شارح الدرس: تحوُّل الطاقة وحفظها الفيزياء • الصف الأول الثانوي

مثال ١: حفظ الطاقة وتحوُّلها

بدأت سيارة في النزول من السكون على طريق مُنحدِر لأسفل، بينما كان مُحرِّكها متوقفًا. أثناء النزول، زادت سرعة السيارة بمقدار 1.4 m/s. ما المسافة التي قطعتها السيارة أثناء الهبوط، رأسيًّا لأسفل؟ علمًا بأن الجاذبية هي القوة الوحيدة التي تؤثِّر على السيارة.

الحل

نعلم من معطيات السؤال أن السيارة التي لدينا تكون في حالة سكون في البداية. وهو ما يعني أنها تبدأ بسرعة تساوي 0 m/s. كما نعلم أن السيارة تهبط على طريق مُنحدِر لأسفل، وتزيد سرعتها بمقدار 1.4 m/s.

لنرسم شكلًا يوضح هذه الحالة.

أسمينا المسافة الرأسية لأسفل التي تتحركها السيارة على الشكل، وهي ما علينا إيجاده. من الضروري توضيح أن المسافة التي تقطعها السيارة على طول الطريق ليست هي المطلوب إيجادها في السؤال، بل المسافة الرأسية التي تقطعها السيارة لأسفل.

يمكننا تذكُّر أن طاقة وضع الجاذبية لأي جسم ترتبط بارتفاعه . أي إن: حيث كتلة الجسم، و عجلة الجاذبية.

بما أن ارتفاع السيارة يقل أثناء حركتها على هذا المنحدَر لأسفل، فإننا نعرف أنها ستفقد طاقة وضع جاذبية. ولكي نكون أكثر تحديدًا؛ بما أن ارتفاعها يقل بمقدار ، فإننا نعلم أن:

حتى هذه اللحظة، لا نعلم كتلة السيارة ، ولكن، كما سنلاحظ، يتضح أننا لن نحتاج إلى معرفة هذه الكتلة.

ينص مبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها على أن الطاقة الكلية في النظام تظل ثابتة، وأن طاقة وضع الجاذبية التي تفقدها السيارة لا بد أن تساوي الطاقة المتحولة إلى صورة أخرى من صور الطاقة أو المنتقلة إلى مكان آخر.

في هذه الحالة، أخبرنا السؤال أن الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة على السيارة. وهذا يعني أنه لا توجد أي تأثيرات ناتجة عن الاحتكاك أو مقاومة الهواء؛ لذا ليس علينا القلق بشأن أي تبدُّد للطاقة.

إذن، إلى أين انتقلت طاقة وضع الجاذبية؟

يمكننا تذكر أيضًا أن طاقة حركة الجسم تُعرَّف كالآتي: حيث كتلة الجسم، و سرعة الجسم.

في مثال السيارة، تكون السيارة ساكنة في البداية بسرعة تساوي 0 m/s، أي إنها تبدأ بطاقة حركة .

وعندما تنزل السيارة، تكتسب طاقة حركة لأن سرعتها تزداد. تُعطى طاقة حركة السيارة عند كالآتي:

بما أن طاقة الحركة الابتدائية للسيارة تساوي 0 J، وطاقة الحركة النهائية لها هي ، نعلم أن:

بالعودة إلى مبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها، نجد أن طاقة وضع الجاذبية الابتدائية قد تَحوَّلَت إلى طاقة حركة؛ وبذلك يكون لدينا:

إذا عوضنا بمعادلتَي طاقة وضع الجاذبية المفقودة وطاقة الحركة المكتسبة، فسنحصل على المعادلة الآتية:

ذكرنا سابقًا أن معرفة كتلة السيارة، ، لا تهم، والآن يتضح سبب ذلك. فبما أن تظهر في طرفَي المعادلة، يمكننا حذفها من الطرفين بحيث نحصل على معادلة لا تعتمد على الكتلة:

بقسمة طرفَي المعادلة على ، نحصل على معادلة لإيجاد المسافة الرأسية التي تقطعها السيارة لأسفل:

إذا عوضنا بالقيمة ، نحصل على:

بإيجاد قيمة هذا التعبير، نحصل على:

إذن، إجابة هذا السؤال هي أن السيارة تقطع مسافة 0.1 m رأسيًّا لأسفل.

مثال ٢: تحوُّل الطاقة الميكانيكية

يتزلَّج مُتزلِّج لأعلى على منحدَر منحنٍ، كما هو موضَّح في الشكل، ويصل إلى نقطة على ارتفاعٍ رأسيٍّ 7.5 m فوق قاعدة المنحدَر.

1. ما سرعة المُتزلِّج عند النقطة التي تقع على ارتفاع 1.1 m رأسيًّا فوق قاعدة المنحدَر؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
2. ما السرعة الابتدائية عند قاعدة المنحدَر، اللازمة لوصول المُتزلِّج إلى أعلى المنحدَر؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

الجزء الأول

في هذا الجزء الأول من السؤال، مطلوب منا إيجاد سرعة المتزلج عندما يكون على ارتفاع 1.1 m. سنطلق على هذا الارتفاع ، إذن، لدينا ، وسنطلق على السرعة عند هذا الارتفاع .

يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن المتزلج يبلغ أقصى ارتفاع 7.5 m، وهو ما سنطلق عليه . وبما أن هذا هو أقصى ارتفاع يبلغه المتزلج، فإننا نعلم أن سرعته اللحظية عند هذه النقطة ستساوي 0 m/s؛ نظرًا لأنه يغير اتجاهه عند هذا الارتفاع ويبدأ في العودة إلى أسفل المنحدَر. سنطلق على هذه السرعة ، إذن لدينا .

لنُضِفْ هذه المعلومات إلى الشكل.

أصبحنا نعلم ارتفاع المتزلج عند موضعين على المنحدَر، كما نعلم السرعة عند أحد هذين الموضعين.

يمكننا أن نتذكر أن الجسم الذي كتلته ويوجد على الارتفاع ، تُعطى طاقة وضع الجاذبية له بالمعادلة الآتية: حيث عجلة الجاذبية.

يمكننا أن نتذكر أيضًا أن الجسم الذي كتلته ويتحرك بالسرعة ، تُعطى طاقة حركته بالمعادلة الآتية:

يمكننا ملاحظة أن المتزلج سيكتسب طاقة وضع جاذبية أثناء صعوده إلى أعلى المنحدَر؛ نظرًا لزيادة الارتفاع . كما يمكننا ملاحظة أنه سيفقد طاقة حركة أثناء صعوده لأعلى المنحدَر؛ نظرًا لانخفاض سرعته من إلى .

بما أن معطيات السؤال لم تذكُر أي شيء عن تبدُّد الطاقة، فليس علينا القلق بشأن أي احتمال لتبدُّد الطاقة.

في هذه الحالة، ينص مبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها على أن:

طاقة الحركة المفقودة تساوي طاقة الحركة عند عندما تكون سرعة المتزلج ، ناقص طاقة الحركة عند عندما تكون سرعة المتزلج .

يمكننا كتابة ذلك كالآتي: أو بأخذ عاملًا مشتركًا، نجد أن:

طاقة وضع الجاذبية المكتسبة تساوي طاقة وضع الجاذبية عند ناقص طاقة وضع الجاذبية عند ، وهو ما يمكننا كتابته كالآتي: أو بأخذ عاملًا مشتركًا، نجد أن:

بما أننا نعلم أن طاقة وضع الجاذبية المكتسبة تساوي طاقة الحركة المفقودة، يمكننا أن نساوي هذين المعادلتين لطاقة وضع الجاذبية التي يكتسبها المتزلج وطاقة الحركة التي يفقدها المتزلج:

بما أن الكتلة تَظهر في الطرفين، فيمكننا حذفها. وهذا يعني أن الناتج لا يعتمد على كتلة المتزلج.

بحذف الكتلة ، نحصل على:

في هذه المعادلة، نعلم قيمتَي الارتفاعين و، كما نعلم قيمة السرعة . وعلينا إيجاد قيمة ؛ لذا سنعيد ترتيب المعادلة ليصبح في طرف بمفرده.

لفعل ذلك، نضرب أولًا طرفَي المعادلة في 2 :

ثم نضيف إلى الطرفين:

وأخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة:

أصبح لدينا الآن معادلة لإيجاد السرعة . وكل ما علينا فعله هو التعويض بالقيم في الطرف الأيمن.

لعلنا نتذكر أن عجلة الجاذبية . كما نعلم أن و و.

بالتعويض بهذه القيم، نحصل على:

بإيجاد قيمة التعبير الموجود تحت الجذر التربيعي، نحصل على:

بإيجاد قيمة الجذر التربيعي، نحصل على:

إذن، إجابة الجزء الأول من السؤال هي أن سرعة المتزلج عندما يكون على الارتفاع 1.1 m فوق قاعدة المنحدَر تساوي 11.2 m/s.

الجزء الثاني

في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا معرفة السرعة التي يجب أن يتحرك بها المتزلج من قاعدة المنحدَر للوصول إلى قمة المنحدَر.

كما فعلنا في الجزء الأول، يمكننا حل هذا السؤال باستخدام مبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها.

عند قاعدة المنحدَر، يكون المتزلج على ارتفاعٍ يساوي 0 m، وبما أن ، فهذا يعني أن طاقة وضع الجاذبية للمتزلج تساوي 0 J. أي إن جميع الطاقة التي لدى المتزلج عند هذه النقطة هي طاقة حركة.

إذا وصل المتزلج إلى أعلى المنحدَر، فلا بد أن تكون السرعة عند أعلى المنحدَر 0 m/s، لأن هذه هي النقطة التي يتوقف عندها لحظيًّا ويغير اتجاهه. وبما أن ، فإن المتزلج عند هذه النقطة يكون له طاقة حركة تساوي 0 J. وتصبح كل الطاقة التي لديه طاقة وضع جاذبية.

كما هو الحال في الجزء الأول من السؤال، فإن طاقة الحركة التي فقدها المتزلج تتحول إلى طاقة وضع جاذبية أثناء صعوده المنحدَر. وينص مبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها على أن:

بالنظر إلى الشكل الموجود في السؤال، يمكننا ملاحظة أن الارتفاع الذي يصل إليه المتزلج أعلى المنحدَر يُعطى كالآتي:

بما أننا ذكرنا أن طاقة وضع الجاذبية عند قاعدة المنحدَر تساوي 0 J، فإن طاقة وضع الجاذبية التي اكتسبها المتزلج تساوي طاقة وضع الجاذبية عند أعلى المنحدَر. إذن، يمكننا كتابة أن طاقة وضع الجاذبية التي اكتسبها المتزلج تُعطى بالمعادلة الآتية:

نعلم أن هذا يساوي طاقة الحركة المفقودة طبقًا لمبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها.

لكننا نعلم أيضًا أن طاقة الحركة النهائية عند قمة المنحدَر تساوي 0 J، إذن طاقة الحركة المفقودة تساوي طاقة الحركة الابتدائية عند قاعدة المنحدَر. إذا افترضنا أن سرعة المتزلج عند قاعدة المنحدَر، فسنتمكن من كتابة طاقة الحركة الابتدائية (التي تساوي طاقة الحركة المفقودة) كالآتي:

بالتعويض بمعادلتَي طاقة الحركة المفقودة وطاقة وضع الجاذبية المكتسبة في معادلة مبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها، يصبح لدينا:

بما أننا نحاول إيجاد السرعة الابتدائية ، فسنعيد ترتيب هذه المعادلة ليصبح في طرف بمفرده. وهي بالضبط عملية إعادة الترتيب نفسها التي أجريناها في الجزء الأول من السؤال. نلاحظ أولًا أنه يمكننا حذف الكتلة من طرفَي المعادلة:

بضرب الطرفين بعد ذلك في 2، ثم بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على:

وأخيرًا، كل ما علينا فعله هو التعويض بقيمة عجلة الجاذبية وإيجاد قيمة التعبير:

بمراعاة أن السؤال طلب منا تقريب هذه الإجابة لأقرب منزلة عشرية، نتوصل إلى أن إجابة الجزء الثاني من السؤال؛ أي إن سرعة المتزلج عند قاعدة المنحدَر، اللازمة للوصول إلى أعلى المنحدَر تساوي 14.1 m/s.

مثال ٣: تحوُّل الطاقة الميكانيكية

طفل كتلته 36 kg يحمل لوحَ تزلُّجٍ كتلته 14 kg لأعلى قمة منحدَر مائل بانتظام، سار الطفل 33 m على طول المنحدَر قاطعًا بذلك مسافة رأسية لأعلى تساوي 8.8 m. وضع الطفل لوح التزلج على المنحدَر، وتسلَّق بحذر على اللوح. كان وزن الطفل المضاف إلى اللوح كافيًا فقط لبدء تحرُّك لوح التزلج وانزلاقه أسفل المنحدَر، وكانت سرعته عند وصوله إلى قاعدة المنحدَر 10 m/s.

1. ما الطاقة المبدَّدة خلال حركة لوح التزلج أسفل المنحدَر؟
2. ما متوسط قوة الاحتكاك التي يؤثِّر بها المنحدَر على اللوح خلال حركته؟ قرِّب إجابتك لأقرب نيوتن.

الحل

الجزء الأول

في هذا السؤال، لدينا طفل يتسلق منحدَرًا ومعه لوحُ تزلُّجٍ ثم ينزلق لأسفل على اللوح. بمجرد أن يتسلق الطفل المنحدَر، يصبح ساكنًا في البداية (سرعته تساوي 0 m/s) عند ارتفاع رأسي .

