نسخة الفيديو النصية
تسير أفعوانية عبر جزء من مسار مكون من حلقة رأسية تقع بين مسارين منحنيين، كما هو موضح في الشكل. المساران المنحنيان قوسان دائريان نصف قطر كل منهما 24 مترًا. النصف العلوي من الحلقة قوس دائري نصف قطره 14 مترًا. كتلة عربة الأفعوانية 3300 كيلوجرام. عند قاعدة المسار المنحني، تكون العجلة المركزية للعربة 24 مترًا لكل ثانية مربعة. وعند النصف العلوي من الحلقة، تكون العجلة المركزية للعربة 16 مترًا لكل ثانية مربعة. ما النسبة بين السرعة الزاوية للعربة عند قمة الحلقة والسرعة الزاوية للعربة عند قاعدة المسار المنحني؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
حسنًا، في هذا الجزء الأول من السؤال، مطلوب منا إيجاد النسبة بين السرعتين الزاويتين لعربة الأفعوانية عند نقطتين مختلفتين على المسار. هذا الجزء بالتحديد من المسار عبارة عن حلقة رأسية تقع بين مسارين منحنيين. يخبرنا السؤال أن المسارين المنحنيين هما قوسان دائريان نصف قطر كل منهما 24 مترًا. إذن، هذا يعني أنه عندما تكون العربة عند قاعدة المسار المنحني، فإنها تتحرك على جزء من دائرة نصف قطرها 24 مترًا. هيا نطلق على نصف القطر هذا 𝑟 واحد صغيرًا. يخبرنا السؤال أيضًا أن النصف العلوي من الحلقة هو قوس نصف دائري نصف قطره 14 مترًا. وسنطلق على نصف القطر الثاني 𝑟 اثنين صغيرًا.
عندما تكون العربة عند قمة الحلقة، فإنها تتحرك على جزء من دائرة نصف قطرها 𝑟 اثنان صغير. إذن، يمكننا ملاحظة أنه عندما تكون العربة في أي من الموضعين، فإنها تخضع لحركة دائرية. في الحالة الأولى، عندما تكون العربة عند قاعدة المسار المنحني، فإن نصف قطر هذه الحركة الدائرية، 𝑟 واحد، يساوي 24 مترًا. وفي الحالة الثانية، عندما تكون العربة عند قمة الحلقة، فإن نصف قطر هذه الحركة الدائرية، 𝑟 اثنين، يساوي 14 مترًا. ويخبرنا السؤال أيضًا أنه عند قاعدة المسار المنحني، تتحرك العربة بعجلة مركزية تساوي 24 مترًا لكل ثانية مربعة.
وبما أن هذا يحدث على دائرة نصف قطرها 𝑟 واحد صغير، فسوف نطلق على هذه العجلة المركزية 𝑎 واحد. وعلمنا أيضًا أنه عند قمة الحلقة، تتحرك العربة بعجلة مركزية تساوي 16 مترًا لكل ثانية مربعة. وبما أن هذا يحدث على دائرة نصف قطرها 𝑟 اثنان صغير، فسوف نطلق على هذه العجلة المركزية 𝑎 اثنين.
ولتلخيص ما تقدم، تذكر أن الكميات التي أشرنا إليها بالرقم واحد هي القيم التي تخص قاعدة المسار المنحني. أما الكميات التي أشرنا إليها بالرقم اثنين، فهي القيم التي تخص قمة الحلقة. حسنًا، يطلب منا الجزء الأول من السؤال حساب نسبة السرعة الزاوية للعربة عند قمة الحلقة مقارنة بالسرعة الزاوية عند قاعدة المسار المنحني. في كلتا الحالتين، نعلم نصف قطر الحركة الدائرية، كما نعلم قيمة العجلة المركزية.
لعلنا نتذكر أن ثمة صيغة تربط بين العجلة المركزية ونصف قطر الحركة الدائرية والسرعة الزاوية. وهي على وجه التحديد، العجلة المركزية، 𝑎𝑐، تساوي مربع السرعة الزاوية، 𝜔، في نصف قطر الدائرة، 𝑟. وفي حالتنا هذه، نحاول إيجاد قيمة السرعة الزاوية 𝜔. لذلك، دعونا نعد ترتيب هذه الصيغة لجعل 𝜔 في طرف بمفرده.
