في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلِّل مقادير واتجاهات ومصادر القوى المؤثِّرة على الأجسام التي تتحرَّك في مسارات دائرية.
لعلَّنا نتذكَّر أنه لكي يُغيِّر الجسم سرعته المتجهة يجب أن يتحرَّك بعجلة؛ ومن ثَمَّ لا بدَّ أن تؤثِّر عليه قوة محصلة لا تساوي صفرًا.
التغيُّر في السرعة المتجهة لا يعني بالضرورة تغيُّرًا في مقدار السرعة. حيث يُمكن أن يتغيَّر اتجاه سرعة الجسم دون تغيُّر مقدارها. وهذا أيضًا يمثِّل حركة بعجلة، ويتطلَّب قوة محصلة لا تساوي صفرًا.
ومن ثَمَّ فالجسم الذي يتحرَّك في مسار منحنٍ بسرعة ثابتة يجب أن تؤثِّر عليه قوة محصلة لا تساوي صفرًا.
يُعَدُّ المسار الدائري أحد الأمثلة البسيطة على المسار المنحني. سنوضِّح في هذا الشارح أنه عندما يتَّبع جسم ما مسارًا دائريًّا، فلا بدَّ أن تؤثِّر عليه قوة باتجاه مركز الدائرة التي يتحرَّك عبرها الجسم. تُسمَّى هذه القوة باسم القوة الجاذبة المركزية، وهو ما يعني أنها قوة تؤثِّر باتجاه المركز.
لننظر إلى قمر صناعي يدور حول الأرض في مسار دائري، كما هو موضَّح بالشكل الآتي.
في هذا الشكل، تمثِّل الأرض مركز المسار الدائري. في اللحظة الموضَّحة، تؤثر قوة الجاذبية ، على القمر الصناعي باتجاه الأرض؛ ومن ثمَّ باتجاه مركز المسار الدائري. ويَنتُج عن قوة الجاذبية القوة الجاذبة المركزية التي تتسبَّب في الحركة الدائرية للقمر الصناعي.
عند كلِّ نقطة على المسار الذي يقطعه القمر الصناعي، تؤثِّر القوة باتجاه مركز الدائرة. وهناك نقطتان موضَّحتان في الشكل الآتي.
لكي يتَّبع القمر الصناعي مسارًا دائريًّا، لا بدَّ أن تكون سرعته المتجهة في اتجاه المسار دائمًا. ويكون اتجاه المسار الدائري عند أيِّ نقطة على المسار مماسًّا لنصف قطر الدائرة عند هذه النقطة. وهذا موضَّح في الشكل الآتي؛ حيث السرعتان المتجهتان و متعامدتان ومقداراهما متساويان.
يُمكننا أن نحدِّد نقطة في منتصف المسار الدائري بين هاتين النقطتين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
لنفكر في الاتجاه الذي تتغيَّر فيه السرعة المتجهة لتصبح السرعة المتجهة ، وهو ما نُطلِق عليه . يوضِّح الشكل الآتي الاتجاه عند هذه النقطة.
نلاحظ أن تتجه نحو مركز الدائرة. ويرجع التغيُّر في السرعة المتجهة إلى العجلة الناتِجة عن قوة الجاذبية. ونلاحِظ أن هذه القوة قوة جاذبة باتجاه المركز.
ولكن ثمَّة مشكلة في هذا النموذج، وهو أنه لا يُمكن للقمر الصناعي الوصول إلى النقطة الموضَّحة إذا كانت سرعته المتجهة . يوضِّح الشكل الآتي الموضع الفعلي الذي سيكون فيه القمر الصناعي.
الفرق بين موضع النقطة على المسار الدائري وموضع النقطة التي تتحرَّك بسرعة متجهة يكون أقلَّ بالنسبة إلى نقطة تقطع مسافة أقصر. ويوضِّح الشكل الآتي ذلك.
يوضِّح الشكل جزءًا من محيط الدائرة. لدينا النقطتان القريبتان كلٌّ منهما من الأخرى (أ) و(ب)، والنقطة الثالثة (ج) في منتصف المسافة بينهما. كما يوضِّح الشكل الخطوط القطرية لكلِّ نقطة من هذه النقاط.
يُعَدُّ الخط الأفقي الوردي من (أ) إلى (ج) مماسًّا للمسار الدائري عند تقاطع الخط القطري مع النقطة (أ). وطول القوس من (أ) إلى (ج) يساوي تقريبًا طول الخط الأفقي.
يُمكننا تخيُّل أزواج من النقاط المتقاربة بعضها من بعض. ويُمكننا أيضًا أن نتخيَّل أخْذ عدد غير محدود من أزواج النقاط هذه الموزَّعة بشكل منتظِم حول الدائرة؛ بحيث تُغطِّي هذه النقاط محيط الدائرة.
