فيديو السؤال: حل نظام مكون من معادلتين باستخدام المحددات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

استخدم المحددات لحل النظام سالب تسعة ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثمانية زائد ثمانية ‪𝑦‬‏، ستة ‪𝑦‬‏ يساوي سبعة زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏.

ثمة العديد من الطرق لحل نظام مكون من معادلات خطية. لكن عندما يطلب منا السؤال استخدام المحددات، فعلينا استخدام قاعدة كرامر. تستخدم قاعدة كرامر في تحويل نظام المعادلات الخطية إلى معادلة مصفوفية. ولعلنا نتذكر أن قاعدة كرامر تنص على الآتي. يمكننا إيجاد ‪𝑥‬‏ بحساب ‪Δ𝑥‬‏ على ‪Δ‬‏ وإيجاد ‪𝑦‬‏ بحساب ‪Δ𝑦‬‏ على ‪Δ‬‏. ‏‪‏ Δ‬‏ هو محدد مصفوفة المعاملات، و‪Δ𝑥‬‏ و‪Δ𝑦‬‏ هما محددا المصفوفتين الناتجان عن التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن العناصر الموجودة في عمودي معاملات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏.

دعونا نبدأ بحل هذا السؤال عن طريق تحويل هذا النظام إلى معادلة مصفوفية. ولعلنا نتذكر أنه عند كتابة نظام كهذا في صورة معادلة مصفوفية، يكون لدينا ثلاثة أجزاء. لدينا مصفوفة المعاملات ومصفوفة المتغيرات ومصفوفة الثوابت. لكتابة ذلك في صورة مصفوفة، أول ما علينا فعله هو إعادة ترتيب هاتين المعادلتين بصورة يسهل تحويلها إلى معادلة مصفوفية. علينا محاولة محاذاة المتغيرين ‪𝑥‬‏ والمتغيرين ‪𝑦‬‏ والثابتين معًا.

في المعادلة الأولى، يمكننا إضافة تسعة ‪𝑥‬‏ إلى كلا طرفي المعادلة، ثم إضافة ثمانية إلى كلا الطرفين أيضًا. هذا يعطينا تسعة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية ‪𝑦‬‏ يساوي ثمانية. دعونا الآن نحاول إعادة ترتيب المعادلة الثانية بهذه الصورة. يمكننا فعل ذلك بطرح ستة ‪𝑦‬‏ من كلا طرفي المعادلة، ثم طرح سبعة أيضًا من كلا الطرفين. هذا يعطينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ستة ‪𝑦‬‏ يساوي سالب سبعة. إعادة ترتيب المعادلتين بهذه الطريقة يجعل من السهل كتابتهما في صورة معادلة مصفوفية. هذه هي المعاملات التي سنكتبها في مصفوفة المعاملات. إنها تسعة وثمانية وثلاثة وسالب ستة.

بعد ذلك لدينا مصفوفة المتغيرات. تتكون هذه المصفوفة من متغيري هذا النظام، وهما ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. وأخيرًا لدينا مصفوفة الثوابت. وتتكون هذه المصفوفة من الثابتين الموجودين في النظام لدينا فحسب؛ أي ثمانية وسالب سبعة.

والآن بعد أن كونا المعادلة المصفوفية، يمكننا البدء في استخدام قاعدة كرامر. دعونا نبدأ بإيجاد ‪Δ𝑥‬‏ و‪Δ𝑦‬‏. لعلنا نتذكر أن ‪Δ𝑥‬‏ و‪Δ𝑦‬‏ هما محددا المصفوفتين الناتجان عن التعويض بعناصر مصفوفة الثوابت عن العناصر الموجودة في عمودي معاملات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. ومن ثم، لإيجاد ‪Δ𝑥‬‏، سنتناول مصفوفة المعاملات. ولكن ما سنفعله هو التعويض عن معاملي ‪𝑥‬‏ في مصفوفة المعاملات، وهما تسعة وثلاثة، بعنصري مصفوفة الثوابت، وهما ثمانية وسالب سبعة. وعليه، فإن ‪Δ𝑥‬‏ هو محدد المصفوفة ثمانية، ثمانية، سالب سبعة، سالب ستة.

علينا الآن حساب قيمة هذا المحدد. لذا دعونا نبدأ بتذكر كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. لإيجاد قيمة محدد المصفوفة ‪𝑎‏‬‏، ‪𝑏‏‬‏، ‪𝑐‏‬‏، ‪𝑑‬‏، نطرح حاصل ضرب كل من القطرين أحدهما من الآخر؛ أي ‪𝑎𝑑‬‏ ناقص ‪𝑏𝑐‬‏. وعليه فإن قيمة محدد المصفوفة ثمانية، ثمانية، سالب سبعة، سالب ستة تساوي ثمانية مضروبًا في سالب ستة ناقص ثمانية مضروبًا في سالب سبعة؛ أي سالب 48 ناقص سالب 56. وهذا يساوي سالب 48 زائد 56. ومن ثم، هذا يعطينا ثمانية.

علينا الآن فعل الأمر نفسه لإيجاد ‪Δ𝑦‬‏. هذا هو محدد مصفوفة المعاملات، ولكن بالتعويض عن معاملي ‪𝑦‬‏ بعنصري مصفوفة الثوابت، وهو ما يساوي تسعة، ثمانية، ثلاثة، سالب سبعة. علينا الآن إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة. باستخدام الطريقة نفسها التي استخدمناها مع محدد المصفوفة ‪Δ𝑥‬‏، فإننا نحصل على تسعة مضروبًا في سالب سبعة ناقص ثمانية مضروبًا في ثلاثة. هذا يعطينا سالب 63 ناقص 24، وهو ما يساوي سالب 87. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمتي ‪Δ𝑥‬‏ و‪Δ𝑦‬‏.

لكن ما زال علينا إيجاد قيمة ‪Δ‬‏. ‏‪‏Δ‬‏ هو محدد مصفوفة المعاملات. هذا يعني أنه محدد المصفوفة تسعة، ثمانية، ثلاثة، سالب ستة؛ أي تسعة مضروبًا في سالب ستة ناقص ثمانية مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب 54 ناقص 24. هذا يعطينا سالب 78. والآن بعد أن أصبح لدينا قيم ‪Δ𝑥‬‏ و‪Δ𝑦‬‏ و‪Δ‬‏، يمكننا تطبيق قاعدة كرامر. تنص هذه القاعدة على أنه يمكننا إيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ عن طريق حساب ‪Δ𝑥‬‏ على ‪Δ‬‏. لقد أوجدنا بالفعل قيمة ‪Δ𝑥‬‏، وهي ثمانية. كما أوجدنا أيضًا قيمة ‪Δ‬‏، وهي سالب 78. ومن ثم فإن ‪𝑥‬‏ يساوي ثمانية على سالب 78.

يمكننا في الواقع تبسيط هذا الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على اثنين، مما يعطينا ‪𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة على 39. تنص قاعدة كرامر أيضًا على أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪Δ𝑦‬‏ على ‪Δ‬‏. وقد وجدنا أن ‪Δ𝑦‬‏ يساوي سالب 87 و‪Δ‬‏ يساوي سالب 78. إذن ‪𝑦‬‏ يساوي سالب 87 على سالب 78. وبما أن العامل المشترك الأكبر بين العددين 78 و87 هو العدد ثلاثة، يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على ثلاثة. في الواقع، يمكننا قسمة البسط والمقام على سالب ثلاثة، مما يعطينا 29 على 26. وبذلك نحصل على الإجابة النهائية للسؤال، وهي: ‪𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة على 39 و‪𝑦‬‏ يساوي 29 على 26.