إذا قسمنا طرفي المعادلة على 𝑟، ففي الطرف الأيمن، يحذف 𝑟 من البسط والمقام معًا. ثم بتبديل الطرفين الأيسر والأيمن أحدهما مع الآخر، نحصل على 𝜔 تربيع يساوي 𝑎𝑐 على 𝑟. وأخيرًا، بحساب الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن السرعة الزاوية 𝜔 تساوي الجذر التربيعي للعجلة المركزية، 𝑎𝑐، على نصف القطر، 𝑟. والآن، يمكننا التعويض بقيمتي نصف القطر والعجلة المركزية عند كلا النقطتين على المسار لحساب السرعتين الزاويتين. والآن، يمكننا التعويض بقيمتي نصف القطر والعجلة المركزية عند كلا النقطتين على المسار لحساب السرعتين الزاويتين.
سنبدأ بالحالة التي تكون فيها العربة عند قاعدة المسار المنحني. عند هذه النقطة، نصف القطر 𝑟 واحد صغير يساوي 24 مترًا، والعجلة المركزية 𝑎 واحد تساوي 24 مترًا لكل ثانية مربعة. إذا أطلقنا على السرعة الزاوية عند هذه النقطة 𝜔 واحد، فسنجد أن 𝜔 واحد يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑎 واحد على 𝑟 واحد، وهو الجذر التربيعي لـ 24 مترًا لكل ثانية مربعة على 24 مترًا. وبما أن 24 على 24 يساوي واحدًا، والجذر التربيعي لواحد يساوي واحدًا، فإن 𝜔 واحد يساوي واحد راديان لكل ثانية.
ولاحظ أنه بما أن العجلة قيست بوحدة القياس الأساسية وهي متر لكل ثانية مربعة، وقيس نصف القطر بوحدة القياس الأساسية وهي المتر، فإن السرعة الزاوية ستقاس بوحدة القياس الأساسية وهي الراديان لكل ثانية. والآن، دعونا نحسب السرعة الزاوية عند قمة الحلقة. في هذه الحالة، نصف القطر 𝑟 اثنان صغير يساوي 14 مترًا، والعجلة المركزية 𝑎 اثنان تساوي 16 مترًا لكل ثانية مربعة. إذن السرعة الزاوية عند قمة المسار المنحني، التي أطلقنا عليها 𝜔 اثنين، تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑎 اثنين على 𝑟 اثنين. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ 16 مترًا لكل ثانية مربعة على 14 مترًا.
وعندما نحسب ذلك، نجد أن 𝜔 اثنين تساوي 1.069 وهكذا مع توالي الأرقام بوحدة الراديان لكل ثانية. إذن، لدينا الآن قيمة لكل من 𝜔 واحد، وهو السرعة الزاوية عند قاعدة المسار المنحني؛ و𝜔 اثنين، وهو السرعة الزاوية عند قمة الحلقة. ومطلوب منا في السؤال إيجاد النسبة بين السرعة الزاوية عند قمة الحلقة، أي 𝜔 اثنين، والسرعة الزاوية عند قاعدة المسار المنحني، أي 𝜔 واحد. ولإيجاد هذه النسبة، علينا قسمة 𝜔 اثنين على 𝜔 واحد. وعند فعل ذلك، علينا الانتباه لبعض الأمور.
أولًا، في المقام، نلاحظ أننا نقسم على قيمة عددية تساوي واحدًا، وأي عدد مقسوم على واحد يساوي العدد نفسه الذي بدأنا به. إذن، سيكون الحل هو العدد الموجود في البسط فقط. أما الأمر الثاني الذي يجب ملاحظته، فهو أننا نقسم سرعة زاوية على سرعة زاوية. بعبارة أخرى، نقسم كمية بوحدة الراديان لكل ثانية على كمية أخرى بوحدة الراديان لكل ثانية. ومن ثم، فإن الوحدتين تحذفان معًا، وتكون الإجابة كمية ليس لها أبعاد.
وبهذا نكون قد حصلنا على الإجابة عن النسبة بين السرعة الزاوية عند قمة الحلقة والسرعة الزاوية عند قاعدة المسار المنحني. لكن ثمة خطوة أخيرة علينا القيام بها؛ لأن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. عندما نقرب الناتج لأقرب منزلة عشرية، نجد أن النسبة بين هاتين السرعتين الزاويتين تساوي 1.1.
حسنًا، لنلق نظرة على الجزء الثاني من السؤال.
