نسخة الفيديو النصية
تتدحرج كرة سرعتها الابتدائية 10 أمتار لكل ثانية على طول سطح منحن، كما هو موضح في الشكل. كتلة الكرة 100 جرام. افترض أن تحويلات الطاقة الوحيدة التي تحدث هي التي تحدث بين طاقة الحركة وطاقة وضع الجاذبية للكرة. واحسب سرعة الكرة عند مواضع مختلفة لأقرب متر لكل ثانية. أوجد مقدار 𝑣 واحد. أوجد مقدار 𝑣 اثنين. أوجد مقدار 𝑣 ثلاثة. أوجد مقدار 𝑣 أربعة.
في هذا السؤال، نريد إيجاد مقدار 𝑣 واحد، و𝑣 اثنين، و𝑣 ثلاثة، و𝑣 أربعة؛ وهي سرعات الكرة في مواضع مختلفة على طول المنحنى، ومنحنى المسار هو الخط الأحمر الموضح هنا. أحد الأمور المهمة التي علمناها هو أن تحويلات الطاقة الوحيدة التي تحدث هي التي تحدث بين طاقة الحركة وطاقة وضع الجاذبية للكرة.
بعبارة أخرى، سوف نتناول هذين النوعين من الطاقة فقط. فلسنا بحاجة لأن نشغل أنفسنا باحتكاك الكرة بالسطح — على سبيل المثال — أو أي شيء من هذا القبيل. وهذا يسهل علينا الأمور كثيرًا.
حصلنا على معلومة أخرى، وهي أن كتلة الكرة تساوي 100 جرام. لنسم هذه الكتلة 𝑚. وسوف نقول إن هذه الكتلة تساوي 100 جرام. لكن هذه المعلومة لا تفيدنا كثيرًا على هذه الصورة. والسبب في ذلك هو أننا نحتاج أولًا إلى تحويلها إلى الوحدة الأساسية.
الوحدة الأساسية للكتلة هي الكيلوجرام. لذلك نحتاج إلى تحويل هذه الكتلة من الجرام إلى الكيلوجرام. ولكي نفعل ذلك، لنتذكر أن الكيلوجرام الواحد يساوي 1000 جرام. إذن، ما يمكننا فعله هنا هو أن نقسم طرفي المعادلة على 10. وبهذه الطريقة، نجد على الطرف الأيسر 0.1 كيلوجرام. وعلى الطرف الأيمن، نجد 100 جرام، وهو بالضبط ما احتجنا لتحويله إلى كيلوجرامات. إذن يمكننا القول إن هذه الكتلة — كتلة الكرة — التي تساوي 100 جرام، تساوي بدلًا من ذلك 0.1 كيلوجرام.
يمكننا المضي قدمًا الآن لأننا حولناها إلى وحدتها الأساسية. لنفكر في الكرة عندما كانت في البداية عند هذا الموضع هنا. في هذا الموضع، نحن نعرف ارتفاع الكرة عن الأرض. ونعرف أن هذا الارتفاع يساوي 25 مترًا. ونعرف سرعة الكرة. إنها 10 أمتار لكل ثانية.
ومن ثم، يمكننا من خلال هذه المعلومة تحديد طاقة وضع الجاذبية للكرة عند هذا الموضع، وطاقة حركتها. وسوف نرى خلال لحظات إذا ما كانت تلك المعلومة مفيدة لنا. لكن أولًا، لنتذكر أننا نحصل على طاقة وضع الجاذبية للجسم، والتي تعرف بالاختصار GPE، من خلال ضرب كتلة الجسم 𝑚 في شدة مجال جاذبية الأرض 𝑔 في الارتفاع عن الأرض ℎ.
وفي هذه الحالة، يبلغ الارتفاع عن الأرض، كما قلنا سابقًا، 25 مترًا. إذن للكرة عند هذا الموضع، الذي سنسميه الموضع صفرًا، طاقة وضع جاذبية سنسميها GPE صفر.
