نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل نظامًا مكونًا من معادلتين خطيتين باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات. تذكر أن المعادلة الخطية في بعدين تصف الخط المستقيم ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث ﻡ هو ميل الخط أو انحداره، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. وهي النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع المحور ﺹ. يتألف نظام المعادلتين الخطيتين من معادلتين تصفان خطين مستقيمين، ويتمثل حل النظام في نقطة وحيدة في المستوى ﺱﺹ حيث يتقاطع الخطان. إذا لم يلتق خطان مستقيمان، فلن يوجد حل، ويكون الخطان متوازيين.
لاحظ أن المعادلات قد لا تكتب على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. فربما تكتب على غرار النظام الموضح. ومع أن هاتين المعادلتين تصفان خطين مستقيمين، صار لدينا الآن ثابتان مضروبان في حدي ﺹ. نلاحظ أن المتغيرين ﺱ وﺹ في طرف، والثابتين في الطرف الآخر. وأهم ما في الأمر أن لدينا معادلتين تصفان خطين مستقيمين، ونريد إيجاد الحل، أي نقطة تقاطعهما. توجد بضع طرق يمكننا استخدامها. وفي هذا الفيديو، سنركز على استخدام معكوس المصفوفة لإيجاد الحل. هيا بنا إذن نوضح الخطوات المتبعة لإجراء ذلك.
لنفترض أن لدينا مجموعة من معادلتين آنيتين، على سبيل المثال؛ ﺱ زائد ﺹ يساوي واحدًا، وأربعة ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ستة. سنشير إلى هاتين المعادلتين بواحد واثنين. خطوتنا الأولى هي التأكد من تراصف كلا المتغيرين ﺱ وﺹ رأسيًا في الطرف الأيمن والثابتين في الطرف الأيسر. هذا لأننا نريد أن نتمكن من معرفة معاملات المصفوفة. خطوتنا التالية هي إعادة كتابة النظام على صورة معادلة مصفوفية. بما أن لدينا معادلتين في مجهولين، فإن مصفوفة المعاملات ستكون مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. وسنضرب ذلك في مصفوفة عمود المتغيرين. وفي الطرف الأيسر، لدينا مصفوفة عمود الثابتين.
يضم الصف الأول لمصفوفة المعاملات المعاملين ﺱ وﺹ في المعادلة رقم واحد، وكلاهما يساوي واحدًا، والثابت المقابل لهما بالطرف الأيسر يساوي واحدًا أيضًا. أما الصف الثاني من مصفوفة المعاملات يضم المعاملين ﺱ وﺹ في المعادلة رقم اثنين، ويساويان أربعة وخمسة، والثابت المقابل لهما بالطرف الأيسر يساوي ستة. أصبح النظام الآن ممثلًا على صورة معادلة مصفوفة، وإذا ضربنا عناصرها، فسنستعيد المعادلات الأصلية.
تتمثل الخطوة الثالثة لحل المعادلتين في إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات. تذكر أنه في حالة المصفوفة المربعة ﺃ، وهي غير منفردة مما يعني أن لها معكوسًا، معكوس المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة ﺃ في معكوس المصفوفة ﺃ ويساوي مصفوفة الوحدة، حيث تحتوي مصفوفة الوحدة على عناصر القطر الرئيسي التي تساوي واحدًا وكل عنصر آخر يساوي صفرًا. وتذكر أيضًا أنه في المصفوفة غير المنفردة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ﻫ وﺏ وﺟ وﺩ، فإن معكوس المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على ﻫﺩ ناقص ﺏﺟ مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر ﺩ، وسالب ﺏ، وسالب ﺟ، وﻫ. وهذه هي المصفوفة التي بدلنا فيها بين ﻫ وﺩ، ونأخذ سالب ﺏ وسالب ﺟ.
ونلاحظ أن مقام الكسر هو في الواقع محدد المصفوفة ﺃ. لكن كيف سيساعدنا هذا في الحل؟ حسنًا، لاحظ أن لدينا المعادلة ﺃﺱ يساوي ﺏ، وسنضرب المعادلة على اليمين في معكوس ﺃ. نعلم أن معكوس المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة. إذن لدينا في الطرف الأيمن 𝐼ﺱ، وفي الطرف الأيسر معكوس المصفوفة ﺃ في ﺏ. يبسط الطرف الأيمن إلى المصفوفة ﺱ. إذن لدينا ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺏ. وهذا يعطينا الحل؛ لأن المصفوفة ﺱ، كما نتذكر، هي مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين ﺱ وﺹ. وهذا تحديدًا ما نحاول إيجاده. إذن لحل نظام المعادلات، علينا في الأساس إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات. هيا نطبق إذن هذا على المثال التالي.
علينا إيجاد معكوس المصفوفة ﺃ. وإذا كان ﻫ يساوي واحدًا، وﺏ يساوي واحدًا، وﺟ يساوي أربعة، وﺩ يساوي خمسة، يصبح لدينا الكسر واحد على واحد في خمسة ناقص واحد في أربعة، مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر خمسة، وسالب واحد، وسالب أربعة وواحد. ونظرًا لأن المقام سيساوي واحدًا، فسيتضمن معكوس مصفوفة المعاملات العناصر خمسة، وسالب واحد، وسالب أربعة، وواحدًا. وإذا عوضنا بذلك في المعادلة، فسيكون لدينا المتغيران ﺱ وﺹ في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، نضرب معكوس مصفوفة المعاملات، التي تحتوي على العناصر خمسة، وسالب واحد، وسالب أربعة، وواحد، في مصفوفة العمود التي تحتوي على الثابتين واحد وستة.
بضرب مصفوفتي الطرف الأيسر إحداهما في الأخرى، يصبح لدينا خمسة في واحد زائد سالب واحد في ستة، وسالب أربعة في واحد زائد واحد في ستة. تحتوي مصفوفة العمود الناتجة على العنصرين سالب واحد واثنين، لذا، بتساوي المصفوفتين، ﺱ يساوي سالب واحد وﺹ يساوي اثنين. إذن لحل مجموعة مكونة من معادلتين آنيتين، نكتب المعادلتين على صورة معادلة مصفوفية، ونوجد معكوس مصفوفة المعاملات، ونضرب طرفي المعادلة على الجانب الأيمن في المعكوس، ونضرب الناتج في الطرف الأيسر، ومن هذا ينتج الحل. هيا إذن نأخذ مثالًا آخر نبدأ فيه بمعادلتين آنيتين ونحل باستخدام المصفوفات.
لدينا المعادلتان الآنيتان أربعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي صفرًا، وثلاثة ﺹ زائد خمسة ﺱ يساوي سالب ١١. عبر عن المعادلتين الآنيتين على صورة معادلة مصفوفية. اكتب معكوس مصفوفة المعاملات. اضرب في معكوس المصفوفة، الذي على اليمين، لحل المعادلة المصفوفية.
توجد ثلاثة أجزاء في هذا السؤال الذي يتضمن المعادلتين الآنيتين أربعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي صفرًا، وثلاثة ﺹ زائد خمسة ﺱ يساوي سالب ١١. وهذه الأجزاء الثلاثة تقودنا إلى حل المعادلتين باستخدام طرق المصفوفات. يتمثل الجزء الأول في التعبير عن المعادلتين الآنيتين على صورة معادلة مصفوفية. يجب أن نكتب بعد ذلك معكوس مصفوفة المعاملات ونستخدمها في ضرب الطرفين في الطرف الأيمن لحل المعادلة المصفوفية. لنبدأ بالجزء الأول، وهو كتابة المعادلتين على صورة معادلة مصفوفية.
أول ما علينا فعله هو التأكد من أن كلًا من المتغيرين ﺱ وﺹ يتراصفان رأسيًا في الطرف الأيمن. في المعادلة الثانية، علينا التبديل بين ثلاثة ﺹ وخمسة ﺱ. والآن، أصبح كلا المتغيرين ﺱ وﺹ متراصفين رأسيًا. سنشير إلى المعادلتين بالرقمين واحد واثنين، ومن ثم تصبح المعادلة رقم واحد هي أربعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي صفرًا، والمعادلة رقم اثنين هي خمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي سالب ١١. وهذه الخطوة تساعدنا على قراءة المعاملات بالمعادلة بحيث نتمكن من وضعها في مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وبعد ذلك نضربها في مصفوفة عمود المتغيرين ﺱ وﺹ. ونساوي ذلك بالثابتين في الطرف الأيمن.
يحتوي الصف الأول من مصفوفة المعاملات على معاملي ﺱ وﺹ في المعادلة رقم واحد. وهما أربعة وسالب اثنين. والثابت المقابل لهما في الطرف الأيمن يساوي صفرًا. يحتوي الصف الثاني من مصفوفة المعاملات على معاملي ﺱ وﺹ الثابتين في المعادلة رقم اثنين. وهما خمسة وثلاثة. والثابت المقابل لهما في الطرف الأيسر هو سالب ١١. إذن، أصبح لدينا الآن المعادلتان على صورة معادلة مصفوفية كما هو مطلوب.
يطلب منا الجزء الثاني من السؤال كتابة معكوس مصفوفة المعاملات. ولكي نفعل ذلك، علينا تذكر أنه في حالة المصفوفة غير المنفردة التي رتبتها اثنان في اثنين وتحتوي على العناصر ﻫ وﺏ وﺟ وﺩ، فإن معكوس المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على ﻫﺩ ناقص ﺏﺟ مضروبًا في المصفوفة ذات العناصر ﺩ، وسالب ﺏ، وسالب ﺟ، وﻫ. تذكر أيضًا أن ﻫﺩ ناقص ﺏﺟ يساوي محدد ﺃ. ونلاحظ أننا بدلنا العنصرين ﻫ وﺩ وأخذنا سالب ﺏ وسالب ﺟ. في هذه المسألة، تحتوي مصفوفة المعاملات على العناصر أربعة، وسالب اثنين، وخمسة، وثلاثة. إذا كان ﻫ يساوي أربعة، وﺏ يساوي سالب اثنين، وﺟ يساوي خمسة، وﺩ يساوي ثلاثة، فإن معكوسها هو واحد على أربعة في ثلاثة ناقص سالب اثنين في خمسة، أي واحد على ﻫﺩ ناقص ﺏﺟ، في المصفوفة التي تحتوي على العناصر ثلاثة، واثنين، وسالب خمسة، وأربعة. وعليه، فإن معكوس مصفوفة المعاملات هو واحد على ٢٢ مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر ثلاثة، واثنين، وسالب خمسة، وأربعة.
أما الجزء الأخير، فهو الضرب في المعكوس في الطرف الأيمن لحل المعادلة المصفوفية. إذا رمزنا إلى مصفوفة المعاملات بالحرف ﺃ، فسيكون لدينا معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﺃ مضروبًا في مصفوفة العمود ﺱ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في مصفوفة العمود ﺏ، حيث ﺱ هي مصفوفة المتغيرات وﺏ هي مصفوفة الثوابت في الطرف الأيسر. ولكن تذكر أنه لأي مصفوفة ﺃ غير منفردة، بمعنى أنها مصفوفة لها معكوس، معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة، وهي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وتحتوي على العناصر: واحد وصفر وصفر وواحد. إذن، في الطرف الأيمن، لدينا مصفوفة الوحدة مضروبة في ﺱ وﺹ، وفي الطرف الأيسر، لدينا معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في مصفوفة العمود ﺏ.
يبسط الطرف الأيمن إلى مصفوفة العمود التي تحتوي على المتغيرين ﺱ وﺹ. وبضرب عناصر الطرف الأيسر بعضها في بعض، يصبح لدينا واحد على ٢٢ مضروبًا في المصفوفة ذات العناصر ثلاثة في صفر زائد اثنين في سالب ١١، وسالب خمسة في صفر زائد أربعة في سالب ١١. ينتج من ذلك واحد على ٢٢ مضروبًا في مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين سالب ٢٢ وسالب ٤٤. سنفسح بعض المساحة ونحسب الناتج، وتنتج مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين سالب واحد وسالب اثنين. بمساواة المصفوفتين، نجد أن ﺱ يساوي سالب واحد وﺹ يساوي سالب اثنين.
إذن في المعادلتين الآنيتين أربعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي صفرًا وثلاثة ﺹ زائد خمسة ﺱ يساوي سالب ١١، لدينا معادلة مصفوفية، تحتوي فيها مصفوفة المعاملات على العناصر أربعة وسالب اثنين وخمسة وثلاثة، مضروبة في مصفوفة عمود المتغيرات، ما يساوي مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين صفر وسالب ١١ في الطرف الأيسر الذي يتضمن الثوابت. مصفوفة المعاملات لدينا لها معكوس، وهو واحد على ٢٢ مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر ثلاثة واثنين وسالب خمسة وأربعة. ونستخدم ذلك لإيجاد الحل: ﺱ يساوي سالب واحد وﺹ يساوي سالب اثنين.
والآن، هيا نستخدم هذه الطريقة لحل مجموعة من المعادلات الآنية المعبر عنها بالفعل على صورة معادلة مصفوفية.
إذا كانت المصفوفة ذات الرتبة اثنان في اثنين، التي تحتوي على العناصر خمسة، ثمانية، واحد، سالب ثمانية، مضروبة في مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين ﺱ وﺹ، تساوي مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين سالب ٤٣ وواحد، فأوجد قيمتي ﺱ وﺹ.
مطلوب منا إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ بمعلومية المعادلة المصفوفية. تتألف المعادلة المصفوفية من مصفوفة معاملات تحتوي على العناصر خمسة وثمانية وواحد وسالب ثمانية، مضروبة في مصفوفة العمود التي تحتوي على المتغيرين ﺱ وﺹ. وهذا يساوي مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين سالب ٤٣ وواحد. إذن، لدينا، في الواقع، معادلة مصفوفية على الصورة ﺃﺱ يساوي ﺏ. ولإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ، يمكننا استخدام حقيقة أنه في أي مصفوفة مربعة غير منفردة ﺃ لها معكوس، معكوس المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة ﺃ في معكوس المصفوفة ﺃ، وهو ما يساوي مصفوفة الوحدة. وهي المصفوفة التي يساوي فيها جميع عناصر القطر الرئيسي واحدًا، وبقية العناصر تساوي صفرًا. وبالتالي، إذا كانت توجد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ﻫ وﺏ وﺟ وﺩ، فإن مصفوفة الوحدة هي المصفوفة التي تحتوي على العناصر واحد وصفر وصفر وواحد.
والآن يمكننا استخدام ذلك في المعادلة المصفوفية التي لدينا. بضرب كلا الطرفين في الطرف الأيمن في معكوس المصفوفة ﺃ، سيكون لدينا في الطرف الأيمن معكوس المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ في ﺱ، والتي هي في الحقيقة مصفوفة الوحدة في ﺱ. ويمكن تبسيط ذلك إلى ﺱ بحيث يكون لدينا ﺱ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في مصفوفة العمود ﺏ. وبهذا نحصل على قيمتي ﺱ وﺹ. يمكننا تطبيق ذلك على المسألة بإيجاد معكوس مصفوفة المعاملات التي رتبتها اثنان في اثنين. تذكر أن معكوس مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين تحتوي على العناصر ﻫ وﺏ وﺟ وﺩ يساوي واحدًا على ﻫﺩ ناقص ﺏﺟ مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر ﺩ وسالب ﺏ وسالب ﺟ وﻫ.
