شارح الدرس: حلُّ نظام من معادلتين باستخدام معكوس المصفوفة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحلُّ نظامًا مكوَّنًا من معادلتين خطيتين باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات.

يمكننا حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين، وتُسمَّيان أيضًا معادلتين آنيتين، باستخدام طرق التعويض أو الحذف؛ لذا، من المنطقي أن نتساءل عن سبب الحاجة إلى تعلُّم طريقة مختلفة لحل النظام نفسه. في الواقع، استخدام معكوس المصفوفة لحل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين يكون أكثر تطورًا من الطريقتين السابقتين، وهو ما يبرِّر هذا السؤال. نحن ندرس هذه الطريقة باعتبارها نموذجًا لفهم العلاقة بين نظام المعادلات الخطية والمصفوفات. وبما أن النظام المكوَّن من معادلتين خطيتين هو أبسط نموذج يربط نظام المعادلات بالمصفوفات، فمن المنطقي أن نبدأ به هنا.

يمكن استخدام الطريقة التي سنتعلَّمها في هذا الشارح في نظام يحتوي على عدد أكبر من المعادلات الخطية والمتغيِّرات المجهولة، على الرغم من أننا لن نتناول هنا أنظمة أكبر. وفي حين أن حل نظام من معادلتين خطيتين ليس أمرًا صعبًا للغاية دون استخدام المصفوفات، فإن فعل ذلك يكون أكثر تعقيدًا عندما يكون لدينا ثلاث معادلات أو أكثر. وبفهم العلاقة بين نظام المعادلات الخطية والمصفوفات، يمكننا ترتيب نظام المعادلات المُعطى في معادلة مصفوفية مختصرة، يُمكِن حلها باستخدام طريقة مماثلة لتلك التي سنتناولها هنا.

قبل أن نتناول كيفية حل المعادلات الآنية باستخدام المصفوفات، علينا فهم كيفية حل أي معادلة مصفوفية. هيا نتعرَّف على معكوس المصفوفة.

تعريف: معكوس المصفوفات

إذا كان لدينا مصفوفة مربعة 󰏡، فإن معكوس المصفوفة 󰏡١ يمثِّل مصفوفة مربعة لها الرتبة نفسها تحقِّق: 󰏡󰏡=󰏡󰏡=𝐼،١١ حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة من الرتبة نفسها. إذا كانت هذه المصفوفة موجودة، فإننا نقول إن المصفوفة 󰏡 قابلة للعكس.

افترِض أن لدينا معادلة مصفوفية 󰏡𞹎=𞸁؛ حيث 󰏡، 𞸁 مصفوفتان معلومتان من الرتبة 𞸍×𞸍، 𞸍×𞸊، على الترتيب، 𞹎 مصفوفة مجهولة من الرتبة 𞸍×𞸊. نفترض أيضًا أن 󰏡 مصفوفة قابلة للعكس. نحن نعلم أنه لضرب أي مصفوفتين، لا بد أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة الأولى عدد صفوف المصفوفة الثانية. نلاحظ أن عملية ضرب المصفوفتين 󰏡𞹎 تكون مُعرَّفة.

وبما أن المصفوفة 󰏡 قابلة للعكس، فإن لها معكوسًا من الرتبة 𞸍×𞸍، ونرمز إلى ذلك بالرمز 󰏡١. بالضرب من اليمين في 󰏡١ في كلا طرفَي المعادلة 󰏡𞹎=𞸁، نحصل على:

󰏡󰏡𞹎=󰏡𞸁.١١()١

في الطرف الأيمن من المعادلة نعرف أن 󰏡󰏡=𝐼١؛ حيث 𝐼 المحايد الضربي. ومن ثَمَّ: 󰏡󰏡𞹎=𝐼𞹎=𞹎.١

بالتعويض بهذا التعبير في الطرف الأيمن من المعادلة (١)، يمكننا كتابة: 𞹎=󰏡𞸁.١

كلٌّ من 󰏡١، 𞸁 مصفوفة معلومة؛ ومن ثَمَّ، هذا يُعطينا الحل للمعادلة المصفوفية 󰏡𞹎=𞸁.

