شارح الدرس: محصلة قوتين الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد مقدار محصلة قوتين

قوتان مقدارهما ٣٥ نيوتن و٩١ نيوتن تؤثِّران على جسيم. إذا كانت المحصلة تتعامد على القوة الأولى، فأوجد مقدار المحصلة.

الحل

يمكننا أن نفترض هنا أن القوة الأولى تؤثِّر أفقيًّا. نُسمِّي هذه القوة ، والقوة الثانية . تؤثِّر محصلة هاتين القوتين؛ أيْ ، رأسيًّا لأنها عمودية على ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يمكن تمثيل القوة باستخدام سهم ذيله عند رأس ، ورأسه عند رأس ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

تُعطى القوة المحصلة بالعلاقة:

وبما أن ، متعامدان، إذن نجد أن القوتين ومحصلتهما تصنعان مثلثًا قائم الزاوية. إذن، بتطبيق نظرية فيثاغورس، نجد أن:

تجدر الإشارة إلى أن نظرية فيثاغورس مجرد حالة خاصة من قانون جيوب التمام.

بالتعويض بقيمتَي ، نجد أن:

لاحظ أن مقدار المتجه يكون موجبًا دائمًا، إذن نيوتن ليس حلًّا صحيحًا.

ومن ثَمَّ، فإن مقدار محصلة القوتين يساوي ٨٤ نيوتن.

مثال ٢: إيجاد اتجاه محصلة قوتين تؤثِّران عند النقطة نفسها

تؤثِّر قوتان متعامدتان مقداراهما ٨٨ نيوتن و٤٤ نيوتن عند نقطة. تصنع محصلة القوتين زاوية مع القوة التي مقدارها ٨٨ نيوتن. أوجد قيمة .

الحل

يمكننا أن نفترض هنا أن إحدى القوتين تؤثِّر أفقيًّا. نُسمِّي القوة الأولى ، والقوة الثانية ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

بجَعْل يناظر الخط المجاور لـ ، فإننا نجعل هذه القوة تساوي ٨٨ نيوتن. مقدار يساوي ٤٤ نيوتن؛ إذن مقدار يساوي نصف مقدار . ويمكن التعبير عن مقدار محصلة القوتين؛ أيْ ، على الصورة:

يمكننا أن نستنتج من ذلك أن:

بأخذ الجذر التربيعي، نحصل على:

وبتطبيق قانون الجيوب في المثلث، نحصل على:

وبما أن ، إذن يصبح لدينا:

ومن ثمَّ، نجد أن:

مثال ٣: إيجاد مقدار قوتين بمعلومية مقدار محصلتهما واتجاهها

تؤثِّر القوتان المتعامدتان ، عند نقطة. محصلة القوتين، ، مقدارها ١٨٨ نيوتن، وتصنع زاوية قياسها مع . أوجد مقدار كلٍّ من ، .

الحل

يوضِّح الشكل الآتي القوتين المتعامدتين، ، ، ومحصلتهما.

نُلاحظ أن القوتين ، متعامدتان، وتصنع المحصلة زاوية قياسها مع . وبما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، إذن: كما أن:

إذن مقدار يساوي ٩٤ نيوتن، ومقدار يساوي نيوتن.

مثال ٤: إيجاد قوة مجهولة بمعلومية معلومات عن القوة المحصلة

قياس الزاوية المحصورة بين القوتين ، يساوي ، وقياس الزاوية المحصورة بين محصلتهما والقوة يساوي . إذا كان مقدار هو ٢٨ نيوتن، فما مقدار ؟

الحل

يوضِّح الشكل الآتي القوتين ، ومحصلتهما . تؤثِّر القوتان عند النقطة .

تصنع محصلة القوتين ، شكل متوازي أضلاع قطرُهُ المار بالنقطة هو المحصلة.

الزاوية المحصورة بين ومحصلة ، تُحسَب كالآتي:

يمكننا الآن إضافة هذه الزاوية وزاويتها المتبادلة داخليًّا إلى الشكل، كما هو موضَّح.

بتطبيق قانون الجيوب في المثلث الذي تصنعه ، ، ، نجد أن: وهو ما يعني أن:

مقدار يساوي ٢٨ نيوتن، إذن مقدار يساوي ٢٨ نيوتن أيضًا.

مثال ٥: إيجاد مقدارين متطابقين لقوتين بمعلومية محصلتهما في حالتين

تؤثِّر قوتان، لهما نفس المقدار نيوتن، في نفس النقطة. مقدار محصلتهما ٩٠ نيوتن. إذا عُكِس اتجاه إحدى القوتين، يكون مقدار محصلتهما ٩٠ نيوتن. أوجد قيمة .

الحل

نُمثِّل الحالة الأولى.

عندما نجمع القوتين ، ، تكون المحصلة هي قطر متوازي الأضلاع الذي تصنعه القوتان ، ؛ حيث يكون ذيلها هو نقطة تأثير القوتين ، . وإذا كانت القوتان لهما نفس المقدار، فإن متوازي الأضلاع يكون معيَّنًا، وتصنع القوتان ومحصلتهما مثلثًا متساوي الساقين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

بتطبيق قانون جيوب التمام، نجد أن: حيث ،، .

وبما أن ، إذن يصبح لدينا:

إذا عكسنا الآن اتجاه إحدى القوتين (لأسباب تتعلَّق بالتماثل، لا يهم أيُّ القوتين يُعكَس اتجاهها؛ حيث نحصل على النتيجة نفسها)، فستظل محصلة القوتين هي قطر المعيَّن المطابق للمعيَّن السابق، لكنه يكون القطر الآخر، وستكون الزاوية المحصورة بين القوتين ، هي .

مقدار هو نفس مقدار ، .

بتطبيق قانون جيوب التمام في المثلث الذي تكوِّنه القوتان ، ومحصلتهما، نحصل على: وهو ما يعني أن:

علمنا أن مقدار المحصلة متساوٍ في كلتا الحالتين، وهو ٩٠ نيوتن. ومن ثمَّ، نجد أن: وهو ما يعني أن:

ولا يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان ؛ أيْ إذا كان . إذن القوتان ، متعامدتان.

ومن ثمَّ، نجد أن: