نسخة الفيديو النصية
استخدم المصفوفات لحل النظام من المعادلتين ﻥ زائد واحد يساوي اثنين ﻡ، وﻥ يساوي ﻡ زائد اثنين.
تذكر أنه إذا كان لدينا معادلتان خطيتان ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﻫ وﺟﺱ زائد دﺹ يساوي ﻭ، فبناء على الطريقة التي نضرب بها مصفوفتين، يمكننا كتابة ذلك على صورة مكافئة وهي المصفوفة ﺃ، ﺏ، ﺟ، د في المصفوفة ﺱ، ﺹ يساوي المصفوفة ﻫ، ﻭ. إذا افترضنا أن ﺃ هو المصفوفة التي عناصرها ﺃ، وﺏ، وﺟ، ود؛ و ﺱ هو مصفوفة العمود التي عنصراها ﺱ، ﺹ؛ و ﺏ هو مصفوفة العمود التي عنصراها ﻫ، ﻭ، يمكننا ضرب طرفي المعادلة في معكوس المصفوفة ﺃ إن وجد. وهذا يعطينا ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ.
وهذه هي طريقة حل نظام من معادلتين. سنبدأ بكتابة المعادلتين في صورة معادلة مصفوفية، ثم نوجد معكوس المصفوفة التي حددنا أنها تساوي ﺃ. وبمجرد إيجاده، يمكننا ضربه في المصفوفة ﺏ، وهو ما يعطينا المصفوفة ﺱ. لكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا نعد ترتيب المعادلتين بحيث يكون المتغيران، وهما ﻥ وﻡ في هذه المسألة، في طرف واحد. في المعادلة الأولى، نطرح اثنين ﻡ ونطرح واحدًا لنحصل على ﻥ ناقص اثنين ﻡ يساوي سالب واحد. وبالنسبة إلى المعادلة الثانية، سنطرح ﻡ فقط. لنحصل على ﻥ ناقص ﻡ يساوي اثنين.
وبما أننا نتعامل مع ﻥ وﻡ بدلًا من ﺱ وﺹ، فإننا نعيد تعريف الصورة العامة. إذن، ﺃﻥ زائد ﺏﻡ يساوي ﻫ، وﺟﻥ زائد دﻡ يساوي ﻭ. ﺃ وﺏ هما، على الترتيب، معاملا ﻥ وﻡ في المعادلة الأولى، وهما واحد وسالب اثنين. وبالمثل ﺟ ود هما واحد وسالب واحد. إذن، المصفوفة ﺃ هي المصفوفة التي عناصرها: واحد، سالب اثنين، واحد، سالب واحد. والمصفوفة ﺱ هي مصفوفة العمود التي تحتوي على المتغيرين، وهما ببساطة ﻥ، ﻡ. وتحتوي المصفوفة ﺏ على الثابتين، وهما سالب واحد، اثنين.
بما أنه يمكن حل المعادلة وإيجاد قيمتي ﻥ وﻡ من خلال ضرب معكوس ﺃ في ﺏ، فمن الواضح أن علينا إيجاد معكوس ﺃ أولًا. بافتراض أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ لا تساوي صفرًا، فإن المعكوس يساوي واحدًا على محدد ﺃ في المصفوفة التي عناصرها د، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ، حيث المحدد هو ﺃد ناقص ﺏﺟ. بعبارة أخرى، المحدد هو حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر ناقص حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. ونوجد المعكوس بضرب واحد على محدد المصفوفة في المصفوفة التي تم فيها تبديل العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر بعضهما ببعض، وتغيير إشارتي العنصرين الباقيين.
لنبدأ بالتأكد من أن محدد المصفوفة لا يساوي صفرًا. نضرب واحدًا في سالب واحد ناقص سالب اثنين في واحد. هذا يساوي سالب واحد زائد اثنين، وهو ما يساوي واحدًا. ومن ثم فإن معكوس ﺃ يساوي واحدًا على محدد ﺃ، أي واحدًا على واحد. وبعد ذلك، نبادل بين العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، أي نبادل بين واحد وسالب واحد. ثم نغير إشارة العنصرين الباقيين. وبذلك نجد أن معكوس ﺃ يساوي واحدًا على واحد في المصفوفة التي عناصرها: سالب واحد، اثنان، سالب واحد، واحد؛ وينتج عن ذلك ببساطة المصفوفة التي عناصرها: سالب واحد، اثنان، سالب واحد، واحد.
بوضع هذا في الاعتبار، يمكننا الآن التعويض بكل القيم المعلومة عن نظام المعادلات في الصورة العامة للحل، وهو ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ. ﺱ هي المصفوفة ﻥ، ﻡ. لقد أوجدنا للتو معكوس المصفوفة ﺃ، وﺏ هو مصفوفة الثابتين؛ سالب واحد، اثنين. بعد ذلك، نضرب هاتين المصفوفتين، من خلال إيجاد حاصل الضرب القياسي لعنصري الصف الأول بالمصفوفة الأولى في عنصري عمود المصفوفة الثانية. هذا يساوي سالب واحد في سالب واحد زائد اثنين في اثنين، وهو ما يساوي خمسة. ثم نكرر ذلك، ونوجد حاصل الضرب القياسي لعنصري الصف الثاني في عنصري مصفوفة العمود. وهو ما يساوي سالب واحد في سالب واحد زائد واحد في اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن، المصفوفة ﺱ التي عنصراها ﻥ، ﻡ هي خمسة، ثلاثة.
يمكننا إذن القول إن حل نظام من معادلتين وفقًا للترتيب الأبجدي هو ﻡ يساوي ثلاثة وﻥ يساوي خمسة. أو يمكننا إعادة كتابة الحل في صورة معادلة مصفوفية، ونضع فيها ﻡ أولًا لأننا نرتب ترتيبًا أبجديًّا. وبذلك تكون مصفوفة الحل هي ﻡ، ﻥ تساوي ثلاثة، خمسة.
