في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحلُّ نظامًا مكوَّنًا من معادلتين خطيتين باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات.
يُمكِننا حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين، وتُسمَّى المعادلات الخطية أيضًا بالمعادلات الآنية، باستخدام طريقة التعويض أو الحذف؛ لذا، من المنطقي أن نتساءل عن سبب الحاجة إلى تعلُّم طريقة أخرى لحل النظام نفسه. في الواقع، يُعَد استخدام معكوس المصفوفة لحل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين أكثر استخدامًا من الطريقتين السابقتين، وهذا الأمر هو الذي يبرِّر هذا التساؤل. إننا ندرس هذه الطريقة باعتبارها نموذجًا لفهم العلاقة بين نظام مكوَّن من معادلات خطية والمصفوفات. وبما أن النظام المكوَّن من معادلتين خطيتين هو أبسط نموذج يربط نظام المعادلات بالمصفوفات، فمن المنطقي أن نبدأ به هنا.
ويُمكِن أن نستخدم الطريقة التي سنتعلَّمها في هذا الشارح مع نظام يحتوي على عدد أكبر من المعادلات الخطية والمتغيِّرات المجهولة، على الرغم من أننا لن نتناول أنظمة أكبر هنا. وعلى الرغم من أنه ليس من الصعب للغاية حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين دون استخدام المصفوفات، فإن صعوبة الحل تزداد عندما يكون لدينا ثلاث معادلات أو أكثر. وبفهم العلاقة بين نظام مكوَّن من معادلات خطية والمصفوفات، هيا نرتِّب نظام المعادلات المُعطى ليصبح معادلة مصفوفية مختصرة، يُمكِن حلها باستخدام طريقة مماثلة لتلك التي سنتناولها هنا.
وقبل أن نتناول كيفية حل المعادلات الآنية باستخدام المصفوفات، علينا أن نفهم كيفية حل المعادلات المصفوفية. هيا نتذكَّر معكوس المصفوفة.
تعريف: معكوس المصفوفة
لأيِّ مصفوفة مربعة ، يكون معكوس المصفوفة، ، هو مصفوفة مربعة من الرتبة نفسها، تحقِّق العلاقة: حيث مصفوفة الوحدة من الرتبة نفسها. وإذا وُجِدت هذه المصفوفة، نقول إن المصفوفة قابلة للعكس.
هيا نفترِض أن لدينا المعادلة المصفوفية ؛ حيث ، مصفوفتان معلومتان من الرتبة على الترتيب، مصفوفة مجهولة من الرتبة . ولنفترضْ أيضًا أن مصفوفة قابلة للعكس. ونعلم أنه لضرب مصفوفتين، لا بد أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية. ويُمكِننا أن نلاحظ أن عملية ضرب المصفوفتين مُعرَّفة.
وبما أن المصفوفة قابلة للعكس، يكون لها معكوس مصفوفة من الرتبة ، ونرمز إليه بالرمز . وبضرب ، من اليمين، في كلا طرفَي المعادلة ، نحصل على:
وفي الطرف الأيمن من المعادلة، نعلم أن ؛ حيث المحايد الضربي. إذن:
بالتعويض بهذا المقدار في الطرف الأيمن من المعادلة (١)، يُمكِننا كتابة:
المصفوفتان ، معلومتان؛ ومن ثَمَّ يُعطينا هذا حل المعادلة المصفوفية .
خطوات: حل المعادلات المصفوفية
نفترض أن مصفوفة قابلة للعكس، وأن مصفوفة، بحيث تكون عملية ضرب معرَّفة. المصفوفة التي تحقِّق المعادلة تُعطى بالصيغة:
تقدِّم لنا هذه الطريقة وسيلة لحل أي معادلة مصفوفية على الصورة إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس. ولكن لا يمكن استخدام هذه الطريقة عندما تكون المصفوفة غير قابلة للعكس. وقد يحدث ذلك إذا لم تكُن المصفوفة مصفوفة مربعة، أو إذا كانت المصفوفة مصفوفة مربعة وكان . وفي كلتا الحالتين، المعادلة المصفوفية إما أن يكون لها عددٌ لا نهائي من الحلول، وإما ألَّا يكون لها حلٌّ. ومثالٌ بسيط لذلك، يُمكِننا تناول الحالة عندما يكون ؛ حيث مصفوفة صفرية.
إننا نعلم أن مصفوفة غير قابلة للعكس؛ وذلك لأن . ولن يكون للمعادلة المصفوفية حلٌّ إذا كانت مصفوفة غير صفرية؛ وذلك لأن ضرب مصفوفة صفرية في أي مصفوفة تَنتج عنه مصفوفة صفرية. من ناحيةٍ أخرى، إذا كانت مصفوفة صفرية رُتبتها هي نفس الرتبة الناتجة من عملية ضرب المصفوفتين هذه، فإن أي مصفوفة تحقِّق المعادلة . وهذا يعني أن لهذه المعادلة المصفوفية عددًا لا نهائيًّا من الحلول.
في المثال الأول، سنحل معادلة مصفوفية باستخدام معكوس المصفوفة.
مثال ١: حل معادلات من المصفوفات باستخدام معكوساتها
إذا كان: فما قيمة ؟
الحل
في هذا المثال، لدينا معادلة مصفوفية. والمصفوفة مصفوفة مجهولة. وإذا أوجدنا هذه المصفوفة، فسيمكننا إيجاد قيمة .
لا يُعطينا المثال المصفوفة ، بل يُعطينا معكوس هذه المصفوفة، . ولعلنا نتذكَّر أن معكوس المصفوفة المربعة ، إن وُجِد، هو المصفوفة التي تحقِّق العلاقة: حيث مصفوفة الوحدة. ويُمكِننا أن نضرب طرفَي المعادلة المُعطاة، من اليمين، في ، لنحصل على:
إننا نعلم أن ، وهو محايد ضربي؛ ومن ثَمَّ، يُمكِننا تجاهل العامل ، والتعويض بالمقدار المُعطى الذي يعبِّر عن في الطرف الأيسر، ليُمكِننا كتابة:
وبحساب عملية ضرب المصفوفتين هذه، نحصل على:
وهذا يُعطينا المصفوفة المجهولة. إننا نعلم أن أي مصفوفتين تكونان متساويتين إذا كان كل عنصرين متناظرين في المصفوفتين متساويين. إذن:
على وجه التحديد، يطلب السؤال إيجاد قيمة ، التي تساوي:
في المثال السابق، أوجدنا حل معادلة مصفوفية باستخدام معكوس المصفوفة، . وإذا لم يكُن لدينا تعبير دال على ، يُمكِننا إيجاد معكوس المصفوفة باستخدام الصيغة الآتية، ما دام .
صيغة: معكوس مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢
نفترض أن ؛ حيث . إذن: حيث . وإذا كان ، فإن المصفوفة غير قابلة للعكس.
هيا نتناول مثالًا نحل فيه معادلة مصفوفية عن طريق إيجاد معكوس مصفوفة من الرتبة أولًا.
مثال ٢: حل معادلات من المصفوفات باستخدام معكوساتها
إذا كان: فأوجد قيمتَي ، .
الحل
في هذا المثال، لدينا معادلة مصفوفية. والمصفوفة مجهولة. وإذا أوجدنا هذه المصفوفة، فسنتمكَّن من إيجاد قيمتَي ، .
ولعلنا نتذكَّر أنه بمعلومية المصفوفتين ، ، فإن المصفوفة المجهولة ، التي تحقِّق المعادلة ، تُعطى بالصيغة: إذا كان معكوس المصفوفة موجودًا، وكان من الممكن تعريف عملية ضرب المصفوفتين، . في المثال المُعطى، تناظر هذه المصفوفة، ، المصفوفة التي من الرتبة ، وهي . ومن ثَمَّ يُمكِن كتابة ذلك على الصورة:
إذا كان معكوس المصفوفة موجودًا، وكانت عملية ضرب المصفوفتين معرَّفة. ومن ثَمَّ علينا أن نبدأ بإيجاد معكوس هذه المصفوفة، إن وُجِد.