طاقة وضع الجاذبية عند الموضع صفر تساوي كتلة الكرة، وهي 0.1 كيلوجرام، مضروبة في شدة مجال الجاذبية الأرضية؛ والتي نتذكر أنها 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، مضروبة في الارتفاع عن الأرض؛ وهو 25 مترًا. والجيد في الأمر بخصوص هذا التعبير هو أننا نستخدم الوحدة الأساسية للكتلة، وهي الكيلوجرام؛ والوحدة الأساسية لقوة مجال الجاذبية، وهي عدد الأمتار لكل ثانية مربعة؛ والوحدة الأساسية للارتفاع عن الأرض، وهي الأمتار.
لذا، فالإجابة التي نحصل عليها لطاقة وضع الجاذبية سيعبر عنها أيضًا بالوحدة الأساسية، وهي الجول. عندما نحسب الطرف الأيمن من المعادلة، نجد أن هذا يساوي 24.5 جول. وهذه هي طاقة وضع الجاذبية للكرة عند الموضع صفر.
بعد ذلك، يمكننا أن نمضي قدمًا لكي نحسب طاقة حركة الكرة. ولكي نفعل ذلك، لنتذكر أننا نحصل على طاقة الحركة للجسم، وتعرف بالاختصار 𝐾𝐸، من خلال ضرب نصف في كتلة هذا الجسم، 𝑚، في مربع سرعة الجسم، 𝑣 تربيع. في الموضع صفر، طاقة الحركة، التي سنسميها 𝐾𝐸 صفر، تساوي نصفًا مضروبًا في كتلة الكرة، وهي 0.1 كيلوجرام؛ مضروبة في مربع سرعة الكرة، أي 10 أمتار لكل ثانية تربيع. وهذه هي السرعة التي نستخدمها؛ السرعة عند الموضع صفر.
مرة أخرى، نستخدم الوحدة الأساسية للكتلة، وهي الكيلوجرام؛ والوحدة الأساسية للسرعة، وهي المتر لكل ثانية. إذن طاقة الحركة التي نحسبها سوف يعبر عنها أيضًا بالجول. بحساب الطرف الأيمن، نجد أن طاقة حركة الكرة في الموضع صفر تساوي خمسة جول. وبذلك أصبحنا نعرف كلًّا من طاقة وضع الجاذبية للكرة، وطاقة حركة الكرة، عند الموضع صفر.
والآن، بما أن السؤال يخبرنا أن هذين هما نوعا الطاقة الوحيدان اللذان سنركز عليهما، يمكننا إذن أن نحسب إجمالي طاقة الكرة عند الموضع صفر. إجمالي طاقة الكرة عند الموضع صفر، والتي سنسميها 𝐸 صفر، تساوي طاقة وضع الجاذبية عند الموضع صفر زائد طاقة الحركة عند الموضع صفر. وهذا يساوي 24.5 جول، وهي طاقة وضع الجاذبية؛ زائد خمسة جول، وهي طاقة الحركة. إذن، إجمالي طاقة الكرة في هذا الموضع هو 29.5 جول.
لماذا يهمنا ذلك؟ لأننا نستطيع استخدام قانون حفظ الطاقة في هذه الحالة. ينص قانون حفظ الطاقة على أن الطاقة لا تفنى ولا تستحدث. في الواقع، يمكن تحويلها فقط من صورة إلى أخرى. ولكن إذا كان من المستحيل أن تفنى الطاقة أو تستحدث، فلا بد أن يظل إجمالي طاقة الكرة ثابتًا على مدار رحلتها. بعبارة أخرى، إجمالي طاقة الكرة عند الموضع صفر يساوي إجمالي طاقة الكرة عند الموضع واحد، والموضع اثنين، والموضع ثلاثة، والموضع أربعة، وفي أي موضع آخر على طول المنحنى.
