في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقات الدوال الأُسِّية.
تلعب الدوال الأسية دورًا مهمًّا في الرياضيات ولها تطبيقات فيزيائية كثيرة. على سبيل المثال، نستخدم الدوال الأسية لتمثيل نمو البكتيريا، والفائدة المركَّبة المستمرة، والاضمحلال الإشعاعي، وما ذكرناه مجرد بعض من تطبيقاتها. في الواقع، أدى استخدام الدوال الأسية واسع النطاق في الرياضيات إلى أن يُطلق عليها عالم الرياضيات النمساوي الأمريكي، والتر رودين: «أهم دالة في الرياضيات». وأحد أسباب أهمية الدوال الأسية في الرياضيات يعود إلى خواصها المرتبطة بالمشتقات، وفي هذا الشارح، سنستكشف هذه الخواص. سنبدأ بالتعريف العام للدالة الأسية.
تعريف: الدالة الأسية
الدالة الأسية هي دالة على الصورة: حيث ثابت يحقق ، . يسمى أساس الدالة الأسية.
هناك اعتقاد خاطئ شائع عندما يتعلق الأمر بمشتقات الدوال الأسية وهو افتراض أنه يمكننا تطبيق قاعدة القوة:
وهذا ليس صحيحًا كما سنعرف. ومن المهم أن نوضِّح الفرق؛ حيث تُطبق قاعدة القوة عندما يكون أساس الدالة هو المتغير والأس ثابتًا، بينما في الدوال الأسية، الأس هو المتغير والأساس ثابت.
| دوال القوى | الدوال الأسية |
|---|---|
| هو الأساس. | الأساس يكون . |
| الأس يكون . | هو الأس. |
يمكننا اشتقاق دوال القوى باستخدام قاعدة القوة. لأي :
لكن قاعدة القوة لا يمكن أن تنطبق إلا على دوال القوى وليس على الدوال الأسية. تطبيق قاعدة القوة لاشتقاق دالة أسية هو خطأ شائع في الاشتقاق. على سبيل المثال، تطبيق قاعدة القوة لإيجاد مشتقة يؤدي إلى ، وهذا غير صحيح. وعلينا أن ننتبه إلى أن المتغير في يوجد في الأس، وهو ما يجعلها دالة أسية. ومن ثَمَّ، لا يمكننا تطبيق قاعدة القوة لاشتقاق هذه الدالة الأسية.
هيا نفكِّر في كيفية اشتقاق دالة أسية. سنبدأ بإيجاد مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي، ، والتي يُعرف أساسها بثابت أويلر. يعرَّف ثابت أويلر من خلال النهاية التالية:
بعد إيجاد مشتقة الدالة الأسية الأساس الطبيعي، سوف نتعلم كيف نشتق الدوال الأسية العامة، والتي تكون على الصورة لكل ، .
تذكر أن مشتقة الدالة معطاة من خلال:
تطبيق هذا التعريف على الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي يعطينا:
باستخدام قاعدة الأسس، يمكننا كتابة على الصورة . ثم تُكتب هذه النهاية على الصورة:
في بسط خارج القسمة، نلاحظ أن عامل مشترك. إذن، الصورة التحليلية معطاة من خلال:
بما أن لا يعتمد على ، يمكننا التعامل معه باعتباره ثابتًا بالنسبة إلى النهاية عند . ومن ثَمَّ، يمكننا إخراج هذا المقدار عاملًا مشتركًا من النهاية لكتابة:
ومن ثَمَّ، سيؤدي حساب قيمة النهاية إلى إيجاد صيغة مشتقة . هيا نوجد هذه النهاية.
يتضمن حساب هذه النهاية بعض الحيل غير الواضحة في البداية. لكن سيكون من المفيد أن نفهم كيف يؤثر تعريف ثابت أويلر المعطى في المعادلة (١) على حساب هذه النهاية.
