نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب التباين للمتغيرات العشوائية المتقطعة. سنبدأ بتذكر المقصود بالمتغير العشوائي المتقطع.
المتغير العشوائي المتقطع هو متغير له عدد محدود من القيم الممكنة. يقع احتمال كل قيمة بين صفر وواحد، ومجموع كل الاحتمالات يساوي واحدًا. ويمكن تلخيص ذلك كما هو موضح، حيث يكون للمتغير العشوائي المتقطع قيم احتمال تساوي ﺩ ﺱﺭ.
عادة ما نكتب هذه الأسئلة في جداول. إذا كان لدينا متغير عشوائي متقطع ﺱ له أربع قيم ممكنة، ﺱ واحد إلى ﺱ أربعة، حيث احتمال وقوع كل ناتج يساوي ﺩﺱ واحد إلى ﺩﺱ أربعة، على الترتيب، فإننا نعلم أنه يمكن حساب القيمة المتوقعة أو الوسط الحسابي عن طريق جمع كل قيم ﺱ مضروبة في الاحتمالات المناظرة لها. يمكن إعادة كتابة ذلك في صورة القيمة المتوقعة لـ ﺱ تساوي مجموع ﺱﺭ مضروبًا في ﺩﺱ ﺭ؛ حيث ﺭ يأخذ القيم من واحد إلى ﻥ. يرمز أحيانًا إلى القيمة المتوقعة أو الوسط الحسابي بالحرف اليوناني 𝜇.
قبل الانتقال إلى التباين، من المهم أيضًا أن نتذكر أن القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع تساوي مجموع ﺱﺭ تربيع مضروبًا في ﺩﺱ ﺭ؛ حيث ﺭ يأخذ القيم من واحد إلى ﻥ. وهذا صحيح لأنه إذا فكرنا في متغير عشوائي مختلف ﺹ، يأخذ قيمًا تساوي مربع المتغير العشوائي ﺱ، فإن احتمال كل قيمة للمتغير الجديد سيساوي احتمال وقوع كل قيمة من قيم ﺱ للمتغير الأصلي. وهذا يعني أننا نتبع النمط نفسه عند حساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ، والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تكعيب، وهكذا. سنتناول الآن تعريف التباين وصيغة يمكننا استخدامها لحساب ذلك.
يقيس تباين المتغير العشوائي المتقطع مقدار تشتت المتغير العشوائي المتقطع من قيمته المتوقعة. وعادة ما يكتب التباين على الصورة 𝜎 تربيع؛ حيث 𝜎 هو الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المتقطع. توجد عدة صيغ يمكننا استخدامها لحساب هذا التباين. في هذا الفيديو، سنركز على الصيغة التي تنص على أن تباين ﺱ يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. وهذا ما يعرف أحيانًا بأنه الوسط الحسابي لمربعات القيم ناقص مربع الوسط الحسابي، حيث القيمة المتوقعة لـ ﺱ تمثل الوسط الحسابي 𝜇. والآن سنتناول سؤالًا نستخدم فيه هذه الصيغة لحساب التباين.
افترض أن ﺱ متغير عشوائي متقطع يمكن أن يأخذ القيم اثنين، وثلاثة، وخمسة، وثمانية. إذا كان احتمال أن ﺱ يساوي اثنين هو واحد على ٢٤، واحتمال أن ﺱ يساوي ثلاثة هو خمسة على ١٢، واحتمال أن ﺱ يساوي خمسة هو ثلاثة أثمان، واحتمال أن ﺱ يساوي ثمانية هو سدس، فأوجد تباين ﺱ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
سنبدأ برسم جدول يحتوي على صفين. يحتوي الصف العلوي على القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي المتقطع ﺱ، وهي اثنان، وثلاثة، وخمسة، وثمانية. في الصف السفلي، لدينا الاحتمالات المناظرة لهذه القيم. مطلوب منا حساب تباين ﺱ، ونعلم أن هذا يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. يمكننا البدء بحساب القيمة المتوقعة أو الوسط الحسابي لـ ﺱ. القيمة المتوقعة لـ ﺱ تساوي مجموع ﺱﺭ مضروبًا في ﺩ ﺱﺭ؛ حيث ر يأخذ القيم من واحد إلى ﻥ. في هذا السؤال، ﻥ يساوي أربعة؛ لأن هناك أربع قيم ممكنة لـ س. إذن، القيمة المتوقعة لـ ﺱ تساوي اثنين مضروبًا في واحد على ٢٤ زائد ثلاثة مضروبًا في خمسة على ١٢ زائد خمسة مضروبًا في ثلاثة أثمان زائد ثمانية مضروبًا في سدس. وهذا يساوي ١٠٩ على ٢٤.
