نسخة الفيديو النصية
ﺱ متغير عشوائي متقطع يأخذ القيم ثلاثة، وأربعة، وخمسة. إذا علمت أن ﺩﺱ يساوي ﺃﺱ على ١٢، فأوجد تباين ﺱ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين، إذا لزم الأمر.
أولًا، نتذكر أن تباين متغير عشوائي متقطع هو قياس مدى تشتت قيم هذا المتغير العشوائي المتقطع عن قيمتها المتوقعة. صيغة حساب تباين متغير عشوائي متقطع ﺱ هي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. وعلينا توضيح الفرق في الترميز. في الحد الثاني، سنوجد القيمة المتوقعة أو القيمة المتوسطة لـ ﺱ أولًا، ثم سنقوم بتربيعها، بينما في الحد الأول، سنوجد القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. لذلك، سنقوم بتربيع قيم ﺱ أولًا ثم نوجد توقعها.
نتذكر أيضًا صيغتين أخريين. يمكن إيجاد القيمة المتوقعة لـ ﺱ بضرب كل قيمة من قيم ﺱ في قيمة ﺩﺱ الخاصة بها، حيث ﺩ هو التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ. وبعد ذلك سنوجد مجموع هذه القيم. القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع مشابهة، لكن هذه المرة ضربنا القيم المربعة لـ ﺱ في قيم ﺩﺱ، ثم نوجد المجموع. نحن نعلم أن ﺩﺱ يساوي ﺃﺱ على ١٢. إذن لدينا ثابت مجهول ﺃ علينا تحديده. لفعل ذلك، علينا أن نتذكر أن مجموع جميع الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي يساوي واحدًا. يمكننا إذن إيجاد مقادير ﺩﺱ لكل من القيم الثلاث في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع. إذن، يمكننا إيجاد ﺩ لثلاثة، وﺩ لأربعة، وﺩ لخمسة، ثم تكوين معادلة.
أولًا، ﺩ لثلاثة يساوي ﺃ في ثلاثة، أو ثلاثة ﺃ، على ١٢. وعلى الرغم من أنه يمكن تبسيط ذلك، فلن نفعل ذلك الآن. ﺩ لأربعة يساوي أربعة ﺃ على ١٢، وﺩ لخمسة يساوي خمسة ﺃ على ١٢. إذا كان مجموع هذه الاحتمالات الثلاثة لا بد أن يساوي واحدًا، فإن المعادلة لدينا هي ثلاثة ﺃ على ١٢ زائد أربعة ﺃ على ١٢ زائد خمسة ﺃ على ١٢ يساوي واحدًا. وهذا هو السبب في أننا لم نبسط أيًّا من الكسور التي يمكن تبسيطها؛ لأن لها الآن مقامًا مشتركًا يساوي ١٢. بجمع الكسور الثلاثة، يصبح لدينا ١٢ﺃ على ١٢ يساوي واحدًا. وبالطبع، يمكن حذف العاملين ١٢ في كل من البسط والمقام، ليصبح لدينا ﺃ يساوي واحدًا. وبذلك، تكون قيم ﺩ لثلاثة، وﺩ لأربعة، وﺩ لخمسة هي ثلاثة على ١٢، وأربعة على ١٢، وخمسة على ١٢، على الترتيب.
يمكننا بعد ذلك كتابة التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ في جدول مع القيم الموجودة في مدى المتغير العشوائي المتقطع في الصف الأول واحتمالاتها المتناظرة في الصف الثاني. يمكننا بعد ذلك إضافة صف إلى الجدول حيث نضرب فيه كل قيمة من قيم ﺱ في قيمة ﺩﺱ الخاصة بها. ثلاثة مضروبًا في ثلاثة على ١٢ يساوي تسعة على ١٢. أربعة مضروبًا في أربعة على ١٢ يساوي ١٦ على ١٢. وخمسة مضروبًا في خمسة على ١٢ يساوي ٢٥ على ١٢. إذن، القيمة المتوقعة لـ ﺱ هي مجموع هذه القيم الثلاث، وهو ٥٠ على ١٢ أو ٢٥ على ستة.
لإيجاد القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، علينا ضرب كل قيمة من قيم ﺱ تربيع في ﺩﺱ، لذا يمكننا إضافة صفين آخرين إلى الجدول: أولًا، صفًّا لقيم ﺱ تربيع، وهي ثلاثة مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة؛ وأربعة مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي ١٦ ؛ وخمسة مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي ٢٥. الصف الأخير في الجدول هو لضرب كل قيمة من قيم ﺱ تربيع في كل قيمة من قيم ﺩﺱ. إذن لدينا ٢٧ على ١٢، و٦٤ على ١٢، و١٢٥ على ١٢. ومرة أخرى، سنترك جميع الكسور الثلاثة مع مقام متشابه يساوي ١٢. القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع هي مجموع هذه القيم الثلاث. هذا يساوي ٢١٦ على ١٢، وهو ما يساوي ١٨.
وأخيرًا، لإيجاد تباين ﺱ، نأخذ القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، ونطرح منها مربع القيمة المتوقعة لـ ﺱ. إذن، لدينا ١٨ ناقص ٢٥ على ستة تربيع. هذا يعطينا ١٨ ناقص ٦٢٥ على ٣٦، وهو ما يساوي ٠٫٦٣٨ دوري في الصورة العشرية. ينص السؤال على أنه يتعين علينا تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. إذن عند تقريب الرقم لأعلى لأن العدد في المنزلة العشرية الثالثة هو ثمانية، يصبح لدينا ٠٫٦٤. إذن، التباين لهذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين يساوي ٠٫٦٤.