نبدأ بتعريف المتغير بأنه يساوي بسط خارج القسمة داخل النهاية:
يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة حتى يكون في طرف بمفرده:
يمكننا التعويض عن بسط خارج القسمة بـ وعن مقام خارج القسمة بـ . ونذكر أيضًا أنه عندما يقترب من صفر، فإن المتغير يقترب أيضًا من صفر؛ حيث إن . بتغيير متغير النهاية من إلى، يمكننا كتابة:
بضرب البسط والمقام في ، يمكننا كتابة:
تذكر قانون اللوغاريتمات الذي ينص على أن معامل اللوغاريتم يصبح أُسَّ مُدخله. ومن ثَمَّ بتطبيق مفاهيم الدوال المتصلة، يمكننا كتابة النهاية بالأعلى على الصورة:
حسنًا، انظر إلى النهاية الموجودة داخل القوسين بالأعلى. هذا يشبه إلى حدٍّ ما النهاية في المعادلة (١)، وهذا تعريف ثابت أويلر. هيا نُعرِّف متغيرًا آخر بواسطة:
وهذا يعني أيضًا أن . ونلاحظ أنه عند اقتراب من صفر، فإن يقترب من ما لا نهاية. وهذا يؤدي إلى:
من خلال المعادلة (١)، فإن النهاية في الطرف الأيمن تساوي . بالتعويض بقيمة هذه النهاية في المعادلة (٣)، يمكننا إيجاد قيمة النهاية المطلوبة:
والآن بعد أن أوجدنا قيمة هذه النهاية، يمكننا العودة إلى اشتقاق . بالتعويض بقيمة النهاية هذه في المعادلة (٢)، يصبح لدينا:
وهذا يعطينا مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي.
قاعدة: مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي
مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي هي:
أهمية قاعدة المشتقة للدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي لا يمكن المبالغة فيها. الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي هي الدالة غير الصفرية الوحيدة التي مشتقتها تساوي نفسها. توضح هذه الحقيقة أن الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي تبدو حلًّا للعديد من النماذج الرياضية المختلفة لمسائل الحياة الواقعية. بلا شك، الدالة الأسية الطبيعية هي الدالة الأبرز في النماذج الرياضية للحياة الواقعية.
لنبدأ بمثال نطبِّق فيه هذه القاعدة لاشتقاق دالة معطاة.
مثال ١: اشتقاق الدوال التي تضمن الأسس
أوجد مشتقة الدالة .
الحل
في هذا المثال، علينا اشتقاق دالة تتضمَّن الدالة الأسية ودالة جذرية . ونلاحظ أنه يمكن التعبير عن الدالة الجذرية المُعطاة في صورة دالة قوة عن طريق:
باستخدام هذه الصورة، يمكننا إعادة كتابة الدالة المُعطاة على الصورة:
ومن ثَمَّ، تُكتب المشتقة على الصورة:
نتذكر قاعدة المجموع/الفرق التي تسمح لنا بتقسيم المجموع داخل المشتقة، وكذلك قاعدة الضرب في عدد ثابت والتي تسمح لنا بأخذ الثابتين ٣ و٥ خارج المشتقتين باعتبارهما عاملين مشتركين. ومن ثَمَّ:
والآن، علينا اشتقاق الدوال الأسية ودوال القوى. إننا نتذكَّر قواعد الاشتقاق لهذه الدوال:
بتطبيق هذه القواعد على ، نحصل على:
ومن ثَمَّ:
في المثال التالي، سنستخدم مشتقة الدالة الأسية الطبيعية مضروبة في مقلوب دالة مثلثية.
مثال ٢: إيجاد مشتقة دالة تتضمن الدوال المثلثية والأسية باستخدام قاعدة حاصل الضرب
أوجد مشتقة .
الحل
يمكننا البَدء بملاحظة أن الدالة المُعطاة هي حاصل ضرب دالتين، ، . إننا نتذكر قاعدة الضرب: بمعلومية دالتين قابلتين للاشتقاق : ،
بتطبيق قاعدة الضرب على الدالة:
والآن علينا حساب المشتقتين ، . إننا نتذكر مشتقات الدوال الأسية ومقلوب الدوال المثلثية:
بالتعويض بهذه المقادير في ، نحصل على:
يمكننا أن نرى أن هو عامل مشترك بين الحدين في الطرف الأيسر من المعادلة. بإخراج هذا الحد باعتباره عاملًا مشتركًا، نحصل على:
في المثال التالي، سنطبق قاعدة المشتقة للدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي مع قاعدة السلسلة لاشتقاق دالة معطاة.
مثال ٣: اشتقاق الدوال الأسية باستخدام قاعدة السلسلة
إذا كانت ، فأوجد .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد:
قبل اشتقاق الدالة الأسية، يمكننا أخذ الثابت خارج المشتقة باعتباره عاملًا مشتركًا باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت:
والآن نتناول المشتقة . يمكننا ملاحظة أن هو تركيب من دالتين؛ ومن ثَمَّ، نتذكر قاعدة السلسلة لاشتقاق تركيب دالتين:
بالنسبة إلى الدالة الدالة الخارجية هي والدالة الداخلية هي . علينا حساب مشتقة كل دالة من هاتين الدالتين. لحساب مشتقة ، نسترجع قاعدة اشتقاق الدالة الأسية:
وهذا يؤدي إلى:
من ناحية أخرى، يمكننا تطبيق قاعدة القوة للاشتقاق:
بالتعويض بهذه المقادير في قاعدة السلسلة، نحصل على:
وأخيرًا، نتذكر أننا أخذنا عاملًا مشتركًا في البداية، ويمكننا كتابة:
في المثال السابق، استخدمنا قاعدة السلسلة لاشتقاق دالة أسية. باستخدام الطريقة نفسها، يمكننا كتابة صيغة أكثر عمومية لقواعد السلسلة التي تتضمَّن الدالة الأسية.