يتحرك الطفل ولوح التزلج مسافة على طول المنحدَر أثناء انزلاقه لأسفل عائدًا إلى الارتفاع 0 m عند قاعدة المنحدَر. وعند هذه النقطة، تصبح سرعته .

بما أن الطفل ولوح التزلج يتحركان معًا، فيمكن اعتبارهما جسمًا واحدًا في العمليات الحسابية. الكتلة الكلية لهذا الجسم تساوي كتلة الطفل، وهي 36 kg، زائد كتلة لوح التزلج، وهي 14 kg. إذا أطلقنا على هذه الكتلةِ الكتلةَ الكليةَ ، فسنجد أن:

يمكننا رسم شكل يوضح هذه المعلومات.

بتسلق المنحدَر، يكتسب الطفل ولوح التزلج طاقة وضع جاذبية. وبما أن طاقة وضع الجاذبية لجسم كتلته على الارتفاع تُعطى بالمعادلة: حيث عجلة الجاذبية، ففي هذه الحالة يكون ، و، فيصبح لدينا:

يمكننا أن نتذكر أيضًا أن عجلة الجاذبية ، ما يعني أن طاقة وضع الجاذبية للطفل ولوح التزلج عند أعلى المنحدَر تُعطى كالآتي:

بما أن الطفل ينزلق إلى أسفل المنحدَر على لوح التزلج، فإنه يفقد طاقة وضع جاذبية نظرًا لانخفاض الارتفاع. يتحول جزء من طاقة وضع الجاذبية إلى طاقة حركة نظرًا لازدياد السرعة، ويتبدد الجزء الآخر بفعل الاحتكاك.

ينص مبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها على أن:

يمكننا إيجاد طاقة الحركة المكتسبة بما أننا نعلم أن طاقة الحركة تُعرَّف كالآتي: نعلم أن الكتلة تساوي 50 kg، وأن السرعة الابتدائية تساوي 0 m/s، والسرعة النهائية تساوي 10 m/s.

بما أن السرعة الابتدائية تساوي صفرًا، فإن طاقة الحركة الابتدائية تساوي 0 J؛ وعليه فإن طاقة الحركة المكتسبة تساوي طاقة الحركة النهائية:

إذن، يمكننا التعويض بقيمتَي طاقة وضع الجاذبية المفقودة (4‎ ‎312 J)، وطاقة الحركة المكتسبة (2‎ ‎500 J) في معادلة مبدأ تحوُّل الطاقة وحفظها:

علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة لتصبح الطاقة المبدَّدة في طرف بمفرده. ولفعل ذلك، نطرح 2‎ ‎500 J من الطرفين. بعد ذلك، بتبديل الطرفين الأيمن والأيسر للمعادلة، يصبح لدينا:

إذن، إجابة الجزء الأول من السؤال هي أن كمية الطاقة المبددة تساوي 1‎ ‎812 J.

الجزء الثاني

في الجزء الثاني من السؤال مطلوب منا إيجاد متوسط قوة الاحتكاك التي يؤثر بها المنحدَر على لوح التزلج أثناء حركة لوح التزلج.

ذكرنا في الجزء الأول أن الطاقة تبددت بفعل الاحتكاك المؤثر على لوح التزلج. على نحو أدق، تبذل قوة الاحتكاك شغلًا على اللوح، وتكون الطاقة المبدَّدة مساوية للشغل المبذول.

إذا رسمنا قوة الاحتكاك على هذا الشكل، فسنلاحظ أن قوة الاحتكاك تؤثر بشكل مستمر في الاتجاه المعاكس لحركة اللوح أثناء انزلاقه لأسفل المنحدَر محاوِلة إبطاءه.

يمكننا أن نتذكر أن الشغل المبذول، ، بواسطة قوة متوسطة مقدارها تؤثر على طول المسافة يُعطى بالمعادلة:

علينا إيجاد متوسط القوة ؛ لذا سنعيد ترتيب هذه المعادلة بقسمة الطرفين على (وتبديل الطرفين الأيسر والأيمن أيضًا) ليصبح في طرف بمفرده:

المسافة في هذه الحالة هي المسافة المقطوعة على طول المنحدَر، لأن الاحتكاك يؤثر على الدوام بطول هذه المسافة التي ينزلق عليها اللوح. إذن، .

ونعلم أيضًا أن:

بالتعويض بهذه القيم في المعادلة لإيجاد ، نحصل على:

بحساب قيمة هذا التعبير، يصبح لدينا:

بملاحظة أنه مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب نيوتن، نجد أن متوسط قوة الاحتكاك التي تؤثر على لوح التزلج أثناء حركته تساوي 55 N.