تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: محصلة قوتين الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد محصلة قوتين تؤثران في نقطة واحدة، وكيف نوجد اتجاه المحصلة.

١٥:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد محصلة قوتين تؤثران في نقطة واحدة، وكيف نوجد اتجاه المحصلة. نبدأ بتعريف القوة واستكشاف خواصها.

تعرف القوة بأنها تأثير جسم طبيعي على آخر. وتوصف كل قوة بدلالة مقدارها واتجاهها ونقطة تأثيرها وخط عملها. نمثل القوة باستخدام الرمز «المتجه ﻕ» كما هو موضح.

دعونا نتناول الآن خواص مقدار القوة واتجاهها ونقطة تأثيرها وخط عملها. مقدار القوة هو معيارها، ويقاس بوحدة النيوتن. وباستخدام قطعة مستقيمة موجهة لتمثيل القوة ﻕ، ورسم خط عملها بمقياس مناسب، يمكننا استخدام طول خط العمل للإشارة إلى مقدار القوة. ويمكن كتابة ذلك كما هو موضح.

اتجاه القوة هو الاتجاه الذي تؤثر فيه. وباستخدام قطعة مستقيمة موجهة مرة أخرى لتمثيل القوة ﻕ، يمكننا استخدام اتجاه السهم لتوضيح اتجاه القوة.

نقطة تأثير القوة هي النقطة التي تؤثر عندها.

وأخيرًا، خط عمل القوة هو طريقة هندسية لتمثيل كيفية تأثير القوة. ويرسم خط عمل القوة في صورة خط يمر بنقطة التأثير في نفس اتجاه القوة ﻕ. يمكننا توضيح ذلك على النحو الآتي.

يوضح الشكل القوة ﻕ الممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة ﺃﺏ. يحدد مقدار القوة بمقدار القطعة المستقيمة ﺃﺏ. ويناظر اتجاه السهم اتجاه القوة ﻕ. ونقطة تأثير القوة هي ﺃ. وخط عمل القوة مشار إليه بامتداد ﺃﺏ في نفس الاتجاه، كما هو موضح بالخط المتقطع.

دعونا نفكر الآن فيما يحدث عندما تؤثر قوتان على جسم ما بالإضافة إلى تأثيرهما المشترك، الذي يعرف بالمحصلة. عندما تؤثر قوتان، ﻕ واحد وﻕ اثنان على جسم ما عند النقطة نفسها، فإن التأثير المشترك لهاتين القوتين هو نفس تأثير قوة واحدة تسمى القوة المحصلة. يعطى متجه القوة المحصلة ﺡ بالعلاقة ﺡ يساوي ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين. يمكن تمثيل الكمية المتجهة ﺡ، التي تساوي ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين بطريقتين، كما هو موضح. بما أن ﻕ واحد وﻕ اثنين وﺡ ثلاثة أضلاع في مثلث، إذن يمكننا استخدام قانون الجيوب أو قانون جيوب التمام في المثلث لإيجاد محصلة القوتين، أو قياسي الزاويتين المحصورتين بين المحصلة والقوتين، أو إيجاد قياس أي زاوية أخرى مجهولة.

إذا افترضنا أن 𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين، وأن 𝜃 واحد هي الزاوية المحصورة بين ﺡ وﻕ واحد، وأن 𝜃 اثنين هي الزاوية المحصورة بين ﺡ وﻕ اثنين كما هو موضح، فإنه باستخدام ما نعرفه عن الزوايا المتناظرة والزوايا المتبادلة، يوضح لنا قانون الجيوب أن ﻕ واحد على جا 𝜃 اثنين يساوي ﻕ اثنين على جا 𝜃 واحد، وهو ما يساوي ﺡ على جا ١٨٠ درجة ناقص 𝛼، حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان وﺡ مقادير المتجهات ﻕ واحد وﻕ اثنين وﺡ، على الترتيب. نتذكر أن جا ١٨٠ درجة ناقص ﺱ يساوي جا ﺱ. ومن ثم، فإن جا ١٨٠ درجة ناقص 𝛼 يساوي جا 𝛼. إذن، تبسط المعادلة كما هو موضح.

