقة ﺏ أس ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻙ في اللوغاريتم الطبيعي ﺏ في ﺏ أس ﻙﺱ. وهذا يعني أن مشتقة سبعة أس ١٨ﺱ تساوي ١٨ في اللوغاريتم الطبيعي سبعة في سبعة أس ١٨ﺱ.

ومرة أخرى، سنستخدم حقيقة أن ﺃ أس ﻡ في ﺃ أس ﻥ هو نفسه ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. وبذلك يمكن أن نعيد كتابة سبعة أس ١٦ في سبعة أس ١٨ﺱ على صورة سبعة أس ١٨ﺱ زائد ١٦. وهذا يعني أن المشتقة الأولى للدالة تساوي ١٨ في اللوغاريتم الطبيعي سبعة في سبعة أس ١٨ﺱ زائد ١٦. في المثال الأخير، سنتناول مسألة كلامية تتضمن مشتقات الدوال الأسية.

الاضمحلال الإشعاعي للرادون-٢٢٢ تمثله الصيغة الآتية. ‏‏ﻕ(ﻥ) يساوي ﻕ صفر في نصف أس ﻥ على ﻥ نصف، حيث ﻕ(ﻥ) هو الكمية المتبقية بالجرام من الرادون-٢٢٢ التي لم تضمحل بعد ﻥ يوم. ‏‏ﻕ صفر هو الكمية الابتدائية من الرادون-٢٢٢. وﻥ نصف هو فترة عمر النصف. احتوت عينة محددة على ١٠ جرامات من الرادون-٢٢٢ في البداية. إذا كانت فترة عمر النصف للرادون-٢٢٢ هي ٣٫٨٢١٥ أيام، فأوجد معدل اضمحلال العينة بعد ١٠ أيام. قرب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

تذكر أن معدل التغير، أو ما يسمى هنا بمعدل الاضمحلال، سيمثل دائمًا دالة الميل أو المشتقة. للإجابة عن هذا السؤال، علينا اشتقاق الدالة ﻕ صفر في نصف أس ﻥ على ﻥ نصف بالنسبة إلى ﻥ. قد يبدو هذا صعبًا بعض الشيء. لكن ﻕ صفر ثابت، مثله مثل ﻥ نصف. وسنستخدم الحقيقة التي تقول إن مشتقة ﺏ أس ﻙﺱ تساوي ﻙ في اللوغاريتم الطبيعي ﺏ في ﺏ أس ﻙﺱ. ويمكننا القول إن مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﻕ صفر في واحد على ﻥ نصف، حيث إنه في هذه المعادلة يعادل ﻙ، مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي نصف، حيث إن ﺏ في هذه المعادلة هو نصف، مضروبًا في نصف أس ﻥ على ﻥ نصف.

والآن نعيد كتابة اللوغاريتم الطبيعي نصف ونقول إنه هو نفسه اللوغاريتم الطبيعي اثنين أس سالب واحد. ثم نستخدم قوانين اللوغاريتمات. ونجد أن اللوغاريتم الطبيعي نصف يساوي سالب واحد في اللوغاريتم الطبيعي اثنين أو ببساطة سالب اللوغاريتم الطبيعي اثنين. ويمكننا إعادة كتابة هذا المقدار. وبما أن العينة المحددة احتوت في البداية على ١٠ جرامات من الرادون-٢٢٢، يمكننا القول إن ﻕ صفر يجب أن يساوي ١٠. نعلم أن ﻥ نصف يساوي ٣٫٨٢١٥. ونريد إيجاد معدل الاضمحلال عند ﻥ يساوي ١٠. إذن، سنعوض بكل هذه القيم في معادلة المشتقة. وبذلك نحصل على ١٠ على ٣٫٨٢١٥ في سالب اللوغاريتم الطبيعي اثنين في نصف أس ١٠ على ٣٫٨٢١٥. وهذا يعطينا القيمة سالب ٠٫٢٩٥٧.

لكن ما معنى ذلك في هذا السؤال؟ حسنًا، بتقريب الناتج لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، فإن معدل التغير يساوي سالب ٠٫٢٩٦. وبما أن الناتج سالب، فهذا يعني أن العينة تضمحل بمعدل ٠٫٢٩٦ جرام في اليوم.

في هذا الفيديو، رأينا أن مشتقة ﻫ أس ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ. ورأينا أنه يمكن تعميم ذلك. ويمكننا القول إن مشتقة ﻫ أس ﻙﺱ تساوي ﻙ في ﻫ أس ﻙﺱ. ورأينا أيضًا أنه يمكننا اشتقاق ﺏ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ لنحصل على اللوغاريتم الطبيعي ﺏ في ﺏ أس ﺱ. ونعمم ذلك فنقول إن مشتقة ﺏ أس ﻙﺱ تساوي ﻙ في اللوغاريتم الطبيعي ﺏ في ﺏ أس ﻙﺱ. ورأينا أيضًا أنه قد يكون مفيدًا في تبسيط أو إعادة كتابة المقادير باستخدام قواعد الأسس قبل الاشتقاق. وذكرنا أنه من الضروري ألا تخلط بين قاعدة القوى وقاعدة اشتقاق الدوال الأسية.