لنفكر في ذلك بعناية. نحن لا نقول إن طاقة وضع الجاذبية تظل ثابتة طوال الوقت، أو إن طاقة الحركة تظل ثابتة طوال الوقت. في الواقع، تتغير كل من طاقة وضع الجاذبية وطاقة الحركة طوال الوقت. لكن ما نقوله هو أن إجمالي الطاقة، أو مجموع طاقة وضع الجاذبية وطاقة الحركة، يجب أن يظل ثابتًا دائمًا.
لذا في هذه الحالة، ما يحدث هو أننا نبدأ هنا، مثلًا، عند الموضع صفر. وتتحرك الكرة نحو الموضع واحد. حسنًا، في هذه الحالة، تتحرك الكرة إلى أسفل المنحنى. وهو ما يعني أن ارتفاعها يقل. ونحن نلاحظ أنها تنخفض من 25 مترًا إلى 15 مترًا فوق سطح الأرض. إذن، فهي تفقد طاقة وضع الجاذبية. لكن ما تفقده الكرة من طاقة وضع الجاذبية، تكتسبه في صورة طاقة حركة. وهذه هي الكيفية التي يظل من خلالها إجمالي طاقة الكرة ثابتًا. وهذا أمر سوف نتمكن من استخدامه لكي نحسب القيم 𝑣 واحد، و𝑣 اثنين، و𝑣 ثلاثة، و𝑣 أربعة.
في هذه المرحلة، لسنا بحاجة لأن نعرف طاقة وضع الجاذبية وطاقة الحركة عند الموضع صفر. بدلًا من ذلك، ما نحتاج إلى معرفته هو إجمالي طاقة الكرة. إذن، لنضع مربعًا صغيرًا حوله. ولننظر إلى الموضع واحد أولًا.
كما ذكرنا من قبل، يظل إجمالي طاقة الكرة ثابتًا. لذا يمكننا أن نكتب معادلة تخبرنا أن طاقة وضع الجاذبية للكرة هذه المرة في الموضع واحد، زائد طاقة حركة الكرة في الموضع واحد، يساوي إجمالي الطاقة في الموضع واحد.
لكن كما ذكرنا من قبل، يظل إجمالي الطاقة ثابتًا طوال رحلتها. إذن، 𝐸 واحد يساوي 𝐸 صفر. وبالتالي، GPE واحد زائد 𝐾𝐸 واحد يساوي 𝐸 صفر. يمكننا التعويض في صيغتي طاقة وضع الجاذبية وطاقة الحركة. إذن، 𝑚𝑔 مضروبًا في ارتفاع الكرة عند الموضع واحد؛ والذي سنسميه ℎ واحد، زائد نصف 𝑚 مضروبًا في مربع السرعة عند الموضع واحد؛ والذي سنسميه 𝑣 واحد تربيع يساوي 𝐸 صفر.
في هذه المعادلة، نحن نعرف بالفعل قيمة 𝑚، وكذلك قيمة 𝑔، وقيمة ℎ واحد. معطى لنا قيمة ℎ واحد هنا. ونحن نعرف قيمة 𝑚. ولا نعرف قيمة 𝑣 واحد. ولكننا نعرف قيمة 𝐸 صفر. بعبارة أخرى، لدينا مجهول واحد في هذه المعادلة. إنه 𝑣 واحد. لذا يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لكي نحسب قيمة 𝑣 واحد.
أولًا، سوف نكتب قيمة 𝐸 صفر هنا لكي نوفر مساحة أكبر للحل. ثم نبدأ عملية إعادة الترتيب. أولًا، يمكننا طرح قيمة 𝑚𝑔ℎ واحد من طرفي المعادلة. بهذه الطريقة نحذف 𝑚𝑔ℎ واحد من الطرف الأيسر. وما يتبقى لدينا هو نصف مضروبًا في 𝑚 مضروبًا في 𝑣 واحد تربيع يساوي 𝐸 صفر ناقص 𝑚𝑔ℎ واحد.