قاعدة: قاعدة السلسلة للدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي
بمعلومية دالة قابلة للاشتقاق ، نحصل على:
عند اشتقاق في المثال السابق، كان بإمكاننا ملاحظة أن هذه هي قاعدة السلسلة التي تحتوي على الدالة الأسية؛ حيث . بما أن ، فهذا يؤدي إلى المشتقة:
هذه الصيغة لا يجب حفظها؛ لأنه يمكننا دائمًا إيجاد هذه المشتقة بكتابة قاعدة السلسلة كما فعلنا في المثال الأول. ومع ذلك، فإن معرفة هذه القاعدة الإضافية توفر عادة الوقت عند اشتقاق هذه الدوال.
في المثال التالي، سنطبِّق هذه القاعدة لاشتقاق دالة أسية ذات أس تربيعي.
مثال ٤: اشتقاق الدوال الأسية ذات الأساس الطبيعي باستخدام قاعدة السلسلة
أوجد مشتقة .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد المشتقة:
يمكننا أن نأخذ الثابت خارج المشتقة باعتباره عاملًا مشتركًا باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت:
لحساب المشتقة ، نلاحظ أن هذا تركيب للدوال على الصورة ، حيث . تذكر قاعدة السلسلة للدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي:
باستخدام قاعدة القوة، يمكننا حساب:
بالتعويض بهذه المشتقة في قاعدة السلسلة، نحصل على:
وأخيرًا، نتذكر أننا قد أخذنا عاملًا مشتركًا في البداية، وبذلك يمكننا كتابة:
ومن ثَمَّ:
في المثال التالي، سنطبق قاعدة السلسلة للدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي مع قاعدة القسمة لاشتقاق دالة معطاة.
مثال ٥: اشتقاق تركيبات الدوال الأسية والدوال كثيرات الحدود باستخدام قاعدة القسمة
أوجد المشتقة الأولى للدالة .
الحل
يمكننا البدء بملاحظة أن الدالة المعطاة هي خارج قسمة دالتين: ، . ومن ثَمَّ، فإننا نتذكر قاعدة القسمة: بمعلومية دالتين قابلتين للاشتقاق : ،
بتطبيق قاعدة القسمة على الدالة لدينا، نحصل على:
علينا الآن حساب المشتقتين ، . المشتقة بتطبيق قاعدة القوة. بالنسبة للمشتقة الأخرى، يمكننا أولًا تطبيق قاعدة الضرب في عدد ثابت لأخذ الثابت أربعة خارج المشتقة باعتباره عامل مشترك:
لحساب ، نتذكر قاعدة السلسلة للدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي:
في هذه الحالة، ؛ ومن ثَمَّ من خلال قاعدة القوة. بالتعويض بهذه المقادير في قاعدة السلسلة: وهذا يعني أن:
يمكننا الآن التعويض بهاتين المشتقتين في لنحصل على:
لقد تناولنا حتى الآن قاعدة اشتقاق الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي. ننتقل الآن إلى الدالة الأسية العامة ؛ حيث إن الأساس يحقق ، . يمكننا ربط الدالة الأسية العامة بالدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي عند استخدام المتطابقة:
إذا طبقنا هذه المتطابقة مع ، ، إذن بكتابة اللوغاريتم للأساس في صورة (اللوغاريتم الطبيعي):
تذكر خاصية اللوغاريتم التي تنص على أن . وهذا يؤدي إلى:
ومن ثَمَّ، يمكن كتابة الدالة الأسية العامة على صورة دالة أسية ذات الأساس الطبيعي. لإيجاد مشتقة دالة أسية عامة، يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة على الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي؛ حيث . يمكننا تطبيق قاعدة القوة للحصول على ، وهكذا، يمكننا كتابة:
بما أن ، فيمكننا التعويض بهذا المقدار للحصول على مشتقة الدالة الأسية العامة.
قاعدة: مشتقة الدوال الأسية العامة
مشتقة الدالة الأسية ، إذا كان ، ، هي:
لنتناول مثالًا نستخدم فيه مشتقة دالة أسية عامة لإيجاد مشتقة دالة معطاة.
