نسخة الفيديو النصية
قياس الزاوية المحصورة بين قوتين ١٢٠ درجة، ومقدار محصلتهما ٧٩ نيوتن. أوجد مقدار كل من القوتين، إذا كان الفرق بينهما ٥١ نيوتن.
دعونا نبدأ بتعريف كل قوة من القوتين. سنعرف القوتين المؤثرتين بأنهما الكميتان المتجهتان ﻕ واحد وﻕ اثنين اللتان لهما المقداران ﻕ واحد وﻕ اثنين، على الترتيب. بعد ذلك، سنعرف محصلتهما بأنها المتجه ﺡ. وبما أن محصلة القوتين تساوي مجموعهما، يمكننا إذن قول إن المتجه ﺡ يساوي مجموع المتجهين ﻕ واحد وﻕ اثنين. دعونا نفترض أن المتجه ﻕ واحد يؤثر في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ كما هو موضح. وعلمنا من المعطيات أن قياس الزاوية بين القوتين يساوي ١٢٠ درجة. لذا، يمكننا تمثيل أن القوة ﻕ اثنين تؤثر في الاتجاه الموضح. إذا افترضنا أن ﻕ اثنين يبدأ عند نهاية ﻕ واحد ومثلنا ذلك على الشكل، فسيمكننا إذن إضافة القوة المحصلة إلى الشكل كما هو موضح.
والآن، دعونا نفكر في مثلث القوى هذا. يمثل طول كل ضلع مقدار كل متجه. هذا يعني أن قاعدة هذا المثلث هي ﻕ واحد، وأحد ضلعيه الآخرين هو ﻕ اثنان. وبما أن مقدار المحصلة يساوي ٧٩، فإن طول الضلع الثالث في هذا المثلث يساوي ٧٩ نيوتن. والآن، ثمة عملية حسابية إضافية يمكننا القيام بها. يمكننا إيجاد قياس الزاوية، وسنسميها 𝜃، المحصورة بين ضلعين في المثلث لدينا. بالنظر إلى الشكل الأصلي الذي يوضح القوى لدينا، نلاحظ أننا رسمنا ضلعين يمثلان القوة ﻕ اثنين. ومن ثم، لا بد أن يكون هذان الضلعان متوازيين. هذا يعني أن قياس الزاوية 𝜃 وقياس الزاوية ١٢٠ درجة متكاملان. ومن ثم، فإن مجموعهما يساوي ١٨٠. إذن، لا بد أن 𝜃 تساوي ١٨٠ ناقص ١٢٠، ما يساوي ٦٠ درجة. وبهذا، يكون لدينا مثلث قوى به زاوية محصورة قياسها ٦٠ درجة وضلع واحد طوله يساوي ٧٩ نيوتن.
يمكننا استخدام قانون جيوب التمام للربط بين هذا كله. إذا أشرنا إلى الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة بـ ﺃ ، والضلع المقابل لها بـ ﺃ شرطة، فسنجد -وفقًا لقانون جيوب التمام- أن ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطةﺟ شرطة جتا ﺃ . سنعوض بعد ذلك بكل ما نعرفه عن هذا المثلث في هذه الصيغة. وهذا يعطينا ٧٩ تربيع يساوي ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع ناقص اثنين ﻕ واحد في ﻕ اثنين في جتا ٦٠. ٧٩ تربيع يساوي ٦٢٤١ وجتا ٦٠ يساوي نصفًا. إذن، يمكننا تبسيط ذلك إلى ٦٢٤١ يساوي ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع ناقص ﻕ واحد في ﻕ اثنين.
حسنًا، ستواجهنا هنا مشكلة؛ وذلك لأن لدينا معادلة تتضمن قيمتين مجهولتين. لذا، علينا استخدام حقيقة أخيرة؛ وهي أن الفرق بين مقداري القوتين لدينا يساوي ٥١ نيوتن. نحن لا نعرف أي القوتين أكبر. لذا، سنقوم بالافتراض هنا. سنفترض أن ﻕ واحد أكبر، وبهذا يكون لدينا ﻕ واحد ناقص ﻕ اثنين يساوي ٥١. بعد ذلك، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة وقول إن هذا يعني أن ﻕ واحد يساوي ٥١ زائد ﻕ اثنين. بوضع ذلك في الاعتبار، يمكننا الآن التعويض بـ٥١ زائد ﻕ اثنين عن كل ﻕ واحد في المعادلة السابقة. نتيجة لذلك، يصبح لدينا معادلة تربيعية تتضمن ﻕ اثنين فقط، ومن ثم يمكننا حلها. في الطرف الأيسر، يصبح لدينا ٥١ زائد ﻕ اثنين الكل تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع ناقص ٥١ زائد ﻕ اثنين في ﻕ اثنين. بعد ذلك، سنفك الأقواس لدينا بالتوزيع كما هو موضح.
يمكننا التبسيط هنا؛ حيث لدينا ﻕ اثنين تربيع ناقص ﻕ اثنين تربيع يساوي صفرًا. وبهذا، تصبح لدينا المعادلة ٦٢٤١ يساوي ٢٦٠١ زائد ٥١ﻕ اثنين زائد ﻕ اثنين تربيع. وأخيرًا، سنطرح ٦٢٤١ من الطرفين، وسنكون بذلك مستعدين لحل هذه المعادلة. يمكننا تحليل الطرف الأيسر لنحصل بذلك على ﻕ اثنين ناقص ٤٠ في ﻕ اثنين زائد ٩١. وبمساواة كل تعبير داخل كل زوج من الأقواس لدينا بصفر ثم الحل، نجد أن ﻕ اثنين يساوي ٤٠ أو ﻕ اثنين يساوي سالب ٩١. تذكر أن ﻕ اثنين هو مقدار هذه القوة، ومن ثم لا بد أن يكون موجبًا. لذا سنختار ﻕ اثنين يساوي ٤٠.
بوضع ذلك في الاعتبار، يمكننا الآن إيجاد قيمة ﻕ واحد. سنعود إلى المعادلة السابقة؛ ﻕ واحد يساوي ٥١ زائد ﻕ اثنين. وبما أن ﻕ اثنين يساوي ٤٠، فإن ﻕ واحد يساوي ٥١ زائد ٤٠ ؛ وهو ما يساوي ٩١. وبهذا، نكون قد أوجدنا مقداري القوتين المطلوبتين. إنهما تساويان ٤٠ نيوتن و٩١ نيوتن.