خطوات: حل المعادلات المصفوفية

نفترض أن 󰏡 مصفوفة قابلة للعكس، وأن 𞸁 مصفوفة بحيث تكون عملية ضرب 󰏡𞸁١ معرَّفة. المصفوفة 𞹎 التي تحقِّق المعادلة 󰏡𞹎=𞸁 تُعطى بالصيغة: 𞹎=󰏡𞸁.١

توفِّر لنا هذه الطريقة وسيلة لحل أي معادلة مصفوفية على الصورة 󰏡𞹎=𞸁 إذا كانت المصفوفة 󰏡 قابلة للعكس. ولكن لا يمكن استخدام هذه الطريقة عندما تكون المصفوفة 󰏡 غير قابلة للعكس. وهذا يمكن أن يحدث إذا كانت المصفوفة 󰏡 ليست مصفوفة مربعة، أو إذا كانت المصفوفة 󰏡 مصفوفة مربعة ود󰏡=٠. وفي هاتين الحالتين، تحتوي المعادلة المصفوفية إما على عدد لا نهائي من الحلول وإما لا يكون لها حلٌّ. ومثالٌ بسيط لذلك، يمكننا التفكير في الحالة التي يكون فيها 󰏡=؛ حيث مصفوفة صفرية.

نحن نعرف أن مصفوفة غير قابلة للعكس؛ لأن د=٠. والمعادلة المصفوفية 𞹎=𞸁 ليس لها حل إذا كانت 𞸁 مصفوفة غير صفرية؛ لأن ضرب مصفوفة صفرية في أي مصفوفة تَنتج عنه مصفوفة صفرية. من ناحية أخرى، إذا كانت 𞸁 مصفوفة صفرية رُتبتها هي نفس الرتبة الناتجة من عملية ضرب المصفوفتين هذه، فإن أي مصفوفة 𞹎 تحقِّق المعادلة 𞹎=. هذا يعني أن هذه المعادلة المصفوفية لها عدد لا نهائي من الحلول.

في المثال الأول، سنحل معادلة مصفوفية باستخدام معكوس المصفوفة.

مثال ١: حل معادلات المصفوفات باستخدام معكوساتها

إذا كان: 󰏡=󰂔٢٥٨٩󰂓،󰏡󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٢٨󰂓،١ فما قيمة 𞸑؟

الحل

في هذا المثال، لدينا معادلة مصفوفية. المصفوفة 󰂔𞸎𞸑󰂓 مصفوفة مجهولة. إذا أوجدنا هذه المصفوفة، فيمكننا إيجاد قيمة 𞸑.

لا يُعطينا المثال المصفوفة 󰏡، بل يُعطينا معكوس هذه المصفوفة 󰏡١. تذكَّر أن معكوس المصفوفة المربعة 󰏡، إن وُجِد، هو المصفوفة التي تحقِّق: 󰏡󰏡=󰏡󰏡=𝐼،١١ حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة. يمكننا الضرب من اليمين في 󰏡١ في كلا طرفَي المعادلة المُعطاة، لنحصل على: 󰏡󰏡󰂔𞸎𞸑󰂓=󰏡󰂔٢٨󰂓.١١

نحن نعرف أن 󰏡󰏡=𝐼١، وهو المحايد الضربي؛ ومن ثَمَّ، يمكننا تجاهل العامل 󰏡󰏡١ والتعويض بالتعبير المُعطى لـ 󰏡١ في الطرف الأيسر، ليصبح: 󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٢٥٨٩󰂓󰂔٢٨󰂓.

وبحساب هذه العملية لضرب المصفوفتين، نحصل على: 󰂔𞸎𞸑󰂓=󰃁٢×(٢)+(٥)×٨(٨)×(٢)+(٩)×٨󰃀=󰂔٤٤٦٥󰂓.

وهذا يؤدي إلى المصفوفة المجهولة. نحن نعلم أن أي مصفوفتين تكونان متساويتين إذا كان كل عنصرين متناظرين في المصفوفتين متساويين. ومن ثَمَّ، يؤدي ذلك إلى: 𞸎=٤٤،𞸑=٦٥.

وعلى وجه التحديد، يطلب السؤال إيجاد قيمة 𞸑، وهي تساوي: 𞸑=٦٥.

في المثال السابق، أوجدنا حل معادلة مصفوفية عندما كان لدينا معكوس المصفوفة 󰏡١. إذا لم يكن لدينا تعبير دال على 󰏡١، فيمكننا إيجاد معكوس المصفوفة باستخدام الصيغة الآتية، ما دام د󰏡٠.

صيغة: معكوس مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢

افترض أن 󰏡=󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀؛ حيث د󰏡٠. إذن: 󰏡=١󰏡󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀،١د حيث د󰏡=󰏡𞸃𞸁𞸢. إذا كان د󰏡=٠، فإن المصفوفة 󰏡 غير قابلة للعكس.

هيا نتناول مثالًا نحل خلاله معادلة مصفوفية بإيجاد معكوس مصفوفة من الرتبة ٢×٢ أولًا.

مثال ٢: حل معادلات المصفوفات باستخدام معكوساتها

إذا كان: 󰂔٥٨١٨󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٣٤١󰂓، فأوجد قيمتَي 𞸎، 𞸑.

الحل

في هذا المثال، لدينا معادلة مصفوفية. والمصفوفة 󰂔𞸎𞸑󰂓 مصفوفة مجهولة. إذا أوجدنا هذه المصفوفة، فسنتمكَّن من إيجاد قيمتَي 𞸎، 𞸑.

لعلنا نتذكَّر أنه بمعلومية المصفوفتين 󰏡، 𞸁، فإن المصفوفة المجهولة 𞹎، التي تحقِّق المعادلة 󰏡𞹎=𞸁، تُعطى بالصيغة: 𞹎=󰏡𞸁،١ وذلك إذا كان معكوس المصفوفة 󰏡١ موجودًا، وكانت عملية ضرب المصفوفتين 󰏡𞸁١ معرَّفة. في المثال المُعطى، هذه المصفوفة 󰏡 تناظِر المصفوفة التي رُتبتها ٢×٢، وهي 󰂔٥٨١٨󰂓. ومن ثَمَّ، يمكن كتابة هذا على الصورة:

󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٥٨١٨󰂓󰂔٣٤١󰂓،١()٢

وذلك إذا كان معكوس المصفوفة موجودًا، وكانت عملية ضرب المصفوفتين معرَّفة. إذن علينا البدء بإيجاد معكوس هذه المصفوفة، إن وُجِد.

نحن نعلم أن معكوس أي مصفوفة مربعة يكون موجودًا إذا كان محدِّدها لا يساوي صفرًا. هيا نحسب أولًا محدِّد هذه المصفوفة. نحن نعرف أن: د󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀=󰏡𞸃𞸁𞸢.

بتطبيق هذه الصيغة على المصفوفة من الرتبة ٢×٢ المُعطاة: د󰂔٥٨١٨󰂓=٥×(٨)٨×١=٨٤.

وبما أن المحدِّد لا يساوي صفرًا، إذن يمكننا الاستمرار لإيجاد معكوسها. نتذكَّر أن صيغة معكوس المصفوفة التي رُتبتها ٢×٢ هي: 󰏡=١󰏡󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.١د

ومن ثَمَّ، باستخدام محدِّد المصفوفة الذي أوجدناه سابقًا: 󰂔٥٨١٨󰂓=١٨٤󰂔٨٨١٥󰂓.١

وبالتعويض بهذا المقدار في المعادلة (٢): 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٨٤󰂔٨٨١٥󰂓󰂔٣٤١󰂓.