كلما زاد عدد أزواج النقاط، قلَّت المسافة بين النقاط. وكلما قلَّت المسافة بين نقطتين في أحد الأزواج، أصبحت المسافة المستقيمة بين نقطتي الزوج مساوية تقريبًا لطول القوس بين النقطتين.
وكلما أصبحت المسافة بين النقطتين ضئيلة جدًا، تحرَّك القمر الصناعي بشكل منتظِم في مسار دائري، وأصبح اتجاه التغيُّر في سرعة القمر الصناعي طوال حركته مشيرًا إلى مركز الدائرة.
لقد وضَّحنا أن هناك تغيُّرًا في السرعة المتجهة ، في اتجاه مركز الدائرة. وهذا التغيُّر في هذه السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن يساوي العجلة في اتجاه مركز الدائرة .
من المُمكِن تحديد العلاقة بين العجلة باتجاه مركز الدائرة ونصف قطر الدائرة وسرعة الحركة بطول محيط الدائرة.
انظر الشكل الآتي.
نرى أن الجسم يتحرَّك في دائرة نصف قطرها بسرعة متجهة عند النقطة (أ)، وبسرعة متجهة عند النقطة (ب). وعند كل نقطة، يتحرَّك الجسم بسرعة مقدارها ؛ حيث:
تتغيَّر الزاوية بين النقطة (أ)، ومركز الدائرة، والنقطة (ب) بمقدار عندما يتحرَّك الجسم من النقطة (أ) إلى النقطة (ب).
المسافة المستقيمة من النقطة (أ) إلى النقطة (ب) تساوي . وعندما تكون النقطتان (أ) و(ب) قريبتين جدًّا إحداهما من الأخرى، فإن يساوي تقريبًا المسافة التي يقطعها الجسم بين (أ) و(ب). سنفترض أن (أ) و(ب) قريبتان إحداهما من الأخرى بدرجة كافية ليكون ذلك صحيحًا؛ وهو ما يعني بالطبع أن الشكل لم يُرسَم بمقياس رسم.
المثلث الواقع بين النقطة (أ)، ومركز الدائرة، ونقطة منتصف الخط الواصل بين (أ) و(ب) (المثلث الأول) يشبه المثلث الموجود بين (أ) و(ب) الذي له ضلع يساوي (المثلث الثاني)، كما هو موضَّح بالشكل الآتي.
يُمكننا أن نلاحِظ أن جيب الزاوية في المثلث الأول يُعطَى بالعلاقة:
ويُمكننا أن نلاحِظ أيضًا أن الزاوية في المثلث الثاني المقابِلة للضلع الأقصر تُعطَى بالعلاقة:
وعليه فإن:
يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة كما يأتي:
لنفترض أن الفترة الزمنية التي يتحرَّك فيها الجسم من النقطة (أ) إلى النقطة (ب) هي .
ومن ثمَّ يُمكن الحصول على العجلة المركزية للجسم بالعلاقة:
يُمكن التعويض بقيمة في هذه المعادلة:
تذكر أننا ذكرنا أن يُمكن تقريبها على أنها تساوي المسافة المقطوعة من النقطة (أ) إلى النقطة (ب). ومن ثَمَّ، يُمكننا أن نقول إن:
بالتعويض بهذه المعادلة، نحصل على:
هذه معادلة للعجلة تعتمد فقط على نصف قطر الدائرة وسرعة الحركة على طول محيط الدائرة.
يمكن تحديد هذه العجلة أيضًا باستخدام .
يُمكن الحصول على السرعة الزاوية للجسم بالعلاقة:
بما أن الزاوية صغيرة جدًّا، يُمكننا تقريب على الصورة:
ثم نَجِد أن:
يُمكن التعويض بقيمة في لنحصل على
القوة الجاذبة المركزية المؤثِّرة على جسم يتحرَّك حركة دائرية منتظِمة تساوي حاصل ضرب العجلة المركزية للجسم في كتلته.
معادلة: القوة الجاذبة المركزية المؤثِّرة على جسم يتحرَّك حركة دائرية منتظِمة
يُمكن الحصول على القوة الجاذبة المركزية ، المؤثِّرة على جسم كتلته ، ويتحرَّك بسرعة منتظِمة على طول محيط دائرة نصف قطرها بالعلاقة:
ليست القوى الجاذبة المركزية قوى جاذبية بالضرورة.
فعلى سبيل المثال، قد تَنتُج القوة الجاذبة المركزية عن طريق الشدِّ. يوضِّح الشكل الآتي حجرًا مربوطًا بطرف خيط يتحرَّك في مسار دائري.