إننا نعلم أن معكوس أي مصفوفة مربعة يكون موجودًا إذا كان محدِّدها لا يساوي صفرًا. لذا هيا نحسب أولًا محدِّد هذه المصفوفة. إننا نعلم أن:
وبتطبيق هذه الصيغة على المصفوفة المُعطاة التي من الرتبة ، فإن:
وبما أن محدِّد المصفوفة لا يساوي صفرًا، إذن يُمكِننا الاستمرار في الحل لإيجاد معكوسها. ولعلنا نتذكَّر صيغة معكوس المصفوفة التي من الرتبة :
ومن ثَمَّ، باستخدام محدِّد المصفوفة الذي أوجدناه سابقًا، يكون:
وبالتعويض بهذا المقدار في المعادلة (٢)، نحصل على:
إننا نعلم أنه لضرب أي مصفوفتين، لا بد أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة الأولى عدد صفوف المصفوفة الثانية. وبإجراء عملية ضرب المصفوفتين هذه، نحصل على:
وأخيرًا، بإجراء عملية الضرب في عدد ثابت، نحصل على:
وهذا يُعطينا المصفوفة المجهولة. إننا نعلم أن أي مصفوفتين تكونان متساويتين إذا كان كل عنصرين متناظرين في المصفوفتين متساويين. إذن:
حتى الآن، تناولنا بعض الأمثلة التي حللنا فيها معادلات مصفوفية باستخدام معكوس المصفوفة. هيا نحوِّل تركيزنا إلى النظام المكوَّن من معادلتين خطيتين.
خطوات: تمثيل أنظمة مكوَّنة من معادلتين في صورة معادلات مصفوفية
هيا نفترض أن لدينا نظامًا مكوَّنًا من معادلتين مُعطاتين على الصورة: لأي ثوابت معلومة ، ، ، ، ، . ويُمكِننا أن نكتب هذا النظام المكوَّن من معادلتين في صورة معادلة مصفوفية واحدة:
إذا أجرينا عملية ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة المصفوفية، نحصل على:
وبمساواة العناصر المتناظرة من المصفوفتين في كلا طرفَي هذه المعادلة، نعود مرةً أخرى إلى النظام المكوَّن من معادلتين خطيتين. ومن ثَمَّ تكافئ هذه المعادلة المصفوفية نظامًا مكوَّنًا من معادلتين خطيتين. وبما أنه يُمكِن كتابة نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية، إذن نحل هذا النظام باستخدام معكوس المصفوفة.
نلاحظ أن معاملات ، في نظام المعادلات كوَّنت مصفوفة من الرتبة في المعادلة المصفوفية. ويُطلَق عليها مصفوفة المعاملات لأن عناصرها تأتي من معاملات المعادلات الآنية. وعند كتابة مصفوفة المعاملات، علينا أن ننتبه إلى ترتيب العناصر. وبما أن مصفوفة المتغيِّرات تحتوي على ، باعتباره عنصرها الأول، إذن معاملا يَظهران في العمود الأول. ومن ثَمَّ تُستخدم مصفوفة المعاملات نفسها حتى إذا كُتبت المعادلة الأولى في النظام على الصورة . وبدلًا من اتباع ترتيب المعاملات المكتوبة في المعادلة المُعطاة، علينا تحديد أي متغيِّر يكون المعامل له.
ونلاحظ أيضًا أن مصفوفة العمود الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة المصفوفية تحتوي على الحدَّيْن الثابتين من الطرفين الأيسرين للمعادلتين الآنيتين. ويجب أن يكون ترتيب هذين الثابتين مطابقًا لمصفوفة المعاملات. وبما أن معاملَي المعادلة الأولى، ، يُكتبان في الصف الأول من مصفوفة المعاملات، فلا بد أن يظهر أيضًا الثابت من هذه المعادلة في الصف الأول لهذه المعادلة المصفوفية.
وتمامًا، مثلما ذكرنا عند حل المعادلات المصفوفية، يعني هذا أيضًا أن نظام المعادلات إما أنه لا حل له، وإما أن له عددًا لا نهائيًّا من الحلول عندما تكون مصفوفة المعاملات غير قابلة للعكس.
في المثال الآتي، سنكتب معادلتين آنيتين في معادلة مصفوفية، ثم نحل المعادلة المصفوفية باستخدام معكوس المصفوفة.
مثال ٣: حل معادلتين آنيتين باستخدام المصفوفات
لدينا المعادلتان الآنيتان:
- عبِّر عن المعادلتين الآنيتين على صورة معادلة مصفوفية.
- اكتب معكوس مصفوفة المعاملات.
- اضرب في معكوس المصفوفة، الذي على اليمين، لحل المعادلة المصفوفية.