بتطبيق قانون جيوب التمام في المثلث، نجد أن ﺡ تربيع يساوي ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع ناقص اثنين مضروبًا في ﻕ واحد مضروبًا في ﻕ اثنين مضروبًا في جتا ١٨٠ درجة ناقص 𝛼. ‏‏جتا ١٨٠ درجة ناقص ﺱ يساوي سالب جتا ﺱ. وبذلك، تبسط المعادلة كما هو موضح.

لدينا الآن معادلتان بهما العديد من القيم المجهولة، ويمكننا تبسيطهما أكثر. إذا أخذنا الجذر التربيعي لطرفي المعادلة الثانية وتذكرنا أن مقدار المتجه موجب، فإننا نحصل على صيغة صريحة لـ ﺡ، أي مقدار المتجه ﺡ. من السهل أيضًا استنتاج صيغة لاتجاه المتجه ﺡ. سنذكر هذه النتائج الآن.

لنفترض أن المتجه ﺡ هو محصلة متجهي القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين اللتين تؤثران في نقطة واحدة وبينهما الزاوية 𝛼. إذن، ﺡ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع زائد اثنين ﻕ واحد ﻕ اثنين مضروبًا في جتا 𝛼. وظا 𝜃 يساوي ﻕ اثنين جا 𝛼 مقسومًا على ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين جتا 𝛼، حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان وﺡ مقادير المتجهات ﻕ واحد وﻕ اثنين وﺡ، على الترتيب. و𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجه ﺡ والمتجه ﻕ واحد.

سنتناول الآن مثالين، أحدهما يتضمن قوتين متعامدتين، والآخر يتضمن قوتين غير متعامدتين.

تؤثر قوتان متعامدتان مقداراهما ٨٨ نيوتن و ٤٤ نيوتن عند نقطة. تصنع محصلة القوتين زاوية 𝜃 مع القوة التي مقدارها ٨٨ نيوتن. أوجد قيمة جا 𝜃.

في هذا السؤال، يمكننا أن نفترض أن إحدى القوتين تؤثر أفقيًّا. وسنفترض أنها القوة التي مقدارها ٨٨ نيوتن وسنسميها المتجه ﻕ واحد. ومن ثم، سنسمي القوة التي مقدارها ٤٤ نيوتن، المتجه ﻕ اثنين، وهذه القوة ستؤثر رأسيًّا. بما أن القوتين المتعامدتين تؤثران في نقطة ما، يمكننا تمثيل ذلك كما هو موضح. ستؤثر القوة المحصلة، المتجه ﺡ، في الاتجاه الموضح. ونحن نعلم أن هذه المحصلة تصنع زاوية قياسها 𝜃 مع القوة ﻕ واحد التي مقدارها ٨٨ نيوتن.

بما أن للمتجهات اتجاهًا ومقدارًا، يمكننا تكوين مثلث من هذه القوى. هذا مثلث قائم الزاوية، ويمكننا استخدام خواص المثلثات القائمة الزاوية لإيجاد قيمة جا 𝜃 كما هو مطلوب. كما ذكرنا من قبل، نحن نعلم أن مقدار المتجه ﻕ واحد يساوي ٨٨ نيوتن، وأن مقدار المتجه ﻕ اثنين يساوي ٤٤ نيوتن. بتطبيق نظرية فيثاغورس، نجد أن ﺡ تربيع يساوي ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع، حيث ﺡ وﻕ واحد وﻕ اثنان مقادير القوى المتجهة المناظرة. هذا يعني أن ﺡ تربيع يساوي ٨٨ تربيع زائد ٤٤ تربيع. ويبسط الطرف الأيمن من المعادلة إلى ٩٦٨٠. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي للطرفين. وبما أن ﺡ يجب أن يكون موجبًا، فإن ﺡ يساوي ٤٤ جذر خمسة. إذن، مقدار القوة المحصلة يساوي ٤٤ جذر خمسة نيوتن.

بعد ذلك، نستخدم معرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. تخبرنا نسبة الجيب أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. هذا يعني أنه في هذا السؤال، جا 𝜃 يساوي مقدار ﻕ اثنين على مقدار المحصلة. وبالتعويض بالقيمتين المعلومتين، نجد أن هذا يساوي ٤٤ على ٤٤ جذر خمسة. يمكننا بعد ذلك قسمة البسط والمقام على ٤٤، وهو ما يعطينا واحدًا على جذر خمسة. وأخيرًا، يمكننا إنطاق المقام بضرب البسط والمقام في جذر خمسة، وهو ما يعطينا جا 𝜃 يساوي جذر خمسة على خمسة. إذن، هذا هو جيب الزاوية التي تصنعها المحصلة مع القوة التي مقدارها ٨٨ نيوتن.