يؤثِّر الشدُّ في الخيط على الحجر لجعله يتحرَّك بعجلة في اتجاه مركز الدائرة.
في حالة تحرُّك سيارة في دائرة، تَنتُج القوة الجاذبة المركزية عن الاحتكاك بين عجلات السيارة وسطح الطريق.
هيَّا نُلقِ نظرةً على بعض الأمثلة التي تتضمَّن القوة الجاذبة المركزية.
مثال ١: إيجاد القوة الجاذبة المركزية
ما مقدار القوة الجاذبة المركزية التي يجب أن تؤثر على جسم كتلته 1.0 kg لكي يتحرَّك في مسار دائري قطره 1.0 m، ليُكمِل دورة كاملة كلَّ 1.0 s؟ قرَّب إجابتك لأقرب نيوتن.
الحل
يُمكن الحصول على القوة الجاذبة المركزية ، المؤثَّرة على جسم كتلته ويتحرَّك بسرعة منتظمة على طول محيط دائرة نصف قطرها بالعلاقة:
يذكر السؤال قيمتَيْ و، ولكنه لا يذكر قيمة .
تُمثِّل قيمة سرعة الجسم. ويُمكن إيجادها عن طريق إيجاد المسافة التي يقطعها الجسم ليقطع محيط الدائرة بالكامل مرَّة واحدة، مقسومة على الزمن المُستغرَق للقيام بذلك.
يُمكن الحصول على محيط الدائرة بالعلاقة : حيث قطر الدائرة.
قطر الدائرة يساوي 1.0 m؛ ومن ثمَّ نجد أن:
الزمن الذي يَستغرِقه الجسم لقطع هذه المسافة يساوي 1.0 s. ومن ثمَّ نجد أن سرعة الجسم تساوي
يُمكننا الآن التعويض بقيمة في:
ومن ثمَّ، نحصل على:
بالتقريب لأقرب نيوتن، .
مثال ٢: المقارنة بين العجلات الجاذبة المركزية عند نقاط مختلفة
يدور حبل مُنتظِم أفقيًّا حول أحد طرفَيْهِ، كما هو موضَّح في الشكل. يعود طرف الحبل المُقابِل للطرف الثابت إلى موضعه كلَّ 0.65 s. يتحرَّك الطرف الحرُّ من الحبل بسرعة ثابتة من النقطة (أ) إلى النقطة (ب).
- ما نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة (أ) إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة (ب)؟
- ما نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة (أ) إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة (د)؟
الحل
الجزء الأول
يُمكن الحصول على مقدار العجلة الجاذبة المركزية لنقطة على الحبل بالعلاقة: حيث سرعة النقطة، طول الخط المستقيم من مركز الدائرة إلى النقطة.
ينصُّ السؤال على أن الطرف الحر من الحبل يتحرَّك بسرعة ثابتة. وهذا يعني أن قيمة متساوية عند النقطتين (أ) و(ب).
ويُحافظ الطرف الحرُّ للحبل على مسافة ثابتة مقدارها 0.22 m من مركز الدائرة. ولا تتغيَّر هذه القيمة بين النقطتين (أ) و(ب).
نلاحِظ أنه لا يتغيَّر أيُّ عامل من العوامل التي تعتمد عليها العجلة المركزية بين النقطتين (أ) و(ب). ومن ثَمَّ، لا تتغيَّر قيمة العجلة المركزية بين النقطتين.
وعليه، فإن نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة (أ) إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة (ب) تساوي واحدًا.
الجزء الثاني
يُمكن الحصول على مقدار العجلة المركزية لنقطة على الحبل بالعلاقة: حيث سرعة النقطة، طول الخط المستقيم من مركز الدائرة إلى النقطة.
بالمقارنة بين قيمتَيْ ، عند النقطتين (أ) و(د)، نَجِد أنهما يتغيَّران.
يذكر السؤال التغيُّر في . ويُمكن الحصول على نسبة قيمة عند النقطة (أ) إلى قيمتها عند (د) بالعلاقة: حيث قيمة عند النقطة (أ)، قيمة عند النقطة (د).
ومع ذلك فالتغيُّر في غير مذكور في السؤال.
يُمكن إيجاد قيمة للنقطتين (أ) و(د)؛ حيث يذكر السؤال الزمن الذي يَستغرِقه الطرف الحرُّ من الحبل للعودة إلى موضعه الابتدائي. والزمن المُستغرَق يساوي 0.65 s.
يُمكن الحصول على المسافة المقطوعة ، بواسطة الطرف الحرِّ للحبل في زمن قدره 0.65 s بالعلاقة: حيث قطر المسار الدائري المتبع .