ونحن نعلم أنه لضرب أي مصفوفتين، لا بد أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة الأولى عدد صفوف المصفوفة الثانية. وبحساب هذه العملية لضرب المصفوفتين، نحصل على: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٨٤󰃁(٨)×(٣٤)+(٨)×١(١)×(٣٤)+٥×١󰃀=١٨٤󰂔٦٣٣٨٤󰂓.

وأخيرًا، بحساب الضرب في عدد ثابت: 󰂔𞸎𞸑󰂓=٦٣٣٨٤٨٤٨٤=󰂔٧١󰂓.

وهذا يؤدِّي إلى المصفوفة المجهولة. نحن نعلم أن أي مصفوفتين تكونان متساويتين إذا كان كل عنصرين متناظرين في المصفوفتين متساويين. ومن ثَمَّ، يؤدي ذلك إلى: 𞸎=٧،𞸑=١.

حسنًا، لقد تناولنا حتى الآن بعض الأمثلة التي أوجدنا خلالها حلًّا لمعادلات مصفوفية باستخدام معكوس المصفوفة. هيا نركِّز انتباهنا على نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين.

خطوات: تمثيل أنظمة مكوَّنة من معادلتين على صورة معادلات مصفوفية

افترض أن لدينا نظامًا مكوَّنًا من معادلتين تُعطَيان على الصورة: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸤،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸅، لأي ثوابت معلومة 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، 𞸤، 𞸅. يمكننا كتابة هذا النظام المكوَّن من معادلتين على صورة معادلة مصفوفية واحدة: 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸅󰂓.

إذا أجرينا عملية ضرب المصفوفات في الطرف الأيمن من المعادلة المصفوفية، فإنها تساوي: 󰃁󰏡𞸎+𞸁𞸑𞸢𞸎+𞸃𞸑󰃀=󰂔𞸤𞸅󰂓.

وبمساواة العناصر المتناظرة من المصفوفتين في كلا طرفَي هذه المعادلة يَنتج نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين. ومن ثَمَّ، تكافئ هذه المعادلة المصفوفية نظامًا مكوَّنًا من معادلتين خطيتين. وبما أنه يمكننا كتابة نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية، إذن يمكننا حل هذا النظام باستخدام معكوس المصفوفة.

يمكننا ملاحظة أن معاملات 𞸎، 𞸑 في نظام المعادلات أصبحت مصفوفة من الرتبة ٢×٢ في المعادلة المصفوفية. ويُطلَق عليها مصفوفة المعاملات؛ لأن عناصرها تأتي من معاملات المعادلات الآنية. فعند كتابة مصفوفة المعاملات، علينا أن ننتبه لترتيب العناصر. وبما أن مصفوفة المتغيِّرات تحتوي على 𞸎 باعتباره عنصرها الأول، فإن معاملات 𞸎 تظهر في العمود الأول. ومن ثَمَّ، تُستخدم مصفوفة المعاملات نفسها حتى إذا كُتبت المعادلة الأولى في النظام على الصورة 𞸁𞸑+󰏡𞸎=𞸤. وبدلًا من تتبُّع ترتيب المعاملات المكتوبة في المعادلة المُعطاة، علينا الانتباه إلى متغيِّر المعامل.

كما نلاحظ أيضًا أن مصفوفة العمود الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة المصفوفية تحتوي على الحدين الثابتين من الطرفين الأيسرين للمعادلتين الآنيتين. ويجب أن يكون ترتيب هذين الثابتين مطابقًا لمصفوفة المعاملات. وبما أن معاملات المعادلة الأولى، 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸤، تُكتب في الصف الأول من مصفوفة المعاملات، فلا بد أن يظهر أيضًا الثابت 𞸤 من هذه المعادلة في الصف الأول لهذه المعادلة المصفوفية.

تمامًا كما ذكرنا عند حل المعادلات المصفوفية، هذا يعني أيضًا أن نظام المعادلات إما أنه ليس له حل وإما أن له عددًا لا نهائيًّا من الحلول عندما تكون مصفوفة المعاملات غير قابلة للعكس.

في المثال الآتي، سنكتب معادلتين آنيتين في معادلة مصفوفية، ثم نحل المعادلة المصفوفية باستخدام معكوس المصفوفة.

مثال ٣: حل معادلتين آنيتين باستخدام المصفوفات

لدينا المعادلتان الآنيتان: ٤𞸎٢𞸑=٠،٣𞸑+٥𞸎=١١.

  1. عبِّر عن المعادلتين الآنيتين على صورة معادلة مصفوفية.
  2. اكتب معكوس مصفوفة المعاملات.
  3. اضرب في معكوس المصفوفة، من جهة اليمين، لحل المعادلة المصفوفية.

الحل

الجزء الأول

تذكَّر أن أي معادلتين آنيتين بالصيغة: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸤،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸅 يمكن كتابتهما على صورة معادلة مصفوفية: 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸅󰂓.

من المهم هنا الإشارة إلى أن مصفوفة المعاملات 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀 تتكوَّن من معاملات المعادلتين الآنيتين بالترتيب المُعطى في مصفوفة المتغيِّرات 󰂔𞸎𞸑󰂓. هذا يعني أن العمود الأول من مصفوفة المعاملات يحتوي على معاملات المتغيِّر 𞸎، أما العمود الثاني فيحتوي على معاملات المتغيِّر 𞸑. وعلى وجه التحديد، يجب أن نلاحظ أولًا أن ٥𞸎، ٣𞸑 مكتوبان بترتيب عكسي. يمكننا إعادة ترتيب هاتين المعادلتين الآنيتين، لتصبحا: ٤𞸎٢𞸑=٠،٥𞸎+٣𞸑=١١.

بعد ذلك، يمكننا كتابة: 󰂔٤٢٥٣󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٠١١󰂓.

الجزء الثاني

في هذا الجزء، علينا إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات. في الجزء السابق، أوجدنا مصفوفة المعاملات 󰂔٤٢٥٣󰂓. ونحن نعلم أن معكوس أي مصفوفة مربعة يكون موجودًا إذا كان محدِّدها لا يساوي صفرًا. هيا نحسب أولًا محدِّد هذه المصفوفة. ونحن نعرف أن: د󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀=󰏡𞸃𞸁𞸢.

بتطبيق هذه الصيغة على مصفوفة المعاملات: د󰂔٤٢٥٣󰂓=٤×٣(٢)×٥=٢٢.

وبما أن المحدِّد لا يساوي صفرًا، إذن يمكننا الاستمرار لإيجاد معكوس المصفوفة. نتذكَّر أن صيغة معكوس المصفوفة من الرتبة ٢×٢ هي: 󰏡=١󰏡󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.١د

ومن ثَمَّ، باستخدام محدِّد المصفوفة الذي أوجدناه سابقًا: 󰂔٤٢٥٣󰂓=١٢٢󰂔٣٢٥٤󰂓.١

الجزء الثالث

في هذا الجزء، علينا ضرب كلا الطرفين في معكوس المصفوفة من اليمين وحل المعادلة المصفوفية. نبدأ بالمعادلة المصفوفية: 󰂔٤٢٥٣󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٠١١󰂓.

بضرب طرفَي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات، يصبح لدينا: 󰂔٤٢٥٣󰂓󰂔٤٢٥٣󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٤٢٥٣󰂓󰂔٠١١󰂓.١١

في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، يُضرَب معكوس مصفوفة المعاملات في مصفوفة المعاملات. تذكَّر أنه لأي مصفوفة قابلة للعكس 󰏡، يصبح لدينا: 󰏡󰏡=𝐼،١ حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة. وهذا يعني: 󰂔٤٢٥٣󰂓󰂔٤٢٥٣󰂓=𝐼.١

وبما أن 𝐼 هي مصفوفة الوحدة، التي تُضرَب في مصفوفة المتغيِّرات، إذن يمكننا إهمال هذا الحد. وهذا يؤدِّي إلى: 󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٤٢٥٣󰂓󰂔٠١١󰂓.١

يمكننا الآن التعويض بمعكوس المصفوفة من الجزء السابق: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٢٢󰂔٣٢٥٤󰂓󰂔٠١١󰂓.

وبحساب هذه العملية لضرب المصفوفتين، نحصل على: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٢٢󰃁٣×٠+٢×(١١)٥×٠+٤×(١١)󰃀=١٢٢󰂔٢٢٤٤󰂓.

وأخيرًا، بحساب الضرب في عدد ثابت: 󰂔𞸎𞸑󰂓=٢٢٢٢٤٤٢٢=󰂔١٢󰂓.

إذن حل المعادلة المصفوفية هو: 󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔١٢󰂓.

في المثال السابق، أوجدنا حل المعادلة المصفوفية المناظرة لزوج مُعطى من المعادلات الآنية. وعلى الرغم من أننا لم نتحقَّق صراحةً من ذلك، فإنه يتضح أن القيمتين اللتين أوجدناهما لكلٍّ من 𞸎، 𞸑 تحقِّقان المعادلتين الآنيتين المُعطاتين. في المسألة الآتية، سنحل معادلتين آنيتين باستخدام المصفوفات.

مثال ٤: حل نظام من معادلتين باستخدام المصفوفات

استخدم المصفوفات لحل النظام: 𞸎+٥𞸑=٨،٣𞸎+𞸑=٨.

الحل

في هذا المثال، علينا حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام المصفوفات. نعلم أنه يمكننا كتابة أي نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في معادلة مصفوفية مكافئة. هيا نتذكَّر هذه الطريقة. إذا كان لدينا نظام من معادلتين: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸤،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸅، فيمكننا كتابة معادلة مصفوفية مكافئة: 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸅󰂓.

من المهم هنا الإشارة إلى أن مصفوفة المعاملات 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀 تتكوَّن من معاملات المعادلتين الآنيتين بالترتيب المُعطى في مصفوفة المتغيِّرات 󰂔𞸎𞸑󰂓. هذا يعني أن العمود الأول من مصفوفة المعاملات يحتوي على معاملات المتغيِّر 𞸎، أما العمود الثاني فيحتوي على معاملات المتغيِّر 𞸑.

ونلاحظ أن المتغيِّر 𞸎 الموجود في المعادلة الأولى مصحوب فقط بإشارة سالبة. وهذا يُشير إلى أن معامل 𞸎 في هذه المعادلة يساوي ١. وأيضًا المتغيِّر 𞸑 في المعادلة الثانية لا يُظهر أي معاملات، وهو ما يعني أن معامله يساوي ١. يمكننا إعادة كتابة هاتين المعادلتين الآنيتين بهذه المعلومات: ١𞸎+٥𞸑=٨،٣𞸎+١𞸑=٨.

بعد ذلك، يمكننا كتابة المعادلة المصفوفية:

󰂔١٥٣١󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٨٨󰂓.()٣

يمكننا حل المعادلة المصفوفية بالضرب من اليمين في معكوس مصفوفة المعاملات 󰂔١٥٣١󰂓 إن وُجِد. ونحن نعلم أن معكوس المصفوفة المربعة يكون موجودًا إذا كان محدِّدها لا يساوي صفرًا. هيا نحسب أولًا محدِّد هذه المصفوفة. نحن نعرف أن: د󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀=󰏡𞸃𞸁𞸢.

بتطبيق هذه الصيغة على مصفوفة المعاملات: د󰂔١٥٣١󰂓=(١)×١٥×(٣)=٤١.