سنفرغ الآن بعض المساحة ونتذكر كيف يمكننا حساب القيمة المتوقعة لـ س تربيع. لحساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، كل ما علينا فعله هو تربيع كل قيمة من قيم ﺱ ثم ضربها في الاحتمالات المناظرة لها. ثم نجمع هذه القيم مرة أخرى. القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع تساوي العملية الحسابية الموضحة. وهذا يعطينا الناتج ٥٧٥ على ٢٤. الوسط الحسابي لمربعات القيم، أي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع يساوي ٥٧٥ على ٢٤. يمكننا الآن التعويض بهاتين القيمتين لحساب التباين. تباين ﺱ يساوي ٥٧٥ على ٢٤ ناقص ١٠٩ على ٢٤ تربيع. وهذا يساوي ١٩١٩ على ٥٧٦. مطلوب تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. ومن ثم، فإن تباين المتغير العشوائي المتقطع ﺱ يساوي ٣٫٣٣.
سنلقي نظرة الآن على بعض القواعد الأساسية التي علينا تذكرها عند حساب الوسط الحسابي والتباين للدوال الخطية للمتغيرات العشوائية المتقطعة. في الجزء التالي من الفيديو، سنتناول كيف يمكننا حساب القيمة المتوقعة والتباين للدوال الخطية التالية: ﺱ زائد ﺃ، وﺱ ناقص ﺃ، وﺃﺱ؛ حيث ﺃ قيمة ثابتة أو قيمة قياسية. سنتناول هذه السيناريوهات باستخدام مثال عملي. افترض أن المتغير العشوائي المتقطع ﺱ يشير إلى المسافة بين رأس شخص والأرض. وثمة مجموعة مكونة من ثلاثة أشخاص مرسومة كما هو مبين. وموضح في الشكل الوسط الحسابي أو القيمة المتوقعة للأطوال فوق الأرض.
والآن، لنفترض أن الأشخاص الثلاثة يقفون على منصة ارتفاعها ٢٠ سنتيمترًا. بما أن جميعهم يقف على هذه المنصة، فإن قيمة ﺱ لكل شخص قد زادت بمقدار ٢٠ سنتيمترًا. ومن ثم، زادت القيمة المتوسطة أيضًا بمقدار ٢٠ سنتيمترًا. لكن قيم ﺱ الجديدة لم تتغير عن القيم القديمة؛ هذا لأن كل مسافة من المسافات من متوسط الطول لا تزال كما كانت من قبل. هذا يعني أن القيمة المتوقعة لـ ﺱ زائد ﺃ ستساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ زائد الثابت ﺃ، بينما تباين ﺱ زائد ﺃ سيساوي تباين ﺱ. إضافة ثابت موجب يزيد قيمة الوسط الحسابي، لكنه لا يؤثر على التباين.
لنتناول الآن سيناريو مشابهًا فيه الثلاثة أشخاص يقفون داخل حفرة عمقها ١٠ سنتيمترات. هذه المرة، انخفضت كل قيمة من قيم ﺱ بمقدار ١٠ سنتيمترات. وعليه، فإن متوسط ﺱ انخفض أيضًا بمقدار ١٠ سنتيمترات. مرة أخرى، لم تتأثر مقادير تغير قيم ﺱ. يمكننا إذن استنتاج أن القيمة المتوقعة لـ ﺱ ناقص ﺃ تساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ ناقص الثابت ﺃ، وتباين ﺱ ناقص ﺃ يساوي تباين ﺱ.
أما السيناريو الثالث، فهو أكثر تعقيدًا، ويتطلب بعضًا من التفكير غير التقليدي. للتبسيط هنا، سنفترض أن ﺃ يساوي اثنين، وأن كل شخص في الشكل الأول كان يمثل فردًا من زوجين من التوائم المتماثلة. إذا افترضنا أنهم كانوا لاعبي جمباز جيدين كما هو موضح، فيمكننا أن نعتبر أن المسافة بين أعلى أقدام التوائم والأرض هي المتغير ﺹ. هذا يعني أن ﺹ يساوي اثنين ﺱ، حيث ﺱ هو طول أحد التوائم. ومعنى ذلك أن متوسط قيم ﺹ يجب أن يساوي ضعف متوسط قيم ﺱ. وهذا يقودنا إلى القاعدة العامة التي تنص على أن القيمة المتوقعة لـ ﺃﺱ تساوي ﺃ مضروبًا في القيمة المتوقعة لـ ﺱ. كما تنص على أن القيمة المتوقعة لـ ﺃ تربيع ﺱ تربيع تساوي ﺃ تربيع مضروبًا في القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع.