ويُمكن الحصول على المسافة المقطوعة ، بواسطة النقطة على الحبل في زمن قدره 0.65 s بالعلاقة: حيث قطر المسار الدائري المتبع .
نَجِد أن:
ونَجِد أيضًا أن:
يُمكننا الآن إيجاد النسبة بين قيمتَيْ للنقطتين (أ) و(د):
نَجِد أن:
ومن ثم نَجِد أن نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة (أ) إلى مقدارها عند النقطة (د) تساوي 1.375.
ويُمكن الحصول على هذه النتيجة بسهولة أكبر باستخدام الصيغة: حيث السرعة الزاوية للحبل، وهي متساوية في جميع النقاط على طول الحبل، بافتراض أن الحبل لا ينحني.
يُمكن إيجاد قيمة عن طريق الزمن المُستغرَق لعودة الخيط إلى موضعه الأصلي:
بالنسبة إلى قيمة التي تساوي 0.16 m، نجد أنه: وبالنسبة إلى قيمة التي تساوي 0.22 m، نجِد أنه:
وبهذا يُمكننا أن نَجِد أن نسبة قِيَم هي نفسها نسبة قِيَم ، .
مثال ٣: المقارنة بين السرعة الزاوية والسرعة الخطية لجسم يتحرَّك حركة دائرية منتظِمة
أيُّ الخطوط الموضَّحة على التمثيل البياني يُمثِّل بصورة صحيحة كيفية تغيُّر السرعة الخطية لجسم بتغيُّر نصف قطر المسار الدائري الذي يتَّبعه الجسم؟ افترض أن السرعة الزاوية للجسم ثابتة.
الحل
كلما زاد نصف قطر المسار الدائري ، زاد طول هذا المسار. ويُمكن الحصول على محيط المسار الدائري ، بالعلاقة:
نجِد إذن أن التغيُّر في يَنتُج عنه تغيُّر طردي في .
ويُمكن الحصول على السرعة ، لجسم على طول مسار دائري بالعلاقة: حيث المسافة المقطوعة في الفترة الزمنية .
يُذكَر في السؤال أن السرعة الزاوية للجسم ثابتة.
وهذا يعني أنه أيًّا كان نصف قطر المسار الدائري الذي يتحرَّك فيه الجسم، فإن الجسم سيستغرق الزمن نفسه لكي يعود إلى النقطة نفسها في المسار.
يمكننا المقارنة بين السرعتين ، ، اللتين تمثِّلان قيمتين مختلفتين لـ ، وهما ، ، لكن القيمة نفسها لــ :
بافتراض أن:
نجِد أن:
يُمكننا تعريف طولَيِ المسارين الدائريين ، ، على الصورة:
وبافتراض أن:
نَجِد أن:
إذا افترضنا أن ، المسافتان المقطوعتان في الفترة الزمنية ، نَجِد أنه، في حالة الأجسام التي لها سرعات زاوية متساوية، تكون سرعة الجسم الذي يقطع المسافة ضِعف سرعة الجسم الذي يقطع المسافة .
يُمكننا أخْذ نقطتين على التمثيل البياني من السؤال والمقارنة بين التغيُّرات في ، لهاتين النقطتين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
وهنا نلاحِظ أن الخط الرمادي يتقاطع مع هاتين النقطتين، ولا يتقاطع أيُّ خط من الخطوط الأخرى معهما. ومن ثَمَّ، فإن الخط الرمادي هو الخيار الصحيح.
هيَّا نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- القوة الجاذبة المركزية قوة تؤثِّر باتجاه مركز المسار الذي يتَّبعه الجسم.
- يكون لأيِّ جسم عند نقطة على مسار منحنٍ يتحرَّك فيه سرعة لحظية مماسية لاتجاه المسار عند هذه النقطة.
- يُمكن الحصول على العجلة المركزية ، لجسم يتحرَّك حركة منتظمة بالسرعة على طول مسار نِصف قطره بالعلاقة:
- يُمكن الحصول على القوة الجاذبة المركزية ، المؤثِّرة على جسم كتلته يتحرَّك حركة منتظمة بالسرعة على طول مسار دائري نصف قطره بالعلاقة:
- يُمكن الحصول على العجلة المركزية ، لجسم يتحرَّك حركة منتظمة على طول مسار دائري نصف قطره بالعلاقة: حيث السرعة الزاوية للجسم.
- يُمكن أن تَنتُج القوى الجاذبة المركزية عن الجاذبية، أو الشدِّ، أو الاحتكاك، أو أيِّ قوة أخرى تؤثِّر باتجاه مركز المسار الذي يتَّبعه الجسم.