لنتناول الآن مثالًا آخر حيث قياس الزاوية المحصورة بين القوتين لا يساوي ٩٠ درجة.

قياس الزاوية المحصورة بين متجهي القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين يساوي ١١٢ درجة، وقياس الزاوية المحصورة بين محصلتهما ومتجه القوة ﻕ اثنين يساوي ٥٦ درجة. إذا كان مقدار المتجه ﻕ واحد هو ٢٨ نيوتن، فما مقدار المتجه ﻕ اثنين؟

لنبدأ برسم شكل يعبر عن هذه المسألة. نحن نعلم من المعطيات أن قياس الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين يساوي ١١٢ درجة. كما نعلم أيضًا أن قياس الزاوية المحصورة بين القوة المحصلة وﻕ اثنين يساوي ٥٦ درجة. نلاحظ أن هاتين القوتين تصنعان شكل متوازي أضلاع، حيث تكون المحصلة هي قطره. يمكننا حساب الزاوية 𝜃 المحصورة بين ﻕ واحد والمحصلة بطرح ٥٦ درجة من ١١٢ درجة. وهذا يساوي ٥٦ درجة. يمكننا الآن إضافة هذه الزاوية والزاوية المتبادلة معها داخليًّا إلى الشكل، كما هو موضح.

بعد ذلك، يمكننا تطبيق قانون الجيوب على أي مثلث من المثلثين داخل متوازي الأضلاع. ونجد أن مقدار ﻕ واحد على جا ٥٦ درجة يساوي مقدار ﻕ اثنين على جا ٥٦ درجة. هذا يعني أن مقدار ﻕ واحد يساوي مقدار ﻕ اثنين. وبما أن السؤال يخبرنا أن مقدار ﻕ واحد يساوي ٢٨ نيوتن، فإن مقدار ﻕ اثنين يجب أن يساوي ٢٨ نيوتن أيضًا.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تعرف القوة بأنها تأثير جسم على آخر. وتوصف كل قوة بدلالة مقدارها واتجاهها ونقطة تأثيرها وخط عملها. نمثل القوة باستخدام الرمز «المتجه ﻕ». متجه المحصلة ﺡ لمتجهي القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين اللتين تؤثران على جسم ما عند النقطة نفسها هو قوة واحدة تعطى بالعلاقة: المتجه ﺡ يساوي المتجه ﻕ واحد زائد المتجه ﻕ اثنين. التأثير المشترك لمتجهي القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين هو نفس تأثير المتجه ﺡ فقط. المتجهات ﻕ واحد وﻕ اثنان وﺡ هي ثلاثة أضلاع في مثلث، أو ضلعان متجاوران وقطر متوازي أضلاع.

بتطبيق قانون الجيوب في المثلث الذي تكونه القوتان ﻕ واحد وﻕ اثنان ومحصلتهما ﺡ، نحصل على ﻕ واحد على جا 𝜃 اثنين يساوي ﻕ اثنين على جا 𝜃 واحد، وهو ما يساوي ﺡ على جا 𝛼، حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان وﺡ مقادير المتجهات ﻕ واحد وﻕ اثنين وﺡ، على الترتيب. ‏𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين. ‏𝜃 واحد هي الزاوية المحصورة بين المحصلة ﺡ وﻕ واحد. و𝜃 اثنان هي الزاوية المحصورة بين ﺡ وﻕ اثنين.

بتطبيق قانون جيوب التمام بالطريقة نفسها وفي ظل الظروف نفسها، نحصل على ﺡ تربيع يساوي ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع زائد اثنين مضروبًا في ﻕ واحد مضروبًا في ﻕ اثنين مضروبًا في جتا 𝛼. بأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، نجد أن ﺡ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻕ واحد تربيع زائد ﻕ اثنين تربيع زائد اثنين مضروبًا في ﻕ واحد مضروبًا في ﻕ اثنين مضروبًا في جتا 𝛼. وأخيرًا، رأينا أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المحصلة ﺡ وﻕ واحد، فإن ظا 𝜃 يساوي ﻕ اثنين جا 𝛼 مقسومًا على ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين جتا 𝛼.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.