دعونا نفسح بعض المساحة، سنلاحظ أن مصفوفة المعاملات تحتوي على العناصر خمسة وثمانية وواحد وسالب ثمانية. وإذا رمزنا إلى هذه العناصر بالحروف ﻫ وﺏ وﺟ وﺩ، فإن المعكوس يساوي واحدًا على المحدد، الذي يساوي خمسة في سالب ثمانية ناقص ثمانية في واحد في المصفوفة التي تحتوي على العناصر سالب ثمانية وسالب ثمانية وسالب واحد وخمسة. وهذا يساوي سالب واحد على ٤٨ مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر سالب ثمانية وسالب ثمانية وسالب واحد وخمسة. والآن، إذا ضربنا الطرف الأيمن لكلا طرفي المعادلة في هذا المعكوس، فسنحصل على معكوس المصفوفة مضروبًا في مصفوفة المعاملات مضروبًا في مصفوفة عمود المتغيرات، وهو ما يساوي معكوس مصفوفة المعاملات في عمود الثوابت.
نعلم أن معكوس مصفوفة المعاملات في مصفوفة المعاملات نفسها يساوي مصفوفة الوحدة. إذن في الطرف الأيمن، يمكن تبسيط ذلك إلى مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين ﺱ وﺹ. وكل ما علينا فعله الآن هو ضرب عناصر الطرف الأيسر. وهذا يعطينا سالب واحد على ٤٨ في المصفوفة التي تحتوي على سالب ثمانية في سالب ٤٣ زائد سالب ثمانية في واحد وسالب واحد في سالب ٤٣ زائد خمسة في واحد. هذا يساوي سالب واحد على ٤٨ في مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين ٣٣٦ و٤٨. وينتج عن ذلك العنصران سالب سبعة وسالب واحد. وبمساواة المصفوفتين، نحصل على ﺱ يساوي سالب سبعة، وﺹ يساوي سالب واحد.
وعليه، وبمعلومية المعادلة المصفوفية التي تحتوي فيها مصفوفة المعاملات على العناصر خمسة وثمانية وواحد وسالب ثمانية، ومصفوفة عمود الثوابت التي تحتوي على العنصرين سالب ٤٣ وواحد، فإن قيمة ﺱ هي سالب سبعة، وقيمة ﺹ هي سالب واحد.
لننتقل الآن إلى مثال آخر، نبدأ فيه من نظام مكون من معادلتين.
استخدم المصفوفات لحل النظام: سالب ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ثمانية، وسالب ثلاثة ﺱ زائد ﺹ يساوي ثمانية.
لدينا نظام به معادلتان آنيتان ونريد إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. وهذا يعني إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ اللتين تحققان كلتا المعادلتين. ومطلوب منا استخدام المصفوفات لفعل ذلك. المعادلتان اللتان لدينا هنا هما سالب ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ثمانية وسالب ثلاثة ﺱ زائد ﺹ يساوي ثمانية. وسيتعين علينا التعبير عن نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية. ونظرًا لأن لدينا معادلتين في مجهولين، فإن مصفوفة المعاملات ستكون مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. وسنضربها في مصفوفة عمود تحتوي على المتغيرين. وفي الطرف الأيسر، سيكون لدينا مصفوفة عمود تحتوي على الثوابت.
أول ما علينا فعله للحصول على المعاملات أن نتحقق من تراصف المتغيرين ﺱ وﺹ رأسيًا. وهذا هو الحال فعلًا، لذا يمكننا أن نبدأ. أول صف في مصفوفة المعاملات يشغله معاملا ﺱ وﺹ في المعادلة رقم واحد. وهذا يساوي سالب واحد وخمسة. والعناصر في الصف الثاني هي معاملا كل من ﺱ وﺹ في المعادلة الثانية. وهما سالب ثلاثة وواحد. الثابت المقابل لكل منهما في الطرف الأيسر هو ثمانية. إذن، باستخدام رموز المتجهات، يكون لدينا معادلة على الصورة ﺃ في ﺱ يساوي ﺏ. ويمكننا الاستعانة بحقيقة أنه إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة غير منفردة، فإن معكوس المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة ﺃ في معكوس المصفوفة ﺃ ويساوي مصفوفة الوحدة. وهي المصفوفة التي فيها العناصر الرئيسية تساوي واحدًا، وبقية العناصر الأخرى تساوي صفرًا.