وبما أن المحدِّد لا يساوي صفرًا، إذن يمكننا الاستمرار لإيجاد معكوس المصفوفة. نتذكَّر أن صيغة معكوس المصفوفة من الرتبة ٢×٢ هي: 󰏡=١󰏡󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.١د

ومن ثَمَّ، باستخدام محدِّد المصفوفة الذي أوجدناه سابقًا: 󰂔١٥٣١󰂓=١٤١󰂔١٥٣١󰂓.١

نتذكَّر أنه لأي مصفوفة قابلة للعكس 󰏡، يصبح لدينا: 󰏡󰏡=𝐼،١ حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة. وهذا يعني أنه يمكننا حذف مصفوفة المعاملات من الطرف الأيمن في المعادلة (٣) بالضرب من اليمين في معكوس مصفوفة المعاملات. بضرب طرفَي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات، يصبح لدينا: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٤١󰂔١٥٣١󰂓󰂔٨٨󰂓.

ونحن نعلم أنه لضرب أي مصفوفتين، لا بد أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة الأولى عدد صفوف المصفوفة الثانية. نلاحظ أن عملية ضرب المصفوفتين في الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة في السابق معرَّفة. وبحساب هذه العملية لضرب المصفوفتين، نحصل على: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٤١󰃁١×٨+(٥)×٨٣×٨+(١)×٨󰃀=١٤١󰂔٢٣٦١󰂓.

وأخيرًا، بحساب الضرب في عدد ثابت: 󰂔𞸎𞸑󰂓=٢٣٤١٦١٤١=٦١٧٨٧.

وهذا يُعطينا حل المعادلة المصفوفية: 󰂔𞸎𞸑󰂓=٦١٧٨٧.

نحن نعلم أن أي مصفوفتين تَكونان متساويتين إذا كان كل عنصرين متناظرين متساويين. ومن ثَمَّ، نحصل على حل لنظام المعادلات المُعطى: 𞸎=٦١٧،𞸑=٨٧.

في المثال الأخير، سنحل مسألة حياتية تتضمَّن نظامًا يتكوَّن من معادلتين باستخدام المصفوفات.

مثال ٥: حل معادلتين بهما مجهولان باستخدام المصفوفات

مستطيل طوله أكبر من ضعف عرضه بمقدار ٦ سم، وضعف طوله أكبر من عرضه بمقدار ٣٩ سم. باستخدام المصفوفات، أوجد محيط المستطيل.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد محيط المستطيل الذي يرتبط طوله وعرضه حسب الوصف المُعطى. نحن نعلم أن محيط المستطيل يساوي ضعف مجموع طوله وعرضه. هيا نبدأ بالإشارة إلى طول المستطيل وعرضه بالثابتين المجهولين 𞸎، 𞸑 على الترتيب. إذن: ا=٢(𞸎+𞸑).

نبدأ بكتابة العلاقة بين 𞸎، 𞸑 على صورة معادلات. أولًا، علمنا من السؤال أن طول المستطيل أكبر من ضعف عرضه بمقدار ٦ سم. ويمكن كتابة هذا على الصورة: 𞸎=٢𞸑+٦.

ثانيًا، علمنا أن ضعف طوله أكبر من عرضه بمقدار ٣٩ سم. ويمكن كتابة هذا على الصورة: ٢𞸎=٩٣+𞸑.

هيا نُعِدْ ترتيب هاتين المعادلتين؛ بحيث يحتوي الطرفان الأيمنان للمعادلتين على المتغيِّرات، ويحتوي الطرفان الأيسران على الثابتين: 𞸎٢𞸑=٦،٢𞸎𞸑=٩٣.

والآن، نحل هذا النظام المكوَّن من معادلتين باستخدام المصفوفات. تذكَّر أن النظام المكوَّن من معادلتين: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸤،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸅 يمكن كتابته على صورة معادلة مصفوفية: 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸅󰂓.

ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة هذا النظام المكوَّن من معادلتين على الصورة:

󰂔١٢٢١󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٦٩٣󰂓.()٤

يمكننا حل هذه المعادلة المصفوفية بالضرب من اليمين في معكوس مصفوفة المعاملات 󰂔١٢٢١󰂓 إن وُجِد. ونحن نعلم أن معكوس المصفوفة المربعة يكون موجودًا إذا كان محدِّدها لا يساوي صفرًا. هيا نحسب أولًا محدِّد هذه المصفوفة. نحن نعرف أن: د󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀=󰏡𞸃𞸁𞸢.

بتطبيق هذه الصيغة على مصفوفة المعاملات: د󰂔١٢٢١󰂓=١×(١)(٢)×٢=٣.

وبما أن المحدِّد لا يساوي صفرًا، إذن يمكننا الاستمرار لإيجاد معكوس المصفوفة. نتذكَّر أن صيغة معكوس المصفوفة من الرتبة ٢×٢ هي: 󰏡=١󰏡󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.١د

ومن ثَمَّ، باستخدام محدِّد المصفوفة الذي أوجدناه سابقًا: 󰂔١٢٢١󰂓=١٣󰂔١٢٢١󰂓.١

تذكَّر أنه لأي مصفوفة قابلة للعكس 󰏡، يصبح لدينا: 󰏡󰏡=𝐼،١ حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة. وهذا يعني أنه يمكننا حذف مصفوفة المعاملات من الطرف الأيمن في المعادلة (٤) بالضرب من اليمين في معكوس مصفوفة المعاملات. بضرب طرفَي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات، يصبح لدينا: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٣󰂔١٢٢١󰂓󰂔٦٩٣󰂓.

ونحن نعلم أنه لضرب أي مصفوفتين، لا بد أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة الأولى عدد صفوف المصفوفة الثانية. نلاحظ أن عملية ضرب المصفوفتين في الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة في السابق معرَّفة. وبحساب هذه العملية لضرب المصفوفتين، نحصل على: 󰂔𞸎𞸑󰂓=١٣󰂔١×٦+٢×٩٣٢×٦+١×٩٣󰂓=١٣󰂔٢٧٧٢󰂓.

وأخيرًا، بحساب الضرب في عدد ثابت: 󰂔𞸎𞸑󰂓=٢٧٣٧٢٣=󰂔٤٢٩󰂓.

نحن نعلم أن أي مصفوفتين تَكونان متساويتين إذا كان كل عنصرين متناظرين متساويين. ومن ثَمَّ، نحصل على حل لنظام المعادلات المُعطى: 𞸎=٤٢،𞸑=٩.

وهذا يؤدِّي إلى أن يكون محيط المستطيل هو: ٢(𞸎+𞸑)=٢(٤٢+٩)=٦٦.

هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • نفترض أن 󰏡 مصفوفة قابلة للعكس، وأن 𞸁 مصفوفة بحيث تكون عملية الضرب 󰏡𞸁١ معرَّفة. المصفوفة 𞹎 التي تحقِّق المعادلة 󰏡𞹎=𞸁 تُعطى بالصيغة: 𞹎=󰏡𞸁.١
  • إذا كانت المصفوفة 󰏡 غير قابلة للعكس، فإن المعادلة المصفوفية 󰏡𞹎=𞸁 تحتوي إما على عدد لا نهائي من الحلول وإما لا يكون لها حلٌّ.
  • افترض أن لدينا نظامًا مكوَّنًا من معادلتين تُعطيان بالصيغة: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸤،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸅، لأي ثوابت معلومة 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، 𞸤، 𞸅. يمكننا كتابة هذا النظام المكوَّن من معادلتين على صورة معادلة مصفوفية واحدة: 󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸅󰂓. ويمكن بعد ذلك حل هذه المعادلة باستخدام معكوس المصفوفة: 󰂔𞸎𞸑󰂓=󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀󰂔𞸤𞸅󰂓.١

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.