بعد ذلك، يمكننا أن نضرب طرفي المعادلة في اثنين على 𝑚. بهذه الطريقة، يلغي النصف العدد اثنين في البسط. وتلغى الكتلة في الطرف الأيسر. وبذلك لا يتبقى لدينا سوى 𝑣 واحد تربيع في الطرف الأيسر. عند هذه المرحلة، كل ما نحتاج إليه هو أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. على الطرف الأيسر، لا يتبقى لدينا سوى 𝑣 واحد. وعلى الطرف الأيمن، لا يتبقى لدينا سوى تعبير يساعدنا على معرفة 𝑣 واحد.
والآن، من المهم أن نلاحظ أن هذا التعبير، وهو ℎ واحد، هو الارتفاع عند الموضع واحد. وهذا مفيد حقًّا، لأنه يمكننا تطبيق ذلك على المواضع اثنين، وثلاثة، وأربعة ببساطة من خلال تغيير قيمة الواحد، الموجودة هنا وهنا، إلى اثنين، أو ثلاثة، أو أربعة. لكن في الوقت الحالي، لنبقها على 𝑣 واحد، لأن هذا هو ما نحاول معرفته أولًا.
إذن، 𝑣 واحد يساوي الجذر التربيعي لاثنين على 𝑚 مضروبًا في 𝐸 صفر ناقص 𝑚𝑔ℎ واحد. لنعوض بجميع القيم الموجودة على الطرف الأيمن. 𝑣 واحد يساوي اثنين على الكتلة، وهي 0.1، والقيم داخل القوسين، 29.5 جول، والتي تساوي 𝐸 صفر، ناقص 𝑚 مضروبًا في 𝑔 مضروبًا في ℎ واحد. وعند هذا الحد، يمكننا حساب ذلك لمعرفة أن 𝑣 واحد يساوي 17.20 مترًا لكل ثانية.
لكننا نريد أن نكتب إجابتنا مقربة لأقرب متر لكل ثانية. لذا نحتاج إلى تقريب هذه القيمة التي تقع قبل الفاصلة العشرية. القيمة بعد الفاصلة العشرية هي اثنان. إذن يبقى الرقم سبعة كما هو. ولن نقربه. إذن، قيمة 𝑣 واحد، لأقرب متر لكل ثانية، تساوي 17. وهذه هي إجابتنا عن الجزء الأول من السؤال.
لننتقل الآن إلى حساب 𝑣 اثنين. يمكننا القيام بذلك إذا استبدلنا اثنين في هذه المعادلة بالواحد. نلاحظ أن قيمة ℎ اثنين، أي الارتفاع عند الموضع اثنين، تساوي 10 أمتار. لذا نعوض بهذه القيمة ونبقي كل ما لدينا كما هو. نجد أن 𝑣 اثنين يساوي 19.84 مترًا لكل ثانية.
لكن مرة أخرى، نحتاج إلى تقريب إجابتنا لأقرب متر لكل ثانية. لذا سنقرب هذه القيمة هنا. الرقم بعد الفاصلة هو ثمانية. والثمانية أكبر من خمسة. لذا سنقرب هذه التسعة إلى الرقم الأعلى منها. بعبارة أخرى، تقرب 19 إلى 20. إذن، إجابتنا لأقرب متر لكل ثانية هي 20. وهذه هي إجابتنا عن الجزء الثاني من السؤال.
يمكننا أن نكرر هذه العملية مع 𝑣 ثلاثة، ونحصل على قيمة مقدارها 14.07 مترًا لكل ثانية، والتي تصبح 14 عندما نقربها لأقرب متر لكل ثانية، ونكررها مرة أخرى مع 𝑣 أربعة، ونحصل على 24.28 مترًا لكل ثانية. ومرة أخرى، عند تقريب هذه القيمة لأقرب متر لكل ثانية، فإنها تصبح 24. عند هذه المرحلة، نكون قد أوجدنا سرعة الكرة في المواضع الأربعة على طول المنحنى. وبذلك نكون قد وصلنا إلى نهاية سؤالنا.