تساعدنا هذه الخطوة في أنه إذا وجدنا معكوس المصفوفة ﺃ وضربناه في الطرف الأيمن، فسيصبح لدينا معكوس المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺃ في ﺱ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﺏ. ونعرف أن معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة. إذن، يتبقى لدينا ﺱ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ في ﺏ. وهذا سيقودنا إلى الحل. فلنوجد إذن معكوس مصفوفة المعاملات، ونتذكر أنه في المصفوفة ذات الرتبة اثنان في اثنين التي تحتوي على العناصر ﻫ، وﺏ، وﺟ، وﺩ، معكوس المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على ﻫﺩ ناقص ﺏﺟ مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر ﺩ، وسالب ﺏ، وسالب ﺟ، وﻫ. وذلك عندما يكون ﻫﺩ ناقص ﺏﺟ لا يساوي صفرًا.
في هذه المسألة، تحتوي المصفوفة لدينا على العناصر سالب واحد وخمسة وسالب ثلاثة وواحد. معكوسها إذن هو واحد على سالب واحد في واحد ناقص خمسة في سالب ثلاثة مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر: واحد وسالب خمسة وثلاثة وسالب واحد. ناتج المقام يساوي ١٤. ومن ثم، فإن معكوس مصفوفة المعاملات يساوي واحدًا على ١٤ في المصفوفة التي تحتوي على العناصر واحد وسالب خمسة وثلاثة وسالب واحد. والآن، إذا ضربنا طرفي المعادلة من اليمين في هذا المعكوس، فإننا نعلم أنه في الطرف الأيمن، يكون معكوس المصفوفة مضروبًا في مصفوفة المعاملات ﺃ مساويًا لمصفوفة الوحدة. وبضرب عناصر هذا الطرف، يبسط الناتج إلى مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين ﺱ وﺹ.
والآن علينا ببساطة ضرب عناصر الطرف الأيسر. وهذا يعطينا واحدًا على ١٤ مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على العناصر واحدًا في ثمانية زائد سالب خمسة في ثمانية وثلاثة في ثمانية زائد سالب واحد في ثمانية. وسنحصل من هذا على واحد على ١٤ مضروبًا في مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين سالب ٣٢ و١٦، وهو ما يساوي مصفوفة العمود التي تحتوي على العناصر سالب ١٦ على سبعة وثمانية على سبعة. وبمساواة المصفوفتين، نجد أن ﺱ يساوي سالب ١٦ على سبعة وﺹ يساوي ثمانية على سبعة. إذن فحل النظام سالب ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ثمانية وسالب ثلاثة ﺱ زائد ﺹ يساوي ثمانية هو ﺱ يساوي سالب ١٦ على سبعة وﺹ يساوي ثمانية على سبعة.
في هذا الفيديو، عرفنا كيف نحل نظامًا مكونًا من معادلتين خطيتين باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات. وأخيرًا، سنلقي الضوء على بعض النقاط الرئيسية لهذه الطريقة.
بمعلومية نظام المعادلتين الخطيتين ﻫﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﻭ وﺟﺱ زائد ﺩﺹ يساوي ﻑ، حيث ﻫ وﺏ وﺟ وﺩ وﻭ وﻑ هي ثوابت، علينا أولًا التأكد من أن حدود المتغيرات متراصفة رأسيًا. بعد ذلك، نكون معادلة مصفوفية تتألف من مصفوفة المعاملات ﺃ مضروبة في مصفوفة عمود المتغيرات ﺱ، وهو ما يساوي مصفوفة عمود الثوابت ﺏ. بعد ذلك، نوجد معكوس مصفوفة المعاملات، أي نضرب كلا طرفي المعادلة المصفوفية من اليمين في معكوس المصفوفة ﺃ، فيصبح لدينا ﺱ يساوي معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﺏ في الطرف الأيسر؛ حيث معكوس المصفوفة ﺃ هو مصفوفة الوحدة. نضرب بعد ذلك عناصر مصفوفتي الطرف الأيسر من المعادلة للحصول على الحل بإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. وتذكر أن الحل بإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ يمثل النقطة التي يتقاطع عندها الخطان واحد واثنان.