الحل
الجزء الأول
لعلنا نتذكَّر أن أيَّ زوج من المعادلات الآنية يُعطى بالصيغة: يُمكِن كتابته على صورة المعادلة المصفوفية:
في هذه الحالة، من المهم أن نذكُر أن مصفوفة المعاملات هي معامل المعادلتين الآنيتين بالترتيب المُعطى في مصفوفة المتغيِّرات . وهذا يعني أن العمود الأول من مصفوفة المعاملات يحتوي على معاملَي المتغيِّر ، ويحتوي العمود الثاني على معاملَي المتغيِّر . وعلى وجه التحديد، علينا أن نلاحظ أولًا أن ، مكتوبان بترتيب عكسي. ويُمكِننا إعادة ترتيب هاتين المعادلتين الآنيتين، لنحصل على:
إذن يُمكِننا أن نكتب:
الجزء الثاني
يطلب منا هذا الجزء من السؤال إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات. في الجزء السابق من السؤال، أوجدنا مصفوفة المعاملات . ونعلم أن معكوس أي مصفوفة مربعة يكون موجودًا إذا كان محدِّدها لا يساوي صفرًا. ومن ثَمَّ هيا نحسب محدِّد هذه المصفوفة أولًا. ونعلم أن:
وبتطبيق هذه الصيغة على مصفوفة المعاملات، نحصل على:
وبما أن المحدِّد لا يساوي صفرًا، إذن يُمكِننا الاستمرار لإيجاد معكوس المصفوفة. ولعلنا نتذكَّر أن صيغة معكوس المصفوفة من الرتبة هي:
إذن، باستخدام محدِّد المصفوفة الذي أوجدناه سابقًا، نحصل على:
الجزء الثالث
في هذا الجزء، علينا ضرب الطرف الأيمن من المعادلة بالكامل في المعكوس، وحل المعادلة المصفوفية. نبدأ بالمعادلة المصفوفية:
وبضرب طرفَي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات، نحصل على:
وفي الطرف الأيمن من هذه المعادلة، نضرب معكوس مصفوفة المعاملات في مصفوفة المعاملات. ولعلنا نتذكَّر أنه لأي مصفوفة قابلة للعكس، ، لدينا: حيث مصفوفة الوحدة. وهذا يعني أن:
وبما أن مصفوفة الوحدة، التي تُضرَب في مصفوفة المتغيِّرات، إذن يُمكِننا إهمال هذا الحد. وهذا يؤدِّي إلى:
والآن، يُمكِننا التعويض بمعكوس المصفوفة من الجزء السابق، لنحصل على:
وبإجراء عملية ضرب المصفوفتين هذه، نحصل على:
وأخيرًا، بإجراء عملية الضرب في عدد ثابت، نحصل على:
إذن حل المعادلة المصفوفية هو:
في المثال السابق، أوجدنا حل المعادلة المصفوفية المناظرة لزوج مُعطى من المعادلات الآنية. وعلى الرغم من أننا لم نتحقَّق صراحةً من ذلك، يتضح أن القيمتين اللتين أوجدناهما لكلٍّ من ، تحقِّقان المعادلتين الآنيتين المُعطاتين. في المسألة الآتية، سنحل معادلتين آنيتين باستخدام المصفوفات.
مثال ٤: حل نظام مكوَّن من معادلتين باستخدام المصفوفات
استخدم المصفوفات لحل النظام:
الحل
في هذا المثال، علينا حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين باستخدام المصفوفات. ونعلم أنه يُمكِننا تحويل أي نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين إلى معادلة مصفوفية مكافئة. هيا نتذكَّر هذه العملية. إذا كان لدينا نظام مكوَّن من المعادلتين الآتيتين: فسيُمكِننا كتابة المعادلة المصفوفية المكافئة الآتية:
جديرٌ بالذكر أن مصفوفة المعاملات هي معامل المعادلتين الآنيتين طبقًا للترتيب المُعطى في مصفوفة المتغيِّرات . وهذا يعني أن العمود الأول من مصفوفة المعاملات يحتوي على معاملَي المتغيِّر ، أما العمود الثاني فيحتوي على معاملَي المتغيِّر .
