شارح الدرس: محصلة قوتين الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد محصِّلة قوتين تؤثِّران في نقطة واحدة، وكيف نُوجِد اتجاه المحصِّلة.

إن القوة التي تؤثِّر على جسمٍ ما يمثِّلها المتجه 󰄮󰄮𞹟. وعندما تؤثِّر قوتان على جسم، فإننا نُسمِّي محصلتهما القوة التي توضِّح تأثيرهما المشترك معًا.

تعريف: القوة المحصلة

عندما تؤثِّر القوتان 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ على جسم ما عند النقطة نفسها، فإن التأثير المشترك لهاتين القوتين هو نفس تأثير القوة الواحدة، والتي تُعرَف باسم «القوة المُحصلة».

تُعطى القوة المحصلة؛ أي 󰄮𞸇، بالعلاقة: 󰄮𞸇=󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟.١٢

يُمكن تمثيل تَساوي المُتجه 󰄮𞸇=󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟١٢ بطريقتين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

بما أن 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮𞸇 ثلاثة أضلاع للمثلث، إذن يمكننا استخدام قانون الجيوب أو قانون جيوب التمام في المثلث لإيجاد محصلة القوتين، أو قياسَي الزاويتين المحصورتين بين المحصلة والقوتين، أو إيجاد قياس أي زاوية أخرى مجهولة.

نفترض أن 𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، وأن 𝜃١ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟١، وأن 𝜃٢ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟٢، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يوضِّح لنا قانون الجيوب في هذا المثلث أن: 𞹟𝜃=𞹟𝜃=𞸇(٠٨١𝛼)،١٢٢١ حيث 𞹟١، 𞹟٢، 𞸇 مقادير كلٍّ من 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮𞸇، على الترتيب.

وبما أن (٠٨١𞸎)=𞸎 لجميع قيم 𞸎، إذن نجد العلاقة الموضَّحة في الآتي.

خاصية: قانون الجيوب في مثلث تصنعه قوتان ومحصلتهما

لدينا: 𞹟𝜃=𞹟𝜃=𞸇𝛼،١٢٢١ حيث 𞹟١، 𞹟٢، 𞸇 مقادير كلٍّ من 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮𞸇، على الترتيب، و𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، و𝜃١ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟١، و𝜃٢ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟٢.

عند تطبيق قانون جيوب التمام في المثلث، نجد أن: 𞸇=𞹟+𞹟٢𞹟𞹟(٠٨١𝛼).٢١٢٢٢١٢

وبما أن (٠٨١𞸎)=𞸎 لجميع قيم 𞸎، إذن نجد العلاقة الموضَّحة في الآتي.

خاصية: قانون جيوب التمام في مثلث تصنعه قوتان ومحصلتهما

لدينا: 𞸇=𞹟+𞹟+٢𞹟𞹟𝛼،٢١٢٢٢١٢ حيث 𞹟١، 𞹟٢، 𞸇 مقادير كلٍّ من 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮𞸇، على الترتيب، و𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، و𝜃١ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟١، و𝜃٢ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟٢

نبدأ بمثال نُوجِد فيه مقدار محصلة قوتين تؤثِّران عند نقطةٍ ما.

مثال ١: إيجاد مقدار مُحصِّلة قوتين

قوتان مقداراهما ٣٥ نيوتن و٩١ نيوتن تؤثِّران على جسيم. إذا كانت المحصلة تتعامد على القوة الأولى، فأوجد مقدار المحصلة.

الحل

يمكننا أن نفترض هنا أن القوة الأولى تؤثِّر أفقيًّا. نُسمِّي القوة الأولى 󰄮󰄮𞹟١، والقوة الثانية 󰄮󰄮𞹟٢. ومحصلة هاتين القوتين؛ أي 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟١٢، تؤثِّر رأسيًّا؛ إذ تتعامد على 󰄮󰄮𞹟١، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يمكن تمثيل القوة 󰄮󰄮𞹟٢ باستخدام سهم ذيله عند رأس 󰄮󰄮𞹟١، ورأسه عند رأس 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟١٢، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

تُعطى القوة المحصلة 󰄮𞸇 بالعلاقة: 󰄮𞸇=󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟.١٢

وبما أن 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮𞸇 متعامدان، إذن نجد أن القوتين ومحصلتهما تصنع مثلثًا قائم الزاوية. إذن، بتطبيق نظرية فيثاغورس، نجد أن: 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹+󰍹󰄮𞸇󰍹=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹.١٢٢٢٢

تجدر الإشارة إلى أن نظرية فيثاغورس مجرد حالة خاصة من قانون جيوب التمام.

بالتعويض بقيمتَي 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹١، 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹٢، نجد أن: ٥٣+󰍹󰄮𞸇󰍹=١٩󰍹󰄮𞸇󰍹=١٩٥٣=٦٥٠٧󰍹󰄮𞸇󰍹=󰋴٦٥٠٧=٤٨.٢٢٢٢٢٢

لاحظ أن مقدار المتجه يكون موجبًا دائمًا، إذن ٤٨ نيوتن ليس حلًّا صحيحًا.

ومن ثَمَّ، فإن مقدار محصلة القوتين يساوي ٨٤ نيوتن.

هيا الآن نتناول مثالًا نُوجِد فيه اتجاه خط عمل محصلة قوتين تؤثِّران عند نقطة ما.

مثال ٢: إيجاد اتجاه محصلة قوتين تؤثِّران عند النقطة نفسها

تؤثِّر قوتان متعامدتان مقداراهما ٨٨ نيوتن و٤٤ نيوتن عند نقطة. تصنع محصلة القوتين زاوية 𝜃 مع القوة التي مقدارها ٨٨ نيوتن. أوجد قيمة 𝜃.

الحل

يمكننا أن نفترض هنا أن إحدى القوتين تؤثِّر أفقيًّا. نُسمِّي القوة الأولى 󰄮󰄮𞹟١، والقوة الثانية 󰄮󰄮𞹟٢، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

بجَعْل 󰄮󰄮𞹟١ يقابل الخط المجاور لـ 𝜃، فإننا نجعل هذه القوة تساوي ٨٨ نيوتن. مقدار 󰄮󰄮𞹟٢ يساوي ٤٤ نيوتن، إذن مقدار 󰄮󰄮𞹟٢ يساوي نصف مقدار 󰄮󰄮𞹟١. ويمكن التعبير عن مقدار محصلة القوتين؛ أي 𞸇، على الصورة: 𞸇=󰋴𞹟+𞹟=󰋺𞹟+󰂔𞹟٢󰂓.١٢٢٢١٢١٢

نستنتج من ذلك أن: 𞹟=𞹟+󰂔𞹟٢󰂓=𞹟+𞹟٤=󰂔٥٤󰂓𞹟.٢١٢١٢١٢١٢١٢

بحساب الجذر التربيعي، نحصل على: 𞹟=󰋴٥𞹟٢.١

وبتطبيق قانون الجيوب في المثلث، نحصل على: 𝜃𞹟=٠٩𞹟.٢

وبما أن ٠٩=١، إذن يصبح لدينا: 𝜃=𞹟𞹟𞹟==١󰋴٥=󰋴٥٥.٢𞹟٢󰋴٥𞹟٢١١

إذن نحصل على: 𝜃=󰋴٥٥.

نتناول الآن مثالًا علينا فيه إيجاد مقادير القوى بمعلومية مقدار محصلة قوتين متعامدتين واتجاه خط عمل محصلتهما.

مثال ٣: إيجاد مقدار قوتين بمعلومية مقدار محصلتهما واتجاهها

تؤثِّر قوتان متعامدتان، 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، عند نقطة. محصلة القوتين 󰄮𞸇 تساوي ١٨٨ نيوتن وتصنع زاوية قياسها ٠٦ مع 󰄮󰄮𞹟١. أوجد مقدار كلٍّ من 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢.

الحل

يوضِّح الشكل التالي القوتين المتعامدتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ ومحصلتهما.

نُلاحظ أن القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ متعامدتان، وتصنع المحصلة 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟١٢ زاوية قياسها ٠٦ مع 󰄮󰄮𞹟١. وبما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، إذن: ٠٦=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹٨٨١󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=٨٨١٠٦=١٢×٨٨١=٤٩١١ كما أن: ٠٦=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹٨٨١󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=٨٨١٠٦=󰋴٣٢×٨٨١=٤٩󰋴٣.٢٢

مقدار 󰄮󰄮𞹟١ هو ٩٤ نيوتن، ومقدار 󰄮󰄮𞹟٢ هو ٤٩󰋴٣ نيوتن.

نتناول الآن مثالًا يتضمَّن قوتين غير متعامدتين.

مثال ٤: إيجاد قوة مجهولة بمعلومية القوة المحصلة

قياس الزاوية بين القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ يساوي ٢١١، وقياس الزاوية بين محصلتهما والقوة 󰄮󰄮𞹟٢ يساوي ٦٥. إذا كانت 󰄮󰄮𞹟١ مقدارها ٢٨ نيوتن، فما مقدار 󰄮󰄮𞹟٢؟

الحل

يوضِّح الشكل التالي القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ ومحصلتهما 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟١٢. تؤثِّر القوتان عند النقطة 𞸋.

تصنع محصلة القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ شكل متوازي أضلاع قطره المار بالنقطة 𞸋 هو المحصلة.

الزاوية 𝜃 المحصورة بين 󰄮󰄮𞹟١ ومحصلة 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ تُحسب كالآتي: 𝜃=٢١١٦٥=٦٥.

يمكننا الآن إضافة هذه الزاوية وزاويتها المتبادلة داخليًّا إلى الشكل، كما هو موضَّح.

بتطبيق قانون الجيوب في المثلث الذي تصنعه 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟١٢، نجد أن: 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹٦٥=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹٦٥،١٢ وهو ما يعني أن: 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹.١٢

مقدار 󰄮󰄮𞹟١ يساوي ٢٨ نيوتن، إذن مقدار 󰄮󰄮𞹟٢ يساوي ٢٨ نيوتن أيضًا.

نتناول المثال الأخير؛ حيث يُعكَس اتجاه إحدى القوى.

مثال ٥: إيجاد مقدار قوتين متطابقتين بمعلومية محصلتهما في حالتين

تؤثِّر قوتان، لهما نفس المقدار 𞹟 نيوتن، في نفس النقطة. مقدار محصلتهما ٩٠ نيوتن. إذا عُكس اتجاه إحدى القوتين، يكون مقدار محصلتهما ٩٠ نيوتن. أوجد قيمة 𞹟.

الحل

نمثِّل الحالة الأولى.

عندما نجمع القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، تكون المحصلة هي قطر متوازي الأضلاع الذي تصنعه القوتان 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢؛ حيث يكون ذيله هو ذيل القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢. وإذا كانت القوتان لهما نفس المقدار، فإن متوازي الأضلاع يكون معيَّنًا، وتصنع القوتان ومحصلتهما مثلثًا متساوي الساقين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

بتطبيق قانون جيوب التمام، نجد أن: 𞸇=𞹟+𞹟+٢𞹟𞹟𝛼،٢١٢٢٢١٢ حيث 𞹟=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹١١، 𞹟=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹٢٢، 𞸇=󰍹󰄮𞸇󰍹.

وبما أن 𞹟=𞹟=𞹟١٢، إذن يصبح لدينا: 𞸇=٢𞹟+٢𞹟𝛼.٢٢٢

إذا عكسنا الآن اتجاه إحدى القوتين (لأسباب تتعلَّق بالتماثل، لا يهم أيُّ القوتين يُعكس اتجاهها؛ حيث سنحصل على النتيجة نفسها)، فستظل محصلة القوتين هي قطر المعيَّن المطابق للمعيَّن السابق، لكنه سيكون القطر الآخر، وستكون الزاوية المحصورة بين القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ هي ٠٨١𝛼.

مقدار 󰄮󰄮𞹟١ هو نفسه مقدار 󰄮󰄮𞹟١، 𞹟.

بتطبيق قانون جيوب التمام في المثلث الذي تصنعه القوتان 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ ومحصلتهما، نحصل على: 𞸇=٢𞹟+٢𞹟(٠٨١𝛼)،٢٢٢ وهو ما يعني أن: 𞸇=٢𞹟٢𞹟𝛼.٢٢٢

علمنا أن مقدار المحصلة متساوٍ في كلتا الحالتين، وهو ٩٠ نيوتن. إذن لدينا: 𞸇=𞸇=٠٩، وهو ما يعني أن: ٢𞹟+٢𞹟𝛼=٢𞹟٢𞹟𝛼=٠٩.٢٢٢٢٢

ولا يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان 𝛼=٠؛ أي إذا كان 𝛼=٠٩. ومن ثَمَّ، فإن القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ متعامدتان.

لدينا إذن: ٢𞹟=٠٩𞹟=󰋺٠٩٢𞹟=٠٩󰋺١٢𞹟=٥٤󰋴٢.٢٢٢

تجدر الإشارة إلى أنه في المثال السابق، كان بإمكاننا استنتاج أن القوتين متعامدتان بمراعاة بعض الاعتبارات الهندسية البسيطة، وهي أن قطرَي المعيَّن لا يكونان بنفس الطول إلا إذا كان المعيَّن مربعًا.

نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذه الأمثلة.

النقاط الرئيسية

  • المحصلة 󰄮𞸇 للقوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ المؤثِّرتين على جسم ما عند النقطة نفسها هي قوة واحدة تُعطى بالعلاقة: 󰄮𞸇=󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟.١٢
  • التأثير المشترك للقوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ هو نفسه تأثير 󰄮𞸇 فقط.
  • 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮𞸇 هي ثلاثة أضلاع في مثلث أو ضلعين متجاورين وقطر متوازي أضلاع.
  • بتطبيق قانون الجيوب في المثلث الذي تصنعه القوتان 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ ومحصلتهما 󰄮𞸇، نحصل على: 𞹟𝜃=𞹟𝜃=𞸇𝛼،١٢٢١ حيث 𞹟١، 𞹟٢، 𞸇 مقادير كلٍّ من 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮𞸇، على الترتيب، و𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، و𝜃١ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟١، و𝜃٢ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟٢.
  • بتطبيق قانون جيوب التمام في المثلث الذي تصنعه القوتان 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢ ومحصلتهما 󰄮𞸇، نحصل على: 𞸇=𞹟+𞹟+٢𞹟𞹟𝛼،٢١٢٢٢١٢ حيث 𞹟١، 𞹟٢، 𞸇 مقادير كلٍّ من 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮𞸇، على الترتيب، و𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، و𝜃١ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟١، و𝜃٢ هي الزاوية المحصورة بين 󰄮𞸇، 󰄮󰄮𞹟٢.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.