يمكننا الآن استخدام هاتين المعادلتين لمساعدتنا في إيجاد القاعدة العامة لتباين ﺃﺱ. سنفترض أن ﺹ يساوي ﺃﺱ، ونشير إلى القيمة المتوقعة لـ ﺱ باستخدام 𝜇. نعلم أن تباين ﺱ يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص 𝜇 تربيع. ونعلم أيضًا أن القيمة المتوقعة لـ ﺹ يجب أن تساوي ﺃ مضروبًا في 𝜇. تباين ﺹ يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺹ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺹ الكل تربيع. يبسط الطرف الأيسر إلى القيمة المتوقعة لـ ﺃ تربيع ﺱ تربيع ناقص ﺃ𝜇 الكل تربيع. ويمكن كتابة ذلك على الصورة ﺃ تربيع في القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص ﺃ تربيع مضروبًا في 𝜇 تربيع.
يمكننا بعد ذلك أخذ ﺃ تربيع عاملًا مشتركًا، لذا نضرب ﺃ تربيع في القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص 𝜇 تربيع. المقدار داخل القوسين المربعين يساوي تباين ﺱ. إذن، تباين ﺹ يساوي ﺃ تربيع مضروبًا في تباين ﺱ. وهذا يقودنا إلى القاعدة العامة التي تنص على أن تباين ﺃﺱ يساوي ﺃ تربيع مضروبًا في تباين ﺱ. قبل أن نتناول المثال التالي، سنذكر صيغتين يمكن استخدامهما عند التعامل مع متغيرين عشوائيين متقطعين مختلفين. إذا كان ﺱ وﺹ متغيرين عشوائيين متقطعين مستقلين، فإن القيمة المتوقعة لـ ﺱ زائد ﺹ تساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ زائد القيمة المتوقعة لـ ﺹ، وتباين ﺱ زائد ﺹ يساوي تباين ﺱ زائد تباين ﺹ.
سنتناول الآن مثالًا نستخدم فيه مزيجًا من هذه القواعد.
افترض أن ﺱ وﺹ متغيران مستقلان، وتباين ﺱ يساوي ٢٤، وتباين ﺹ يساوي ٣٠. أوجد تباين سبعة ﺱ زائد تسعة ﺹ.
في هذا السؤال، لدينا معلومات عن تباين متغيرين عشوائيين مستقلين ﺱ وﺹ. يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بتذكر صيغتين أساسيتين. الأولى، تباين ﺱ زائد ﺹ يساوي تباين ﺱ زائد تباين ﺹ. هذا ينطبق عندما يكون ﺱ وﺹ مستقلين. تباين المجموع يساوي مجموع التباين لكل حد. الثانية، تباين ﺃﺱ يساوي ﺃ تربيع مضروبًا في تباين ﺱ، حيث ﺃ ثابت.
باستخدام الصيغة الأولى، يمكننا إعادة كتابة المقدار، أي تباين سبعة ﺱ زائد تسعة ﺹ، على صورة تباين سبعة ﺱ زائد تباين تسعة ﺹ. ويمكن إعادة كتابة كل حد من الحدود في الطرف الأيسر باستخدام الصيغة الثانية. تباين سبعة ﺱ يساوي سبعة تربيع مضروبًا في تباين ﺱ، وتباين تسعة ﺹ يساوي تسعة تربيع مضروبًا في تباين ﺹ. وبالتعويض بقيم تباين ﺱ وتباين ﺹ، يصبح لدينا ٤٩ مضروبًا في ٢٤ زائد ٨١ مضروبًا في ٣٠. وهذا يساوي ٣٦٠٦. إذا كان تباين ﺱ يساوي ٢٤، وتباين ﺹ يساوي ٣٠، حيث ﺱ وﺹ متغيران مستقلان، فإن تباين سبعة ﺱ زائد تسعة ﺹ يساوي ٣٦٠٦.
سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا في هذا الفيديو أن تباين المتغير العشوائي المتقطع يقيس مقدار تشتت المتغير العشوائي المتقطع من قيمته المتوقعة ويرمز إليه بـ 𝜎 تربيع. يمكننا حساب تباين ﺱ باستخدام الصيغة الموضحة. وهي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. وهذا ما يعرف أحيانًا بأنه الوسط الحسابي لمربعات القيم ناقص مربع الوسط الحسابي. ورأينا أيضًا أن تباين ﺱ زائد أو ناقص ثابت ﺃ يساوي تباين ﺱ. تباين ﺃﺱ، حيث يكون ﺃ ثابتًا، يساوي ﺃ تربيع مضروبًا في تباين ﺱ. وأخيرًا، عندما يكون ﺱ وﺹ متغيرين عشوائيين متقطعين مستقلين، فإن تباين ﺱ زائد ﺹ يساوي تباين ﺱ زائد تباين ﺹ.
