شارح الدرس: التبايُن للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب التبايُن للمتغيِّرات العشوائية المتقطِّعة.

لإيجاد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع، من المفيد أن نتذكَّر تعريف المتغيِّر العشوائي المتقطِّع.

تعريف: المتغيِّر العشوائي المتقطِّع

المتغيِّر العشوائي المتقطِّع هو متغيِّر لا يأخذ إلا عددًا يمكن عدُّه من القيم العددية. نُحدِّد القيمة التي يأخذها المتغيِّر بواسطة تجربة أو ظاهرة عشوائية. ويُرمَز عادةً إلى هذا المتغيِّر بالحرف 𞹎، ويُرمَز إلى القيمة التي يأخذها المتغيِّر بالحرف 𞸎.

لتمثيل متغيِّر عشوائي متقطِّع، يمكننا استخدام دالة التوزيع الاحتمالي. وهذه دالة تربط قيم المتغيِّر العشوائي المتقطِّع بالاحتمالات المتعلِّقة بها.

تعريف: دالة التوزيع الاحتمالي

دالة التوزيع الاحتمالي هي دالة تُوجِد قيم الاحتمالات، وهي قيم 󰎨(𞸎) بمعلومية الناتج الذي قيمته 𞸎، ويجب أن تكون لها الخواص الآتية:

  • 󰌇󰎨(𞸎)=١ لجميع قيم 𞸎 التي يمكن أن يأخذها المتغيِّر العشوائي.
  • كل قيم الدالة 󰎨(𞸎) يجب أن تقع في الفترة [٠،١].

يمكننا هنا تمثيل دالة التوزيع الاحتمالي بعدة طرق، مثل الجدول، على الصورة 𞸋(𞹎=𞸎)=𞸋𞸎 أو في صورة صيغة تربط بين 𞸎، 󰎨(𞸎).

تعريف: تبايُن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع

تبايُن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎 هو قياس مدى تشتُّت قيم المتغيِّر عن القيمة المتوقَّعة 𝜇. ونرمز لذلك كالآتي: ُ(𞹎)=𝜎،٢ حيث 𝜎 هو الانحراف المعياري للتوزيع.

ويمكن إيجاد ذلك باستخدام الصيغة الآتية: ُ(𞹎)=󰁖(𞹎𝜇)󰁕،٢ حيث 𝜇=(𞹎)=󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)) هي القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎، وتمثِّل 𞸎 كل القيم التي يأخذها 𞹎.

يمكن فك صيغة تبايُن 𞹎، لنحصل على: ُأنأنُ(𞹎)=󰁖(𞹎𝜇)󰁕=󰁖𞹎٢𞹎×𝜇+𝜇󰁕=󰂗𞹎٢𞹎×(𞹎)+(𞹎)󰂖󰂔𝜇=(𞹎)󰂓=󰁓𞹎󰁒󰂗٢𞹎×(𞹎)󰂖+󰂗(𞹎)󰂖=󰁓𞹎󰁒٢(𞹎)×(𞹎)+(𞹎)󰂔󰂗(𞹎)󰂖=(𞹎)󰂓=󰁓𞹎󰁒٢(𞹎)+(𞹎)(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)،٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢ حيث 󰁓𞹎󰁒=󰌇󰁓𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)󰁒٢٢، و(𞹎)=󰂗󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎))󰂖٢٢.

عند حساب تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع، من السهل استخدام الصيغة ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)٢٢. ولكن في المثال التالي، سنستخدم كلتَيْهما؛ هذه الصورة، والصيغة ُ(𞹎)=󰁖(𞹎𝜇)󰁕٢، لشرح كيفية تطبيقهما.

مثال ١: إيجاد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع من جدول

تمثِّل الدالة في الجدول المُعطى دالة احتمال لمتغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎. أوجد تبايُن 𞹎. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

𞸎𞸍٣٥٧٨
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸍٢󰏡٥󰏡٢٥󰏡٢󰏡

الحل

أولًا، علينا إيجاد قيمة 󰏡 في الجدول. تذكَّر أنه بالنسبة إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع، يكون 󰌇󰎨(𞸎)=١. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام هذه الحقيقة لإيجاد قيمة 󰏡: ٢󰏡+٥󰏡+٥󰏡+󰏡=١٠١󰏡+٣󰏡١=٠(٥󰏡١)(٢󰏡+١)=٠٥󰏡١=٠٢󰏡+١=٠٥󰏡=١٢󰏡=١󰏡=١٥󰏡=١٢.٢٢٢أوأوأو

بما أن كل قيمة للدالة 󰎨(𞸎) يجب أن تقع في الفترة [٠،١]، إذن علينا معرفة قيمة أو قيم 󰏡 التي تمثِّل الحلول الصحيحة.

إذا كان 󰏡=١٥، إذن فبالتعويض بقيمة 󰎨(𞸎) في التعبير، نحصل على:

𞸎𞸍٣٥٧٨
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸍٢×١٥=٢٥٥×󰂔١٥󰂓=٥٥٢=١٥٢٥×󰂔١٥󰂓=٥٥٢=١٥٢١٥

يمكننا أن نرى أن كل قيمة لـ 󰎨(𞸎) تقع في الفترة [٠،١]؛ إذن 󰏡=١٥ حل صحيح.

إذا كان 󰏡=١٢، فبالتعويض بقيمة 󰎨(𞸎) في التعبير، نحصل على:

𞸎𞸍٣٥٧٨
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸍٢×󰂔١٢󰂓=١٥×󰂔١٢󰂓=٥٤٢٥×󰂔١٢󰂓=٥٤٢١٢

يمكننا ملاحظة أن قيمة واحدة على الأقل من قيم 󰎨(𞸎) لا تقع في الفترة [٠،١]؛ إذن 󰏡=١٢ ليس حلًّا صحيحًا.

لاحظ هنا أنه في هذه الحالة، لا تُوجَد أي قيمة من القيم الموجودة تقع في الفترة [٠،١]، ولكن إذا كانت هناك قيمة واحدة على الأقل تقع خارج هذه الفترة، فلا يمكن أن تكون دالة توزيع احتمال صحيحة.

والآن، نُوجِد التبايُن باستخدام الصيغة: ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)،٢٢ حيث 󰁓𞹎󰁒=󰌇󰁓𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)󰁒٢٢ و(𞹎)=󰂗󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎))󰂖٢٢. لذا، نستخدم القيم الموجودة في الجدول لحسابها ُ(𞹎). نلاحظ هنا أن 𞸋(𞹎=𞸎) يُشير إلى قيمة 󰎨(𞸎) المناظرة للقيمة 𞸎.

𞸎𞸍٣٥٧٨
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸍٢٥١٥١٥١٥

لحساب ُ(𞹎) في هذه الحالة، يكون من المفيد حساب (𞹎) و󰁓𞹎󰁒٢ كلٌّ على حدة.

بالنسبة إلى (𞹎): (𞹎)=󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎))=٣×٢٥+٥×١٥+٧×١٥+٨×١٥=٦٥+٥٥+٧٥+٨٥=٦٢٥.

بالنسبة إلى 󰁓𞹎󰁒٢: 󰁓𞹎󰁒=󰌇󰁓𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)󰁒=٩×٢٥+٥٢×١٥+٩٤×١٥+٤٦×١٥=٨١٥+٥٢٥+٩٤٥+٤٦٥=٦٥١٥.٢٢

بعد ذلك، نعوِّض بقيمتَي (𞹎) و󰁓𞹎󰁒٢ في الصيغة: ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)=٦٥١٥󰂔٦٢٥󰂓=٦٥١٥٦٧٦٥٢=٦١٫٤.٢٢٢

إذن التبايُن يساوي ٤٫١٦ لأقرب منزلتين عشريتين.