مثال ٦: إيجاد المشتقة الأولى لدالة أسية ذات عدد صحيح
إذا كان ، فأوجد .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد:
يمكننا أن نأخذ الثابت خارج المشتقة باعتباره عاملًا مشتركًا باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت:
لحساب مشتقة الدالة الأسية ، نسترجع مشتقة الدالة الأسية:
بما أن لدينا الأساس للدالة الأسية، يمكننا كتابة:
بالتعويض بهذه المشتقة في ، يمكن أن نحصل على:
في المثال التالي، سنطبق قاعدة السلسلة مع مشتقة دالة أسية عامة. على الرغم من أننا أوجدنا صيغة لقاعدة السلسلة للدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي، فإن هذه الصيغة لا تؤدي مباشرة إلى قاعدة السلسلة للدوال الأسية العامة. في محاولة لتجنُّب المبالغة في الصيغ، سنحسب هذه المشتقات بتطبيق قاعدة السلسلة مباشرة.
مثال ٧: اشتقاق الدوال الأسية باستخدام قاعدة السلسلة
أوجد المشتقة الأولى للدالة .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد المشتقة الأولى لدالة أسية مرفوعة لأس آخر. على الرغم من أن هذا المقدار يبدو مركبًا، فإننا يمكننا استخدام قواعد الأسس لتبسيط المقدار. نتذكر أنه لأي أساس وأسين و:
بعبارة أخرى، يمكننا ضرب هذه الأسس معًا. باستخدام هذه القاعدة، يمكننا تبسيط الدالة المعطاة لتكون على الصورة:
والآن، نحسب المشتقة الأولى:
يمكننا ملاحظة أن هو تركيب من دالتين؛ ومن ثَمَّ، نتذكر قاعدة السلسلة لاشتقاق تركيب دالتين:
بالنسبة إلى الدالة ، الدالة الخارجية هي والدالة الداخلية هي . علينا حساب مشتقة كل دالة من هاتين الدالتين. لحساب مشتقة نسترجع قاعدة اشتقاق الدوال الأسية العامة:
وهذا يؤدي إلى:
من ناحية أخرى، يمكننا تطبيق قاعدة القوة للاشتقاق:
بالتعويض بهذه المقادير في قاعدة السلسلة، نحصل على:
في المثال السابق، طبَّقنا قاعدة السلسلة للدالة الأسية العامة لاشتقاق دالة معطاة. يمكننا اتباع العملية نفسها لإيجاد صيغة عامة لقاعدة السلسلة للدوال الأسية العامة.
قاعدة: قاعدة السلسلة للدوال الأسية العامة
بمعلومية دالة قابلة للاشتقاق وثابت يحقق ، ، نحصل على:
في المثال الأخير، سنتناول مسألة من الحياة الواقعية تتضمَّن مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي.
مثال ٨: إيجاد معدل تغير الدوال الأسية في سياق واقعي
إنتاج أحد المصانع لـ وحدة في يوم يُعطى بالعلاقة: . ما معدل تغير الإنتاج بالنسبة إلى الزمن في اليوم الخامس؟
الحل
لعلنا نتذكَّر أن معدل تغير دالة يُعطى بمشتقة الدالة عند نقطة ما. في هذا المثال، تمثل الدالة إنتاج مصنع. لإيجاد معدل تغير الإنتاج بالنسبة إلى الزمن في اليوم الخامس، علينا إيجاد مشتقة هذه الدالة وإيجاد قيمتها عند .
لنوجد المشتقة . يمكننا تطبيق قاعدة الضرب في عدد ثابت وقاعدة المجموع/الفرق لكتابة:
علينا الآن حساب المشتقتين ، . وفقًا لقاعدة الثابت، نعرف أن:
لحساب المشتقة ، نتذكر قاعدة السلسلة للدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي وهي: بمعلومية دالة قابلة للاشتقاق :
هنا، ؛ ومن ثَمَّ، لدينا من خلال قاعدة القوة. بالتعويض بهاتين المشتقتين في قاعدة السلسلة:
يمكننا الآن التعويض بهاتين المشتقتين في لنكتب:
بإيجاد قيمة المشتقة عند :
ومن ثَمَّ، معدل تغير الإنتاج بالنسبة إلى الزمن في اليوم الخامس يساوي .
هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي هي:
- بمعلومية دالة قابلة للاشتقاق ، نحصل على:
- مشتقة الدالة الأسية ، إذا كان ، ، هي:
- بمعلومية دالة قابلة للاشتقاق وثابت يحقق ، ، نحصل على:
