شارح الدرس: التباين للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع من جدول

تمثِّل الدالة في الجدول المُعطى دالة احتمال لمتغيِّر عشوائي متقطِّع . أوجد تبايُن . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أولًا، علينا إيجاد قيمة في الجدول. تذكَّر أنه بالنسبة إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع، يكون . ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام هذه الحقيقة لإيجاد قيمة :

بما أن كل قيمة للدالة يجب أن تقع في الفترة ، إذن علينا معرفة قيمة أو قيم التي تمثِّل الحلول الصحيحة.

إذا كان ، إذن فبالتعويض بقيمة في التعبير، نحصل على:

يمكننا أن نرى أن كل قيمة لـ تقع في الفترة ؛ إذن حل صحيح.

إذا كان ، فبالتعويض بقيمة في التعبير، نحصل على:

يمكننا ملاحظة أن قيمة واحدة على الأقل من قيم لا تقع في الفترة ؛ إذن ليس حلًّا صحيحًا.

لاحظ هنا أنه في هذه الحالة، لا تُوجَد أي قيمة من القيم الموجودة تقع في الفترة ، ولكن إذا كانت هناك قيمة واحدة على الأقل تقع خارج هذه الفترة، فلا يمكن أن تكون دالة توزيع احتمال صحيحة.

والآن، نُوجِد التبايُن باستخدام الصيغة: حيث و. لذا، نستخدم القيم الموجودة في الجدول لحسابها . نلاحظ هنا أن يُشير إلى قيمة المناظرة للقيمة .

لحساب في هذه الحالة، يكون من المفيد حساب و كلٌّ على حدة.

بالنسبة إلى :

بالنسبة إلى :

بعد ذلك، نعوِّض بقيمتَي و في الصيغة:

إذن التبايُن يساوي ٤٫١٦ لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٢: إيجاد التبايُن لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ٢، ٣، ٥، ٨. إذا كان ، ، ، ، فأوجد تبايُن . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لحساب تبايُن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع، يمكننا استخدام الصيغة

فمن المفيد حساب و كلٌّ على حدة أولًا عند حساب .

بالنسبة إلى :

بالنسبة إلى :

نعوِّض بعد ذلك بقيمتَي و في الصيغة:

إذن التبايُن يساوي ٣٫٣٣ لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٣: إيجاد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن يعبِّر عن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع الذي يمكن أن يأخذ القيم ، ، ، ٢. إذا كان له دالة توزيع احتمالي ، فأوجد تبايُن .

الحل

بدايةً، لدينا قيمة مجهولة، ، علينا حسابها. نحن نعلم أنه لأي دالة توزيع احتمالي ، إذن يمكننا استخدام ذلك لتحديد القيمة المجهولة .

من أجل إيجاد تعبير لـ ، علينا التعويض بالقيم ، ، ، ٢ عن في .

عند :

عند :

عند :

عند :

إذن لإيجاد قيمة ، نكتب معادلة باستخدام ، ونحلها لإيجاد قيمة :

نحسب بعد ذلك قيمة باستخدام :

والآن، بعد أن أوجدنا قيمة وقيمة المناظرة لها، يمكننا إيجاد تبايُن . سنستخدم الصيغة للقيام بذلك. نلاحظ هنا أن يُشير إلى قيمة المناظِرة لقيمة .

يجب حساب و على حدة أولًا عند حساب .

عند :

عند :

وأخيرًا، نعوِّض بقيمتَي و في الصيغة:

إذن التبايُن يساوي .

مثال ٤: إيجاد تبايُن متغيِّر عشوائي متقطِّع

متغيِّر عشوائي متقطِّع يأخذ القيم ٣، ٤، ٥. إذا علمت أن ، فأوجد تبايُن . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

بدايةً، علينا إيجاد المعامل المجهول في دالة التوزيع الاحتمالي . ولكي نفعل ذلك، علينا استخدام حقيقة أنه لكي تصبح دالة توزيع احتمالي صحيحة، يجب أن يكون .

لإيجاد يجب أن نحسب أولًا لكل قيمة من قيم ، وهو يأخذ هنا القيم ٣، ٤، ٥.

عند :

عند :

عند :

لإيجاد ، نعوِّض في الصيغة :

وبعد أن توصَّلنا إلى قيمة ، يمكننا إيجاد دالة التوزيع الاحتمالي بالتعويض عن :

حسنًا، بالنسبة إلى كل قيمة من قيم ، ٥:

يمكننا الآن إيجاد تبايُن المتغيِّر العشوائي المتقطِّع. نفعل ذلك باستخدام الصيغة . نلاحظ هنا أن يُشير إلى قيمة المناظِرة لقيمة .

يجب حساب و كلٌّ على حدة أولًا عند حساب .

بالنسبة إلى :

بالنسبة إلى :

وأخيرًا، نعوِّض بقيمتَي و في الصيغة:

إذن التبايُن يساوي ٠٫٦٤ لأقرب منزلتين عشريتين.