في المثال السابق، أوضحنا كيفية إيجاد التبايُن باستخدام الصيغة ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)٢٢. نرى الآن كيف يمكننا من خلال استخدام الصورة البديلة ُ(𞹎)=󰁖(𞹎𝜇)󰁕٢ أن نحصل على النتيجة نفسها.

ونستخدم القيمة (𞹎)=٦٢٥ التي حسبناها سابقًا، ثم نحسب قيمة 𞹎𝜇 ومربعها لكل القيم 𞸎. يجب إضافة صفوف إلى الجدول لفعل ذلك.

𞸎𞸍٣٥٧٨
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸍٢٥١٥١٥١٥
𞹎𝜇٣٦٢٥=١١٥٥٦٢٥=١٥٧٦٢٥=٩٥٨٦٢٥=٤١٥
(𞹎𝜇)٢١٢١٥٢١٥٢١٨٥٢٦٩١٥٢

نحسب بعد ذلك (𞹎𝜇)٢، والتبايُن، مع ملاحظة أن 𞸋(𞹎=𞸎) يُشير إلى قيمة 󰎨(𞸎) في الجدول: ُ(𞹎)=󰁖(𞹎𝜇)󰁕=󰌇󰁓(𞹎𝜇)×𞸋(𞹎=𞸎)󰁒=١٢١٥٢×٢٥+١٥٢×١٥+١٨٥٢×١٥+٦٩١٥٢×١٥=٢٤٢٥٢١+١٥٢١+١٨٥٢١+٦٩١٥٢١=٦١٫٤.٢٢

إذن التبايُن يساوي ٤٫١٦ لأقرب منزلتين عشريتين.

لاحظ أنه على الرغم من أن الطريقة المستخدَمة في المثال والطريقة المستخدَمة هنا صحيحتان، فإن الطريقة المستخدَمة في المثال هي المُوصى بها؛ لأن فرص ارتكاب الأخطاء الحسابية أقل فيها.

يُشير المثال التالي إلى دالة توزيع احتمالي على الصورة 𞸋(𞹎=𞸎)=𞸋𞸎 للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎. مرةً أخرى، مطلوب منا إيجاد التبايُن، ولكن هذه المرة سنستخدم الصيغة ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)٢٢ فقط للقيام بذلك.

مثال ٢: إيجاد التبايُن لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ٢، ٣، ٥، ٨. إذا كان 𞸋(𞹎=٢)=١٤٢، 𞸋(𞹎=٣)=٥٢١، 𞸋(𞹎=٥)=٣٨، 𞸋(𞹎=٨)=١٦، فأوجد تبايُن 𞹎. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لحساب تبايُن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع، يمكننا استخدام الصيغة ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎).٢٢

فمن المفيد حساب (𞹎) و󰁓𞹎󰁒٢ كلٌّ على حدة أولًا عند حساب ُ(𞹎).

بالنسبة إلى (𞹎): (𞹎)=󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎))=٢×١٤٢+٣×٥٢١+٥×٣٨+٨×١٦=٢٤٢+٥١٢١+٥١٨+٨٦=٩٠١٤٢.

بالنسبة إلى 󰁓𞹎󰁒٢: 󰁓𞹎󰁒=󰌇󰁓𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)󰁒=٢×١٤٢+٣×٥٢١+٥×٣٨+٨×١٦=٤٤٢+٥٤٢١+٥٧٨+٤٦٦=٥٧٥٤٢.٢٢٢٢٢٢

نعوِّض بعد ذلك بقيمتَي (𞹎) و󰁓𞹎󰁒٢ في الصيغة: ُب(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)=٥٧٥٤٢󰂔٩٠١٤٢󰂓=٩١٩١٦٧٥=٣٣٫٣.٢٢٢

إذن التبايُن يساوي ٣٫٣٣ لأقرب منزلتين عشريتين.

في المثال التالي، نُوجِد تبايُن 𞹎 عندما يكون لدينا دالة توزيع احتمالي على الصورة 󰎨(𞸎). وهذه الطريقة تشبه 󰎨(𞸎) عندما تكون مُعطاة في جدول أو بالصورة 𞸋(𞹎=𞸎)=𞸋𞸎، باستثناء أننا نحتاج إلى إيجاد قيم 󰎨(𞸎) بحساب قيم الدالة عند قيم 𞸎 المُعطاة.

مثال ٣: إيجاد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن 𞹎 يعبِّر عن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع الذي يمكن أن يأخذ القيم ٢، ١، 𞸌، ٢. إذا كان 𞹎 له دالة توزيع احتمالي 󰎨(𞸎)=𞸎+٤٦١، فأوجد تبايُن 𞹎.

الحل

بدايةً، لدينا قيمة مجهولة، 𞸌، علينا حسابها. نحن نعلم أنه لأي دالة توزيع احتمالي 󰌇󰎨(𞸎)=١، إذن يمكننا استخدام ذلك لتحديد القيمة المجهولة 𞸌.

من أجل إيجاد تعبير لـ 󰌇󰎨(𞸎)، علينا التعويض بالقيم ٢، ١، 𞸌، ٢ عن 𞸎 في 󰎨(𞸎).

عند 𞸎=٢: 󰎨(٢)=٢+٤٦١=٢٦١.

عند 𞸎=١: 󰎨(١)=١+٤٦١=٣٦١.

عند 𞸎=𞸌: 󰎨(𞸌)=𞸌+٤٦١.

عند 𞸎=٢: 󰎨(٢)=٢+٤٦١=٦٦١.

إذن لإيجاد قيمة 𞸌، نكتب معادلة باستخدام 󰌇󰎨(𞸎)=١، ونحلها لإيجاد قيمة 𞸌: 󰌇󰎨(𞸎)=󰎨(٢)+󰎨(١)+󰎨(𞸌)+󰎨(٢)=١٢٦١+٣٦١+𞸌+٤٦١+٦٦١=١٢+٣+𞸌+٤+٦٦١=١𞸌+٥١٦١=١𞸌+٥١=٦١𞸌=١.

نحسب بعد ذلك قيمة 󰎨(𞸌) باستخدام 𞸌=١: 󰎨(١)=١+٤٦١=٥٦١.

والآن، بعد أن أوجدنا قيمة 𞸌=١ وقيمة 󰎨(𞸌) المناظرة لها، يمكننا إيجاد تبايُن 𞹎. سنستخدم الصيغة ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)٢٢ للقيام بذلك. نلاحظ هنا أن 𞸋(𞹎=𞸎) يُشير إلى قيمة 󰎨(𞸎) المناظِرة لقيمة 𞸎.

يجب حساب (𞹎) و󰁓𞹎󰁒٢ على حدة أولًا عند حساب ُ(𞹎).

عند (𞹎): (𞹎)=󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎))=٢×٢٦١+١×٣٦١+١×٥٦١+٢×٦٦١=٤٦١٣٦١+٥٦١+٢١٦١=٠١٦١=٥٨.

عند 󰁓𞹎󰁒٢: 󰁓𞹎󰁒=󰌇󰁓𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)󰁒=(٢)×٢٦١+(١)×٣٦١+١×٥٦١+٢×٦٦١=٨٦١+٣٦١+٥٦١+٤٢٦١=٠٤٦١=٥٢.٢٢٢٢٢٢

وأخيرًا، نعوِّض بقيمتَي (𞹎) و󰁓𞹎󰁒٢ في الصيغة: ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)=٥٢󰂔٥٨󰂓=٥٣١٤٦.٢٢٢

إذن التبايُن يساوي ٥٣١٤٦.

في المثال التالي، نُوجِد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع مُعطى في دالة توزيع احتمالي؛ حيث يكون معامل الدالة مجهول.

مثال ٤: إيجاد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع

𞹎 متغيِّر عشوائي متقطِّع يأخذ القيم ٣، ٤، ٥. إذا علمت أن 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎٢١، فأوجد تبايُن 𞹎. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

بدايةً، علينا إيجاد المعامل المجهول في دالة التوزيع الاحتمالي 󰎨(𞸎). ولكي نفعل ذلك، علينا استخدام حقيقة أنه لكي تصبح 󰎨(𞸎) دالة توزيع احتمالي صحيحة، يجب أن يكون 󰌇󰎨(𞸎)=١.

لإيجاد 󰌇󰎨(𞸎) يجب أن نحسب 󰎨(𞸎) أولًا لكل قيمة من قيم 𞹎، وهو يأخذ هنا القيم ٣، ٤، ٥.

عند 𞸎=٣: 󰎨(٣)=󰏡×٣٢١=٣󰏡٢١.

عند 𞸎=٤: 󰎨(٤)=󰏡×٤٢١=٤󰏡٢١.

عند 𞸎=٥: 󰎨(٥)=󰏡×٥٢١=٥󰏡٢١.

لإيجاد 󰏡، نعوِّض في الصيغة 󰌇󰎨(𞸎)=١: 󰌇󰎨(𞸎)=󰎨(٣)+󰎨(٤)+󰎨(٥)=١٣󰏡٢١+٤󰏡٢١+٥󰏡٢١=١٢١󰏡٢١=١󰏡=١.

وبعد أن توصَّلنا إلى قيمة 󰏡، يمكننا إيجاد دالة التوزيع الاحتمالي 󰎨(𞸎) بالتعويض عن 󰏡: 󰎨(𞸎)=١×𞸎٢١=𞸎٢١.

حسنًا، بالنسبة إلى كل قيمة من قيم 𞸎=٣،٤، ٥:󰎨(٣)=٣٢١،󰎨(٤)=٤٢١،󰎨(٥)=٥٢١.

يمكننا الآن إيجاد تبايُن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع. نفعل ذلك باستخدام الصيغة ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)٢٢. نلاحظ هنا أن 𞸋(𞹎=𞸎) يُشير إلى قيمة 󰎨(𞸎) المناظِرة لقيمة 𞸎.

يجب حساب (𞹎) و󰁓𞹎󰁒٢ كلٌّ على حدة أولًا عند حساب ُ(𞹎).

بالنسبة إلى (𞹎): (𞹎)=󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎))=٣×٣٢١+٤×٤٢١+٥×٥٢١=٩٢١+٦١٢١+٥٢٢١=٠٥٢١=٥٢٦.

بالنسبة إلى 󰁓𞹎󰁒٢: 󰁓𞹎󰁒=󰌇󰁓𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)󰁒=٣×٣٢١+٤×٤٢١+٥×٥٢١=٧٢٢١+٤٦٢١+٥٢١٢١=٦١٢٢١=٨١.٢٢٢٢٢

وأخيرًا، نعوِّض بقيمتَي (𞹎) و󰁓𞹎󰁒٢ في الصيغة: ُب(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)=٨١󰂔٥٢٦󰂓=٤٦٫٠.٢٢٢

إذن التبايُن يساوي ٠٫٦٤ لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا الشارح، تعلَّمنا كيفية إيجاد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع، وكذلك حل مسائل على إيجاد التبايُن عند وجود مجهول في دالة التوزيع الاحتمالي.

النقاط الرئيسية

  • يمكن إيجاد تبايُن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎 باستخدام إحدى الصيغتين الآتيتين:
    • ُ(𞹎)=󰁖(𞹎𝜇)󰁕٢، عندما يكون 𝜇=(𞹎)=󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎))،
    • ُ(𞹎)=󰁓𞹎󰁒(𞹎)٢٢، عندما يكون 󰁓𞹎󰁒=󰌇󰁓𞸎×𞸋(𞹎=𞸎)󰁒٢٢ و(𞹎)=󰂗󰌇(𞸎×𞸋(𞹎=𞸎))󰂖٢٢.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.