ما النسبة بين قوة رد الفعل العمودية 𝑅 واحد على العربة عند قاعدة المسار المنحني وقوة رد الفعل العمودية 𝑅 اثنين على العربة عند قمة الحلقة؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
حسنًا، هذا الجزء من السؤال يركز على الموضعين نفسيهما على المسار. لكن هذه المرة، مطلوب منا إيجاد النسبة بين قوتي رد الفعل العموديتين عند هذين الموضعين. قوة رد الفعل العمودية هنا هي القوة التي يؤثر بها المسار على الأفعوانية. كما نرى في الشكل، قوة رد الفعل العمودية تكون عمودية على اتجاه المسار. وعندما تخضع العربة لحركة دائرية كما هو الحال في هذين الموضعين، يكون اتجاه القوة نحو مركز الدائرة. يمكننا أن نتذكر هنا أن أي جسم يخضع لحركة دائرية يتعرض لقوة جاذبة مركزية، 𝐹𝑐، تساوي كتلة الجسم، 𝑚، في العجلة المركزية، 𝑎𝑐. وهذه القوة الجاذبة المركزية هي القوة المحصلة المتجهة إلى الداخل نحو مركز الدائرة.
في حالة عربة الأفعوانية، عند التحرك على طول هذه الحلقة الرأسية، تتولد قوتان تنتج عنهما القوة الجاذبة المركزية. القوة الأولى هي قوة رد الفعل العمودية التي تتجه دائمًا نحو مركز الدائرة. وقد رسمت هذه القوة على الشكل عند الموضعين المطلوب منا التركيز عليهما. عند قاعدة المسار المنحني، تسمى هذه القوة 𝑅 واحد. وعند قمة الحلقة، تسمى هذه القوة 𝑅 اثنين. القوة الثانية التي علينا التركيز عليها هي قوة الجاذبية. وهذه القوة تؤثر رأسيًّا لأسفل دائمًا؛ لأن الجاذبية تؤثر على الأجسام فتسحبها لأسفل في اتجاه الأرض.
دعونا نضف قوة الجاذبية هذه على الشكل إلى النقطتين محل الاهتمام. لقد قلنا إن قوة الجاذبية تؤثر رأسيًّا لأسفل دائمًا؛ لذا يمكننا تمثيل هذه القوة بسهم يشير رأسيًّا لأسفل عند كل موضع. مقدار قوة الجاذبية هذه يساوي 𝑚 في 𝑔، حيث 𝑚 هو كتلة الجسم، و𝑔 هو شدة مجال الجاذبية. علمنا من معطيات السؤال أن كتلة عربة الأفعوانية تساوي 3300 كيلوجرام. إذن، في حالتنا هذه، 𝑚 يساوي 3300 كيلوجرام. يمكننا أن نتذكر أيضًا أن شدة مجال الجاذبية على الأرض تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة لأقرب رقمين معنويين.
والآن، بعد أن رسمنا على الشكل كلًّا من قوة رد الفعل العمودية وقوة الجاذبية، دعونا نر ما علاقة هاتين القوتين بالقوة الجاذبة المركزية Fc. ذكرنا أن القوة الجاذبة المركزية هي القوة المحصلة التي تؤثر في اتجاه مركز الدائرة. إذن، عند قاعدة المسار المنحني، القوة الجاذبة المركزية التي أطلقنا عليها Fc واحد تساوي قوة رد الفعل العمودية 𝑅 واحد، والتي تؤثر في اتجاه مركز الدائرة، ناقص قوة الجاذبية 𝑚𝑔، التي تؤثر في الاتجاه المعاكس. بينما عند قمة الحلقة، فإن القوة الجاذبة المركزية، Fc اثنين، تساوي قوة رد الفعل العمودية، R اثنين، زائد قوة الجاذبية، 𝑚𝑔؛ لأن القوتين في هذه الحالة تؤثران في اتجاه مركز الدائرة.
ونعلم أيضًا أن القوة الجاذبة المركزية تساوي كتلة الجسم في العجلة المركزية. وبما أننا نعلم كتلة عربة الأفعوانية وقيمة العجلة المركزية عند كلا الموضعين، فمن المنطقي استخدام هذه المعادلة هنا لتحل محل القوة الجاذبة المركزية في الطرف الأيسر من هاتين المعادلتين، ويصبح الطرف الأيسر الكتلة مضروبة في العجلة المركزية. عندما نفعل ذلك، سنحصل على معادلتين إحداهما تنطبق على قاعدة المسار المنحني، والأخرى تنطبق على قمة الحلقة. والنقطة الأساسية هنا هي أنه أصبح لدينا الآن كمية مجهولة واحدة فقط في كل من هاتين المعادلتين. وهي قيمة قوة رد الفعل العمودية.
لذا، دعونا نعد ترتيب هاتين المعادلتين لكي نجعل قوة رد الفعل العمودية في طرف بمفردها. سنبدأ بهذه المعادلة بالأعلى حيث تكون العربة عند قاعدة المسار المنحني. أولًا، نضيف 𝑚 في 𝑔 إلى طرفي المعادلة، فنحصل على 𝑚 في 𝑎 واحد زائد 𝑚 في 𝑔 يساوي 𝑅 واحد.
يمكننا تنظيم هذه المعادلة قليلًا بتبديل الطرفين الأيسر والأيمن من المعادلة معًا وأخذ الكتلة 𝑚 عاملًا مشتركًا؛ لأنها موجودة في هذين الحدين. وبهذا يصبح لدينا قوة رد الفعل العمودية 𝑅 واحد تساوي 𝑚 في حاصل جمع 𝑎 واحد و𝑔. عندما نعوض بقيم 𝑚، و𝑎 واحد، و𝑔، نجد أن قوة رد الفعل العمودية 𝑅 واحد تساوي الكتلة، وهي 3300 كيلوجرام، مضروبة في حاصل جمع العجلة المركزية وهي 24 مترًا لكل ثانية مربعة، وشدة مجال الجاذبية وهي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. وبحساب قيمة هذا المقدار، نجد أن 𝑅 واحد يساوي 111.540 كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة، وهو ما يمكننا كتابته أيضًا على الصورة 111.540 نيوتن.
والآن، سنلقي نظرة على هذه المعادلة بالأسفل عندما تكون العربة عند قمة الحلقة. إذا طرحنا 𝑚 في 𝑔 من طرفي المعادلة، فسنجد أن 𝑚 في 𝑎 اثنين ناقص 𝑚 في 𝑔 يساوي 𝑅 اثنين. وعندما نأخذ الكتلة 𝑚 التي تظهر في هذين الحدين باعتبارها عاملًا مشتركًا، ثم نبدل الطرف الأيسر والأيمن من المعادلة معًا، نحصل على هذه المعادلة، التي تنص على أن قوة رد الفعل العمودية 𝑅 اثنين تساوي الكتلة 𝑚 مضروبة في 𝑎 اثنين ناقص 𝑔. وبالتعويض بقيم 𝑚، و𝑎 اثنين، و𝑔، نجد أن 𝑅 اثنين يساوي الكتلة، وقيمتها 3300 كيلوجرام، مضروبة في 16 مترًا لكل ثانية مربعة ناقص 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. وبحساب قيمة هذا المقدار، نجد أن 𝑅 اثنين يساوي 20460 كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة، أو ما يعادل 20460 نيوتن.
والآن نكون قد عرفنا قيمة قوة رد الفعل العمودية عند كل من قاعدة المسار المنحني وقمة الحلقة. ويطلب منا السؤال إيجاد النسبة بين قوة رد الفعل العمودية على العربة عند قاعدة المسار المنحني، أي 𝑅 واحد، وقوة رد الفعل عند قمة الحلقة، أي 𝑅 اثنين. وهذا يعني أن علينا إيجاد ناتج قسمة 𝑅 واحد على 𝑅 اثنين. وبالتعويض بهاتين القيمتين، نجد أن النسبة تساوي 111.540 نيوتن، أي 𝑅 واحد، على 20460 نيوتن، أي 𝑅 اثنين. وبحساب قيمة هذه القسمة، نجد أن النسبة 𝑅 واحد على 𝑅 اثنين تساوي 5.4516 وهكذا مع توالي الأرقام العشرية.
لاحظ أنه بما أن لدينا كمية بوحدة النيوتن مقسومة على كمية أخرى بوحدة النيوتن أيضًا، إذن، مثل الجزء الأول من السؤال، عند القسمة، تحذف الوحدتان، وتنتج كمية ليس لها أبعاد. هذه القيمة هي النسبة بين قوة رد الفعل العمودية على العربة عند قاعدة المسار المنحني وقوة رد الفعل العمودية على العربة عند قمة الحلقة، وهو ما طلب منا السؤال إيجاده. والخطوة الأخيرة المتبقية هي تقريب هذا الناتج لأقرب منزلة عشرية. عندما نفعل ذلك، يصبح الحل النهائي 5.5.