جديرٌ بالذكر أن المتغيِّر في المعادلة الأولى يكون مصحوبًا بإشارة سالبة فقط. وهذا يُشير إلى أن معامل في هذه المعادلة يساوي . وكذلك المتغيِّر في المعادلة الثانية لا تصحبه أي معاملات، وهو ما يعني أن معامله يساوي واحدًا. ويُمكِننا إعادة كتابة هاتين المعادلتين الآنيتين طبقًا لهذه المعلومات:
ومن ثَمَّ يُمكِننا كتابة المعادلة المصفوفية الآتية:
يُمكِننا حل المعادلة المصفوفية عن طريق الضرب، من اليمين، في معكوس مصفوفة المعاملات ، إن وُجِد. ونعلم أن معكوس المصفوفة المربعة يكون موجودًا إذا كان محدِّدها لا يساوي صفرًا. إذن هيا نحسب أولًا محدِّد هذه المصفوفة. إننا نعلم أن:
وبتطبيق هذه الصيغة على مصفوفة المعاملات، نحصل على:
وبما أن المحدِّد لا يساوي صفرًا، إذن يُمكِننا الاستمرار لإيجاد معكوس المصفوفة. ولعلنا نتذكَّر أن صيغة معكوس المصفوفة من الرتبة هي:
ومن ثَمَّ، باستخدام محدِّد المصفوفة الذي أوجدناه سابقًا، نحصل على:
ولعلنا نتذكَّر أنه لأي مصفوفة قابلة للعكس، ، يكون لدينا: حيث مصفوفة الوحدة. وهذا يعني أنه يُمكِننا حذف مصفوفة المعاملات من الطرف الأيمن من المعادلة (٣) عن طريق الضرب في معكوس مصفوفة المعاملات من اليمين. وبضرب طرفَي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات، نحصل على:
إننا نعلم أنه لضرب أي مصفوفتين، لا بد أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة الأولى عدد صفوف المصفوفة الثانية. ونلاحظ أن عملية ضرب المصفوفتين في الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة سابقًا معرَّفة. وبإجراء عملية ضرب المصفوفتين هذه، نحصل على:
وأخيرًا، بإجراء عملية الضرب في عدد ثابت، نحصل على:
وهذا يُعطينا حل المعادلة المصفوفية:
إننا نعلم أن أي مصفوفتين تَكونان متساويتين إذا كان كل عنصرين متناظرين متساويين. ومن ثَمَّ، نحصل على الحل لنظام المعادلات المُعطى:
في المثال الأخير، سنحل مسألة حياتية تتضمَّن نظامًا يتكوَّن من معادلتين باستخدام المصفوفات.
مثال ٥: حل معادلتين تحتويان على مجهولين باستخدام المصفوفات
مستطيل طوله أكبر من ضعف عرضه بمقدار ٦ سم، وضعف طوله أكبر من عرضه بمقدار ٣٩ سم. باستخدام المصفوفات، أوجد محيط المستطيل.
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد محيط المستطيل الذي يرتبط طوله بعرضه طبقًا للوصف المُعطى. إننا نعلم أن محيط المستطيل يساوي ضعف مجموع طوله وعرضه. هيا نبدأ بالإشارة إلى طول المستطيل وعرضه بالثابتين المجهولين ، على الترتيب. إذن:
ونبدأ بكتابة العلاقة بين ، على صورة معادلتين. أولًا، نعلم من معطيات السؤال أن طول المستطيل أكبر من ضعف عرضه بمقدار ٦ سم. ويُمكِن كتابة ذلك على الصورة:
ثانيًا، نعلم من المعطيات أيضًا أن ضعف طوله أكبر من عرضه بمقدار ٣٩ سم. ويُمكِن كتابة ذلك على الصورة:
هيا نُعِد ترتيب هاتين المعادلتين؛ بحيث يحتوي الطرفان الأيمنان للمعادلتين على المتغيِّرات، ويحتوي الطرفان الأيسران على الثابتين:
والآن، سنحل هذا النظام المكوَّن من معادلتين باستخدام المصفوفات. ولعلنا نتذكَّر أن النظام المكوَّن من المعادلتين: يُمكِن كتابته على صورة المعادلة المصفوفية:
ومن ثَمَّ يُمكِننا كتابة هذا النظام المكوَّن من معادلتين على الصورة:
يُمكِننا حل هذه المعادلة المصفوفية بالضرب من اليمين في معكوس مصفوفة المعاملات ، إن وُجِد. ونعلم أن معكوس المصفوفة المربعة يكون موجودًا إذا كان محدِّدها لا يساوي صفرًا. هيا نحسب أولًا محدِّد هذه المصفوفة. إننا نعلم أن:
وبتطبيق هذه الصيغة على مصفوفة المعاملات، نحصل على:
وبما أن المحدِّد لا يساوي صفرًا، إذن يُمكِننا الاستمرار لإيجاد معكوس المصفوفة. ولعلنا نتذكَّر أن صيغة معكوس المصفوفة من الرتبة هي:
ومن ثَمَّ، باستخدام محدِّد المصفوفة الذي أوجدناه سابقًا، يكون:
ولعلنا نتذكَّر أيضًا أنه لأي مصفوفة قابلة للعكس، ، لدينا: حيث مصفوفة الوحدة. وهذا يعني أنه يُمكِننا حذف مصفوفة المعاملات من الطرف الأيمن في المعادلة (٤) بالضرب من اليمين في معكوس مصفوفة المعاملات. وبضرب طرفَي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات، نحصل على:
ونعلم أنه لضرب أي مصفوفتين، لا بد أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة الأولى عدد صفوف المصفوفة الثانية. ويُمكِننا أن نلاحظ أن عملية ضرب المصفوفتين في الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة سابقًا معرَّفة. وبإجراء عملية ضرب المصفوفتين هذه، نحصل على:
وأخيرًا، بإجراء عملية الضرب في عدد ثابت، نحصل على:
ونعلم أنه تَكون مصفوفتان متساويتين إذا كان كل عنصرين متناظرين متساويين. ومن ثَمَّ نحصل على الحل لنظام المعادلات المُعطى كالآتي:
إذن محيط المستطيل:
وأخيرًا، نلاحظ أنه يُمكِن استخدام المصفوفات ومعكوساتها الضربية في مجال التشفير. في هذا السياق، الهدف من ذلك هو تشفير الرسائل قبل إرسالها، لجعل محتواها غامضًا إذا ما اعتُرِضت في أثناء إرسالها. وبعد ذلك، يُمكِن فك شفرة الرسالة فَوْر وصولها إلى وجهتها.
وكمثال توضيحي، قد نرغب في إرسال الرسالة help، التي تعني النجدة. سنبدأ بتمثيل كل حرف بعدد، وذلك باستخدام الجدول الأبجدي البسيط الآتي.
| a: ١ b: ٢ c: ٣ d: ٤ e: ٥ f: ٦ g: ٧ | h: ٨ i: ٩ j: ١٠ k: ١١ l: ١٢ m: ١٣ n: ١٤ | o: ١٥ p: ١٦ q: ١٧ r: ١٨ s: ١٩ t: ٢٠ u: ٢١ | v: ٢٢ w: ٢٣ x: ٢٤ y: ٢٥ z: ٢٦ |
بعد ذلك، نتناول حرفين من الرسالة التي نريد إرسالها في كل مرة، ونكتب كل جزء مكوَّن من حرفين في صورة مصفوفة من الرتبة ؛ ومن ثَمَّ نحصل على: بعد ذلك، لتشفير هذه الرسالة، نختار مصفوفة قابلة للعكس من الرتبة لتكون مصفوفة التشفير ، ونضرب كلًّا من المصفوفتين من الرتبة من اليمين في المصفوفة . على سبيل المثال، باختيار ، تُشفَّر الرسالة كالآتي:
ومن ثَمَّ نُرسِل الرسالة .
والآن، لعلنا نتذكَّر أنه لأي مصفوفة ؛ حيث ، يُعطى معكوسها الضربي من خلال: حيث . في هذه الحالة، لدينا ، إذن: وفَوْر استقبال الرسالة ، ولفك تشفيرها، علينا أن نضرب كلًّا من هاتين المصفوفتين من الرتبة من اليمين في . سيؤدي هذا إلى «إلغاء» تأثير المصفوفة ، ونحصل مرةً أخرى على المصفوفتين الأصليتين من الرتبة ؛ وهما . يُمكِننا بعد ذلك قراءة رسالة help من هذه الأعداد الأربعة من خلال البحث عن الحروف المناظرة في جدول الأبجدية.
هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- نفترض أن مصفوفة قابلة للعكس، وأن مصفوفة، بحيث تكون عملية الضرب معرَّفة. المصفوفة التي تحقِّق المعادلة تُعطى بالصيغة:
- إذا كانت المصفوفة غير قابلة للعكس، فإن المعادلة المصفوفية إما أن يكون لها عدد لا نهائي من الحلول، وإما ألَّا يكون لها حل.
- نفترض أن لدينا نظامًا مكوَّنًا من معادلتين تُعطيان على الصورة: لأي ثوابت معلومة ، ، ، ، ، . يُمكِننا كتابة هذا النظام المكوَّن من معادلتين على صورة معادلة مصفوفية واحدة: ويُمكِن بعد ذلك حل هذه المعادلة باستخدام معكوس المصفوفة:
